Прямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства углов

Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник – треугольник, в котором один угол прямой (то есть равен 90˚).

Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой прямоугольного треугольника.

Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами .

Прямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства углов

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по двум катетам ).

Прямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства углов

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по катету и острому углу ).

Прямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства угловЕсли гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и острому углу ).

Прямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства углов

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и катету ).

Прямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства углов

Свойства прямоугольного треугольника

1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90˚.

2. Катет, противолежащий углу в 30˚, равен половине гипотенузы.

И обратно, если в треугольнике катет вдвое меньше гипотенузы, то напротив него лежит угол в 30˚.

Прямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства углов

3. Теорема Пифагора:

Прямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства углов, где Прямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства углов– катеты, Прямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства углов– гипотенуза. Видеодоказательство

Прямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства углов

4. Площадь Прямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства угловпрямоугольного треугольника с катетами Прямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства углов:

Прямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства углов

5. Высота Прямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства угловпрямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе выражается через катеты Прямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства углови гипотенузу Прямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства угловследующим образом:

Прямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства углов

Прямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства углов

6. Центр описанной окружности – есть середина гипотенузы.

Прямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства углов

7. Радиус Прямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства угловописанной окружности есть половина гипотенузы Прямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства углов:

Прямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства углов

8. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине

9. Радиус Прямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства угловвписанной окружности выражается через катеты Прямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства углови гипотенузу Прямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства угловследующим образом:

Прямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства углов

Прямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства углов

Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике смотрите здесь.

Видео:Прямоугольные треугольники, вписанные в окружностьСкачать

Прямоугольные треугольники, вписанные в окружность

Углы, связанные с окружностью

Прямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства угловВписанные и центральные углы
Прямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства угловУглы, образованные хордами, касательными и секущими
Прямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства угловДоказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Видео:Вписанный в окружность прямоугольный треугольник.Скачать

Вписанный в окружность прямоугольный треугольник.

Вписанные и центральные углы

Определение 1 . Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1).

Прямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства углов

Определение 2 . Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2).

Прямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства углов

Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.

Определение 3 . Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Теоремы о вписанных и центральных углах

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

ФигураРисунокТеорема
Вписанный уголПрямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства углов
Вписанный уголПрямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства угловВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.
Вписанный уголПрямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства угловВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды
Вписанный уголПрямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства угловДва вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды
Вписанный уголПрямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства угловВписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр
Окружность, описанная около прямоугольного треугольникаПрямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства углов

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Прямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства углов

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

Прямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства углов

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды

Прямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства углов

Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды

Прямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства углов

Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр

Прямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства углов

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

Прямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства углов

Видео:Прямоугольный треугольник, вписанный в окружность. ЗадачаСкачать

Прямоугольный треугольник, вписанный в окружность. Задача

Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими

Вписанный угол
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

ФигураРисунокТеоремаФормула
Угол, образованный пересекающимися хордамиПрямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства угловПрямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства углов
Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне кругаПрямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства угловПрямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства углов
Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касанияПрямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства угловПрямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства углов
Угол, образованный касательной и секущейПрямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства угловПрямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства углов
Угол, образованный двумя касательными к окружностиПрямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства угловПрямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства углов

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Прямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства углов

Прямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства углов

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Прямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства углов

Прямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства углов

Прямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства углов

Прямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства углов

Угол, образованный пересекающимися хордами хордами
Прямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства углов
Формула: Прямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства углов
Угол, образованный секущими секущими , которые пересекаются вне круга
Формула: Прямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства углов

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный касательной и хордой хордой , проходящей через точку касания
Прямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства углов
Формула: Прямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства углов
Угол, образованный касательной и секущей касательной и секущей
Формула: Прямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства углов

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный двумя касательными касательными к окружности
Формулы: Прямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства углов

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Теорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5).

Прямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства углов

Прямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства углов

Прямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства углов

Прямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства углов

Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

Прямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства углов

В этом случае справедливы равенства

Прямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства углов

Прямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства углов

Прямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства углов

и теорема 1 в этом случае доказана.

Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

Прямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства углов

В этом случае справедливы равенства

Прямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства углов

Прямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства углов

Прямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства углов

что и завершает доказательство теоремы 1.

Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 8.

Прямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства углов

Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства

Прямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства углов

Прямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства углов

что и требовалось доказать.

Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Прямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства углов

Прямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства углов

Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства

Прямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства углов

Прямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства углов

что и требовалось доказать.

Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 10.

Прямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства углов

Прямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства углов

Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства

Прямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства углов

Прямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства углов

что и требовалось доказать

Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 11.

Прямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства углов

Прямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства углов

Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства

Прямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства углов

Прямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства углов

что и требовалось доказать.

Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 12.

Прямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства углов

Прямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства углов

Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство

Видео:Углы, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Углы, вписанные в окружность. 9 класс.

Треугольник вписанный в окружность

Прямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства углов

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Определение

Треугольник, вписанный в окружность — это треугольник, который
находится внутри окружности и соприкасается с ней всеми тремя вершинами.

На рисунке 1 изображена окружность, описанная около
треугольника
и окружность, вписанная в треугольник.

ВD = FC = AE — диаметры описанной около треугольника окружности.

O — центр вписанной в треугольник окружности.

Прямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства углов

Видео:Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnlineСкачать

Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnline

Формулы

Радиус вписанной окружности в треугольник

r — радиус вписанной окружности.

  1. Радиус вписанной окружности в треугольник,
    если известна площадь и все стороны:

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны площадь и периметр:

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны полупериметр и все стороны:

Радиус описанной окружности около треугольника

R — радиус описанной окружности.

  1. Радиус описанной окружности около треугольника,
    если известна одна из сторон и синус противолежащего стороне угла:

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и площадь:

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и полупериметр:

Площадь треугольника

S — площадь треугольника.

  1. Площадь треугольника вписанного в окружность,
    если известен полупериметр и радиус вписанной окружности:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен полупериметр:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен высота и основание:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известна сторона и два прилежащих к ней угла:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и синус угла между ними:

[ S = fracab cdot sin angle C ]

Периметр треугольника

P — периметр треугольника.

  1. Периметр треугольника вписанного в окружность,
    если известны все стороны:

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известна площадь и радиус вписанной окружности:

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и угол между ними:

Сторона треугольника

a — сторона треугольника.

  1. Сторона треугольника вписанного в окружность,
    если известны две стороны и косинус угла между ними:

Сторона треугольника вписанного в
окружность, если известна сторона и два угла:

Средняя линия треугольника

l — средняя линия треугольника.

  1. Средняя линия треугольника вписанного
    в окружность, если известно основание:

Средняя линия треугольника вписанного в окружность,
если известныдве стороны, ни одна из них не является
основанием, и косинус угламежду ними:

Высота треугольника

h — высота треугольника.

  1. Высота треугольника вписанного в окружность,
    если известна площадь и основание:

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен сторона и синус угла прилежащего
к этой стороне, и находящегося напротив высоты:

[ h = b cdot sin alpha ]

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен радиус описанной окружности и
две стороны, ни одна из которых не является основанием:

Видео:Свойства прямоугольного треугольника. 7 класс.Скачать

Свойства прямоугольного треугольника. 7 класс.

Свойства

  • Центр вписанной в треугольник окружности
    находится на пересечении биссектрис.
  • В треугольник, вписанный в окружность,
    можно вписать окружность, причем только одну.
  • Для треугольника, вписанного в окружность,
    справедлива Теорема Синусов, Теорема Косинусов
    и Теорема Пифагора.
  • Центр описанной около треугольника окружности
    находится на пересечении серединных перпендикуляров.
  • Все вершины треугольника, вписанного
    в окружность, лежат на окружности.
  • Сумма всех углов треугольника — 180 градусов.
  • Площадь треугольника вокруг которого описана окружность, и
    треугольника, в который вписана окружность, можно найти по
    формуле Герона.

Видео:Задача 6 №27932 ЕГЭ по математике. Урок 146Скачать

Задача 6 №27932 ЕГЭ по математике. Урок 146

Доказательство

Около любого треугольника, можно
описать окружность притом только одну.

Прямоугольный треугольник вписанный в окружность свойства углов

окружность и треугольник,
которые изображены на рисунке 2.

окружность описана
около треугольника.

  1. Проведем серединные
    перпендикуляры — HO, FO, EO.
  2. O — точка пересечения серединных
    перпендикуляров равноудалена от
    всех вершин треугольника.
  3. Центр окружности — точка пересечения
    серединных перпендикуляров — около
    треугольника описана окружность — O,
    от центра окружности к вершинам можно
    провести равные отрезки — радиусы — OB, OA, OC.

окружность описана около треугольника,
что и требовалось доказать.

Подводя итог, можно сказать, что треугольник,
вписанный в окружность
— это треугольник,
в котором все серединные перпендикуляры
пересекаются в одной точке, и эта точка
равноудалена от всех вершин треугольника.

🔥 Видео

Найти радиус равнобедренного прямоугольного треугольника 3 задание проф. ЕГЭ по математикеСкачать

Найти радиус равнобедренного прямоугольного треугольника 3 задание проф. ЕГЭ по математике

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Прямоугольный треугольник вписанный в окружность | Теорема ПифагораСкачать

Прямоугольный треугольник вписанный в окружность | Теорема Пифагора

Геометрия 7 класс (Урок№25 - Прямоугольные треугольники.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№25 - Прямоугольные треугольники.)

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминания

Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСССкачать

Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСС

Радиус описанной окружностиСкачать

Радиус описанной окружности

Прямоугольный треугольник Полное досьеСкачать

Прямоугольный треугольник Полное досье

Тема 8. Прямоугольный треугольник и его описанная и вписанная окружностиСкачать

Тема 8. Прямоугольный треугольник и его описанная и вписанная окружности

7 класс, 35 урок, Некоторые свойства прямоугольных треугольниковСкачать

7 класс, 35 урок, Некоторые свойства прямоугольных треугольников
Поделиться или сохранить к себе: