Прямая cd касается окружности с центром о и радиусом 12

О чем эта статья:

Видео:№639. Прямая АВ касается окружности с центром О радиуса r в точке В. Найдите АВСкачать

Касательная к окружности, секущая и хорда — в чем разница

В самом названии касательной отражается суть понятия — это прямая, которая не пересекает окружность, а лишь касается ее в одной точке. Взглянув на рисунок окружности ниже, несложно догадаться, что точку касания от центра отделяет расстояние, в точности равное радиусу.

Касательная к окружности — это прямая, имеющая с ней всего одну общую точку.

Если мы проведем прямую поближе к центру окружности — так, чтобы расстояние до него было меньше радиуса — неизбежно получится две точки пересечения. Такая прямая называется секущей, а отрезок, расположенный между точками пересечения, будет хордой (на рисунке ниже это ВС ).

Секущая к окружности — это прямая, которая пересекает ее в двух местах, т. е. имеет с ней две общие точки. Часть секущей, расположенная внутри окружности, будет называться хордой.

Видео:№638. Прямая АВ касается окружности с центром О радиуса r в точке В. Найдите АВСкачать

Свойства касательной к окружности

Выделяют четыре свойства касательной, которые необходимо знать для решения задач. Два из них достаточно просты и легко доказуемы, а вот еще над двумя придется немного подумать. Рассмотрим все по порядку.

Касательная к окружности и радиус, проведенный в точку касания, взаимно перпендикулярны.

Не будем принимать это на веру, попробуем доказать. Итак, у нас даны:

• окружность с центральной точкой А;
• прямая а — касательная к ней;
• радиус АВ, проведенный к касательной.

Докажем, что касательная и радиус АВ взаимно перпендикулярны, т.е. а ⟂ АВ.

Пойдем от противного — предположим, что между прямой а и радиусом АВ нет прямого угла и проведем настоящий перпендикуляр к касательной, назвав его АС.

В таком случае наш радиус АВ будет считаться наклонной, а наклонная, как известно, всегда длиннее перпендикуляра. Получается, что АВ > АС. Но если бы это было на самом деле так, наша прямая а пересекалась бы с окружностью два раза, ведь расстояние от центра А до нее — меньше радиуса. Но по условию задачи а — это касательная, а значит, она может иметь лишь одну точку касания.

Итак, мы получили противоречие. Делаем вывод, что настоящим перпендикуляром к прямой а будет вовсе не АС, а АВ.

Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Задача

У нас есть окружность, центр которой обозначен О. Из точки С проведена прямая, и она касается этой окружности в точке А. Известно, что ∠АСО = 28°. Найдите величину дуги АВ.

Мы знаем, что касательная АС ⟂ АО, следовательно ∠САО = 90°.

Поскольку нам известны величины двух углов треугольника ОАС, не составит труда найти величину и третьего угла.

∠АОС = 180° — ∠САО — ∠АСО = 180° — 90° — 28° = 62°

Поскольку вершина угла АОС лежит в центре окружности, можно вспомнить свойство центрального угла — как известно, он равен дуге, на которую опирается. Следовательно, АВ = 62°.

Если провести две касательных к окружности из одной точки, лежащей вне этой окружности, то их отрезки от этой начальной точки до точки касания будут равны.

Докажем и это свойство на примере. Итак, у нас есть окружность с центром А, давайте проведем к ней две касательные из точки D. Обозначим эти прямые как ВD и CD . А теперь выясним, на самом ли деле BD = CD.

Для начала дополним наш рисунок, проведем еще одну прямую из точки D в центр окружности. Как видите, у нас получилось два треугольника: ABD и ACD . Поскольку мы уже знаем, что касательная и радиус к ней перпендикулярны, углы ABD и ACD должны быть равны 90°.

Итак, у нас есть два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой AD. Учитывая, что радиусы окружности всегда равны, мы понимаем, что катеты AB и AC у этих треугольников тоже одинаковой длины. Следовательно, ΔABD = ΔACD (по катету и гипотенузе).. Значит, оставшиеся катеты, а это как раз наши BD и CD (отрезки касательных к окружности), аналогично равны.

Важно: прямая, проложенная из стартовой точки до центра окружности (в нашем примере это AD), делит угол между касательными пополам.

Задача 1

У нас есть окружность с радиусом 4,5 см. К ней из точки D, удаленной от центра на 9 см, провели две прямые, которые касаются окружности в точках B и C. Определите градусную меру угла, под которым пересекаются касательные.

Решение

Для этой задачи вполне подойдет уже рассмотренный выше рисунок окружности с радиусами АВ и АC. Поскольку касательная ВD перпендикулярна радиусу АВ , у нас есть прямоугольный треугольник АВD. Зная длину его катета и гипотенузы, определим величину ∠BDA.

∠BDA = 30° (по свойству прямоугольного треугольника: угол, лежащий напротив катета, равного половине гипотенузы, составляет 30°).

Мы знаем, что прямая, проведенная из точки до центра окружности, делит угол между касательными, проведенными из этой же точки, пополам. Другими словами:

∠BDC = ∠BDA × 2 = 30° × 2 = 60°

Итак, угол между касательными составляет 60°.

Задача 2

К окружности с центром О провели две касательные КМ и КN. Известно, что ∠МКN равен 50°. Требуется определить величину угла ∠NМК.

Решение

Согласно вышеуказанному свойству мы знаем, что КМ = КN. Следовательно, треугольник МNК является равнобедренным.

Углы при его основании будут равны, т.е. ∠МNК = ∠NМК.

∠МNК = (180° — ∠МКN) : 2 = (180° — 50°) : 2 = 65°

Соотношение между касательной и секущей: если они проведены к окружности из одной точки, лежащей вне окружности, то квадрат расстояния до точки касания равен произведению длины всей секущей на ее внешнюю часть.

Данное свойство намного сложнее предыдущих, и его лучше записать в виде уравнения.

Начертим окружность и проведем из точки А за ее пределами касательную и секущую. Точку касания обозначим В, а точки пересечения — С и D. Тогда CD будет хордой, а отрезок AC — внешней частью секущей.

Задача 1

Из точки М к окружности проведены две прямые, пусть одна из них будет касательной МA, а вторая — секущей МB. Известно, что хорда ВС = 12 см, а длина всей секущей МB составляет 16 см. Найдите длину касательной к окружности МA.

Решение

Исходя из соотношения касательной и секущей МА 2 = МВ × МС.

Найдем длину внешней части секущей:

МС = МВ — ВС = 16 — 12 = 4 (см)

МА 2 = МВ × МС = 16 х 4 = 64

Задача 2

Дана окружность с радиусом 6 см. Из некой точки М к ней проведены две прямые — касательная МA и секущая МB . Известно, что прямая МB пересекает центр окружности O. При этом МB в 2 раза длиннее касательной МA . Требуется определить длину отрезка МO.

Решение

Допустим, что МО = у, а радиус окружности обозначим как R.

В таком случае МВ = у + R, а МС = у – R.

Поскольку МВ = 2 МА, значит:

МА = МВ : 2 = (у + R) : 2

Согласно теореме о касательной и секущей, МА 2 = МВ × МС.

(у + R) 2 : 4 = (у + R) × (у — R)

Сократим уравнение на (у + R), так как эта величина не равна нулю, и получим:

Поскольку R = 6, у = 5R : 3 = 30 : 3 = 10 (см).

Ответ: MO = 10 см.

Угол между хордой и касательной, проходящей через конец хорды, равен половине дуги, расположенной между ними.

Это свойство тоже стоит проиллюстрировать на примере: допустим, у нас есть касательная к окружности, точка касания В и проведенная из нее хорда AВ. Отметим на касательной прямой точку C, чтобы получился угол AВC.

Задача 1

Угол АВС между хордой АВ и касательной ВС составляет 32°. Найдите градусную величину дуги между касательной и хордой.

Решение

Согласно свойствам угла между касательной и хордой, ∠АВС = ½ АВ.

АВ = ∠АВС × 2 = 32° × 2 = 64°

Задача 2

У нас есть окружность с центром О, к которой идет прямая, касаясь окружности в точке K. Из этой точки проводим хорду KM, и она образует с касательной угол MKB, равный 84°. Давайте найдем величину угла ОMK.

Решение

Поскольку ∠МКВ равен половине дуги между KM и КВ, следовательно:

КМ = 2 ∠МКВ = 2 х 84° = 168°

Обратите внимание, что ОМ и ОK по сути являются радиусами, а значит, ОМ = ОК. Из этого следует, что треугольник ОMK равнобедренный.

∠ОКМ = ∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2

Так как центральный угол окружности равен угловой величине дуги, на которую он опирается, то:

∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2 = (180° — 168°) : 2 = 6°

Видео:№644. Прямые МА и MB касаются окружности с центром О в точках А и В. Точка С симметрична точке ОСкачать

К окружности с центром О и радиусом 9 см проведена касательная CD (С — точка касания). Найдите длину отрезка OD, если CD = 12 см.

Видео:ГЕОМЕТРИЯ 9 класс: Уравнение окружности и прямойСкачать

Ваш ответ

Видео:№651. Хорды АВ и CD окружности с центром О равны, а) Докажите, что две дуги с концами А и ВСкачать

решение вопроса

Видео:ОГЭ Задание 25 Демонстрационный вариант 2022, математикаСкачать

Похожие вопросы

• Все категории
• экономические 43,283
• гуманитарные 33,619
• юридические 17,900
• школьный раздел 607,073
• разное 16,829

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

Видео:Найти центр и радиус окружностиСкачать

К окружности с центром О И РАДИУСОМ 12см проведена касательная DE(d — точка касания) найдите длину отрезка ОЕ если DE = 16 см?

Алгебра | 1 — 4 классы

К окружности с центром О И РАДИУСОМ 12см проведена касательная DE(d — точка касания) найдите длину отрезка ОЕ если DE = 16 см.

Радиус перпендикулярен касательной, то по т.

Пифагора : ОЕ = кореньиз (144 + 256) = 20.

Видео:Урок 3. №23 ОГЭ. Касательная. Окружность с центром на стороне AC касается АВ в точке В.Скачать

Из точки А проведены две касательные к окружности вс центром в точке О найдите расстояние от точки А до точки О если угол межды касательными равен 60 градусов а радиус окружности равен 6?

Из точки А проведены две касательные к окружности вс центром в точке О найдите расстояние от точки А до точки О если угол межды касательными равен 60 градусов а радиус окружности равен 6.

Видео:ОГЭ Задание 26 Окружность, хорды Иррациональное уравнениеСкачать

Из точки А, лежащей вне окружности с центром в точке О, к этой окружности проведены две касательные?

Из точки А, лежащей вне окружности с центром в точке О, к этой окружности проведены две касательные.

Докажите, что отрезок, соединяющий точки касания, перпендикулярен отрезку АО.

Видео:ОГЭ 2019. Задание 17. Разбор задач. Геометрия. Окружность.Скачать

К окружности проведена касательная?

К окружности проведена касательная.

Через точку касания проведена хорда, отрезающая от окружности дугу в 72 градуса.

Чему равен угол между хордой и касательной?

Видео:№146. Отрезки АВ и CD — диаметры окружности с центром О. Найдите периметр треугольника AOD, еслиСкачать

Окружность радиуса 2 внешне касается окружности меньшего радиуса?

Окружность радиуса 2 внешне касается окружности меньшего радиуса.

К этим окружностям проведена общая касательная, расстояние между точками касания равно 3.

Найдите радиус меньшей окружности r.

В ответе запишите 8r.

Видео:Касательные к окружности с центром O в точках A и B ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Из точки, отстоящей от центра окружности на расстоянии 13 см, проведена касательная?

Из точки, отстоящей от центра окружности на расстоянии 13 см, проведена касательная.

Найдите расстояние от этой точки до точки касания, если радиус окружности равен 5 см.

Видео:2023 На окружности с центром в точке О отмечены точки А и Б так что угол аоб равен 45Скачать

На касательной к окружности от точки касания Е отложены по обе стороны от нее два отрезка ЕА и ЕВ, причем угол АОЕ = углу ВОЕ, О — центр окружности?

На касательной к окружности от точки касания Е отложены по обе стороны от нее два отрезка ЕА и ЕВ, причем угол АОЕ = углу ВОЕ, О — центр окружности.

Радиус окружности равен 8 см, АВ = 30 см.

Найдите расстояние от центра окружности до точки А решите прошууууууууууууууууууууу.

Видео:№122. Прямая CD перпендикулярна к плоскости правильного треугольника ABC. Через центр О этогоСкачать

Из точки М, не лежащей на окружности, проведена касательная МА, где А точка касания?

Из точки М, не лежащей на окружности, проведена касательная МА, где А точка касания.

Найти расстояние от точки М до центра окружности, если радиус ее равен 9 см, а длина касательной АМ равна 12 см.

Видео:9 класс, 6 урок, Уравнение окружностиСкачать

К окружности с центром в точке O проведены касательная AB и секущая АО?

К окружности с центром в точке O проведены касательная AB и секущая АО.

Найдите радиус окружности, если AB = 12, AO = 13см.

Видео:Геометрия Прямая AB касается окружности с центром O в точке C, AC = BC. Докажите, что OA = OBСкачать

Через точку А проведены касательная АВ (В — точка касания) и секущая, которая пересекает окружность в точках Е и F и проходит через центр окружности?

Через точку А проведены касательная АВ (В — точка касания) и секущая, которая пересекает окружность в точках Е и F и проходит через центр окружности.

Найдите радииус окружности, если АВ = 12, АF = 18.

Видео:Уравнение окружности (1)Скачать

К окружности радиуса 10 см проведена касательная, на которой взята точка M на расстоянии 24 см от точки касания?

К окружности радиуса 10 см проведена касательная, на которой взята точка M на расстоянии 24 см от точки касания.

Найдите расстояние от точки M до центра окружности и площадь образовавшегося треугольника.

На этой странице находится вопрос К окружности с центром О И РАДИУСОМ 12см проведена касательная DE(d — точка касания) найдите длину отрезка ОЕ если DE = 16 см?, относящийся к категории Алгебра. По уровню сложности данный вопрос соответствует знаниям учащихся 1 — 4 классов. Здесь вы найдете правильный ответ, сможете обсудить и сверить свой вариант ответа с мнениями пользователями сайта. С помощью автоматического поиска на этой же странице можно найти похожие вопросы и ответы на них в категории Алгебра. Если ответы вызывают сомнение, сформулируйте вопрос иначе. Для этого нажмите кнопку вверху.

1 сосуд — 1, 5x 2 сосуд — x 1 мин 20с — 1 1 / 3мин 0, 56л — 0, 56дм³ = 56см³ ((x — (4 / 3 * 48) — (1, 5x — 125 * 4 / 3) = 56 (x — 64) — (1, 5x — 500 / 3) = 56 x — 64 — 1, 5x + 166 2 / 3 = 56 — 0, 5x = 56 + 64 — 166 2 / 3 — 1 / 2x = — 46 2 / 3| : ( — ..

Из второго ур — я : Подставим в первое, при этом обозначим Что характерно, после того, как мы нашли первое решение, второе возникало само собой — система симметрична относительно х и у, значит их можно просто поменять местами. Но для верност..

Легко, смотри 6 + 3x — 2 / 5 = x| * 5 30 + 3x — 2 = 5x — 2x = 2 — 20 — 2x = — 28| : ( — 2) x = 14 Ответ : 14 Удачи).

6 + (3х — 2) / 5 = х общ. Знаменатель = 5 30 + 3х — 2 = 5х 3х — 5х = — 30 + 2 — 2х = — 28 2х = 28 х = 14.

Производительность первого = x, второго = y, вся работа = 1. Система : (x + y) * 12 = 1 2x = 3y Отсюда x = 3у / 2. Подставим в первое уравнение : (3y / 2 + y) * 12 = 1 y = 1 / 30 ; x = 1 / 20 Значит, первый выполнит всю работу за 20 дней.

1) x + 6 ≥ 0 x ≥ — 6 x ∈ [ — 6 ; + ∞) 2) 2x + 7 ≥ 0 2x ≥ — 7 x ≥ — 3, 5 x ∈ [ — 3, 5 ; + ∞).

(x — 4) ^ 2 = 16 (x — 4) ^ 2 — 4 ^ 2 = 0 (x — 4 — 4)(x — 4 + 4) = 0 (x — 8)x = 0 x = 8 y = 16 x = 0 y = 16 (0 ; 16) ; (8 ; 16) — точки пересечения.

У = х ^ 2 / x — 2 ОДЗ : х≠ 2 y’ = 2x(x — 2) — x ^ 2(1) / x ^ 2 — 4x + 4 ОДЗ : х≠2 x ^ 2 — 4x / x ^ 2 — 4x + 4 = 0 х ^ 2 — 4x = 0 x(x — 4) = 0 x = 0 x = 4 . ( — ∞ ; 0) функция возрастает (4 ; + ∞) (не включая2) функция возрастает.

А) (5 — х)(2х — 4) = 10х — 20 — 2х ^ 2 + 4х = 2х ^ 2 + 14х — 20 б) (3a — b)(2b — a) = 6ab + 3a ^ 2 — 2b ^ 2 + ab = 7ab + 3a ^ 2 — 2b ^ 2.

🌟 Видео

№676. Стороны угла А касаются окружности с центром О радиуса r. Найдите: а) ОА,Скачать

ОГЭ. Задание 24. Геометрическая задача на вычисление.Скачать

К окружности с центром в точке O проведены ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать