Прямоугольный треугольник в параллелограмме

Прямоугольник и Параллелограмм

Видео:Площади фигур - треугольника, параллелограмма, трапеции, ромба. Формула Пика и ЕГЭСкачать

Площади фигур - треугольника, параллелограмма, трапеции, ромба. Формула Пика и ЕГЭ

Прямоугольник и параллелограмм

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Свойства параллелограмма:

1. В параллелограмме противоположные стороны и углы попарно равны.

2. Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.

3. Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

4. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

5. Биссектриса угла в параллелограмме отсекает от него равнобедренный треугольник.

6. В параллелограмме биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне (соседних углов), пересекаются под углом в $90°$.

Площадь параллелограмма:

1. Площадь параллелограмма равна произведению двух соседних сторон на синус угла между ними.

$S=a·b·sin⁡α$, где $а$ и $b$ — длины сторон параллелограмма, а $α$ — угол между этими сторонами.

2. Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.

$S=h_a·a$, где $a$ — сторона параллелограмма, $h_a$ — высота, проведенная к стороне $a$.

Периметр параллелограмма: $P=2(a+b)$, где $а$ и $b$ — длины сторон параллелограмма.

Периметр параллелограмма равен $14$. Одна сторона параллелограмма на $1$ больше другой. Найдите меньшую сторону параллелограмма.

Пусть меньшая сторона $ВС-х$, тогда $АВ-(х+1)$, так как она на $1$ больше.

Запишем формулу периметра параллелограмма: $P=2(a+b)$, где $а$ и $b$ — длины сторон параллелограмма.

Подставим в формулу известные данные и значения сторон, записанные через «х».

Получили линейное уравнение, разделим обе части на $2$.

За «х» брали меньшую сторону параллелограмма, следовательно, это и есть ответ.

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые.

Свойства прямоугольника:

1. Все свойства параллелограмма (Так как прямоугольник – это тот же параллелограмм, только особенный, поэтому у него присутствуют все свойства параллелограмма).

2. Диагонали прямоугольника равны.

Площадь прямоугольника равна половине произведения смежных (соседних) сторон.

$S=a·b$, где $а$ и $b$ — смежные стороны.

Периметр прямоугольника: $P=2(a+b)$, где $а$ и $b$ — длины сторон прямоугольника.

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.

  1. Все свойства прямоугольника.
  2. Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом. $BD⊥AC$.
  3. Диагонали квадрата являются биссектрисами углов.
  1. $S=a^2$, где $а$ — сторона квадрата.
  2. $S=/$, где $d$ — диагональ квадрата.

Периметр квадрата: $P=4a$

Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол прямой (равен $90$ градусов).

Катетами называются две стороны треугольника, которые образуют прямой угол. Гипотенузой называется сторона, лежащая напротив прямого угла.

Некоторые свойства прямоугольного треугольника:

  1. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90$ градусов.
  2. Если в прямоугольном треугольнике один из острых углов равен $45$ градусов, то этот треугольник равнобедренный.
  3. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $30$ градусов, равен половине гипотенузы.

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

  1. В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$
  2. Для острого угла $В$: $АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.
  3. Для острого угла $А$: $ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.
  1. Синусом ($sin$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
  2. Косинусом ($cos$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
  3. Тангенсом ($tg$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
  4. Котангенсом ($ctg$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

В треугольнике $АВС$ угол $С$ равен $90$ градусов. Высота $СН$ равна $2√, ВС= 15$. Найдите $sin A$.

Угол $В$ и $А$ это два острых угла треугольника $АВС$.

В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла. Следовательно, $sin A= cos B$

Рассмотрим треугольник $СНВ$, который является прямоугольным, так как $СН$ высота.

В треугольнике $CНВ: cos В = /$. Найдем $ВН$ по теореме Пифагора

Подставляем найденную длину в формулу косинуса

Значения тригонометрических функций некоторых углов:

Видео:Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия

Параллелограмм: свойства и признаки

Прямоугольный треугольник в параллелограмме

О чем эта статья:

Видео:Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnlineСкачать

Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnline

Определение параллелограмма

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и равны. Как выглядит параллелограмм:

Частные случаи параллелограмма: ромб, прямоугольник, квадрат.

Диагонали — отрезки, которые соединяют противоположные вершины.

Свойства диагоналей параллелограмма:

  1. В параллелограмме точка пересечения диагоналей делит их пополам.
  2. Любая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
  3. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон.

Биссектриса угла параллелограмма — это отрезок, который соединяет вершину с точкой на одной из двух противоположных сторон и делит угол при вершине пополам.

Свойства биссектрисы параллелограмма:

  1. Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
  2. Биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма пересекаются под прямым углом.
  3. Отрезки биссектрис противоположных углов равны и параллельны.

Как найти площадь параллелограмма:

  1. S = a × h, где a — сторона, h — высота.
    Прямоугольный треугольник в параллелограмме
  2. S = a × b × sinα, где a и b — две стороны, sinα — синус угла между ними. Для ромба формула примет вид S = a 2 × sinα.
    Прямоугольный треугольник в параллелограмме
  3. Для ромба: S = 0,5 × (d1 × d2), где d1 и d2 — две диагонали.
    Для параллелограмма: S = 0,5 × (d1 × d2) × sinβ, где β — угол между диагоналями.
    Прямоугольный треугольник в параллелограмме

Периметр параллелограмма — сумма длины и ширины, умноженная на два.

P = 2 × (a + b), где a — ширина, b — высота.

У нас есть отличные дополнительные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№10 - Площадь треугольника.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№10 - Площадь треугольника.)

Свойства параллелограмма

Геометрическая фигура — это любое множество точек. У каждой фигуры есть свои свойства, которые отличают их между собой и помогают решать задачи по геометрии в 8 классе.

Рассмотрим основные свойства диагоналей и углов параллелограмма, узнаем чему равна сумма углов параллелограмма и другие особенности этой фигуры. Вот они:

  1. Противоположные стороны параллелограмма равны.
    ABCD — параллелограмм, значит, AB = DC, BC = AD.
    Прямоугольный треугольник в параллелограмме
  2. Противоположные углы параллелограмма равны.
    ABCD — параллелограмм, значит, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D.
    Прямоугольный треугольник в параллелограмме
  3. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
    ABCD — параллелограмм, AC и BD — диагонали, AC∩BD=O, значит, BO = OD, AO = OC.
    Прямоугольный треугольник в параллелограмме
  4. Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.
    ABCD — параллелограмм, AC — диагональ, значит, △ABC = △CDA.
    Прямоугольный треугольник в параллелограмме
  5. Сумма углов в параллелограмме, прилежащих к одной стороне, равна 180 градусам.
    ABCD — параллелограмм, значит, ∠A + ∠D = 180°.
    Прямоугольный треугольник в параллелограмме
  6. В параллелограмме диагонали d1, d2 и стороны a, b связаны следующим соотношением: d1 2 + d2 2 = 2 × (a 2 + b 2 ).
    Прямоугольный треугольник в параллелограмме

А сейчас докажем теорему, которая основана на первых двух свойствах.

Теорема 1. В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны.

Прямоугольный треугольник в параллелограмме

В любом выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются. Все, что мы знаем о точке их пересечения — это то, что она лежит внутри четырехугольника.

Если мы проведем обе диагонали в параллелограмме, точка пересечения разделит их пополам. Убедимся, так ли это:

  1. AB = CD как противоположные стороны параллелограмма.
  2. ∠1 = ∠2 как накрест лежащие углы при пересечении секущей AC параллельных прямых AB и CD; ∠3 = ∠4 как накрест лежащие углы при пересечении секущей BD параллельных прямых AB и CD.
  3. Следовательно, треугольник AOB равен треугольнику COD по второму признаку равенства треугольников, то есть по стороне и прилежащим к ней углам, из чего следует:
    • CO = AO
    • BO = DO

    Прямоугольный треугольник в параллелограмме

Теорема доказана. Наше предположение верно.

Видео:Параллелограмм & Прямоугольный треугольникСкачать

Параллелограмм & Прямоугольный треугольник

Признаки параллелограмма

Признаки параллелограмма помогают распознать эту фигуру среди других четырехугольников. Сформулируем три основных признака.

Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 1 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

  • AB || CD
  • AB = CD

Прямоугольный треугольник в параллелограмме

Чтобы назвать этот четырехугольник параллелограммом, нужно внимательно рассмотреть его стороны.

Сейчас мы видим одну пару параллельных сторон. Нужно доказать, что вторая пара сторон тоже параллельна.

Шаг 2. Проведем диагональ. Получились два треугольника ABC и CDA, которые равны по первому признаку равенства, то есть по по двум сторонам и углу между ними:

  1. AC — общая сторона;
  2. По условию AB = CD;
  3. ∠1 = ∠2 как внутренние накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых AB и CD секущей АС.

Прямоугольный треугольник в параллелограмме

Шаг 3. Из равенства треугольников также следует:

Прямоугольный треугольник в параллелограмме

Эти углы тоже являются внутренними накрест лежащими для прямых CB и AD. А это как раз и есть признак параллельности прямых. Значит, CB || AD и ABCD — параллелограмм.

Вот так быстро мы доказали первый признак.

Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 2 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

  • AB = CD
  • BC = AD

Прямоугольный треугольник в параллелограмме

Шаг 2. Проведем диагональ AC и рассмотрим треугольники ABC и CDA:

  • AC — общая сторона;
  • AB = CD по условию;
  • BC = AD по условию.

Из этого следует, что треугольники ABC и CDA равны по третьему признаку, а именно по трем сторонам.

Шаг 3. Из равенства треугольников следует:

А так как эти углы — накрест лежащие при сторонах BC и AD и диагонали AC, значит, стороны BC и AD параллельны.

Эти углы — накрест лежащие при сторонах AB и CD и секущей AC. Поэтому стороны AB и CD тоже параллельны. Значит, четырехугольник ABCD — параллелограмм, ЧТД.

Доказали второй признак.

Третий признак параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 3 признак параллелограмма:

Шаг 1. Если диагонали четырехугольника ABCD делятся пополам точкой O, то треугольник AOB равен треугольнику COD по двум сторонам и углу между ними:

  • CO = OA;
  • DO = BO;
  • углы между ними равны, как вертикальные, то есть угол AOB равен углу COD.

Прямоугольный треугольник в параллелограмме

Шаг 2. Из равенства треугольников следует, что CD = AB.

Эти стороны параллельны CD || AB, по равенству накрест лежащих углов: ∠1 = ∠2 (следует из равенства треугольников AOB и COD).

Прямоугольный треугольник в параллелограмме

Значит, ABCD является параллелограммом по первому признаку, который мы доказали ранее. Что и требовалось доказать.

Теперь мы знаем свойства параллелограмма и то, что выделяет его среди других четырехугольников — признаки. Так как они совпадают, эти формулировки можно использовать для определения параллелограмма. Но самое распространенное определение все-таки связано с параллельностью противоположных сторон.

Видео:Всё про прямоугольный треугольник за 15 минут | Осторожно, спойлер! | Борис Трушин !Скачать

Всё про прямоугольный треугольник за 15 минут | Осторожно, спойлер! | Борис Трушин !

Параллелограмм. Свойства и признаки параллелограмма

Видео:8 класс, 14 урок, Площадь треугольникаСкачать

8 класс, 14 урок, Площадь треугольника

Определение параллелограмма

Параллелограмм – четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Прямоугольный треугольник в параллелограмме

Видео:Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | МатематикаСкачать

Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | Математика

Свойства параллелограмма

Прямоугольный треугольник в параллелограмме

1. Противоположные стороны параллелограмма попарно равны

2. Противоположные углы параллелограмма попарно равны

Прямоугольный треугольник в параллелограмме

3. Сумма смежных (соседних) углов параллелограмма равна 180 градусов

4. Сумма всех углов равна 360°

Прямоугольный треугольник в параллелограмме 5. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам

Прямоугольный треугольник в параллелограмме

6. Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма

Прямоугольный треугольник в параллелограмме

7. Диагонали Прямоугольный треугольник в параллелограммепараллелограмма и стороны
Прямоугольный треугольник в параллелограммесвязаны следующим соотношением: Прямоугольный треугольник в параллелограмме

Прямоугольный треугольник в параллелограмме

8. Биссектриса отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник

Видео:Задача, которую боятсяСкачать

Задача, которую боятся

Признаки параллелограмма

Четырехугольник Прямоугольный треугольник в параллелограммеявляется параллелограммом, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:

1. Противоположные стороны попарно равны: Прямоугольный треугольник в параллелограмме

2. Противоположные углы попарно равны: Прямоугольный треугольник в параллелограмме

3. Диагонали пересекаются и в точке пересечения делятся пополам

4. Противоположные стороны равны и параллельны: Прямоугольный треугольник в параллелограмме

5. Прямоугольный треугольник в параллелограмме

Небольшой видеоролик о свойствах параллелограмма (в том числе ромба, прямоугольника, квадрата) и о том, как эти свойства применяются в задачах:

Прямоугольный треугольник в параллелограммеФормулы площади параллелограмма смотрите здесь.

Хорошую подборку задач на нахождение углов и длин в параллелограмме смотрите здесь.

🎬 Видео

Площадь параллелограмма треугольника и трапецииСкачать

Площадь параллелограмма треугольника и трапеции

Геометрия 8 класс. Параллелограмм. Прямоугольный треугольник. Учимся решать задачи.Скачать

Геометрия 8 класс. Параллелограмм. Прямоугольный треугольник. Учимся решать задачи.

Теорема Пифагора. 8 КЛАСС | Математика | TutorOnlineСкачать

Теорема Пифагора. 8 КЛАСС | Математика | TutorOnline

8 класс, 4 урок, ПараллелограммСкачать

8 класс, 4 урок, Параллелограмм

01 РЕШЕНИЕ задачи l параллелограммСкачать

01 РЕШЕНИЕ задачи l параллелограмм

ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать

ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | Математика

Биссектриса параллелограммаСкачать

Биссектриса параллелограмма

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

КАК РЕШАТЬ ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТРИИ? | МатематикаСкачать

КАК РЕШАТЬ ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТРИИ? | Математика

КАК найти площадь трапеции? Геометрия 8 класс | МатематикаСкачать

КАК найти площадь трапеции? Геометрия 8 класс | Математика

Геометрия 8 класс (Урок№6 - Прямоугольник. Ромб. Квадрат.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№6 - Прямоугольник. Ромб. Квадрат.)
Поделиться или сохранить к себе: