Примеры сторон прямоугольного треугольника

Как найти сторону прямоугольного треугольника — формулы, правило и примеры

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Содержание
  1. Произвольный треугольник
  2. Прямоугольная фигура
  3. Составляющие элементы и теорема Пифагора
  4. Основные свойства
  5. Способы нахождения длины стороны
  6. Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления
  7. Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике
  8. Теорема Пифагора
  9. Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника
  10. Решение прямоугольных треугольников
  11. Пример №1
  12. Пример №2
  13. Пример №3
  14. Пример №4
  15. Четырехугольник, его элементы. Сумма углов четырехугольника
  16. Пример №5
  17. Пример №6
  18. Пример №7
  19. Пример №8
  20. Пример №9
  21. Пример №10
  22. Пример №11
  23. Перпендикуляр и наклонная, их свойства
  24. Пример №12
  25. Пример №13
  26. Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника. Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике
  27. Пример №14
  28. Пример №15
  29. Пример №16
  30. Пример №17
  31. Вычисление прямоугольных треугольников
  32. Решение прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу
  33. Решение прямоугольных треугольников по катету и острому углу
  34. Решение прямоугольных треугольников по двум катетам
  35. Решение прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе
  36. Определение прямоугольных треугольников
  37. Синус, косинус и тангенс
  38. Пример №18
  39. Тригонометрические тождества
  40. Пример №19
  41. Вычисление значений тригонометрических функций. Формулы дополнения
  42. Значения тригонометрических функций углов 30 45 60
  43. Решение прямоугольных треугольников
  44. Нахождение неизвестных сторон прямоугольного треугольника
  45. Пример №20
  46. Примеры решения прямоугольных треугольников
  47. Пример №21
  48. Пример №22
  49. Пример №23
  50. Пример №24
  51. Пример №25
  52. Пример №26
  53. Историческая справка
  54. Приложения
  55. Теорема (обобщенная теорема Фалеса)
  56. Теорема (формула площади прямоугольника)
  57. Золотое сечение
  58. Пример №27
  59. Пример №28
  60. Пример №29
  61. Вычисление значений sin a, cos а и tg а
  62. Пример №31
  63. Как решать прямоугольные треугольники
  64. Пример №32
  65. Пример №33
  66. Пример №34
  67. Пример №35
  68. Пример №36
  69. Пример №37
  70. Как найти стороны прямоугольного треугольника
  71. Онлайн калькулятор
  72. Найти гипотенузу (c)
  73. Найти гипотенузу по двум катетам
  74. Найти гипотенузу по катету и прилежащему к нему острому углу
  75. Найти гипотенузу по катету и противолежащему к нему острому углу
  76. Найти гипотенузу по двум углам
  77. Найти катет
  78. Найти катет по гипотенузе и катету
  79. Найти катет по гипотенузе и прилежащему к нему острому углу
  80. Найти катет по гипотенузе и противолежащему к нему острому углу
  81. Найти катет по второму катету и прилежащему к нему острому углу
  82. Найти катет по второму катету и противолежащему к нему острому углу
  83. 📸 Видео

Видео:Теорема Пифагора для чайников)))Скачать

Теорема Пифагора для чайников)))

Произвольный треугольник

Фигура с тремя углами является самым простым замкнутым объектом в геометрии. В общеобразовательных школах ее изучению уделяют наибольшее время, поскольку многие основные геометрические свойства заложены именно в ней. Построить ее несложно, для этого необходимо взять три точки на плоскости так, чтобы они не располагались на одной прямой. После этого следует попарно соединить их прямыми отрезками.

Треугольник произвольного типа состоит из следующих элементов:

Примеры сторон прямоугольного треугольника

  • три вершины;
  • три стороны, которые в общем случае имеют различную длину;
  • одна вершина в совокупности с парой прилегающих к ней сторон образует угол, их в треугольнике три.

Помимо основных элементов, для этой фигуры существует множество дополнительных отрезков, которые имеют специальное название, например, медианы, биссектрисы, высоты.

Для рассматриваемой фигуры всегда справедливы три важных математических соотношения между ее длинами сторон и углами. Эти соотношения часто используют для решения разнообразных задач. К ним относятся следующие:

Примеры сторон прямоугольного треугольника

  1. О сумме углов. Треугольник характеризуется тремя углами, сумма которых всегда составляет 180 градусов или пи радиан. Это свойство следует из характеристики евклидовой геометрии на плоскости. Его записывают так: ∠ A + ∠ B + ∠ C = 180 °, где символом ∠ обозначен угол при соответствующей вершине.
  2. Теорема синусов. Словесная ее формулировка следующая: отношение длины стороны треугольника к синусу лежащего напротив нее угла является величиной постоянной для данной фигуры. Математически это утверждение записывается так: a/sinA = b/sinB = c/sinC, где буквами a, b и c обозначены длины сторон треугольника. Это выражение удобно использовать, когда по условию задачи известна одна сторона и два угла, и необходимо найти оставшиеся элементы фигуры.
  3. Косинусов теорема. Она звучит так: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух оставшихся сторон за вычетом их удвоенного произведения, которое помножено на косинус угла между ними. Несмотря на несколько громоздкую формулировку, теорема имеет лаконичную математическую формулу: c 2 = a 2 + b 2 — 2*a*b*cosC. Это выражение удобно применять, когда известны две стороны и угол в треугольнике.

Видео:Свойства прямоугольного треугольника. 7 класс.Скачать

Свойства прямоугольного треугольника. 7 класс.

Прямоугольная фигура

С незапамятных времен человечество интересовалось свойствами геометрических объектов. Одним из них был прямоугольный треугольник, который еще в Древнем Египте считался священным, поскольку обладал характерными для него особенностями (речь идет о фигуре, соотношение сторон которой находится в отношении 3:4:5). Большие достижения в области изучения геометрических свойств рассматриваемой фигуры имели философы античной Греции, среди которых выделяется имя Пифагора.

Составляющие элементы и теорема Пифагора

Поскольку речь идет о треугольнике, то для него также характерно наличие трех сторон и трех внутренних углов. Однако, в отличие от остальных фигур данного вида, прямоугольный треугольник имеет один угол равный 90 °. Остальные два угла всегда являются острыми, что следует из фиксированной суммы их значений (180 °).

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Чтобы узнать, как называются стороны прямоугольного треугольника, следует рассмотреть его рисунок.

Стороны a и b образуют прямой угол. Они называются катетами. Сторона c, которая лежит против угла 90 °, ограничена двумя острыми углами. Она носит название гипотенузы. Эти названия стоит запомнить, поскольку на них основаны все свойства и теоремы для этого типа треугольника.

Существует два вида рассматриваемой фигуры:

В случае разностороннего прямоугольного треугольника стороны равны произвольным отрезкам, которые, однако, связывает теорема Пифагора. Катеты в этой фигуре отличаются друг от друга.

Касательно равнобедренного прямоугольного геометрического объекта можно сказать, что его катеты друг другу равны, но они никогда не равны гипотенузе. Острые углы в таком треугольнике составляют по 45 °, что легко доказать, применяя теорему синусов, и учитывая, что сумма трех углов соответствует 180 °.

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Теорема косинусов для рассматриваемого треугольника произвольной формы вырождается в простое равенство:

c 2 = a 2 + b 2 — 2*a*b*cosC ==>

Оно получается потому, что косинус прямого угла равен нулю согласно свойству этой тригонометрической функции. Формулировка «квадрат гипотенузы в точности соответствует сумме квадратов катетов данного треугольника» носит название известной теоремы Пифагора. Чтобы ее доказать, не прибегая к теореме косинусов, следует провести некоторые геометрические построения.

Основные свойства

Несмотря на общие свойства, которыми обладает прямоугольный треугольник, и которые характерны для любой фигуры с тремя вершинами и тремя сторонами, для него существуют также присущие только ему особенности. Основными из них являются следующие:

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Примеры сторон прямоугольного треугольника

  1. Наличие двух острых углов, что видно из рисунка треугольника прямоугольного.
  2. Длина гипотенузы всегда больше длины любого из катетов, при этом сумма длин последних всегда будет больше, чем одна гипотенуза.
  3. Справедливость теоремы Пифагора.
  4. Если один из острых углов равен 30 °, то противолежащий к нему катет ровно в два раза меньше длины гипотенузы.
  5. Сумма длины гипотенузы и диаметра окружности, вписанной в треугольник, равна сумме длин катетов. Математически получается следующая запись: c + 2*r = a + b, здесь r — радиус вписанной в треугольник окружности. Получить это выражение можно легко, если применить теорему о вписанной в произвольный треугольник окружности, которая устанавливает связь между r, p и S: S = p*r, где S — площадь фигуры, p — ее полупериметр.
  6. Чтобы понять, как найти основание прямоугольного треугольника, следует рассмотреть его катеты. Поскольку они перпендикулярны друг другу, то один из них может служить высотой, а другой основанием. Тогда площадь вычислится, как полупроизведение этих сторон: S = ½*a*b.
  7. Медиана M делит прямой угол равнобедренного треугольника на две равные части, то есть является биссектрисой. Одновременно она является высотой, длина которой равна половине гипотенузы: M = ½*c. Это свойство справедливо для любого треугольника с прямым углом, а не только для равнобедренного.
  8. Длину высоты h, которая проведена из вершины с прямым углом на основание-гипотенузу, можно найти по следующей формуле через катеты: h = a*b/(a 2 + b 2 )^0,5. Это равенство следует из формулы для площади фигуры.

Кроме названных свойств, следует отметить, что рассматриваемый геометрический объект является источником определения тригонометрических выражений (синуса, косинуса, котангенса и тангенса). Так, синусом угла ∠ A будет отношения противолежащего ему катета a к гипотенузе c, то есть sinA = a/c. Косинусом этого угла будет отношения ближайшего или прилежащего к нему катета к стороне c: cosA = b/c. Составлены целые таблицы этих функций, которые активно используются при решении геометрических проблем.

Видео:Решение прямоугольных треугольников. Практическая часть. 8 класс.Скачать

Решение прямоугольных треугольников. Практическая часть. 8 класс.

Способы нахождения длины стороны

Рассматриваемая фигура обладает достаточно большим количеством геометрических свойств, которые имеют математическое выражение в виде формул. Также для нее применимы особенности тригонометрических функций и общие формулы для треугольников общего типа. Весь этот набор равенств можно использовать для нахождения любой неизвестной стороны прямоугольной фигуры. Чаще всего встречаются задачи следующего типа:

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Примеры сторон прямоугольного треугольника

  1. Известны две любые стороны. Независимо от того, неизвестен один из катетов или гипотенуза, найти эту сторону легко с использованием теоремы Пифагора. Пример для катета a выглядит так: a = (c 2 — b 2 )^0,5.
  2. По известному острому углу и произвольной стороне. В этом случае любую из двух оставшихся неизвестных сторон треугольника легко вычислить с помощью соответствующей тригонометрической функции. Например, известен угол ∠ B и катет a, тогда: b = a*tgB, с = a/cosB.
  3. По катету и высоте, проведенной из прямого угла. Для решения этой задачи сначала необходимо найти острый угол исходного треугольника, который определяется с помощью тригонометрической функции синуса. Как только он станет известен, задача сводится к типу 2.
  4. По периметру и стороне. Эта задача имеет более сложный характер, чем описанные ранее. Решается она с помощью той же теорема Пифагора, но с применением теории квадратных уравнений.
  5. Наконец, самый сложный вариант задачи на нахождение произвольного катета по известным площади фигуры и высоте, которая опущена из прямого угла. Здесь также необходимо использовать теорию решения квадратных уравнений, но в дополнение к этому следует использовать замену переменных.

Пусть площадь треугольника составляет 60 см 2 , а опущенная высота из острого угла равна 8 см. Необходимо посчитать, какие длины имеют катеты и гипотенуза.

Если внимательно прочитать условие задачи, то можно увидеть, что сама высота является одним из катетов, поскольку опущена она на основание не из прямого, а из острого угла. Пусть катет a = 8 см. Сторона b вычисляется по формуле для площади:

b = 2*S/a = 2*60/8 = 15 см.

Определить гипотенузу легко по формуле Пифагора:

c = (a 2 + b 2 )^0,5 = (8 2 + 15 2 )^0,5 = 17 см.

Прямоугольный треугольник обладает набором свойств, которые позволяют применить к нему знания тригонометрии, чтобы вычислить длину неизвестного катета или гипотенузы. При этом часто используемой формулой для решения геометрических задач является теорема Пифагора.

Видео:Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТСкачать

Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТ

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Содержание:

В этой лекции вы ознакомитесь со знаменитой теоремой Пифагора. Вы научитесь по известным сторонам и углам прямоугольного треугольника находить его неизвестные стороны и углы.

Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ | Синус, Косинус, Тангенс, КотангенсСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ | Синус, Косинус, Тангенс, Котангенс

Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике

На рисунке 173 отрезок CD — высота прямоугольного треугольника ABC Примеры сторон прямоугольного треугольника

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Отрезки AD и DB называют проекциями катетов АС и СВ соответственно на гипотенузу.

Лемма. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе делит треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.

Докажите лемму самостоятельно.

Теорема 15.1. Квадрат высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, равен произведению проекций катетов на гипотенузу. Квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.

Доказательство. На рисунке 173 отрезок CD — высота прямоугольного треугольника ABC Примеры сторон прямоугольного треугольника

Докажем, что Примеры сторон прямоугольного треугольника

  • Поскольку Примеры сторон прямоугольного треугольникаОтсюда Примеры сторон прямоугольного треугольника
  • Поскольку Примеры сторон прямоугольного треугольникаОтсюда Примеры сторон прямоугольного треугольника
  • Поскольку Примеры сторон прямоугольного треугольникаОтсюда Примеры сторон прямоугольного треугольника

Если длины отрезков на рисунке 173 обозначить так:

АС = Ь, Примеры сторон прямоугольного треугольникато доказанные соотношения принимают вид:
Примеры сторон прямоугольного треугольника
Эти равенства называют метрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике.

Пример:

Даны два отрезка, длины которых равны а и b (рис. 174). Постройте третий отрезок, длина которого равна Примеры сторон прямоугольного треугольника

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Решение:

Рассмотрим треугольник ADC Примеры сторон прямоугольного треугольникав котором отрезок DB является высотой (рис. 175). Имеем: Примеры сторон прямоугольного треугольникаЕсли обозначить Примеры сторон прямоугольного треугольника

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Проведенный анализ показывает, как провести построение.

На произвольной прямой отметим точку А и отложим последовательно отрезки АВ и ВС так, чтобы АВ = а, ВС = b. Построим окружность с диаметром АС. Через точку В проведем прямую, перпендикулярную прямой АС (рис. 175).

Докажем, что отрезок DB искомый. Действительно, Примеры сторон прямоугольного треугольникакак вписанный угол, опирающийся на диаметр АС. Тогда по теореме 15.1 Примеры сторон прямоугольного треугольника

Видео:8 класс, 29 урок, Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольникаСкачать

8 класс, 29 урок, Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Теорема Пифагора

Теорема 16.1 (теорема Пифагора). В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Доказательство. На рисунке 176 изображен прямоугольный треугольник ABC Примеры сторон прямоугольного треугольникаДокажем, что Примеры сторон прямоугольного треугольника
Проведем высоту CD. Применив теорему 15.1 для катетов АС и ВС, получаем:
Примеры сторон прямоугольного треугольникаСложив почленно эти равенства, получим:
Примеры сторон прямоугольного треугольника

Далее имеем: Примеры сторон прямоугольного треугольника

Если в прямоугольном треугольнике длины катетов равны а и b, а длина гипотенузы равна с, то теорему Пифагора можно выразить следующим равенством: Примеры сторон прямоугольного треугольника

Теорема Пифагора позволяет по двум сторонам прямоугольного треугольника найти его третью сторону:

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Из равенства Примеры сторон прямоугольного треугольникатакже следует, что Примеры сторон прямоугольного треугольникаотсюда Примеры сторон прямоугольного треугольникато есть гипотенуза больше любого из катетов 1 .

1 Другим способом этот факт был установлен в курсе геометрии 7 класса.

Пифагор:

Вы изучили знаменитую теорему, которая носит имя выдающегося древнегреческого ученого Пифагора.

Исследования древних текстов свидетельствуют о том, что утверждение этой теоремы было известно задолго до Пифагора. Почему же ее приписывают Пифагору? Скорее всего потому, что именно Пифагор нашел доказательство этого утверждения.

Примеры сторон прямоугольного треугольника

О жизни Пифагора мало что известно достоверно. Он родился на греческом острове Самос. По преданиям, он много путешествовал, приобретая знания и мудрость.

Поселившись в греческой колонии Кротон (на юге Италии), он окружил себя преданными учениками и единомышленниками. Так возник пифагорейский союз (или кротонское братство). Влияние этого союза было столь велико, что даже спустя столетия после смерти Пифагора многие выдающиеся математики Древнего мира Пифагор называли себя пифагорейцами.

Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника

На рисунке 180 изображен прямоугольный треугольник АВС Примеры сторон прямоугольного треугольникаНапомним, что катет ВС называют противолежащим углу А, а катет АС — прилежащим к этому углу.

Определение. Синусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Синус угла А обозначают так: sin А (читают: «синус А»). Для острых углов А и В прямоугольного треугольника АВС имеем:
Примеры сторон прямоугольного треугольника
Для прямоугольного треугольника, изображенного на рисунке 181, можно записать: Примеры сторон прямоугольного треугольника

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Рассмотрим прямоугольный равнобедренный треугольник АВС Примеры сторон прямоугольного треугольникав котором АС = ВС = а (рис. 182).

Имеем: Примеры сторон прямоугольного треугольника
По определению Примеры сторон прямоугольного треугольникаотсюда Примеры сторон прямоугольного треугольникаВидим, что синус острого угла прямоугольного равнобедренного треугольника не зависит от размеров треугольника, так как полученное значение синуса одинаково для всех значений а. Поскольку Примеры сторон прямоугольного треугольникаЭту запись не связывают с конкретным прямоугольным равнобедренным треугольником.

Вообще, если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны.

Действительно, эти прямоугольные треугольники подобны по первому признаку подобия треугольников. Поэтому отношение катета к гипотенузе одного треугольника равно отношению соответственного катета к гипотенузе другого треугольника.

Например, запись sin 17° можно отнести ко всем углам, градусные меры которых равны 17°. Значение этого синуса можно вычислить один раз, выбрав произвольный прямоугольный треугольник с острым углом 17°.
Следовательно, синус острого угла зависит только от величины этого угла.

Определение. Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Косинус угла А обозначают так: cos А (читают: «косинус А»).
Для острых углов А и В прямоугольного треугольника АВС (рис. 180) можно записать: Примеры сторон прямоугольного треугольника

Отметим, что катет прямоугольного треугольника меньше его гипотенузы, а поэтому синус и косинус острого угла меньше 1.

Определение. Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего катета к прилежащему.

Тангенс угла А обозначают так: tg А (читают: «тангенс А»).
Для острых углов А и В прямоугольного треугольника АВС (рис. 180) можно записать:
Примеры сторон прямоугольного треугольника

Определение. Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение прилежащего катета к противолежащему.

Котангенс угла А обозначают так: ctg А (читают: «котангенс А»). Для острых углов А и В прямоугольного треугольника АВС (рис. 180) можно записать:
Примеры сторон прямоугольного треугольника
Для прямоугольного треугольника, изображенного на рисунке 181, записывают: Примеры сторон прямоугольного треугольникаПримеры сторон прямоугольного треугольника

Как было установлено, синус угла зависит только от величины угла. Рассуждая аналогично, можно прийти к следующему выводу: косинус, тангенс и котангенс острого угла зависят только от величины этого угла.

Вообще, каждому острому углу а соответствует единственное число — значение синуса (косинуса, тангенса, котангенса) этого угла. Поэтому зависимость значения синуса (косинуса, тангенса, котангенса) острого угла от величины этого угла является функциональной. Функцию, соответствующую этой зависимости, называют тригонометрической. Так, Примеры сторон прямоугольного треугольника Примеры сторон прямоугольного треугольника— тригонометрические функции, аргументами которых являются острые углы.

С древних времен люди составляли таблицы приближенных значений тригонометрических функции с некоторым шагом, один раз вычисляя значения тригонометрических функций для конкретного аргумента. Затем эти таблицы широко использовались во многих областях науки и техники.

В наше время значения тригонометрических функций острых углов удобно находить с помощью микрокалькулятора.

Тангенс и котангенс острого угла можно выразить через синус и косинус этого же угла. Рассмотрим прямоугольный треугольник (рис. 181).

Запишем: Примеры сторон прямоугольного треугольникаСледовательно, получаем такие формулы: Примеры сторон прямоугольного треугольника

Заметим, что тангенс и котангенс одного и того же острого угла являются взаимно обратными числами, то есть имеет место равенство:

Примеры сторон прямоугольного треугольника

По теореме Пифагора Примеры сторон прямоугольного треугольникаОбе части этого равенства делим на Примеры сторон прямоугольного треугольникаИмеем: Примеры сторон прямоугольного треугольникаУчитывая, что Примеры сторон прямоугольного треугольника Примеры сторон прямоугольного треугольникаполучим: Примеры сторон прямоугольного треугольника

Принято записывать: Примеры сторон прямоугольного треугольника

Отсюда имеем: Примеры сторон прямоугольного треугольника
Эту формулу называют основным тригонометрическим тождеством.

Отметим, что Примеры сторон прямоугольного треугольникаПримеры сторон прямоугольного треугольникаПоскольку Примеры сторон прямоугольного треугольникато получаем такие формулы:

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Мы уже знаем, что Примеры сторон прямоугольного треугольникаНайдем теперь cos 45°, tg 45° и ctg 45°.

Имеем: Примеры сторон прямоугольного треугольника

Найдем синус, косинус, тангенс и котангенс углов 30° и 60°. Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, в котором Примеры сторон прямоугольного треугольника(рис. 183).

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Пусть ВС = а. Тогда по свойству катета, лежащего против угла 30°, получаем, что АВ = 2а. Из теоремы Пифагора следует, что Примеры сторон прямоугольного треугольника

Имеем: Примеры сторон прямоугольного треугольника
Отсюда находим: Примеры сторон прямоугольного треугольникаПримеры сторон прямоугольного треугольника

Поскольку 60° = 90° — 30°, то получаем:
Примеры сторон прямоугольного треугольника

Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для углов 30°, 45° и 60° полезно запомнить.

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Решение прямоугольных треугольников

На рисунке 185 изображен прямоугольный треугольник с острыми углами Примеры сторон прямоугольного треугольникакатеты которого равны а и b, а гипотенуза равна с.
По определению синуса острого угла прямоугольного треугольника Примеры сторон прямоугольного треугольника

Отсюда Примеры сторон прямоугольного треугольника

Следовательно, катет прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на синус угла, противолежащего этому катету.

По определению косинуса острого угла прямоугольного треугольника Примеры сторон прямоугольного треугольникаОтсюда Примеры сторон прямоугольного треугольника

Следовательно, катет прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на косинус угла, прилежащего к этому катету.

Примеры сторон прямоугольного треугольника

По определению тангенса острого угла прямоугольного треугольника Примеры сторон прямоугольного треугольникаОтсюда Примеры сторон прямоугольного треугольника

Следовательно, катет прямоугольного треугольника равен произведению второго катета на тангенс угла, противолежащего первому катету.

По определению котангенса острого угла прямоугольного треугольника Примеры сторон прямоугольного треугольникаОтсюда Примеры сторон прямоугольного треугольника
Следовательно, катет прямоугольного треугольника равен произведению второго катета на котангенс угла, прилежащего к первому катету.
Из равенств Примеры сторон прямоугольного треугольникаполучаем: Примеры сторон прямоугольного треугольника
Следовательно, гипотенуза прямоугольного треугольника равна частному от деления катета на синус противолежащего ему угла;

  • гипотенуза прямоугольного треугольника равна частному от деления катета на косинус прилежащего к нему угла.

Решить прямоугольный треугольник означает найти его стороны и углы по известным сторонам и углам.

Приведенные выше правила позволяют решать прямоугольный треугольник по одной стороне и одному острому углу.

В задачах на решение прямоугольных треугольников, если не обусловлено иначе, приняты такие обозначения (см. рис. 185): с — гипотенуза, а и b — катеты, Примеры сторон прямоугольного треугольника— углы, противолежащие катетам а и b соответственно.

Пример №1

Решите прямоугольный треугольник по катету и острому углу: a = 14 см, Примеры сторон прямоугольного треугольника= 38°. (Значения тригонометрических функций найдите с помощью микрокалькулятора и округлите их до сотых. Значения длин сторон округлите до десятых.)

Решение:

Примеры сторон прямоугольного треугольника
Ответ: Примеры сторон прямоугольного треугольника

Отметим, что эту задачу можно было решить и другим способом: например, найти гипотенузу, используя теорему Пифагора.

Пример №2

Решите прямоугольный треугольник по катету и гипотенузе:

a = 26 см, с = 34 см.

Решение:

Имеем: Примеры сторон прямоугольного треугольника

Вычисляем угол Примеры сторон прямоугольного треугольникас помощью микрокалькулятора: Примеры сторон прямоугольного треугольникаТогда Примеры сторон прямоугольного треугольника
Примеры сторон прямоугольного треугольника
Ответ: Примеры сторон прямоугольного треугольника

Пример №3

Высота AD треугольника АВС (рис. 186) делит его сторону ВС на отрезки BD и CD такие, что Примеры сторон прямоугольного треугольникаНайдите стороны АВ и АС, если Примеры сторон прямоугольного треугольника

Решение:

Из треугольника Примеры сторон прямоугольного треугольникаполучаем:
Примеры сторон прямоугольного треугольника

Из треугольника Примеры сторон прямоугольного треугольникаполучаем:Примеры сторон прямоугольного треугольника
Ответ: Примеры сторон прямоугольного треугольника

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Пример №4

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна b, угол при основании равен Примеры сторон прямоугольного треугольникаНайдите радиус окружности, вписанной в треугольник.

Решение:

В треугольнике АВС (рис. 187) Примеры сторон прямоугольного треугольника

Проведем высоту BD.

Из треугольника Примеры сторон прямоугольного треугольникаполучаем: Примеры сторон прямоугольного треугольника

Точка О — центр окружности, вписанной в треугольник АВС. Следовательно, точка О принадлежит высоте ВD и биссектрисе АО угла ВАС. Поскольку Примеры сторон прямоугольного треугольникато вписанная окружность касается стороны АС в точке D. Таким образом, OD — радиус вписанной окружности. Отрезок АО — биссектриса угла BAD, поэтому
Примеры сторон прямоугольного треугольника

Из треугольника Примеры сторон прямоугольного треугольникаполучаем: Примеры сторон прямоугольного треугольника

Ответ: Примеры сторон прямоугольного треугольника

Напомню:

Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике

  • Квадрат высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, равен произведению проекций катетов на гипотенузу.
  • Квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.

Теорема Пифагора

  • В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Синус острого угла прямоугольного треугольника

  • Синусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинус острого угла прямоугольного треугольника

  • Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс острого угла прямоугольного треугольника

  • Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенс острого угла прямоугольного треугольника

  • Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение прилежащего катета к противолежащему.

Тригонометрические формулы

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Примеры сторон прямоугольного треугольника— основное тригонометрическое тождество

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Соотношения между сторонами и значениями тригонометрических функций углов в прямоугольном треугольнике

  • Катет прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на синус угла, противолежащего этому катету.
  • Катет прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на косинус угла, прилежащего к этому катету.
  • Катет прямоугольного треугольника равен произведению второго катета на тангенс угла, противолежащего первому катет>г.
  • Катет прямоугольного треугольника равен произведению второго катета на котангенс угла, прилежащего к первому’ катету.
  • Гипотенуза прямоугольного треугольника равна частному от деления катета на синус противолежащего ему угла.
  • Гипотенуза прямоугольного треугольника равна частному от деления катета на косинус прилежащего к нему угла.

Четырехугольник, его элементы. Сумма углов четырехугольника

Рассмотрим одну из важнейших теорем геометрии, которая показывает зависимость между катетами и гипотенузой прямоугольного треугольника.

Теорема 1 (теорема Пифагора). В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

На сегодняшний день известны более ста доказательств этой теоремы. Рассмотрим одно из них.

Доказательство:

Пусть Примеры сторон прямоугольного треугольника-данный прямоугольный треугольник, у которого Примеры сторон прямоугольного треугольника(рис. 172). Докажем, что

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Примеры сторон прямоугольного треугольника

1) Проведем высоту Примеры сторон прямоугольного треугольника
2) По теореме о средних пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике имеем:

Примеры сторон прямоугольного треугольникаи Примеры сторон прямоугольного треугольника

3) Сложим эти два равенства почленно. Учитывая, что Примеры сторон прямоугольного треугольникаполучим:

Примеры сторон прямоугольного треугольника

4) Следовательно, Примеры сторон прямоугольного треугольника

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Если в треугольнике Примеры сторон прямоугольного треугольникаобозначить Примеры сторон прямоугольного треугольника(рис. 173), то теорему Пифагора можно записать формулой:

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Таким образом, зная две стороны прямоугольного треугольника, с помощью теоремы Пифагора можно найти третью. В этом нам поможет следующая схема:

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Пример №5

Катеты прямоугольного треугольника равны 7 см и 24 см. Найдите гипотенузу.

Решение:

Пусть Примеры сторон прямоугольного треугольникатогда Примеры сторон прямоугольного треугольника

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Пример №6

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 17 см, а один из катетов — 15 см. Найдите второй катет.

Решение:

Пусть Примеры сторон прямоугольного треугольникатогда Примеры сторон прямоугольного треугольника

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Пример №7

Найдите диагональ квадрата, сторона которого равнаПримеры сторон прямоугольного треугольника

Решение:

Рассмотрим квадрат Примеры сторон прямоугольного треугольникау которого Примеры сторон прямоугольного треугольника(рис. 174). Тогда

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Ответ. Примеры сторон прямоугольного треугольника

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Пример №8

Найдите медиану равностороннего треугольника со стороной Примеры сторон прямоугольного треугольника

Решение:

Рассмотрим равносторонний треугольник Примеры сторон прямоугольного треугольникасо стороной Примеры сторон прямоугольного треугольника— его медиана (рис. 175).

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Так как Примеры сторон прямоугольного треугольника— медиана равностороннего треугольника, то она является и его высотой.

Из Примеры сторон прямоугольного треугольникаТогда

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Ответ: Примеры сторон прямоугольного треугольника

Пример №9

Основания равнобокой трапеции равны 12 см и 22 см, а боковая сторона — 13 см. Найдите высоту трапеции.

Решение:

Пусть Примеры сторон прямоугольного треугольника— данная трапеция, Примеры сторон прямоугольного треугольника Примеры сторон прямоугольного треугольника(рис. 176).

Примеры сторон прямоугольного треугольника

1) Проведем высоты Примеры сторон прямоугольного треугольникаи Примеры сторон прямоугольного треугольника

2) Примеры сторон прямоугольного треугольника(по катету и гипотенузе), поэтому

Примеры сторон прямоугольного треугольника

3) Из Примеры сторон прямоугольного треугольникапо теореме Пифагора имеем:

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Пример №10

Один из катетов прямоугольного треугольника равен 8 см, а второй на 2 см меньше гипотенузы. Найдите неизвестный катет треугольника.

Решение:

Пусть Примеры сторон прямоугольного треугольникасм и Примеры сторон прямоугольного треугольникасм- катеты треугольника, тогда Примеры сторон прямоугольного треугольникасм — его гипотенуза.

Так как по теореме Пифагора Примеры сторон прямоугольного треугольникаполучим уравнение: Примеры сторон прямоугольного треугольникаоткуда Примеры сторон прямоугольного треугольника(см).

Следовательно, неизвестный катет равен 15 см.

Верно и утверждение, обратное теореме Пифагора.

Теорема 2 (обратная теореме Пифагора). Если для треугольника Примеры сторон прямоугольного треугольникасправедливо равенство Примеры сторон прямоугольного треугольникато угол Примеры сторон прямоугольного треугольникаэтого треугольника — прямой.

Доказательство:

Пусть в треугольнике Примеры сторон прямоугольного треугольника Примеры сторон прямоугольного треугольникаДокажем, что Примеры сторон прямоугольного треугольника(рис. 177).

Рассмотрим Примеры сторон прямоугольного треугольникау которого Примеры сторон прямоугольного треугольникаПримеры сторон прямоугольного треугольникаТогда по теореме Пифагора Примеры сторон прямоугольного треугольникаа следовательно, Примеры сторон прямоугольного треугольника

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Но Примеры сторон прямоугольного треугольникапо условию, поэтому Примеры сторон прямоугольного треугольникато есть Примеры сторон прямоугольного треугольника

Таким образом, Примеры сторон прямоугольного треугольника(по трем сторонам), откуда Примеры сторон прямоугольного треугольника

Так как Примеры сторон прямоугольного треугольникато треугольник со сторонами 3, 4 и 5 является прямоугольным. Такой треугольник часто называют египетским, потому что о том, что он прямоугольный, было известно еще древним египтянам.

Тройку целых чисел, удовлетворяющую теореме Пифагора, называют пифагоровой тройкой чисел, а треугольник, стороны которого равны этим числам, — пифагоровым треугольником. Например, пифагоровой является не только тройка чисел 3, 4, 5, но и 7, 24, 25 или 9, 40, 41 и т. п.

Заметим, что из теоремы Пифагора и теоремы, ей обратной, следует, что

треугольник является прямоугольным тогда и только тогда, когда квадрат наибольшей стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон.

Пример №11

Является ли прямоугольным треугольник со сторонами: 1) 6; 8; 10; 2) 5; 7; 9?

Решение:

1) Так как Примеры сторон прямоугольного треугольникато треугольник является прямоугольным.

2) Так как Примеры сторон прямоугольного треугольникато треугольник не является прямоугольным.

Ответ. 1) Да; 2) нет.

Теорема, названная в честь древнегреческого философа и математика Пифагора, была известна задолго до него. В текстах давних вавилонян о ней вспоминалось еще за 1200 лет до Пифагора. Скорее всего, доказывать эту теорему вавилоняне не умели, а зависимость между катетами и гипотенузой прямоугольного треугольника установили опытным путем. Также эта теорема была известна в Древнем Египте и Китае.

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Считается, что Пифагор — первый, кто предложил строгое доказательство теоремы. Он сформулировал теорему так: «Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах». Именно в такой формулировке она и была доказана Пифагором.

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Рисунок к этому доказательству еще называют «пифагоровыми штанами».

Зная, что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 является прямоугольным, землемеры Древнего Египта использовали его для построения прямого угла. Бечевку делили узлами на 12 равных частей и соединяли ее концы. Потом веревку растягивали и с помощью колышков фиксировали на земле в виде треугольника со сторонами 3; 4; 5. В результате угол, противолежащий стороне, длина которой 5, был прямым.

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Перпендикуляр и наклонная, их свойства

Пусть Примеры сторон прямоугольного треугольникаперпендикуляр, проведенный из точки Примеры сторон прямоугольного треугольникак прямой Примеры сторон прямоугольного треугольника(рис. 185). Точку Примеры сторон прямоугольного треугольниканазывают основанием перпендикуляра Примеры сторон прямоугольного треугольникаПусть Примеры сторон прямоугольного треугольника— произвольная точка прямой Примеры сторон прямоугольного треугольникаотличающаяся от Примеры сторон прямоугольного треугольникаОтрезок Примеры сторон прямоугольного треугольниканазывают наклонной, проведенной из точки Примеры сторон прямоугольного треугольникак прямой Примеры сторон прямоугольного треугольникаа точку Примеры сторон прямоугольного треугольникаоснованием наклонной. Отрезок Примеры сторон прямоугольного треугольниканазывают проекцией наклонной Примеры сторон прямоугольного треугольникана прямую Примеры сторон прямоугольного треугольника

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Рассмотрим свойства перпендикуляра и наклонной.

1. Перпендикуляр, проведенный из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведенной из этой точки к этой прямой.

Действительно, в прямоугольном треугольнике Примеры сторон прямоугольного треугольника-катет, Примеры сторон прямоугольного треугольника— гипотенуза (рис. 185). Поэтому Примеры сторон прямоугольного треугольника

2. Если две наклонные, проведенные к прямой из одной точки, равны, то равны и их проекции.

Пусть из точки Примеры сторон прямоугольного треугольникак прямой Примеры сторон прямоугольного треугольникапроведены наклонные Примеры сторон прямоугольного треугольникаи Примеры сторон прямоугольного треугольникаи перпендикуляр Примеры сторон прямоугольного треугольника(рис. 186). Тогда Примеры сторон прямоугольного треугольника(по катету и гипотенузе), поэтому Примеры сторон прямоугольного треугольника

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Верно и обратное утверждение.

3. Если проекции двух наклонных, проведенных из точки к прямой, равны, то равны и сами наклонные.

Примеры сторон прямоугольного треугольника(по двум катетам), поэтому Примеры сторон прямоугольного треугольника(рис. 186).

4. Из двух наклонных, проведенных из точки к прямой, большей является та, у которой больше проекция.

Пусть Примеры сторон прямоугольного треугольникаи Примеры сторон прямоугольного треугольника— наклонные, Примеры сторон прямоугольного треугольника(рис. 187). Тогда Примеры сторон прямоугольного треугольника(из Примеры сторон прямоугольного треугольника), Примеры сторон прямоугольного треугольника(из Примеры сторон прямоугольного треугольника). Но Примеры сторон прямоугольного треугольникапоэтому Примеры сторон прямоугольного треугольникаследовательно, Примеры сторон прямоугольного треугольника

Свойство справедливо и в случае, когда точки Примеры сторон прямоугольного треугольникаи Примеры сторон прямоугольного треугольникалежат на прямой по одну сторону от точки Примеры сторон прямоугольного треугольника

Верно и обратное утверждение.

5. Из двух наклонных, проведенных из точки к прямой, большая наклонная имеет большую проекцию.

Пусть Примеры сторон прямоугольного треугольникаи Примеры сторон прямоугольного треугольника— наклонные, Примеры сторон прямоугольного треугольника(рис. 187).

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Тогда Примеры сторон прямоугольного треугольника(из Примеры сторон прямоугольного треугольника),

Примеры сторон прямоугольного треугольника(из Примеры сторон прямоугольного треугольника). Но Примеры сторон прямоугольного треугольникапоэтому Примеры сторон прямоугольного треугольникаследовательно, Примеры сторон прямоугольного треугольника

Пример №12

Из точки к прямой проведены две наклонные. Длина одной из них равна 10 см, а ее проекции — 6 см. Найдите длину второй наклонной, если она образует с прямой угол 30°.

Решение:

Пусть на рисунке 187 Примеры сторон прямоугольного треугольника Примеры сторон прямоугольного треугольникаПримеры сторон прямоугольного треугольника

1) Из Примеры сторон прямоугольного треугольника(см).

2) Из Примеры сторон прямоугольного треугольникапо свойству катета, противолежащего углу 30°,

будем иметь: Примеры сторон прямоугольного треугольника

Поэтому Примеры сторон прямоугольного треугольника

Ответ. 16 см.

Пример №13

Из точки Примеры сторон прямоугольного треугольникапрямой проведены две наклонные, проекции которых равны 30 см и 9 см. Найдите длины наклонных, если их разность равна 9 см.

Решение:

Пусть на рисунке 187 Примеры сторон прямоугольного треугольникаПо свойству 4: Примеры сторон прямоугольного треугольникаОбозначим Примеры сторон прямоугольного треугольникасм. Тогда Примеры сторон прямоугольного треугольникасм.

Из Примеры сторон прямоугольного треугольникапоэтому Примеры сторон прямоугольного треугольника

Из Примеры сторон прямоугольного треугольникапоэтому Примеры сторон прямоугольного треугольника

Левые части полученных равенств равны, следовательно, равны и правые их части.

Имеем уравнение: Примеры сторон прямоугольного треугольникаоткуда Примеры сторон прямоугольного треугольникаСледовательно, Примеры сторон прямоугольного треугольникасм, Примеры сторон прямоугольного треугольника(см).

Ответ. 41 см, 50 см.

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника. Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике

Рассмотрим прямоугольный треугольник Примеры сторон прямоугольного треугольникас прямым углом Примеры сторон прямоугольного треугольника(рис. 190). Для острого угла Примеры сторон прямоугольного треугольникакатет Примеры сторон прямоугольного треугольникаявляется противолежащим катетом, а катет Примеры сторон прямоугольного треугольника— прилежащим катетом. Для острого угла Примеры сторон прямоугольного треугольникакатет Примеры сторон прямоугольного треугольникаявляется противолежащим, а катет Примеры сторон прямоугольного треугольника— прилежащим.

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Синус угла Примеры сторон прямоугольного треугольникаобозначают так: Примеры сторон прямоугольного треугольникаСледовательно,

Примеры сторон прямоугольного треугольника
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Косинус угла Примеры сторон прямоугольного треугольникаобозначают так: Примеры сторон прямоугольного треугольникаСледовательно,

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Так как катеты Примеры сторон прямоугольного треугольникаи Примеры сторон прямоугольного треугольникаменьше гипотенузы Примеры сторон прямоугольного треугольникато синус и косинус острого угла прямоугольного треугольника меньше единицы.

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего катета к прилежащему.

Тангенс угла Примеры сторон прямоугольного треугольникаобозначают так: Примеры сторон прямоугольного треугольникаСледовательно,

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Докажем, что если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны.

Рассмотрим прямоугольные треугольники Примеры сторон прямоугольного треугольникаи Примеры сторон прямоугольного треугольникау которых Примеры сторон прямоугольного треугольника(рис. 191). Тогда Примеры сторон прямоугольного треугольника(по острому углу). Поэтому Примеры сторон прямоугольного треугольника

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Из этого следует, что Примеры сторон прямоугольного треугольникаи поэтому Примеры сторон прямоугольного треугольника

Аналогично Примеры сторон прямоугольного треугольникапоэтому Примеры сторон прямоугольного треугольника

поэтому Примеры сторон прямоугольного треугольника

Таким образом, приходим к выводу: синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника зависят только от градусной меры угла.

Из определений синуса, косинуса и тангенса угла получаем следующие соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.

1. Катет равен гипотенузе, умноженной на синус противолежащего ему угла или на косинус прилежащего: Примеры сторон прямоугольного треугольникаи Примеры сторон прямоугольного треугольника
2. Гипотенуза равна катету, деленному на синус противолежащего ему угла или на косинус прилежащего:

Примеры сторон прямоугольного треугольника

3. Катет, противолежащий углу Примеры сторон прямоугольного треугольникаравен произведению второго катета на тангенс этого угла: Примеры сторон прямоугольного треугольника
4. Катет, прилежащий к углу Примеры сторон прямоугольного треугольникаравен частному от деления другого катета на тангенс этого угла: Примеры сторон прямоугольного треугольника

Значения Примеры сторон прямоугольного треугольникаможно находить с помощью специальных таблиц, калькулятора или компьютера. Для вычислений используем клавиши калькулятора Примеры сторон прямоугольного треугольникаи Примеры сторон прямоугольного треугольника(на некоторых калькуляторах Примеры сторон прямоугольного треугольникаПоследовательность вычислений у разных калькуляторов может быть разной. Поэтому советуем внимательно познакомиться с инструкцией к калькулятору.

Пример №14

В треугольнике Примеры сторон прямоугольного треугольника Примеры сторон прямоугольного треугольникаНайдите Примеры сторон прямоугольного треугольника

Решение:

Примеры сторон прямоугольного треугольника(рис. 190). Примеры сторон прямоугольного треугольника(см).

Пример №15

В треугольнике Примеры сторон прямоугольного треугольникаПримеры сторон прямоугольного треугольникаНайдите Примеры сторон прямоугольного треугольника(с точностью до десятых сантиметра).

Решение:

Примеры сторон прямоугольного треугольника(рис. 190). С помощью таблиц или калькулятора находим Примеры сторон прямоугольного треугольникаСледовательно, Примеры сторон прямоугольного треугольника

Ответ. Примеры сторон прямоугольного треугольника2,9 см.

С помощью таблиц, калькулятора или компьютера можно по данному значению Примеры сторон прямоугольного треугольникаили Примеры сторон прямоугольного треугольниканаходить угол Примеры сторон прямоугольного треугольникаДля вычислений используем клавиши калькулятора Примеры сторон прямоугольного треугольника Примеры сторон прямоугольного треугольникаи Примеры сторон прямоугольного треугольника

Пример №16

В треугольнике Примеры сторон прямоугольного треугольника Примеры сторон прямоугольного треугольника

Найдите острые углы треугольника.

Решение:

Примеры сторон прямоугольного треугольника(рис. 190). С помощью калькулятора находим значение угла Примеры сторон прямоугольного треугольникав градусах: 51,34019. Представим его в градусах и минутах (в некоторых калькуляторах это возможно сделать с помощью специальной клавиши): Примеры сторон прямоугольного треугольникаТогда Примеры сторон прямоугольного треугольника

Ответ. Примеры сторон прямоугольного треугольника

Найдем синус, косинус и тангенс углов 30° и 60°. Рассмотрим Примеры сторон прямоугольного треугольникау которого Примеры сторон прямоугольного треугольникаПримеры сторон прямоугольного треугольника(рис. 192).

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Тогда по свойству катета, противолежащего углу 30°, Примеры сторон прямоугольного треугольника

По теореме Пифагора:

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Примеры сторон прямоугольного треугольникато есть Примеры сторон прямоугольного треугольника

Примеры сторон прямоугольного треугольникато есть Примеры сторон прямоугольного треугольника

Примеры сторон прямоугольного треугольникато есть Примеры сторон прямоугольного треугольника

Примеры сторон прямоугольного треугольникато есть Примеры сторон прямоугольного треугольника

Примеры сторон прямоугольного треугольникато есть Примеры сторон прямоугольного треугольника

Примеры сторон прямоугольного треугольникато есть Примеры сторон прямоугольного треугольника

Найдем синус, косинус и тангенс угла 45°.

Рассмотрим Примеры сторон прямоугольного треугольникау которого Примеры сторон прямоугольного треугольника

Примеры сторон прямоугольного треугольника(рис. 193). Тогда Примеры сторон прямоугольного треугольникаПо теореме Пифагора:

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Примеры сторон прямоугольного треугольникато есть Примеры сторон прямоугольного треугольника

Примеры сторон прямоугольного треугольникато есть Примеры сторон прямоугольного треугольника

Примеры сторон прямоугольного треугольникато есть Примеры сторон прямоугольного треугольника

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Систематизируем полученные данные в таблицу:

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Пример №17

Найдите высоту равнобедренного треугольника, проведенную к основанию, если основание равно 12 см, а угол при вершине треугольника равен 120°.

Решение:

Пусть Примеры сторон прямоугольного треугольника— данный треугольник, Примеры сторон прямоугольного треугольника Примеры сторон прямоугольного треугольника(рис. 194).

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Проведем к основанию Примеры сторон прямоугольного треугольникавысоту Примеры сторон прямоугольного треугольникаявляющуюся также медианой и биссектрисой. Тогда

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Из Примеры сторон прямоугольного треугольника

отсюда Примеры сторон прямоугольного треугольника(см).

Ответ. Примеры сторон прямоугольного треугольникасм.

Вычисление прямоугольных треугольников

Решить треугольник — значит найти все неизвестные его стороны и углы по известным сторонам и углам.

Для того чтобы можно было решить прямоугольный треугольник, известными должны быть или две стороны треугольника или одна из сторон и один из острых углов треугольника.

Используя в прямоугольном треугольнике Примеры сторон прямоугольного треугольникаобозначение Примеры сторон прямоугольного треугольника Примеры сторон прямоугольного треугольника(рис. 198) и соотношение между его сторонами и углами:

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Примеры сторон прямоугольного треугольника(теорема Пифагора);

Примеры сторон прямоугольного треугольника

можно решить любой прямоугольный треугольник.

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Рассмотрим четыре вида задач на решение прямоугольных треугольников.

Образцы записи их решения в общем виде и примеры задач представлены в виде таблиц.

Решение прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу

Пример:

Дано гипотенузу Примеры сторон прямоугольного треугольникаи острый угол Примеры сторон прямоугольного треугольникапрямоугольного треугольника. Найдите второй острый угол треугольника и его катеты.

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Решение прямоугольных треугольников по катету и острому углу

Пример:

Дано катет Примеры сторон прямоугольного треугольникаи острый угол Примеры сторон прямоугольного треугольникапрямоугольного треугольника. Найдите второй острый угол треугольника, второй катет и гипотенузу.

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Решение прямоугольных треугольников по двум катетам

Пример:

Дано катеты Примеры сторон прямоугольного треугольникаи Примеры сторон прямоугольного треугольникапрямоугольного треугольника. Найдите гипотенузу и острые углы треугольника.

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Решение прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе

Пример:

Дано катет Примеры сторон прямоугольного треугольникаи гипотенуза Примеры сторон прямоугольного треугольникапрямоугольного треугольника. Найдите второй катет и острые углы треугольника.

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Пример:

Найдите высоту дерева Примеры сторон прямоугольного треугольникаоснование Примеры сторон прямоугольного треугольникакоторого является недоступным (рис. 199).

Решение:

Обозначим на прямой, проходящей через точку Примеры сторон прямоугольного треугольника— основание дерева, точки Примеры сторон прямоугольного треугольникаи Примеры сторон прямоугольного треугольникаи измеряем отрезок Примеры сторон прямоугольного треугольникаи Примеры сторон прямоугольного треугольникаи Примеры сторон прямоугольного треугольника

Примеры сторон прямоугольного треугольника

1) В Примеры сторон прямоугольного треугольника

2) В Примеры сторон прямоугольного треугольника

3) Так как Примеры сторон прямоугольного треугольникаимеем:

Примеры сторон прямоугольного треугольника

откуда Примеры сторон прямоугольного треугольника

Ответ. Примеры сторон прямоугольного треугольника

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№25 - Прямоугольные треугольники.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№25 - Прямоугольные треугольники.)

Определение прямоугольных треугольников

Из этой главы вы узнаете, как решать прямоугольные треугольники, т. е. находить их неизвестные стороны и углы по известным. Необходимые для этого теоретические знания можно почерпнуть из раздела математики, родственного как с геометрией, так и с алгеброй, — из тригонометрии. Собственно, само слово «тригонометрия» в переводе с греческого означает «измерение треугольников». Поэтому отношения сторон прямоугольного треугольника, с которыми вы познакомитесь далее, получили название тригонометрических функций.

Соотношения, которые будут применяться в этой главе, в полной мере можно считать проявлением подобия треугольников. Вообще, подобие треугольников, теорема Пифагора и площадь — это те три кита, на которых держится геометрия многоугольника. Именно исследование взаимосвязей между этими теоретическими фактами и составляет основное содержание курса геометрии в восьмом классе.

Синус, косинус и тангенс

Как уже было доказано, все прямоугольные треугольники, имеющие по равному острому углу, подобны. Свойство подобия обусловливает не только равенство отношений пропорциональных сторон этих треугольников, но и равенство отношений между катетами и гипотенузой каждого из этих треугольников. Именно эти отношения и будут предметом дальнейшего рассмотрения.

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами Примеры сторон прямоугольного треугольникагипотенузой Примеры сторон прямоугольного треугольникаи острым углом Примеры сторон прямоугольного треугольника(рис. 168).

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Определение

Синусом острого угла Примеры сторон прямоугольного треугольникапрямоугольного треугольника (обозначается Примеры сторон прямоугольного треугольниканазывается отношение противолежащего катета к гипотенузе:

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Косинусом острого угла Примеры сторон прямоугольного треугольникапрямоугольного треугольника (обозначается Примеры сторон прямоугольного треугольниканазывается отношение прилежащего катета к гипотенузе:

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Тангенсом острого угла Примеры сторон прямоугольного треугольникапрямоугольного треугольника (обозначается Примеры сторон прямоугольного треугольниканазывается отношение противолежащего катета к прилежащему:

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Кроме синуса, косинуса и тангенса, рассматривают также котангенс острого угла Примеры сторон прямоугольного треугольникапрямоугольного треугольника (обозначается Примеры сторон прямоугольного треугольникакоторый равен отношению прилегающего катета к противолежащему:

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Поскольку катет прямоугольного треугольника меньше гипотенузы, то синус и косинус острого угла меньше единицы.

Покажем, что значения тригонометрических функций зависят только от величины угла. Пусть прямоугольные треугольники Примеры сторон прямоугольного треугольникаимеют равные острые углы Примеры сторон прямоугольного треугольника(рис. 169).

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Эти треугольники подобны, отсюда Примеры сторон прямоугольного треугольникаили по основному свойству пропорции, Примеры сторон прямоугольного треугольника

Правая и левая части этого равенства по определению равны синусам острых углов Примеры сторон прямоугольного треугольникасоответственно. Имеем:

Примеры сторон прямоугольного треугольника

т.е. синус угла Примеры сторон прямоугольного треугольникане зависит от выбора треугольника. Аналогичные рассуждения можно провести и для других тригонометрических функций (сделайте это самостоятельно). Таким образом, тригонометрические функции острого угла зависят только от величины угла.

Имеет место еще один важный факт: если значения некоторой тригонометрической функции для острых углов Примеры сторон прямоугольного треугольникаравны, то Примеры сторон прямоугольного треугольникаИначе говоря, каждому значению тригонометрической функции соответствует единственный острый угол.

Пример №18

Найдите синус, косинус и тангенс наименьшего угла египетского треугольника.

Решение:

Пусть в треугольнике Примеры сторон прямоугольного треугольникаПримеры сторон прямоугольного треугольника(рис. 170).

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Поскольку в треугольнике наименьший угол лежит против наименьшей стороны, то угол Примеры сторон прямоугольного треугольника— наименьший угол треугольника Примеры сторон прямоугольного треугольникаПо определению Примеры сторон прямоугольного треугольникаПримеры сторон прямоугольного треугольника

Ответ: Примеры сторон прямоугольного треугольника

Тригонометрические тождества

Выведем соотношения (тождества), которые выражают зависимость между тригонометрическими функциями одного угла.

Теорема (основное тригонометрическое тождество)

Для любого острого угла Примеры сторон прямоугольного треугольника

Примеры сторон прямоугольного треугольника

По определению синуса и косинуса острого угла прямоугольного треугольника (см. рис. 168) имеем:

Примеры сторон прямоугольного треугольника

По теореме Пифагора числитель этой дроби равен Примеры сторон прямоугольного треугольника

Следствие

Для любого острого углаПримеры сторон прямоугольного треугольника

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Докажем еще несколько тригонометрических тождеств.

Непосредственно из определений синуса

sin a а b ас а и косинуса имеем: Примеры сторон прямоугольного треугольникат.е. Примеры сторон прямоугольного треугольника

Аналогично доказывается, что Примеры сторон прямоугольного треугольника

Отсюда следует, что Примеры сторон прямоугольного треугольника

Пример №19

Найдите косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника, синус которого равен 0,8.

Решение:

Пусть для острого угла Примеры сторон прямоугольного треугольникаТогда Примеры сторон прямоугольного треугольникаПримеры сторон прямоугольного треугольника

Поскольку Примеры сторон прямоугольного треугольника

Ответ: Примеры сторон прямоугольного треугольника

Вычисление значений тригонометрических функций. Формулы дополнения

Тригонометрические тождества, которые мы рассмотрели, устанавливают взаимосвязь между разными тригонометрическими функциями одного угла. Попробуем установить связь между функциями двух острых углов прямоугольного треугольника.

Теорема (формулы дополнения)

Для любого острого угла Примеры сторон прямоугольного треугольника

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Рассмотрим прямоугольный треугольник Примеры сторон прямоугольного треугольникас гипотенузой Примеры сторон прямоугольного треугольника(рис. 172).

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Если Примеры сторон прямоугольного треугольникаВыразив синусы и косинусы острых углов треугольника, получим:

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Следствие

Для любого острого угла Примеры сторон прямоугольного треугольника

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Заметим, что название «формулы дополнения», как и название «косинус», в котором префикс «ко» означает «дополнительный», объясняется тем, что косинус является синусом угла, который дополняет данный угол до Примеры сторон прямоугольного треугольникаАналогично объясняется и название «котангенс».

Значения тригонометрических функций углов 30 45 60

Вычислим значения тригонометрических функций угла Примеры сторон прямоугольного треугольникаДля этого в равностороннем треугольнике Примеры сторон прямоугольного треугольникасо стороной Примеры сторон прямоугольного треугольникапроведем высоту Примеры сторон прямоугольного треугольникакоторая является также биссектрисой и медианой (рис. 173).

Примеры сторон прямоугольного треугольника

В треугольнике Примеры сторон прямоугольного треугольникаи по теореме Пифагора Примеры сторон прямоугольного треугольникаИмеем:

Примеры сторон прямоугольного треугольника
С помощью формул дополнения получаем значения тригонометрических функций угла Примеры сторон прямоугольного треугольника

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Для вычисления значений тригонометрических функций угла Примеры сторон прямоугольного треугольникарассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник Примеры сторон прямоугольного треугольникас катетами Примеры сторон прямоугольного треугольника(рис. 174).

Примеры сторон прямоугольного треугольника

По теореме Пифагора Примеры сторон прямоугольного треугольникаИмеем:

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Представим значения тригонометрических функций углов Примеры сторон прямоугольного треугольникав виде таблицы.

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Значения тригонометрических функций других углов можно вычислить с помощью калькулятора или специальных таблиц (см. Приложение 3).

Решение прямоугольных треугольников

Нахождение неизвестных сторон прямоугольного треугольника

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами Примеры сторон прямоугольного треугольникагипотенузой Примеры сторон прямоугольного треугольникаи острыми углами Примеры сторон прямоугольного треугольника(рис. 175).

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Зная градусную меру угла Примеры сторон прямоугольного треугольникаи длину любой из сторон треугольника, мы имеем возможность найти две другие его стороны. Правила нахождения неизвестных сторон прямоугольного треугольника непосредственно следуют из определений тригонометрических функций и могут быть обобщены в виде справочной таблицы.

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Заметим, что для нахождения неизвестных сторон прямоугольного треугольника можно использовать и Примеры сторон прямоугольного треугольника(соответствующие правила и формулы получите самостоятельно).

Запоминать содержание справочной таблицы не обязательно. Для нахождения неизвестной стороны прямоугольного треугольника можно действовать по такому плану.

1. Выбрать формулу определения той тригонометрической функции данного угла, которая связывает искомую сторону с известной (этот этап можно выполнить устно).

2. Выразить из этой формулы искомую сторону.

3. Провести необходимые вычисления.

Пример №20

В прямоугольном треугольнике с гипотенузой 12 м найдите катет, прилежащий к углу Примеры сторон прямоугольного треугольника

Решение:

Пусть в прямоугольном треугольнике (см. рисунок) Примеры сторон прямоугольного треугольникаНайдем катет Примеры сторон прямоугольного треугольника

Поскольку Примеры сторон прямоугольного треугольникаПримеры сторон прямоугольного треугольника

Ответ: 6 м.

Примеры решения прямоугольных треугольников

Решить треугольник означает найти его неизвестные стороны и углы по известным сторонам и углам. Прямоугольный треугольник можно решить по стороне и острому углу или по двум сторонам. Рассмотрим примеры конкретных задач на решение прямоугольных треугольников, пользуясь обозначениями рисунка 175. При этом договоримся округлять значения тригонометрических функций до тысячных, длины сторон — до сотых, а градусные меры углов — до единиц.

Пример №21

Решите прямоугольный треугольник по гипотенузе Примеры сторон прямоугольного треугольникаи острому углу Примеры сторон прямоугольного треугольника(см. рисунок).

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Решение:

Поскольку сумма острых углов прямоугольного треугольника равна Примеры сторон прямоугольного треугольника

Поскольку Примеры сторон прямоугольного треугольника

т.е. Примеры сторон прямоугольного треугольника

Поскольку Примеры сторон прямоугольного треугольника

т.е. Примеры сторон прямоугольного треугольника

Пример №22

Решите прямоугольный треугольник по катету Примеры сторон прямоугольного треугольникаи острому углу Примеры сторон прямоугольного треугольника(см. рисунок).

Решение:

Поскольку сумма острых углов прямоугольного треугольника равна Примеры сторон прямоугольного треугольника

Поскольку Примеры сторон прямоугольного треугольника

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Поскольку Примеры сторон прямоугольного треугольника

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Пример №23

Решите прямоугольный треугольник по гипотенузе Примеры сторон прямоугольного треугольникаи катету Примеры сторон прямоугольного треугольника(см. рисунок).

Решение:

По теореме Пифагора Примеры сторон прямоугольного треугольникаПримеры сторон прямоугольного треугольника

Поскольку Примеры сторон прямоугольного треугольникаоткуда Примеры сторон прямоугольного треугольника

Поскольку сумма острых углов прямоугольного треугольника равна Примеры сторон прямоугольного треугольника

Пример №24

Решите прямоугольный треугольник по катетам Примеры сторон прямоугольного треугольника(см. рисунок).

Решение:

По теореме Пифагора Примеры сторон прямоугольного треугольника

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Поскольку Примеры сторон прямоугольного треугольникаоткуда Примеры сторон прямоугольного треугольника

Поскольку сумма острых углов прямоугольного треугольника равна Примеры сторон прямоугольного треугольника

На отдельных этапах решения задач 1—4 можно использовать другие способы. Но следует заметить, что в том случае, когда одна из двух сторон треугольника найдена приближенно, для более точного нахождения третьей стороны целесообразно использовать определения тригонометрических функций.

Рассмотрим примеры применения решения треугольников в практических задачах.

Пример №25

Найдите высоту данного предмета (рис. 176).

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Решение:

На определенном расстоянии от данного предмета выберем точку Примеры сторон прямоугольного треугольникаи измерим угол Примеры сторон прямоугольного треугольника

Поскольку в прямоугольном треугольнике Примеры сторон прямоугольного треугольника

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Для определения высоты предмета необходимо прибавить к Примеры сторон прямоугольного треугольникавысоту Примеры сторон прямоугольного треугольникаприбора, с помощью которого измерялся угол. Следовательно, Примеры сторон прямоугольного треугольника

Пример №26

Насыпь шоссейной дороги имеет ширину 60 м в верхней части и 68 м в нижней. Найдите высоту насыпи, если углы наклона откосов к горизонту равны Примеры сторон прямоугольного треугольника

Решение:

Рассмотрим равнобедренную трапецию Примеры сторон прямоугольного треугольника(рис. 177), в которой Примеры сторон прямоугольного треугольникаПримеры сторон прямоугольного треугольника

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Проведем высоты Примеры сторон прямоугольного треугольникаПоскольку Примеры сторон прямоугольного треугольника(докажите это самостоятельно), то Примеры сторон прямоугольного треугольникаВ треугольнике Примеры сторон прямоугольного треугольника

Поскольку Примеры сторон прямоугольного треугольника

т.е. Примеры сторон прямоугольного треугольника

Ответ: Примеры сторон прямоугольного треугольника

Синусом острого угла Примеры сторон прямоугольного треугольниканазывается отношение противолежащего катета к гипотенузе:

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Косинусом острого угла Примеры сторон прямоугольного треугольниканазывается отношение прилежащего катета

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Тангенсом острого угла Примеры сторон прямоугольного треугольниканазывается отношение противолежащего катета к прилежащему:

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Котангенсом острого угла Примеры сторон прямоугольного треугольниканазывается отношение прилежащего катета к противолежащему:

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Тригонометрические тождества

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Значения тригонометрических функций некоторых углов

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Видео:Нахождение стороны прямоугольного треугольникаСкачать

Нахождение стороны прямоугольного треугольника

Историческая справка

Умение решать треугольники необходимо при рассмотрении многих практических задач, возникающих в связи с потребностями географии, астрономии, навигации. Поэтому элементы тригонометрии появились еще в Древнем Вавилоне в период интенсивного развития астрономии. В работе греческого ученого Птолемея «Альмагест» (II в. н. где изложена античная система мира, содержатся элементы сферической тригонометрии.

В Древней Греции вместо синуса угла Примеры сторон прямоугольного треугольникарассматривали длину хорды, соответствующей центральному углу Примеры сторон прямоугольного треугольникаДействительно, если радиус окружности равен единице, то Примеры сторон прямоугольного треугольникаизмеряется половиной такой хорды (проверьте это самостоятельно). Первые тригонометрические таблицы были составлены Гиппархом во II в. н.э.

Синус и косинус как вспомогательные величины использовались индийскими математиками в V в., а тангенс и котангенс впервые появились в работах арабского математика X в. Абу-аль-Вефы.

Как отдельный раздел математики тригонометрия выделилась в произведениях персидского ученого Насреддина Туси (1201-1274), а системное изложение тригонометрии первым из европейцев представил немецкий математик и механик Иоганн Мюллер (1436-1476), более известный под псевдонимом Региомонтан.

Современную форму изложения и современную символику тригонометрия приобрела благодаря Леонарду Эйлеру в XVIII в. Кроме известных вам четырех тригонометрических функций иногда рассматриваются еще две:

секанс Примеры сторон прямоугольного треугольника

и косеканс Примеры сторон прямоугольного треугольника

Приложения

Обобщенная теорема Фалеса и площадь прямоугольника

В ходе доказательства некоторых геометрических теорем используется процедура деления отрезка на некоторое количество равных частей. Это позволяет дать числовые оценки в виде неравенств и с их помощью получить противоречие.

В курсе геометрии 8 класса такой подход целесообразно применить для доказательства двух приведенных ниже теорем.

Теорема (обобщенная теорема Фалеса)

Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на сторонах этого угла пропорциональные отрезки.

По данным рисунка 180 докажем три формулы:

Примеры сторон прямоугольного треугольникаПримеры сторон прямоугольного треугольника

Докажем сначала формулу 1. Пусть отрезок Примеры сторон прямоугольного треугольникаможно разделить на Примеры сторон прямоугольного треугольникаравных отрезков так, что одна из точек деления совпадет с точкой Примеры сторон прямоугольного треугольникапричем на отрезке Примеры сторон прямоугольного треугольникабудут лежать Примеры сторон прямоугольного треугольникаточек деления. Тогда, проведя через точки деления прямые, параллельные Примеры сторон прямоугольного треугольникапо теореме Фалеса получим деление отрезков Примеры сторон прямоугольного треугольникасоответственно на Примеры сторон прямоугольного треугольникаравных отрезков. Следовательно, Примеры сторон прямоугольного треугольникачто и требовалось доказать.

Если описанное деление отрезка Примеры сторон прямоугольного треугольниканевозможно, то докажем формулу 1 от противного. Пусть Примеры сторон прямоугольного треугольника

Рассмотрим случай, когда Примеры сторон прямоугольного треугольника(другой случай рассмотрите самостоятельно).

Отложим на отрезке Примеры сторон прямоугольного треугольникаотрезок Примеры сторон прямоугольного треугольника(рис. 181).

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Разобьем отрезок Примеры сторон прямоугольного треугольникана такое количество равных отрезков чтобы одна из точек деления Примеры сторон прямоугольного треугольникапопала на отрезок Примеры сторон прямоугольного треугольникаПроведем через точки деления прямые, параллельные Примеры сторон прямоугольного треугольникаПусть прямая, проходящая через точку Примеры сторон прямоугольного треугольникапересекает луч Примеры сторон прямоугольного треугольникав точке Примеры сторон прямоугольного треугольникаТогда по доказанному Примеры сторон прямоугольного треугольникаУчитывая, что в этой пропорции Примеры сторон прямоугольного треугольникаимеем: Примеры сторон прямоугольного треугольника

Это неравенство противоречит выбору длины отрезка Примеры сторон прямоугольного треугольникаСледовательно, формула 1 доказана полностью.

Докажем формулы 2 и 3. Пользуясь обозначениями рисунка 180,
по формуле 1 имеем Примеры сторон прямоугольного треугольникаРазделив в каждом из этих равенств числитель на знаменатель, получим: Примеры сторон прямоугольного треугольника

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Откуда Примеры сторон прямоугольного треугольникаТаким образом, доказано, что Примеры сторон прямоугольного треугольникат.е. формулы 2 и 3 выполняются.

Теорема доказана полностью.

Из курса математики 5 класса известно, что площадь прямоугольника равна произведению двух его соседних сторон. Так, на рисунке 182 дан прямоугольник Примеры сторон прямоугольного треугольникакоторый делится на 15 квадратов площадью 1. Следовательно, по аксиомам площади, его площадь равна 15 кв. ед., то есть Рис- 182. Примеры сторон прямоугольного треугольникакв. ед.

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Таким способом легко найти площадь прямоугольника, у которого длины сторон выражены любыми целыми числами. Но справедливость этой формулы при условии, что длины сторон прямоугольника не являются целыми числами,— совсем неочевидная теорема. Докажем ее.

Теорема (формула площади прямоугольника)

Площадь прямоугольника равна произведению его соседних сторон:

Примеры сторон прямоугольного треугольника— стороны прямоугольника.

Докажем сначала, что площади прямоугольников с одним равным измерением относятся как длины других измерений.

Пусть прямоугольники Примеры сторон прямоугольного треугольникаимеют общую сторону Примеры сторон прямоугольного треугольника(рис. 183,
Примеры сторон прямоугольного треугольника

Разобьем сторону Примеры сторон прямоугольного треугольникаравных частей. Пусть на отрезке Примеры сторон прямоугольного треугольникалежит Примеры сторон прямоугольного треугольникаточек деления, причем точка деления Примеры сторон прямоугольного треугольникаимеет номер Примеры сторон прямоугольного треугольникаа точка Примеры сторон прямоугольного треугольника—номер Примеры сторон прямоугольного треугольникаТогда Примеры сторон прямоугольного треугольникаоткуда — Примеры сторон прямоугольного треугольника

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Теперь проведем через точки деления прямые, параллельные Примеры сторон прямоугольного треугольникаОни разделят прямоугольник Примеры сторон прямоугольного треугольникаравных прямоугольников (т. е. таких, которые совмещаются при наложении). Очевидно, что прямоугольник Примеры сторон прямоугольного треугольникасодержится внутри прямоугольника Примеры сторон прямоугольного треугольникаа прямоугольник Примеры сторон прямоугольного треугольникасодержит прямоугольник Примеры сторон прямоугольного треугольника

Следовательно, Примеры сторон прямоугольного треугольника

Имеем: Примеры сторон прямоугольного треугольника

Сравнивая выражения для Примеры сторон прямоугольного треугольникаубеждаемся, что оба эти отношения расположены между Примеры сторон прямоугольного треугольникат.е. отличаются не больше чем на Примеры сторон прямоугольного треугольниканатуральное число). Докажем от противного, что эти отношения равны.

Действительно, если это не так, т.е. Примеры сторон прямоугольного треугольникатакое натуральное число Примеры сторон прямоугольного треугольникачто Примеры сторон прямоугольного треугольникаПолученное противоречие доказывает, что площади прямоугольников с одним равным измерением относятся как длины других измерений.

Рассмотрим теперь прямоугольники Примеры сторон прямоугольного треугольникасо сторонами Примеры сторон прямоугольного треугольника Примеры сторон прямоугольного треугольникасо сторонами Примеры сторон прямоугольного треугольникаи 1 и квадрат Примеры сторон прямоугольного треугольникасо стороной 1 (рис. 183, б).

Тогда по доказанному Примеры сторон прямоугольного треугольника

Поскольку Примеры сторон прямоугольного треугольникакв. ед., то, перемножив полученные отношения, имеем Примеры сторон прямоугольного треугольника

Золотое сечение

С давних времен люди старались познать мир путем поиска гармонии и совершенства. Одним из вопросов, которыми задавались еще древние греки, был поиск наилучшего соотношения неравных частей одного целого. Таким соотношением еще со времен Пифагора считали гармоническое деление, при котором меньшая часть относится к большей, как большая часть относится ко всему целому. Такое деление отрезка на части описано во II книге «Начал» Евклида и названо делением в среднем и крайнем отношении. Рассмотрим деление отрезка Примеры сторон прямоугольного треугольникаточкой Примеры сторон прямоугольного треугольникапри котором Примеры сторон прямоугольного треугольника(рис. 184). Пусть длина отрезка Примеры сторон прямоугольного треугольникаравна Примеры сторон прямоугольного треугольникаа длина отрезка Примеры сторон прямоугольного треугольникаравна Примеры сторон прямоугольного треугольникаТогда

Примеры сторон прямоугольного треугольникаОтсюда Примеры сторон прямоугольного треугольникаПоскольку Примеры сторон прямоугольного треугольникато геометрический смысл имеет только значение Примеры сторон прямоугольного треугольникаЗначит, если длина данного отрезка равна 1, то при делении в крайнем и среднем отношении его большая часть приблизительно равна 0,6. Полученное число обозначают греческой буквой Примеры сторон прямоугольного треугольникаКроме того, часто рассматривают и отношение Примеры сторон прямоугольного треугольникаЗаметим, что Примеры сторон прямоугольного треугольника— первая буква имени древнегреческого скульптора Фидия, который часто использовал такое деление в своем творчестве (в частности, в знаменитой статуе Зевса Олимпийского, которую считают одним из семи чудес света).

В эпоху Возрождения (XV—XVII вв.) интерес к гармоническому делению чрезвычайно возрос. Выдающийся ученый и художник Леонардо да Винчи (1452—1519) назвал такое деление золотым сечением, а его современник и соотечественник, итальянский монах-математик Лука Па-чоли (1445—1514) — божественной пропорцией. Золотое сечение и близкие к нему пропорциональные отношения составляли основу композиционного построения многих произведений мирового искусства, в частности архитектуры Античности и Возрождения. Одно из величайших сооружений Древней Эллады — Парфенон в Афинах (V в. до н. э.) — содержит в себе золотые пропорции (в частности, отношение высоты к длине этого сооружения равно Примеры сторон прямоугольного треугольника

Итак, дадим определение золотому сечению.

Определение:

Золотым сечением называется такое деление величины на две неравные части, при котором меньшая часть относится к большей, как большая часть относится ко всему целому.

Иначе говоря, золотое сечение — это деление величины в отношении Примеры сторон прямоугольного треугольника(или Примеры сторон прямоугольного треугольника

Построить золотое сечение отрезка заданной длины Примеры сторон прямоугольного треугольникас помощью циркуля и линейки довольно просто: для этого достаточно построить прямоугольный треугольник с катетами Примеры сторон прямоугольного треугольникаи провести две дуги из вершин острых углов так, как показано на рисунке 185.

Примеры сторон прямоугольного треугольника

По теореме о пропорциональности отрезков секущей и касательной Примеры сторон прямоугольного треугольникаПоскольку по построению Примеры сторон прямоугольного треугольникаи Примеры сторон прямоугольного треугольникапо определению золотого сечения. Следовательно, Примеры сторон прямоугольного треугольникаУбедиться в правильности построения можно также с помощью теоремы Пифагора (сделайте это самостоятельно.)

С золотым сечением связывают геометрические фигуры, при построении которых используются отношения Примеры сторон прямоугольного треугольникаРассмотрим некоторые из них.

Равнобедренный треугольник называется золотым, если две его стороны относятся в золотом сечении. Докажем, что треугольник с углами Примеры сторон прямоугольного треугольника(рис. 186, а) является золотым. Действительно, пусть в треугольнике Примеры сторон прямоугольного треугольникабиссектриса. Тогда Примеры сторон прямоугольного треугольникапо двум углам. Следовательно, Примеры сторон прямоугольного треугольникат. е. треугольник Примеры сторон прямоугольного треугольника— золотой.

И наоборот: если в равнобедренном треугольнике Примеры сторон прямоугольного треугольникато такой треугольник подобен треугольнику Примеры сторон прямоугольного треугольникат. е. имеет углы Примеры сторон прямоугольного треугольника

Предлагаем самостоятельно убедиться в том, что золотым является также треугольник с углами Примеры сторон прямоугольного треугольника(рис. 186, б) и других золотых треугольников не существует.

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Золотые треугольники связаны с правильным пятиугольником (т.е. выпуклым пятиугольником, у которого все стороны равны и все углы равны).

В правильном пятиугольнике:

1) диагональ относится к стороне в золотом сечении;

2) точка пересечения диагоналей делит каждую из них в золотом сечении;

3) диагональ делит другую диагональ на два отрезка, один из которых делится в золотом сечении еще одной диагональю.

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Согласно обозначениям рисунка 187 это означает, что Примеры сторон прямоугольного треугольникаДля доказательства этих свойств достаточно заметить, что в правильном пятиугольнике все углы равны Примеры сторон прямоугольного треугольникаследовательно, треугольники Примеры сторон прямоугольного треугольникаявляются золотыми. Подробные доказательства предлагаем провести самостоятельно.

Диагонали правильного пятиугольника образуют звезду, которая в древние времена олицетворяла совершенство и имела мистическое значение. Пифагорейцы называли ее пентаграммой и избрали символом своей научной школы. В наши дни пятиконечная звезда — самая распространенная геометрическая фигура на флагах и гербах многих стран (приведите соответствующие примеры из истории и географии).

Прямоугольник называется золотым, если его стороны относятся в золотом сечении. Для построения золотого прямоугольника произвольный квадрат перегибаем пополам (рис. 188, а), проводим диагональ одного из полученных прямоугольников (рис. 188, б) и радиусом, равным этой диагонали, проводим дугу окружности с центром Примеры сторон прямоугольного треугольника(рис. 188, в). Полученный прямоугольник Примеры сторон прямоугольного треугольника— золотой (убедитесь в этом самостоятельно).

Примеры сторон прямоугольного треугольника
Если от золотого прямоугольника отрезать квадрат со стороной, равной меньшей стороне прямоугольника, то оставшийся прямоугольник также будет золотым. Действительно, на рисунке 189, а имеем Примеры сторон прямоугольного треугольникатогда Примеры сторон прямоугольного треугольникаНеограниченно продолжая этот процесс (рис. 189, б), можно получить так называемые вращающиеся квадраты, и весь данный прямоугольник будет составлен из таких квадратов.Примеры сторон прямоугольного треугольника

Через противолежащие вершины квадратов проходит так называемая золотая спираль, которая часто встречается в природе. Например, по принципу золотой спирали располагаются семена в подсолнечнике; по золотой спирали закручены раковины улиток, рога архаров, паутина отдельных видов пауков и даже наша Солнечная система, как и некоторые другие галактики.

Отметим также, что золотое сечение имеет немало алгебраических свойств. Отношение Примеры сторон прямоугольного треугольникаприближенно может быть выражено дробями Примеры сторон прямоугольного треугольникатак называемые числа Фибоначчи. Приведем без доказательства две алгебраические формулы, связанные с числами Примеры сторон прямоугольного треугольника

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Золотое сечение, золотые многоугольники и золотая спираль являются математическими воплощениями идеальных пропорций в природе. Недаром великий немецкий поэт Иоганн Вольфганг Гете считал их математическими символами жизни и духовного развития.
Приложение 3. Таблица значений тригонометрических функций

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Значение тригонометрических функций острых углов можно приближенно определять с помощью специальных таблиц. Одна из таких таблиц представлена выше.

Таблица составлена с учетом формул дополнения. В двух крайних столбцах указаны градусные меры углов (в левом — от Примеры сторон прямоугольного треугольникав правом — от Примеры сторон прямоугольного треугольникаМежду этими столбцами содержатся четыре столбца значений тригонометрических функций:

1-й — синусы углов от Примеры сторон прямоугольного треугольника(или косинусы углов от Примеры сторон прямоугольного треугольника

2-й — тангенсы углов от Примеры сторон прямоугольного треугольника(или котангенсы углов от Примеры сторон прямоугольного треугольника

3-й — котангенсы углов от Примеры сторон прямоугольного треугольника(или тангенсы углов от Примеры сторон прямоугольного треугольника

4-й — косинусы углов от Примеры сторон прямоугольного треугольника(или синусы углов от Примеры сторон прямоугольного треугольника

Рассмотрим несколько примеров применения данной таблицы. 1) Определим Примеры сторон прямоугольного треугольникаПоскольку Примеры сторон прямоугольного треугольниканайдем в крайнем левом столбце значение 25 и рассмотрим соответствующую строку первого столбца значений. Углу Примеры сторон прямоугольного треугольникав ней соответствует число 0,423. Следовательно, Примеры сторон прямоугольного треугольника

2) Определим Примеры сторон прямоугольного треугольникаПоскольку 45° ے C = 90° (рис. 412).

Доказать: Примеры сторон прямоугольного треугольника

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Доказательство. Проведём из вершины прямого угла С высоту CD. Каждый катет прямоугольного треугольника является средним пропорциональным между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу. Поэтому Примеры сторон прямоугольного треугольникаи Примеры сторон прямоугольного треугольника. Сложив равенства почленно и зная, что AD+ DB= АВ, получим: Примеры сторон прямоугольного треугольника. Следовательно, Примеры сторон прямоугольного треугольника

Если а и b — катеты прямоугольного треугольника, с — его гипотенуза, то из формулы Примеры сторон прямоугольного треугольникаполучим следующие формулы:

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Используя эти формулы, по двум любым сторонам прямоугольного треугольника находим его третью сторону (табл. 28).

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Справедлива и теорема, обратная теореме Пифагора: если квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то этот треугольник — прямоугольный.

Согласно теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник со сторонами 3 см, 4 см и 5 см — прямоугольный, поскольку Примеры сторон прямоугольного треугольника. Такой треугольник иногда называют египетским.

Пример №27

Сторона ромба равна 10 см, а одна из его диагоналей — 16 см. Найдите другую диагональ ромба.

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Решение:

Пусть ABCD— ромб (рис. 413), АС= 16см,AD = 10см. Найдём диагональ BD. Как известно, диагонали ромба пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам. Поэтому ∆AOD — прямоугольный ( ے 0= 90°). АС 16

В нём: катет Примеры сторон прямоугольного треугольникагипотенуза AD= 10 см.

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Для того чтобы найти определённый элемент фигуры (сторону, высоту, диагональ), выделите на рисунке прямоугольный треугольник, воспользовавшись свойствами фигуры, и примените теорему Пифагора.

Примеры сторон прямоугольного треугольникаПримеры сторон прямоугольного треугольника

Пусть ВС — перпендикуляр, проведённый из точки В на прямую а (рис. 414). Возьмём произвольную точку А на прямой а, отличную от точки С, и соединим точки А и В. Отрезок АВ называется наклонной, проведённой из точки В на прямую а. Точка А называется основанием наклонной, а отрезок АС — проекцией наклонной.

Наклонные имеют следующие свойства. Если из данной точки к прямой провести перпендикуляр и наклонные, то:

  1. любая наклонная больше перпендикуляра;
  2. равные наклонные имеют равные проекции;
  3. из двух наклонных больше та, проекция которой больше.

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Покажем, что свойства наклонных следуют из теоремы Пифагора.

  1. По теореме Пифагора, Примеры сторон прямоугольного треугольника(рис. 415), тогда Примеры сторон прямоугольного треугольникаили АВ > ВС.
  2. Из прямоугольных треугольников ABD и CBD (рис. 416) имеем:
  3. Примеры сторон прямоугольного треугольникаПоскольку в этих равенствах АВ = ВС (по условию), то AD = DC.
  4. Из прямоугольных треугольников ABD и CBD (рис. 417) имеем: Примеры сторон прямоугольного треугольника. В этих равенствах AD > DC. Тогда АВ > ВС.

Пример №28

Из точки к прямой проведены две наклонные, проекции которых равны 5 см и 9 см. Найдите наклонные, если одна из них на 2 см больше другой.

Решение:

Пусть AD = 5 см, DC = 9 см (рис. 418). Поскольку AD ے A = a (рис. 441). Вы знаете, что катет а — противолежащий углу а, катет b — прилежащий к углу a . Отношение каждого катета к гипотенузе, а также катета к катету имеют специальные обозначения:

  • — отношение Примеры сторон прямоугольного треугольникаобозначают sin а и читают «синус альфа»;
  • — отношение Примеры сторон прямоугольного треугольникаобозначают cos а и читают «косинус альфа»;
  • — отношение Примеры сторон прямоугольного треугольникаобозначают tg а и читают «тангенс альфа».

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Сформулируем определения sin a, cos а и tg а.

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

Отношение сторон прямоугольного треугольника и их обозначения указаны в Примеры сторон прямоугольного треугольника

Зависят ли синус, косинус и тангенс острого угла от размеров треугольника?

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Нет, не зависят. Итак, пусть ABC и Примеры сторон прямоугольного треугольника-два прямоугольных треугольника, в которых Примеры сторон прямоугольного треугольника(рис. 442). Тогда Примеры сторон прямоугольного треугольникапо двум углам (Примеры сторон прямоугольного треугольника). Соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны: Примеры сторон прямоугольного треугольника

Из этих равенств следует:

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Следовательно, в прямоугольных треугольниках с одним и тем же острым углом синусы этого утла равны, косинусы и тангенсы — равны. Если градусную меру угла изменить, то изменится и соотношение сторон прямоугольного треугольника. Это означает, что синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника зависят только от градусной меры угла и не зависят от размеров треугольника.

По исходному значению sin A, cos А или tg А можно построить угол А.

Пример №29

Постройте угол, синус которого равен Примеры сторон прямоугольного треугольника.

Решение:

Выбираем некоторый единичный отрезок (1 мм, 1 см, 1 дм). Строим прямоугольный треугольник, катет ВС которого равен двум единичным отрезкам, а гипотенуза АВ — трём (рис. 443). Угол А, лежащий против катета ВС, — искомый, поскольку sin А = Примеры сторон прямоугольного треугольника

Примеры сторон прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике любой из двух катетов меньше гипотенузы. Поэтому sin а ے C = а (рис. 452). Проведём высоту BD. В прямоугольном треугольнике DBCкатет DC, прилежащий к углу а, равен произведению гипотенузы а на cos a: DC = a cos а. Поскольку высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, является медианой, то DC = AD. Тогда основание АС = 2 DC =2 a cos а.

В этой главе вы ознакомились с новыми приёмами вычисления длин сторон и градусных мер углов прямоугольного треугольника. Может возникнуть вопрос: Какова необходимость использования этих приёмов? Вы знаете, что в древности расстояния и углы сначала измеряли непосредственно инструментами. Например, транспортиром пользовались вавилоняне ещё за 2 ООО лет до н. э.

Но на практике непосредственно измерять расстояния и углы не всегда возможно. Как вычислить расстояние между двумя пунктами, которые разделяет препятствие (река, озеро, лес), расстояние до Солнца, Луны, как измерить высоту дерева, горы, как найти угол подъёма дороги либо угол при спуске с горы? Поэтому были открыты приёмы опосредствованного измерения расстояний и углов. При этом использовали равные либо подобные треугольники и геометрические построения. Строили на местности вспомогательный треугольник и измеряли необходимые его элементы.

Итак, вы знаете, как определить расстояние между пунктами А и В, разделёнными препятствием (рис. 453). Для этого строим ∆COD = ∆АОВ и вместо искомого расстояния Ив измеряем равное ему расстояние CD.

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Но при использовании этих приёмов получали недостаточно точные результаты, особенно при измерении значительных расстояний на местности. Кроме того, без угломерных инструментов нельзя найти градусные меры углов по длинам тех или других отрезков. Поэтому возникла необходимость в таких приёмах, когда непосредственные измерения сводились к минимуму, а результаты получали преимущественно вычислением элементов прямоугольного треугольника. В основе таких приёмов лежит использование cos а, sin а и tg а. Накопление вычислительных приёмов решения задач обусловило создание нового раздела математики, который в XVI в. назвали тригонометрией. Слово «тригонометрия» происходит от греческих слов trigonon — треугольник и metreo — измеряю. Греческих математиков Гиппарха (II в. до н. э.) и Птолемея (II в.) считают первыми, кто использовал тригонометрические приёмы для решения разных задач. В дальнейшем их усовершенствовали индийский математик Брамагупта (VI в.), узбекские математики аль-Каши и Улугбек (XII в.). В работах академика Леонарда Эйлера (XVIII в.) тригонометрия приобретает тот вид, который в основном имеет и в наше время.

Вычисление значений sin a, cos а и tg а

ЕЭ| Пусть в прямоугольном треугольнике ABC ZA = а, тогда ZB — 90° — а (рис. 467). Из определения синуса и косинуса следует:

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Примеры сторон прямоугольного треугольникаСравнивая эти два столбца, находим: sin а = cos (90° — а), cos а = sin (90° — а).

Как видим, между синусом и косинусом углов а и 90° — а, которые дополняют друг друга до 90°, существует зависимость: синус одного из этих углов равен косинусу другого.

Например: Примеры сторон прямоугольного треугольника

Примеры сторон прямоугольного треугольникаПримеры сторон прямоугольного треугольника

Найдём значения синуса, косинуса и тангенса для углов 45°, 30°, 60°. 1) Для угла 45°. Пусть ABC — прямоугольный треугольник с гипотенузой С и ے A = 45° (рис. 468). Тогда ے B = 45°. Следовательно, ∆ABC — равнобедренный. Пусть АС = ВС = а. Согласно теореме Пифагора,

Примеры сторон прямоугольного треугольника

2) Для углов 30° и 60°.

Пусть ABC — прямоугольный треугольник с гипотенузой с и ے A = 30″ (рис. 469). Найдём катеты АС и ВС.

ВС = Примеры сторон прямоугольного треугольникакак катет, лежащий против угла 30°.

Согласно теореме Пифагора, Примеры сторон прямоугольного треугольника

ТогдаПримеры сторон прямоугольного треугольника

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Если в прямоугольном треугольнике ABC ے A = 30° (рис. 469),

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Составим таблицу 35 значений синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45°, 60°

Таблица 35 Примеры сторон прямоугольного треугольника

Из таблицы видно, что при увеличении угла синус и тангенс острого угла возрастают, а косинус — уменьшается. При уменьшении угла синус и тангенс острого угла уменьшаются, а косинус — увеличивается. Примеры сторон прямоугольного треугольника

Пример №31

Сторона ромба равна 6 см, а один из его углов Найдите высоту ромба.

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Решение:

Пусть ABCD — ромб (рис. 470), в котором АВ = 6 см, ے А = 60°. Проведём высоту ВМ. Из прямоугольного треугольника АВМ: Примеры сторон прямоугольного треугольникаКак вычислить значения синусов, косинусов и тангенсов углов, отличных от 30°, 45°, 60°?

При помощи инженерных калькуляторов (или программы «калькулятор» компьютера) либо специальных таблиц можно решить две задачи:

1) для заданного угла а найти sin a, cos а, tg а;

2) по заданному значению sin a, cos а, tg а найти угол а.

Если вы используете калькулятор, а угол указан в градусах и минутах, то минуты переведите в десятые доли градуса (разделите их на 60). Например, для угла 55°42° получите 55,7°. Если, например, для cos Примеры сторон прямоугольного треугольника0,8796 нашли Примеры сторон прямоугольного треугольника28,40585° то доли градуса переведите в минуты (умножьте дробную часть на 60). Округлив, получите: Примеры сторон прямоугольного треугольника28°24°.

Значение sin a, cos а, tg а находим по таблицам.

Таблица синусов и косинусов (см. приложение 1) состоит из четырёх столбцов. В первом столбце слева указаны градусы от 0° до 45°, а в четвёртом — от 90° до 45°. Над вторым и третьим столбцами указаны названия «синусы» и «косинусы», а в нижней части этих столбцов — «косинусы» и «синусы».

Верхние названия «синусы» и «косинусы» отображают значения углов, которые меньше 45°, а нижние — больше 45°. Например, по таблице находим: sin34° Примеры сторон прямоугольного треугольника0,559, cos67° Примеры сторон прямоугольного треугольника0,391, sin85° Примеры сторон прямоугольного треугольника0,996 и т. д. По таблице можно найти угол а по заданному значению sin a, cos а. Например, нужно найти угол а, если sin Примеры сторон прямоугольного треугольника0,615. В столбцах синусов находим число, приближённое к 0,615. Таким числом является 0,616. Следовательно, Примеры сторон прямоугольного треугольника38″.

Таблица тангенсов (см. приложение 2) состоит из двух столбцов: в одном указаны углы от 0° до 89°, в другом — значения тангенсов этих углов.

Например, tg 19° Примеры сторон прямоугольного треугольника0,344. Если tg Примеры сторон прямоугольного треугольника0,869, то Примеры сторон прямоугольного треугольника41°.

1. Вы уже знаете, что каждой градусной мере угла а прямоугольного треугольника соответствует единственное значение sin a, cos а, tg а. Поэтому синус, косинус и тангенс угла а являются функциями данного угла. Эти функции называются тригонометрическими функциями, аргумент которых изменяется от О° до 90°.

2. Уточним происхождение слова «косинус». Именно равенство cos а = sin (90° — а) явилось основой образования латинского слова cosinus — дополнительный синус, то есть синус угла, дополняющий заданный до 90°.

3. Первые таблицы синусов углов от 0° до 90° составил греческий математик Гиппарх (II в. до н. э.). Эти таблицы не сохранились. Нам известны только тригонометрические таблицы, помещённые в работе «Альмагест» александрийского учёного Клавдия Птолемея (II в.). Птолемей Также сохранились таблицы синусов и косинусов индийского учёного Ариаб-хаты (V в.), таблицы тангенсов арабских учёных аль-Баттани и Абу-ль-Вефа (X в.).

Как решать прямоугольные треугольники

Решить прямоугольный треугольник — это означает по заданным двум сторонам либо стороне и острому углу найти другие его стороны и острые углы.

Возможны следующие виды задач, в которых требуется решить прямоугольный треугольник по: 1) катетам; 2) гипотенузе и катету; 3) гипотенузе и острому углу; 4) катету и острому углу. Алгоритмы решения этих четырёх видов задач изложены в таблице 36.

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Пример №32

Решите прямоугольный треугольник по гипотенузе с= 16 и углу а = 76°21′ (рис. 482).

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Решение. Это задача третьего вида. Алгоритм её решения указан в таблице 38.

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Решение многих прикладных задач основано на решении прямоугольных треугольников. Рассмотрим некоторые виды прикладных задач.

1. Задачи на нахождение высоты предмета, основание которого доступно.

Пример №33

Найдите высоту дерева (рис. 483).

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Решение:

На некотором расстоянии MN= а от дерева устанавливаем угломерный прибор AM (например, теодолит) и находим угол а между горизонтальным направлением АС и направлением на верхнюю точку В дерева. Из прямоугольного треугольника ABC получим: ВС= a • tg а. С учётом высоты угломерного прибора AM= h имеем формулу для вычисления высоты дерева: BN= о • tg а + h.

Пусть результаты измерения следующие: Примеры сторон прямоугольного треугольника.

Тогда Примеры сторон прямоугольного треугольника(м).

2. Задачи на нахождение высоты предмета, основание которого недоступно.

Пример №34

Найдите высоту башни, которая отделена от вас рекой (рис. 484).

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Решение:

На горизонтальной прямой, проходящей через основание башни (рис. 484), обозначим две точки М и N, измерим отрезок MN= а и углы Примеры сторон прямоугольного треугольника. Из прямоугольных треугольников ADC и BDC получим: Примеры сторон прямоугольного треугольника

Почленно вычитаем полученные равенства: Примеры сторон прямоугольного треугольника

Отсюда Примеры сторон прямоугольного треугольника

Следовательно, Примеры сторон прямоугольного треугольника

Прибавив к DC высоту прибора AM= Н, которым измеряли углы, получим

формулу для вычисления высоты башни: Примеры сторон прямоугольного треугольника

Пусть результаты измерения следующие: Примеры сторон прямоугольного треугольника

Тогда Примеры сторон прямоугольного треугольника

3. Задачи на нахождение расстояния между двумя пунктами, которые разделяет препятствие.

Пример №35

Найдите расстояние между пунктами А и В, разделёнными рекой (рис. 485).

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Решение:

Провешиваем прямую Примеры сторон прямоугольного треугольникаи отмечаем на ней точку С. Измеряем расстояние АС= а и угол а. Из прямоугольного треугольника ABC получим формулу АВ= a- tg а для определения расстояния между пунктами А и В. Пусть результаты измерения следующие: Примеры сторон прямоугольного треугольника

Тогда АВ = Примеры сторон прямоугольного треугольника

4. Задачи на нахождение углов (угла подъёма дороги; угла уклона; угла, под которым виден некоторый предмет, и т. д.).

Пример №36

Найдите угол подъёма шоссе, если на расстоянии 200 м высота подъёма составляет 8 м.

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Решение:

На рисунке 486 угол a — это угол подъёма дороги, АС— горизонтальная прямая. Проведём Примеры сторон прямоугольного треугольника, тогда ВС- высота подъёма дороги. По условию, АВ = 200 м, ВС = 8 м. Угол a найдём из прямоугольного треугольника Примеры сторон прямоугольного треугольникаТогда Примеры сторон прямоугольного треугольника

У вас может возникнуть вопрос: Почему в геометрии особое внимание уделяется прямоугольному треугольнику, хотя не часто встречаются предметы подобной формы?

Итак, поразмышляем. Как в химии изучают вначале элементы, а затем — их соединения, в биологии — одноклеточные, а потом — многоклеточные организмы, так и в геометрии изучают сначала простые геометрические фигуры — точки, отрезки и треугольники, из которых состоят другие геометрические фигуры. Среди этих фигур прямоугольный треугольник играет особую роль. Действительно, любой многоугольник можно разбить на треугольники (рис. 487).

Примеры сторон прямоугольного треугольникаПримеры сторон прямоугольного треугольника

Умея находить угловые и линейные элементы этих треугольников, можно найти все элементы многоугольника. В свою очередь, любой треугольник можно разбить одной из его высот на два прямоугольных треугольника, элементы которых связаны более простой зависимостью (рис. 488). Найти элементы треугольника можно, если свести задачу к решению этих двух прямоугольных треугольников. Проиллюстрируем это на примере.

Пример №37

Примеры сторон прямоугольного треугольника(рис. 489). Найдите ے B, ے C и сторону а.

Решение:

Проведём высоту BD. Точка D будет лежать между точками А и С, поскольку ے A — острый и b> с.

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Из прямоугольного треугольника ABD:

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Из прямоугольного треугольника Примеры сторон прямоугольного треугольника

Из прямоугольного треугольника BDC:Примеры сторон прямоугольного треугольникаПримеры сторон прямоугольного треугольника

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Параллелограмм
  • Теорема синусов и теорема косинусов
  • Параллельность прямых и плоскостей
  • Перпендикулярность прямой и плоскости
  • Площадь трапеции
  • Центральные и вписанные углы
  • Углы и расстояния в пространстве
  • Подобие треугольников

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Площадь прямоугольного треугольника. Как найти площадь прямоугольного треугольника?Скачать

Площадь прямоугольного треугольника. Как найти площадь прямоугольного треугольника?

Как найти стороны прямоугольного треугольника

Видео:Свойства прямоугольного треугольника. Практическая часть. 7 класс.Скачать

Свойства прямоугольного треугольника. Практическая часть.  7 класс.

Онлайн калькулятор

Примеры сторон прямоугольного треугольника

Чтобы вычислить длины сторон прямоугольного треугольника вам нужно знать следующие параметры (либо-либо):

  • для гипотенузы (с):
    • длины катетов a и b
    • длину катета (a или b) и прилежащий к нему острый угол (β или α, соответственно)
    • длину катета (a или b) и противолежащий к нему острый угол (α или β, соответственно)
  • для катета:
    • длину гипотенузы (с) и длину одного из катетов
    • длину гипотенузы (с) и прилежащий к искомому катету (a или b) острый угол (β или α, соответственно)
    • длину гипотенузы (с) и противолежащий к искомому катету (a или b) острый угол (α или β, соответственно)
    • длину одного из катетов (a или b) и прилежащий к нему острый угол (β или α, соответственно)
    • длину одного из катетов (a или b) и противолежащий к нему острый угол (α или β, соответственно)

Введите их в соответствующие поля и получите результат.

Найти гипотенузу (c)

Найти гипотенузу по двум катетам

Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны оба катета (стороны a и b)?

Формула

следовательно: c = √ a² + b²

Пример

Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 3 см, а катет b = 4 см:

c = √ 3² + 4² = √ 9 + 16 = √ 25 = 5 см

Найти гипотенузу по катету и прилежащему к нему острому углу

Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны один из катетов (a или b) и прилежащий к нему угол?

Формула
Пример

Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а прилежащий к нему ∠β = 60°:

c = 2 / cos(60) = 2 / 0.5 = 4 см

Найти гипотенузу по катету и противолежащему к нему острому углу

Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны один из катетов (a или b) и противолежащий к нему угол?

Формула
Пример

Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а противолежащий к нему ∠α = 30°:

c = 2 / sin(30) = 2 / 0.5 = 4 см

Найти гипотенузу по двум углам

Найти гипотенузу прямоугольного треугольника только по двум острым углам невозможно.

Найти катет

Найти катет по гипотенузе и катету

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и второй катет?

Формула
Пример

Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 5 см, а катет b = 4 см:

a = √ 5² — 4² = √ 25 — 16 = √ 9 = 3 см

Найти катет по гипотенузе и прилежащему к нему острому углу

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и прилежащий к искомому катету острый угол?

Формула
Пример

Для примера посчитаем чему равен катет b прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 5 см, а ∠α = 60°:

b = 5 ⋅ cos(60) = 5 ⋅ 0.5 = 2.5 см

Найти катет по гипотенузе и противолежащему к нему острому углу

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и противолежащий к искомому катету острый угол?

Формула
Пример

Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 4 см, а ∠α = 30°:

a = 4 ⋅ sin(30) = 4 ⋅ 0.5 = 2 см

Найти катет по второму катету и прилежащему к нему острому углу

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известен другой катет и прилежащий к нему острый угол?

Формула
Пример

Для примера посчитаем чему равен катет b прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а ∠β = 45°:

b = 2 ⋅ tg(45) = 2 ⋅ 1 = 2 см

Найти катет по второму катету и противолежащему к нему острому углу

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известен другой катет и противолежащий к нему острый угол?

Формула
Пример

Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если катет b = 3 см, а ∠β = 35°:

📸 Видео

Решение прямоугольных треугольниковСкачать

Решение прямоугольных треугольников

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

Профильный ЕГЭ 2024. Задача 1. Прямоугольный треугольник. 10 классСкачать

Профильный ЕГЭ 2024. Задача 1. Прямоугольный треугольник. 10 класс

8 класс, 16 урок, Теорема ПифагораСкачать

8 класс, 16 урок, Теорема Пифагора

Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать

Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnline

Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.Скачать

Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.

ТРИГОНОМЕТРИЯ с нуля — Синус, косинус, тангенс и котангенс острого углаСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ с нуля — Синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла

Периметр треугольника. Как найти периметр треугольника?Скачать

Периметр треугольника. Как найти периметр треугольника?

ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать

ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | Математика

7 класс, 35 урок, Некоторые свойства прямоугольных треугольниковСкачать

7 класс, 35 урок, Некоторые свойства прямоугольных треугольников
Поделиться или сохранить к себе: