Прямоугольная трапеция и окружность формулы

В данной публикации мы рассмотрим определение и основные свойства прямоугольной трапеции.

Напомним, трапеция называется прямоугольной, если углы при одной из ее боковых сторон прямые, т.е. равняются 90°.

Видео:ОГЭ. Математика. Задание 26 | Прямоугольная трапеция и окружность | Борис Трушин |Скачать

Свойство 1

Два угла прямоугольной трапеции обязательно являются прямыми, принадлежат одной боковой стороне, а вершины данных углов – смежные.

Для рисунка выше:

Видео:ТРАПЕЦИЯ — Что такое трапеция, Виды Трапеций, Площадь Трапеции // Геометрия 8 классСкачать

Свойство 2

Одна из боковых сторон прямоугольной трапеции перпендикулярна ее основаниям.

На рисунке выше: AB ⊥ AD и AB ⊥ BC.

Видео:КАК найти площадь трапеции? Геометрия 8 класс | МатематикаСкачать

Свойство 3

Высота прямоугольной трапеции (h) совпадает с меньшей боковой стороной (AB), перпендикулярной основаниям.

Видео:№481. Найдите площадь прямоугольной трапеции, у которой две меньшие стороны равны 6 смСкачать

Свойство 4

Каждая из диагоналей прямоугольной трапеции делит ее на два треугольника, один из которых, также, является прямоугольным.

• Диагональ AC делит трапецию на треугольники ABC и ACD, причем ΔABC является прямоугольным с прямым углом в вершине B.
• Диагональ BD делит трапецию на ΔABD (прямоугольный) и ΔBCD.

Примечание: остальные свойства, которые применимы ко всем видам трапеций, приведены в нашей публикации – “Что такое трапеция: определение, виды, свойства”.

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Прямоугольная трапеция: все формулы и примеры задач

Задачи с трапецией не кажутся сложными в ряде фигур, которые изучены ранее. Как частный случай рассматривается прямоугольная трапеция. А при поиске ее площади иногда бывает удобнее разбить ее на две уже знакомые: прямоугольник и треугольник. Стоит только немного подумать, и решение обязательно найдется.

Видео:Трапеция и вписанная окружностьСкачать

Определение прямоугольной трапеции и ее свойства

У произвольной трапеции основания параллельны, а боковые стороны могут иметь произвольное значение углов к ним. Если рассматривается прямоугольная трапеция, то в ней одна из сторон всегда перпендикулярна основаниям. То есть два угла в ней будут равны 90 градусам. Причем они всегда принадлежат смежным вершинам или, другими словами, одной боковой стороне.

Каждая диагональ образует с ее меньшей боковой стороной прямоугольный треугольник. А высота, которая проведена из вершины с тупым углом, делит фигуру на две. Одна из них прямоугольник, а другая − прямоугольный треугольник. Кстати, эта сторона всегда равна высоте трапеции.

Видео:Трапеция. Практическая часть - решение задачи. 8 класс.Скачать

Какие обозначения приняты в представленных формулах?

Все величины, используемые в разных выражениях, которые описывают трапецию, удобно сразу оговорить и представить в таблице:

Видео:прямоугольная трапецияСкачать

Формулы, которые описывают элементы прямоугольной трапеции

Самая простая из них связывает высоту и меньшую боковую сторону:

c = h.

Еще несколько формул для этой стороны прямоугольной трапеции:

с = d *sinα;

c = (a — b) * tg α;

c = √ (d 2 — (a — b) 2 ).

Первая вытекает из прямоугольного треугольника. И говорит о том, что катет к гипотенузе дает синус противолежащего угла.

В том же треугольнике второй катет равен разности двух оснований. Поэтому справедливо утверждение, которое приравнивает тангенс угла к отношению катетов.

Из того же треугольника можно вывести формулу, основываясь на знании теоремы Пифагора. Это третье записанное выражение.

d = (a — b) /cosα;

d = c / sin α;

d = √ (c 2 + (а – b) 2 ).

Первые две опять получаются из соотношения сторон в том же прямоугольном треугольнике, а вторая выводится из теоремы Пифагора.

Видео:Площади фигур. Сохраняй и запоминай!#shortsСкачать

Какой формулой можно воспользоваться для расчета площади?

Той, что дана для произвольной трапеции. Только нужно учесть, что высотой является сторона, перпендикулярная к основаниям.

S = (a + b) * h / 2.

Эти величины не всегда даны явно. Поэтому чтобы вычислить площадь прямоугольной трапеции, потребуется выполнить некоторые математические выкладки.

Видео:Найти длину верхнего основания и боковой стороны прямоугольной трапецииСкачать

Как быть, если нужно вычислить диагонали?

В этом случае нужно увидеть, что они образуют два прямоугольных треугольника. Значит, всегда можно воспользоваться теоремой Пифагора. Тогда первая диагональ будет выражаться так:

_d1 = √ (с 2 + b 2 )

или по-другому, заменив «с» на «h»:

_d1 = √ (h 2 + b 2 ).

Аналогичным образом получаются формулы для второй диагонали:

_d2 = √ (с 2 + b 2 ) или d₂ = √ (h 2 + а 2 ).

Видео:Площадь прямоугольной трапеции и острым углом 30Скачать

Задача №1

Условие. Площадь прямоугольной трапеции известна и равна 120 дм 2 . Ее высота имеет длину 8 дм. Необходимо вычислить все стороны трапеции. Дополнительным условием является то, что одно основание меньше другого на 6 дм.

Решение. Поскольку дана прямоугольная трапеция, в которой известна высота, то сразу же можно сказать о том, что одна из сторон равна 8 дм, то есть меньшая боковая сторона.

Теперь можно сосчитать другую: d = √ (с 2 + (а – b) 2 ). Причем здесь сразу даны и сторона с, и разность оснований. Последнее равно 6 дм, это известно из условия. Тогда d будет равняться квадратному корню из (64 + 36), то есть из 100. Так найдена еще одна боковая сторона, равная 10 дм.

Сумму оснований можно найти из формулы для площади. Она будет равна удвоенному значению площади, разделенному на высоту. Если считать, то получается 240 / 8. Значит, сумма оснований — это 30 дм. С другой стороны, их разность равна 6 дм. Объединив эти уравнения, можно сосчитать оба основания:

а + b = 30 и а — b = 6.

Можно выразить а как (b + 6), подставить его в первое равенство. Тогда получится, что 2b будет равняться 24. Поэтому просто b окажется 12 дм.

Тогда последняя сторона а равна 18 дм.

Ответ. Стороны прямоугольной трапеции: а = 18 дм, b = 12 дм, с = 8 дм, d = 10 дм.

Видео:Прямоугольная трапеция, нахождение части основанияСкачать

Задача №2

Условие. Дана прямоугольная трапеция. Ее большая боковая сторона равняется сумме оснований. Ее высота имеет длину 12 см. Построен прямоугольник, стороны которого равны основаниям трапеции. Необходимо вычислить площадь этого прямоугольника.

Решение. Начать нужно с искомого. Нужная площадь определится как произведение a и b. Обе эти величины не известны.

Потребуется использовать дополнительные равенства. Одно из них построено на утверждении из условия: d = а + b. Необходимо воспользоваться третьей формулой для этой стороны, которая дана выше. Получится: d 2 = с 2 + (a – b) 2 или (a + b) 2 = с 2 + (a – b) 2 .

Необходимо сделать преобразования, подставив вместо с его значение из условия — 12. После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых получается, что 144 = 4 ab.

В начале решения шла речь о том, что а*b дает искомую площадь. Поэтому в последнем выражении можно заменить это произведение на S. Простой расчет даст значение площади. S = 36 см 2 .

Ответ. Искомая площадь 36 см 2 .

Видео:8 класс, 6 урок, ТрапецияСкачать

Задача №3

Условие. Площадь прямоугольной трапеции 150√3 см². Острый угол равняется 60 градусам. Такое же значение имеет угол между маленьким основанием и меньшей диагональю. Нужно вычислить меньшую диагональ.

Решение. Из свойства углов трапеции получается, что ее тупой угол равен 120º. Тогда диагональ делит его на равные, потому что одна его часть уже 60 градусов. Тогда и угол между этой диагональю и вторым основанием тоже 60 градусов. То есть треугольник, образованный большим основанием, наклонной боковой стороной и меньшей диагональю, является равносторонним. Таким образом, искомая диагональ будет равна а, как и боковая сторона d = а.

Теперь нужно рассмотреть прямоугольный треугольник. В нем третий угол равен 30 градусам. Значит катет, лежащий против него, равен половине гипотенузы. То есть меньшее основание трапеции равно половине искомой диагонали: b = a/2. Из него же нужно найти высоту, равную боковой стороне, перпендикулярной основаниям. Сторона с здесь катет. Из теоремы Пифагора:

Теперь осталось только подставить все величины в формулу площади:

150√3 = (a + a/2) * (a/2 * √3) / 2.

Решение этого уравнения дает корень 20

Ответ. Меньшая диагональ имеет длину 20 см.

Видео:🔴 В прямоугольной трапеции основания ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 15 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Прямоугольная трапеция

Видео:ЕГЭ ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ В ПРЯМОУГОЛЬНУЮ ТРАПЕЦИЮ | ЗАДНИЙ ХОД В МАТЕМАТИКЕ ИЛИ КАКОЙ ТО ПОДВОХ |Скачать

Формулы для прямоугольной трапеции

Видео:8 класс, 15 урок, Площадь трапецииСкачать

Свойства прямоугольной трапеции

• У прямоугольной трапеции два угла обязательно прямые
• Оба прямых угла прямоугольной трапеции обязательно принадлежат смежным вершинам
• Оба прямых угла в прямоугольной трапеции обязательно прилежат к одной и той же боковой стороне
• Диагонали прямоугольной трапеции образуют с одной из боковых сторон прямоугольный треугольник
• Длина боковой стороны трапеции, перпендикулярной основаниям равна ее высоте
• У прямоугольной трапеции основания параллельны, одна боковая сторона перпендикулярна основаниям, а вторая боковая сторона — наклонная к основаниям
• У прямоугольной трапеции два угла прямые, а два других – острый и тупой

Видео:Геометрия В прямоугольную трапецию вписана окружность. Найдите её радиус, если основания трапецииСкачать

Задача

В прямоугольной трапеции большая боковая сторона равна сумме оснований, высота равна 12 см. Найдите площадь прямоугольника, стороны которого равны основаниям трапеции.

Решение.
Обозначим трапецию как ABCD. Обозначим длины оснований трапеции как a (большее основание AD) и b (меньшее основание BC). Пусть прямым углом будет ∠ A.

Площадь прямоугольника, стороны которого равны основаниям трапеции, будет равна
S = ab

Из вершины C верхнего основания трапеции ABCD опустим на нижнее основание высоту CK. Высота трапеции известна по условию задачи. Тогда, по теореме Пифагора
CK 2 + KD 2 = CD 2

Поскольку большая боковая сторона трапеции по условию равна сумме оснований, то CD = a + b
Поскольку трапеция прямоугольная, то высота, проведенная из верхнего основания трапеции разбивает нижнее основание на два отрезка AD = AK + KD. Величина первого отрезка равна меньшему основанию трапеции, так как высота образовала прямоугольник ABCK, то есть BC = AK = b, следовательно, KD будет равен разности длин оснований прямоугольной трапеции KD = a — b.
то есть
12 2 + (a — b) 2 = (a + b) 2
откуда
144 + a 2 — 2ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2
144 = 4ab

Поскольку площадь прямоугольника S = ab (см. выше), то
144 = 4S
S = 144 / 4 = 36

📺 Видео

Трапеция. 8 класс.Скачать

Трапеция, решение задач. Вебинар | МатематикаСкачать

Задача 6 №27633 ЕГЭ по математике. Урок 74Скачать