Прямая соединяющая угол и центр вписанной окружности

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке
Прямая соединяющая угол и центр вписанной окружностиОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Прямая соединяющая угол и центр вписанной окружностиСвойства хорд и дуг окружности
Прямая соединяющая угол и центр вписанной окружностиТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Прямая соединяющая угол и центр вписанной окружностиДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Прямая соединяющая угол и центр вписанной окружностиТеорема о бабочке

Прямая соединяющая угол и центр вписанной окружности

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьПрямая соединяющая угол и центр вписанной окружности
КругПрямая соединяющая угол и центр вписанной окружности
РадиусПрямая соединяющая угол и центр вписанной окружности
ХордаПрямая соединяющая угол и центр вписанной окружности
ДиаметрПрямая соединяющая угол и центр вписанной окружности
КасательнаяПрямая соединяющая угол и центр вписанной окружности
СекущаяПрямая соединяющая угол и центр вписанной окружности
Окружность
Прямая соединяющая угол и центр вписанной окружности

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругПрямая соединяющая угол и центр вписанной окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусПрямая соединяющая угол и центр вписанной окружности

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаПрямая соединяющая угол и центр вписанной окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрПрямая соединяющая угол и центр вписанной окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяПрямая соединяющая угол и центр вписанной окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяПрямая соединяющая угол и центр вписанной окружности

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеПрямая соединяющая угол и центр вписанной окружностиДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыПрямая соединяющая угол и центр вписанной окружностиЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныПрямая соединяющая угол и центр вписанной окружностиБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиПрямая соединяющая угол и центр вписанной окружностиУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыПрямая соединяющая угол и центр вписанной окружностиДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Прямая соединяющая угол и центр вписанной окружности

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыПрямая соединяющая угол и центр вписанной окружности

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыПрямая соединяющая угол и центр вписанной окружности

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиПрямая соединяющая угол и центр вписанной окружности

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныПрямая соединяющая угол и центр вписанной окружности

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиПрямая соединяющая угол и центр вписанной окружности

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыПрямая соединяющая угол и центр вписанной окружности

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСССкачать

Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСС

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Прямая соединяющая угол и центр вписанной окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Прямая соединяющая угол и центр вписанной окружности

Прямая соединяющая угол и центр вписанной окружности

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыПрямая соединяющая угол и центр вписанной окружности
Касательные, проведённые к окружности из одной точкиПрямая соединяющая угол и центр вписанной окружности
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиПрямая соединяющая угол и центр вписанной окружности
Секущие, проведённые из одной точки вне кругаПрямая соединяющая угол и центр вписанной окружности

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Прямая соединяющая угол и центр вписанной окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Прямая соединяющая угол и центр вписанной окружности

Прямая соединяющая угол и центр вписанной окружности

Пересекающиеся хорды
Прямая соединяющая угол и центр вписанной окружности
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Прямая соединяющая угол и центр вписанной окружности
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Прямая соединяющая угол и центр вписанной окружности
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Прямая соединяющая угол и центр вписанной окружности
Пересекающиеся хорды
Прямая соединяющая угол и центр вписанной окружности

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Прямая соединяющая угол и центр вписанной окружности

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Прямая соединяющая угол и центр вписанной окружности

Прямая соединяющая угол и центр вписанной окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Прямая соединяющая угол и центр вписанной окружности

Прямая соединяющая угол и центр вписанной окружности

Прямая соединяющая угол и центр вписанной окружности

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Прямая соединяющая угол и центр вписанной окружности

Прямая соединяющая угол и центр вписанной окружности

Прямая соединяющая угол и центр вписанной окружности

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Прямая соединяющая угол и центр вписанной окружности

Прямая соединяющая угол и центр вписанной окружности

Тогда справедливо равенство

Прямая соединяющая угол и центр вписанной окружности

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Прямая соединяющая угол и центр вписанной окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Прямая соединяющая угол и центр вписанной окружности

Прямая соединяющая угол и центр вписанной окружности

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Прямая соединяющая угол и центр вписанной окружности

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Прямая соединяющая угол и центр вписанной окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Прямая соединяющая угол и центр вписанной окружности

Прямая соединяющая угол и центр вписанной окружности

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Прямая соединяющая угол и центр вписанной окружности

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Прямая соединяющая угол и центр вписанной окружности

Прямая соединяющая угол и центр вписанной окружности

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Прямая соединяющая угол и центр вписанной окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Прямая соединяющая угол и центр вписанной окружности

Прямая соединяющая угол и центр вписанной окружности

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Прямая соединяющая угол и центр вписанной окружности

Прямая соединяющая угол и центр вписанной окружности

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Прямая соединяющая угол и центр вписанной окружности

Прямая соединяющая угол и центр вписанной окружности

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Прямая соединяющая угол и центр вписанной окружности

Прямая соединяющая угол и центр вписанной окружности

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Прямая соединяющая угол и центр вписанной окружности

Прямая соединяющая угол и центр вписанной окружности

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Прямая соединяющая угол и центр вписанной окружности

Прямая соединяющая угол и центр вписанной окружности

Прямая соединяющая угол и центр вписанной окружности

Прямая соединяющая угол и центр вписанной окружности

Прямая соединяющая угол и центр вписанной окружности

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Прямая соединяющая угол и центр вписанной окружности

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

Видео:Центр вписанной окружности.Скачать

Центр вписанной окружности.

Центральные и вписанные углы

Прямая соединяющая угол и центр вписанной окружности

О чем эта статья:

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Центральный угол и вписанный угол

Окружность — замкнутая линия, все точки которой равноудалены от ее центра.

Определение центрального угла:

Центральный угол — это угол, вершина которого лежит в центре окружности.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

Прямая соединяющая угол и центр вписанной окружности

На рисунке: центральный угол окружности EOF и дуга, на которую он опирается EF

Определение вписанного угла:

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.

Прямая соединяющая угол и центр вписанной окружности

На рисунке: вписанный в окружность угол ABC и дуга, на которую он опирается AC

Видео:Окружность, вписанная в треугольник. Как найти центр и радиус. Геометрия 7-8 классСкачать

Окружность, вписанная в треугольник. Как найти центр и радиус. Геометрия 7-8 класс

Свойства центральных и вписанных углов

Углы просты только на первый взгляд. Свойства центрального угла и свойства вписанного угла помогут решать задачки легко и быстро.

  • Вписанный угол в два раза меньше, чем центральный угол, если они опираются на одну и ту же дугу:

Прямая соединяющая угол и центр вписанной окружности

Угол AOC — центральный, угол ABC — вписанный. Оба угла опираются на дугу AC, в этом случае центральный угол равен дуге AC, а угол ABC равен половине угла AOC.

  • Теорема о центральном угле: центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается:

Прямая соединяющая угол и центр вписанной окружности

  • Вписанные углы окружности равны друг другу, если опираются на одну дугу:

Прямая соединяющая угол и центр вписанной окружности

ㄥADC = ㄥABC = ㄥAEC, поскольку все три угла, вписанные в окружность, опираются на одну дугу AC.

  • Вписанный в окружность угол, опирающийся на диаметр, — всегда прямой:

Прямая соединяющая угол и центр вписанной окружности

ㄥACB опирается на диаметр и на дугу AB, диаметр делит окружность на две равные части. Значит дуга AB = 180 ํ, ㄥCAB равен половине дуги, на которую он опирается, значит ㄥCAB = 90 ํ.

Если есть вписанный, обязательно найдется и описанный угол. Описанный угол — это угол, образованный двумя касательными к окружности. Вот так:

Прямая соединяющая угол и центр вписанной окружности

На рисунке: ㄥCAB, образованный двумя касательными к окружности. AO — биссектриса ㄥCAB, значит центр окружности лежит на биссектрисе описанного угла.

Для решения задачек мало знать, какой угол называется вписанным, а какой — описанным. Нужно знать, что такое хорда и ее свойство.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Хорда — отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Прямая соединяющая угол и центр вписанной окружности

  • Если две хорды в окружности пересекаются, то произведения отрезков одной равно произведению отрезков другой.

Прямая соединяющая угол и центр вписанной окружности

AB * AC = AE * AD
Получается, что стороны вписанного в окружность угла — это хорды.

  • Если вписанные углы опираются на одну и ту же хорду — они равны, если их вершины находятся по одну сторону от хорды.

Прямая соединяющая угол и центр вписанной окружности

ㄥBAC = ㄥCAB, поскольку лежат на хорде BC.

  • Если два вписанных угла опираются на одну и ту же хорду, то их суммарная градусная мера равна 180°, если их вершины находятся по разные стороны от хорды.

Прямая соединяющая угол и центр вписанной окружности

ㄥBAC + ㄥBDC = 180°

Видео:8 класс, 38 урок, Вписанная окружностьСкачать

8 класс, 38 урок, Вписанная окружность

Примеры решения задач

Центральный, вписанные и описанные углы, как и любые другие, требуют тренировок в решении. Рассмотрите примеры решения задач и потренируйтесь самостоятельно.

Задачка 1. Дана окружность, дуга AC = 200°, дуга BC = 80°. Найдите, чему равен вписанный угол, опирающийся на дугу AB. ㄥACB = ?

Прямая соединяющая угол и центр вписанной окружности

Как решаем: окружность 360° − AC − CB = 360° − 200° − 80° = 80°
По теореме: вписанный угол равен дуге ½.
ㄥACB = ½ AB = 40°

Задачка 2. Дана окружность, ㄥAOC = 140°, найдите, чему равна величина вписанного угла.

Прямая соединяющая угол и центр вписанной окружности

Мы уже потренировались и знаем, как найти вписанный угол.
На рисунке в окружности центральный угол и дуга AC = 140°
Мы знаем, что вписанный угол равен половине центрального, то ㄥABC = ½ AC = 140/2 = 70°

Задачка 3. Чему равен вписанный в окружность угол, опирающийся на дугу, если эта дуга = ⅕ окружности?

Прямая соединяющая угол и центр вписанной окружности

СB = ⅕ от 360° = 72°
Вписанный угол равен половине дуги, поэтому ㄥCAB = ½ от CB = 72° / 2 = 36°

Видео:Решение задач на тему центральные и вписанные углы.Скачать

Решение задач на тему центральные и вписанные углы.

Вписанная окружность

Прямая соединяющая угол и центр вписанной окружности

Вписанная окружность — это окружность, которая вписана
в геометрическую фигуру и касается всех его сторон.

Окружность, точно можно вписать в такие геометрические фигуры, как:

  • Треугольник
  • Выпуклый, правильный многоугольник
  • Квадрат
  • Равнобедренная трапеция
  • Ромб

В четырехугольник, можно вписать окружность,
только при условии, что суммы длин
противоположных сторон равны.

Во все вышеперечисленные фигуры
окружность, может быть вписана, только один раз.

Окружность невозможно вписать в прямоугольник
и параллелограмм, так как окружность не будет
соприкасаться со всеми сторонам этих фигур.

Геометрические фигуры, в которые вписана окружность,
называются описанными около окружности.

Описанный треугольник — это треугольник, который описан
около окружности и все три его стороны соприкасаются с окружностью.

Описанный четырехугольник — это четырехугольник, который описан
около окружности и все четыре его стороны соприкасаются с окружностью.

Свойства вписанной окружности

В треугольник

  1. В любой треугольник может быть вписана окружность, причем только один раз.
  2. Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис треугольника.
  3. Вписанная окружность касается всех сторон треугольника.
  4. Площадь треугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:

[ S = frac(a+b+c) cdot r = pr ]

p — полупериметр четырехугольника.
r — радиус вписанной окружности четырехугольника.

  • Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от всех сторон.
  • Точка касания — это точка, в которой соприкасается
    окружность и любая из сторон треугольника.
  • От центра вписанной окружности можно провести
    перпендикуляры к любой точке касания.
  • Вписанная в треугольник окружность делит стороны
    треугольника на 3 пары равных отрезков.
  • Вписанная и описанная около треугольника окружность тесно взаимосвязаны.
    Поэтому, расстояние между центрами этих окружностей можно найти с помощью формулы Эйлера:

    с — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника.
    R — радиус описанной около треугольника.
    r — радиус вписанной окружности треугольника.

    В четырехугольник

    1. Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.
    2. Если у четырехугольника суммы длин его противолежащих
      сторон равны, то окружность, может быть, вписана (Теорема Пито).
    3. Центр вписанной окружности и середины двух
      диагоналей лежат на одной прямой (Теорема Ньютона, прямая Ньютона).
    4. Точка пересечения биссектрис — это центр вписанной окружности.
    5. Точка касания — это точка, в которой соприкасается
      окружность и любая из сторон четырехугольника.
    6. Площадь четырехугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:

    [ S = frac(a+b+c+d)cdot r = pr ]

    p — полупериметр четырехугольника.
    r — радиус вписанной окружности четырехугольника.

  • Точка касания вписанной окружности, которая лежит на любой из сторон,
    равноудалены от этой конца и начала этой стороны, то есть от его вершин.
  • Примеры вписанной окружности

    • Треугольник
      Прямая соединяющая угол и центр вписанной окружности
    • Четырехугольник
      Прямая соединяющая угол и центр вписанной окружности
    • Многоугольник
      Прямая соединяющая угол и центр вписанной окружности

    Примеры описанного четырехугольника:
    равнобедренная трапеция, ромб, квадрат.

    Примеры описанного треугольника:
    равносторонний
    , равнобедренный,
    прямоугольный треугольники.

    Верные и неверные утверждения

    1. Радиус вписанной окружности в треугольник и радиус вписанной
      в четырехугольник вычисляется по одной и той же формуле. Верное утверждение.
    2. Любой параллелограмм можно вписать в окружность. Неверное утверждение.
    3. В любой четырехугольник можно вписать окружность. Неверное утверждение.
    4. В любой ромб можно вписать окружность. Верное утверждение.
    5. Центр вписанной окружности треугольника это точка пересечения биссектрис. Верное утверждение.
    6. Окружность вписанная в треугольник касается всех его сторон. Верное утверждение.
    7. Угол вписанный в окружность равен соответствующему центральному
      углу опирающемуся на ту же дугу. Неверное утверждение.
    8. Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник равен
      половине разности суммы катетов и гипотенузы. Верное утверждение.
    9. Вписанные углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности равны. Неверное утверждение.
    10. Вписанная окружность в треугольник имеет в общем
      три общие точки со всеми сторонами треугольника. Верное утверждение.

    Окружность вписанная в угол

    Окружность вписанная в угол — это окружность, которая
    лежит внутри этого угла и касается его сторон.

    Центр окружности, которая вписана в угол,
    расположен на биссектрисе этого угла.

    К центру окружности вписанной в угол, можно провести,
    в общей сложности два перпендикуляра со смежных сторон.

    Длина диаметра, радиуса, хорды, дуги вписанной окружности
    измеряется в км, м, см, мм и других единицах измерения.

    🎥 Видео

    Вписанная окружностьСкачать

    Вписанная окружность

    ЦЕНТРАЛЬНЫЙ угол ВПИСАННЫЙ угол окружности 8 класс АтанасянСкачать

    ЦЕНТРАЛЬНЫЙ угол ВПИСАННЫЙ угол окружности 8 класс Атанасян

    егэ по математике c4, биссектрисы и медианыСкачать

    егэ по математике c4, биссектрисы и медианы

    Как решать задачи с окружностью?| Геометрия ОГЭСкачать

    Как решать задачи с окружностью?| Геометрия ОГЭ

    Всё про вписанные и центральные углы за 4 минуты | Борис Трушин |Скачать

    Всё про вписанные и центральные углы за 4 минуты | Борис Трушин |

    #207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая ЭйлераСкачать

    #207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая Эйлера

    Центр вписанной окружности #ShortsСкачать

    Центр вписанной окружности #Shorts

    Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

    Стереометрия 10 класс. Часть 1 | Математика

    Планиметрия 17 | mathus.ru | окружность, вписанная в угол и касающаяся данной окружностиСкачать

    Планиметрия 17 | mathus.ru | окружность, вписанная в угол и касающаяся данной окружности

    Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)Скачать

    Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)
    Поделиться или сохранить к себе: