Прямоугольный треугольник 60 градусов

Прямоугольные треугольники

Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол прямой (равен $90$ градусов).

Катетами называются две стороны треугольника, которые образуют прямой угол. Гипотенузой называется сторона, лежащая напротив прямого угла.

Некоторые свойства прямоугольного треугольника:

1. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90$ градусов.

2. Если в прямоугольном треугольнике один из острых углов равен $45$ градусов, то этот треугольник равнобедренный.

3. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $30$ градусов, равен половине гипотенузы. (Этот катет называется малым катетом.)

4. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $60$ градусов, равен малому катету этого треугольника, умноженному на $√3$.

5. В равнобедренном прямоугольном треугольнике гипотенуза равна катету, умноженному на $√2$

6. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, равна ее половине и радиусу описанной окружности $(R)$

7. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, делит треугольник на два равнобедренных треугольника, основаниями, которых являются катеты данного треугольника.

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$

Для острого угла $В$: $АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.

Для острого угла $А$: $ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.

1. Синусом $(sin)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

2. Косинусом $(cos)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

3. Тангенсом $(tg)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

4. Котангенсом $(ctg)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

В прямоугольном треугольнике $АВС$ для острого угла $В$:

5. В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.

6. Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.

7. Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения.

Значения тригонометрических функций некоторых углов:

$α$$30$$45$$60$
$sinα$$/$$/$$/$
$cosα$$/$$/$$/$
$tgα$$/$$1$$√3$
$ctgα$$√3$$1$$/$

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов

В треугольнике $АВС$ угол $С$ равен $90$ градусов, $АВ=10, АС=√$. Найдите косинус внешнего угла при вершине $В$.

Так как внешний угол $АВD$ при вершине $В$ и угол $АВС$ смежные, то

Косинусом $(cos)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Следовательно, для угла $АВС$:

Катет $ВС$ мы можем найти по теореме Пифагора:

Подставим найденное значение в формулу косинуса

В треугольнике $АВС$ угол $С$ равен $90$ градусов, $sin⁡A=/, AC=9$. Найдите $АВ$.

Распишем синус угла $А$ по определению:

Так как мы знаем длину катета $АС$ и он не участвует в записи синуса угла $А$, то можем $ВС$ и $АВ$ взять за части $4х$ и $5х$ соответственно.

Применим теорему Пифагора, чтобы отыскать $«х»$

Так как длина $АВ$ составляет пять частей, то $3∙5=15$

В прямоугольном треугольнике с прямым углом $С$ и высотой $СD$:

Квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению отрезков, на которые высота поделила гипотенузу.

В прямоугольном треугольнике : квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.

Произведение катетов прямоугольного треугольника равно произведению его гипотенузы на высоту, проведенную к гипотенузе.

Видео:№256. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего из катетовСкачать

№256. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего из катетов

Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора.

теория по математике 📈 планиметрия

Если в треугольнике есть угол, равный 90 градусов, то такой треугольник называется прямоугольным. Стороны прямоугольного треугольника называются – катеты и гипотенуза. Катеты – это стороны, образующие прямой угол. Гипотенуза – сторона, которая располагается напротив прямого угла.

Прямоугольный треугольник 60 градусов

На рисунке треугольник АВС – прямоугольный, угол С равен 90º, стороны АС и ВС – катеты, а сторона АВ – гипотенуза.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№25 - Прямоугольные треугольники.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№25 - Прямоугольные треугольники.)

Свойства прямоугольного треугольника

  • В прямоугольном треугольнике гипотенуза является наибольшей стороной.
  • В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла 30 0 , равен половине гипотенузы. И обратно, если катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий напротив этого катета, равен 30 0 .

Прямоугольный треугольник 60 градусов

Например, пусть угол А=30 0 , а гипотенуза АВ=28 см, то катет ВС будет равен 14 см, так как лежит напротив угла А=30 0 . Или, например, если катет ВС=6 см, а гипотенуза АВ равна 12 см, то угол А (лежащий напротив катета ВС), равен 30 0 .

  • Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна всегда 90 градусов.
  • Медиана, проведенная к гипотенузе, равна её половине.

Прямоугольный треугольник 60 градусов

На рисунке изображен прямоугольный треугольник АВС, где CD – медиана, проведенная к гипотенузе. По свойству – медиана CD=0,5АВ, то есть AD=DB=CD.

Видео:№485. Найдите катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла 60°, если гипотенуза равна с.Скачать

№485. Найдите катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла 60°, если гипотенуза равна с.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Существует 4 признака равенства прямоугольных треугольников:

  1. Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
  2. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
  3. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
  4. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Чтобы быстрее запомнить данные признаки, можно использовать их краткую трактовку:

  1. по катетам;
  2. по катету и прилежащему острому углу;
  3. по гипотенузе и острому углу;
  4. по гипотенузе и катету.

Видео:ЗНАЧЕНИЯ СИНУСА, КОСИНУСА И ТАНГЕНСА 30, 45 И 60 ГРАДУСОВСкачать

ЗНАЧЕНИЯ СИНУСА, КОСИНУСА И ТАНГЕНСА 30, 45 И 60 ГРАДУСОВ

Теорема Пифагора

Древнегреческий философ, ученый, математик – Пифагор Самосский вывел теорему, которая до сих применима для решения задач. Теорема названа в честь него – «теорема Пифагора».

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Прямоугольный треугольник 60 градусов

На рисунке в прямоугольном треугольнике АВ 2 =АС 2 +ВС 2

Например, если в данном треугольнике катеты равны 9 и 12 см, то можно найти длину гипотенузы, используя теорему: АВ 2 =9 2 +12 2 =81+144=225=15 2 , значит АВ=15 см.

Египетский треугольник

Треугольник со сторонами 3, 4 и 5 см называют Египетским треугольником.

Пифагоровы тройки

Тройки чисел, которые удовлетворяют теореме Пифагора, называют Пифагоровы тройки, а сами числа – Пифагоровы числа. Например, такими являются числа 16, 12 и 20 – это числа, которые при подстановке в формулу теоремы, дают нам верное равенство: 16 2 +12 2 =20 2 , 256+144=400, 400=400.

Видео:7 класс, 35 урок, Некоторые свойства прямоугольных треугольниковСкачать

7 класс, 35 урок, Некоторые свойства прямоугольных треугольников

Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник – треугольник, в котором один угол прямой (то есть равен 90˚).

Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой прямоугольного треугольника.

Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами .

Прямоугольный треугольник 60 градусов

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по двум катетам ).

Прямоугольный треугольник 60 градусов

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по катету и острому углу ).

Прямоугольный треугольник 60 градусовЕсли гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и острому углу ).

Прямоугольный треугольник 60 градусов

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и катету ).

Прямоугольный треугольник 60 градусов

Свойства прямоугольного треугольника

1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90˚.

2. Катет, противолежащий углу в 30˚, равен половине гипотенузы.

И обратно, если в треугольнике катет вдвое меньше гипотенузы, то напротив него лежит угол в 30˚.

Прямоугольный треугольник 60 градусов

3. Теорема Пифагора:

Прямоугольный треугольник 60 градусов, где Прямоугольный треугольник 60 градусов– катеты, Прямоугольный треугольник 60 градусов– гипотенуза. Видеодоказательство

Прямоугольный треугольник 60 градусов

4. Площадь Прямоугольный треугольник 60 градусовпрямоугольного треугольника с катетами Прямоугольный треугольник 60 градусов:

Прямоугольный треугольник 60 градусов

5. Высота Прямоугольный треугольник 60 градусовпрямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе выражается через катеты Прямоугольный треугольник 60 градусови гипотенузу Прямоугольный треугольник 60 градусовследующим образом:

Прямоугольный треугольник 60 градусов

Прямоугольный треугольник 60 градусов

6. Центр описанной окружности – есть середина гипотенузы.

Прямоугольный треугольник 60 градусов

7. Радиус Прямоугольный треугольник 60 градусовописанной окружности есть половина гипотенузы Прямоугольный треугольник 60 градусов:

Прямоугольный треугольник 60 градусов

8. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине

9. Радиус Прямоугольный треугольник 60 градусоввписанной окружности выражается через катеты Прямоугольный треугольник 60 градусови гипотенузу Прямоугольный треугольник 60 градусовследующим образом:

Прямоугольный треугольник 60 градусов

Прямоугольный треугольник 60 градусов

Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике смотрите здесь.

🔍 Видео

Построить угол 60°Скачать

Построить угол 60°

ТРИГОНОМЕТРИЯ | Синус, Косинус, Тангенс, КотангенсСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ | Синус, Косинус, Тангенс, Котангенс

Свойства прямоугольного треугольника. 7 класс.Скачать

Свойства прямоугольного треугольника. 7 класс.

Теорема Пифагора для чайников)))Скачать

Теорема Пифагора для чайников)))

Тригонометрия: синус, косинус и тангенс 30 и 60 градусовСкачать

Тригонометрия: синус, косинус и тангенс 30 и 60 градусов

Прямоугольный треугольник с углами "30°- 60°-90°".Скачать

Прямоугольный треугольник с углами "30°- 60°-90°".

Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТСкачать

Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТ

7 кл г. Теорема: «катет лежавший напротив угла в 30 градусов равен половине гипотенузы»Скачать

7 кл г. Теорема: «катет лежавший напротив угла в 30 градусов равен половине гипотенузы»

Прямоугольный треугольникСкачать

Прямоугольный треугольник

Профильный ЕГЭ 2024. Задача 1. Прямоугольный треугольник. 10 классСкачать

Профильный ЕГЭ 2024. Задача 1. Прямоугольный треугольник. 10 класс

ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэ

Урок 22. Свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30° (7 класс)Скачать

Урок 22.  Свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30° (7 класс)

Геометрия 7 Прямоугольные треугольникиСкачать

Геометрия 7 Прямоугольные треугольники

8 класс, 30 урок, Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30◦, 45◦ и 60◦Скачать

8 класс, 30 урок, Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30◦, 45◦ и 60◦

Некоторые свойства прямоугольного треугольника | Геометрия 7-9 класс #35 | ИнфоурокСкачать

Некоторые свойства прямоугольного треугольника | Геометрия 7-9 класс #35 | Инфоурок
Поделиться или сохранить к себе: