Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

Окружность, описанная около треугольника.
Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов
Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружностьСерединный перпендикуляр к отрезку
Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружностьОкружность описанная около треугольника
Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружностьСвойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружностьДоказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

Содержание
  1. Серединный перпендикуляр к отрезку
  2. Окружность, описанная около треугольника
  3. Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
  4. Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности
  5. Дан треугольник постройте окружность описанную около него
  6. Вписанные и описанные треугольники. Еще две формулы площади треугольника. Теорема синусов
  7. ИЗОБРАЖЕНИЕ ВПИСАННЫХ И ОПИСАННЫХ ОКОЛО ОК-РУЖНОСТИ МНОГОУГОЛЬНИКОВ
  8. Коммуникативный педагогический тренинг: способы взаимодействия с разными категориями учащихся
  9. Дистанционное обучение как современный формат преподавания
  10. Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
  11. Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
  12. Дистанционные курсы для педагогов
  13. Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
  14. Материал подходит для УМК
  15. Другие материалы
  16. Вам будут интересны эти курсы:
  17. Оставьте свой комментарий
  18. Автор материала
  19. Дистанционные курсы для педагогов
  20. Подарочные сертификаты
  21. Постройте окружность описанную около данного треугольника?
  22. Дан треугольник?
  23. Постройте окружность , описанную около тупоугольного треугольника?
  24. Дан треугольник?
  25. Постройте окружность, описанную около тупоугольного треугольника?
  26. Постройте окружность, описанную около тупоугольного треугольника?
  27. Диаметр окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 14см?
  28. Как около треугольника описать окружность?
  29. Дан треугольник?
  30. Описанная окружность?
  31. Дан треугольник АВС?
  32. Треугольник вписанный в окружность
  33. Определение
  34. Формулы
  35. Радиус вписанной окружности в треугольник
  36. Радиус описанной окружности около треугольника
  37. Площадь треугольника
  38. Периметр треугольника
  39. Сторона треугольника
  40. Средняя линия треугольника
  41. Высота треугольника
  42. Свойства
  43. Доказательство

Видео:Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).Скачать

Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).

Серединный перпендикуляр к отрезку

Определение 1 . Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).

Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

Теорема 1 . Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку AB (рис.2), и докажем, что треугольники ADC и BDC равны.

Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты AC и BC равны, а катет DC является общим. Из равенства треугольников ADC и BDC вытекает равенство отрезков AD и DB . Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью предположим, что некоторая точка E находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок EA пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой D .

Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

Докажем, что отрезок AE длиннее отрезка EB . Действительно,

Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

Таким образом, в случае, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.

Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

Теперь рассмотрим случай, когда точки E и A лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4). Докажем, что отрезок EB длиннее отрезка AE . Действительно,

Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Окружность, описанная около треугольника

Определение 2 . Окружностью, описанной около треугольника , называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником .

Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

Видео:Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

Построить описанную окружность (Задача 1)

Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружность,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

ФигураРисунокСвойство
Серединные перпендикуляры
к сторонам треугольника
Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружностьВсе серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
Посмотреть доказательство
Окружность, описанная около треугольникаПостройте произвольный треугольник и опишите около него окружностьОколо любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиЦентр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиПостройте произвольный треугольник и опишите около него окружностьЦентром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиПостройте произвольный треугольник и опишите около него окружностьЦентр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.
Теорема синусовПостройте произвольный треугольник и опишите около него окружность
Площадь треугольникаПостройте произвольный треугольник и опишите около него окружность
Радиус описанной окружностиПостройте произвольный треугольник и опишите около него окружность
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника
Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Окружность, описанная около треугольникаПостройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиПостройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиПостройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиПостройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.

Теорема синусовПостройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружность,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Площадь треугольникаПостройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Радиус описанной окружностиПостройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

Для любого треугольника справедливо равенство:

Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Теорема 3 . Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 6).

Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.

Следствие . Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Доказательство . Рассмотрим точку O , в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABC (рис. 6).

При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:

из которого вытекает, что окружность с центром в точке O и радиусами OA , OB , OC проходит через все три вершины треугольника ABC , что и требовалось доказать.

Теорема 4 (теорема синусов) . Для любого треугольника (рис. 7)

Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружность.

Доказательство . Докажем сначала, что длина хорды окружности радиуса R хорды окружности радиуса R , на которую опирается вписанный угол величины φ , вычисляется по формуле:

l = 2Rsin φ .(1)

Рассмотрим сначала случай, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром окружности (рис.8).

Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

Поскольку все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то для произвольного вписанного угла всегда найдется равный ему вписанный угол, у которого одна из сторон является диаметром окружности.

Формула (1) доказана.

Из формулы (1) для вписанного треугольника ABC получаем (рис.7):

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Дан треугольник постройте окружность описанную около него

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Вписанные и описанные треугольники. Еще две формулы площади треугольника. Теорема синусов

Вписанный треугольник — треугольник, все вершины которого лежат на окружности. Тогда окружность называется описанной вокруг треугольника.

Очевидно, расстояние от центра описанной окружности до каждой из вершин треугольника одинаково и равно радиусу этой окружности.

Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну.

Окружность вписана в треугольник, если она касается всех его сторон. Тогда сам треугольник будет описанным вокруг окружности. Расстояние от центра вписанной окружности до каждой из сторон треугольника равно радиусу этой окружности.

В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну.

Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

Попробуйте сами описать окружность вокруг треугольника и вписать окружность в треугольник.

Как вы думаете, почему центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис треугольника, а центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам?

В задачах ЕГЭ чаще всего встречаются вписанные и описанные правильные треугольники.

Есть и другие задачи. Для их решения вам понадобятся еще две формулы площади треугольника, а также теорема синусов.

Вот еще две формулы для площади.
Площадь треугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.

— радиус окружности, вписанной в треугольник.

Есть и еще одна формула, применяемая в основном в задачах части :

где — стороны треугольника, — радиус описанной окружности.

Для любого треугольника верна теорема синусов:

Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, равен . Найдите гипотенузу c этого треугольника. В ответе укажите .

Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

Треугольник прямоугольный и равнобедренный. Значит, его катеты одинаковы. Пусть каждый катет равен . Тогда гипотенуза равна .

Запишем площадь треугольника АВС двумя способами:

Приравняв эти выражения, получим, что . Поскольку , получаем, что . Тогда .

В ответ запишем .

. Сторона АС треугольника АВС с тупым углом В равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.

Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

По теореме синусов,

Получаем, что . Угол — тупой. Значит, он равен .

. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны , основание равно . Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

Углы треугольника не даны. Что ж, выразим его площадь двумя разными способами.

, где — высота треугольника. Ее найти несложно — ведь в равнобедренном треугольнике высота является также и медианой, то есть делит сторону пополам. По теореме Пифагора найдем . Тогда .

Задачи на вписанные и описанные треугольники особенно необходимы тем, кто нацелен на решения задания .

Видео:Задача 6 №27922 ЕГЭ по математике. Урок 139Скачать

Задача 6 №27922 ЕГЭ по математике. Урок 139

ИЗОБРАЖЕНИЕ ВПИСАННЫХ И ОПИСАННЫХ ОКОЛО ОК-РУЖНОСТИ МНОГОУГОЛЬНИКОВ

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Видео:Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника, окружностьСкачать

Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника,  окружность

Коммуникативный педагогический тренинг: способы взаимодействия с разными категориями учащихся

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

ИЗОБРАЖЕНИЕ ВПИСАННЫХ И ОПИСАННЫХ ОКОЛО ОКРУЖНОСТИ МНОГОУГОЛЬНИКОВ

Задание: Дано изображение АВС произвольного треугольника А 1 В 1 С 1 , вписанного в окружность. Построить изображение высоты треугольника и биссектрисы, проведенных из вершины В 1 .

K 1 L 1 A 1 C 1 , OK 1 L 1 . Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

Соответственные построения проводим на изображении АВС треугольника А 1 В 1 С 1 , вписанного в окружность.

Задание: построить изображение касательной к окружности в точке А.

Строим эллипс с центром в точке О.

Проводим диаметр АВ и сопряженный ему диаметр DC .

Проводим АК DC Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

АК – искомая касательная.

Задание: построить изображение прямоугольного треугольника вписанного в окружность.

чертеж — оригинал изображение

Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружностьПостройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

В прямоугольном треугольнике центром описанной окружности является середина гипотенузы.

Задание: построить изображение равнобедренного треугольника.

чертеж — оригинал изображение Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружностьПостройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

Для построения изображения равнобедренного треугольника достаточно построить два сопряженных диаметра. В случае остроугольного и тупоугольного равнобедренных треугольников строят хорду параллельную одному из сопряженных диаметров, которая послужит основанием треугольника. В случае, когда речь идет о прямоугольном равнобедренном треугольнике, один из сопряженных диаметров послужит основанием искомого треугольника.

Вершина искомого треугольника будет лежать на конце другого диаметра.

Задание: построить изображение правильного треугольника вписанного в окружность.

чертеж — оригинал изображение Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

Задание: построить изображение прямоугольника вписанного в окружность.

чертеж — оригинал изображение

Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

Задание: построить изображение вписанной в окружность равнобокой трапеции.

чертеж – оригинал изображение

Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружностьПостройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

Задание: построить изображение квадрата вписанного в окружность.

чертеж – оригинал изображение Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

Задание: построить изображение правильного шестиугольника вписанного в окружность

Проведем ω(О; ОА 1 ), (А 1 А 4 ) ( MN ), О = (А 1 А 4 ) ( MN ), ОА 1 = R . Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

1.Строим эллипс (с центром О ). Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

2. Строим произвольный диаметр А′ 1 А′ 4 и сопряженный ему диаметр MN .

Задание: построить изображение описанного около окружности прямоугольного треугольника.

чертеж — оригинал изображение

Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружностьПостройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

Для построения изображения описанного около окружности прямоугольного треугольника используют тот факт, что его катеты это касательные к окружности в концах двух его сопряженных диаметров.

чертеж — оригинал изображение

Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружностьПостройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

Строим эллипс с центром в точке О и два сопряженных диаметра MN и KL .

Из точки В , лежащей на продолжении диаметра KL , проводим две касательные ( Р и Q – точки касания) до пересечения с прямой АС ( АС MN ).

Треугольник АВС является искомым равнобедренным треугольником.

Задание: построить изображение описанного около окружности равностороннего треугольника.

чертеж — оригинал изображение Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружностьПостройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

Построение равностороннего треугольника аналогично построению равнобедренного треугольника. За исключением того, что здесь точку В выбирают не произвольно, а так, чтобы OL = LB .

Задание: построить изображение описанного около окружности квадрата.

чертеж — оригинал изображение Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

Стороны квадрата лежат на касательных к окружности, проходящих в концах сопряженных диаметром MN и KL . Точки касания делят стороны описанного квадрата пополам.

Задание: построить изображение ромба описанного около окружности.

чертеж — оригинал изображение Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружностьПостройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

Диагоналям ромба АС и BD принадлежат сопряженные диаметры эллипса KL и MN соответственно. Одну из вершин ромба выбираем произвольно, например, вершину С . Из этой вершины проводим касательные отрезки. Например, отрезок CD касается эллипса в точке Р .

Замечание: точка Р не должна делить отрезок CD пополам, иначе, получим изображение описанного квадрата.

Задание: построить изображение описанной около окружности равнобокой трапеции.

чертеж — оригинал изображение Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

При построении изображения описанной около окружности равнобокой трапеции стоит учитывать, что диаметр K 1 L 1 перпендикулярен основаниям В 1 С 1 и А 1 D 1 и делит их пополам.

Строим касательные к эллипсу, проходящие через точки К и L , параллельные диаметру MN ( MN и KL сопряженные диаметры). Откладываем два равных отрезка КВ и КС , так чтобы КС был меньше ON . Через точки В и С проводим касательные к эллипсу. Точки пересечения этих касательных с касательной, проведенной в точке L , дают вершины A и D .

Второй способ: Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

Строим вписанную в окружность трапеции (см.выше). Затем проводим касательные к эллипсу параллельные сторонам трапеции. Точки пересечения касательных – вершимы искомой описанной равнобокой трапеции.

Задание: построить изображение описанного около окружности шестиугольника.

чертеж — оригинал изображение

Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружностьПостройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

  • Сейчас обучается 954 человека из 80 регионов

Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

  • Сейчас обучается 684 человека из 75 регионов

Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

  • Сейчас обучается 309 человек из 67 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Видео:№701. Начертите три треугольника: остроугольный, прямоугольный и тупоугольный. В каждыйСкачать

№701. Начертите три треугольника: остроугольный, прямоугольный и тупоугольный. В каждый

Дистанционные курсы для педагогов

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 503 339 материалов в базе

Материал подходит для УМК

Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

«Геометрия. Учебник 10-11 класс », Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б.

88. Вписанный четырехугольник

Другие материалы

Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

  • 06.05.2018 6365
  • DOCX 731 кбайт
  • 47 скачиваний
  • Рейтинг: 5 из 5
  • Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Голованова Елена Павловна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

  • На сайте: 3 года и 11 месяцев
  • Подписчики: 4
  • Всего просмотров: 122113
  • Всего материалов: 90

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Видео:9 класс, 22 урок, Окружность, описанная около правильного многоугольникаСкачать

9 класс, 22 урок, Окружность, описанная около правильного многоугольника

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

УрФУ возглавил рейтинг медиаактивности вузов

Время чтения: 1 минута

Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

В Петербурге введут новые COVID-ограничения для несовершеннолетних

Время чтения: 2 минуты

Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

Проверки показали невыполнение в ряде регионов санитарных правил в школах

Время чтения: 1 минута

Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

В Роспотребнадзоре заявили о широком распространении COVID-19 среди детей

Время чтения: 1 минута

Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

Минобрнауки запускает конкурс студенческих научных обществ

Время чтения: 1 минута

Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

Большинство российских школьников недовольны качеством питания в столовых

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Видео:№711. Начертите три треугольника: тупоугольный, прямоугольный и равносторонний. ДляСкачать

№711. Начертите три треугольника: тупоугольный, прямоугольный и равносторонний. Для

Постройте окружность описанную около данного треугольника?

Геометрия | 5 — 9 классы

Постройте окружность описанную около данного треугольника.

Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

Видео:Окружность и треугольникСкачать

Окружность и треугольник

Дан треугольник?

Постройте окружность : а)вписанную в него : б) описанную около него : в) вневписанную.

C ресунком срочно.

Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

Видео:Описанная и вписанная окружности треугольника - 7 класс геометрияСкачать

Описанная и вписанная окружности треугольника - 7 класс геометрия

Постройте окружность , описанную около тупоугольного треугольника?

Постройте окружность , описанную около тупоугольного треугольника.

Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

Видео:№704. Окружность с центром О описана около прямоугольного треугольника, а) ДокажитеСкачать

№704. Окружность с центром О описана около прямоугольного треугольника, а) Докажите

Дан треугольник?

Постройте окружность : а)вписанную в него : б) описанную около него : в) вневписанную.

Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Постройте окружность, описанную около тупоугольного треугольника?

Постройте окружность, описанную около тупоугольного треугольника.

Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

Видео:ОКРУЖНОСТЬ, ОПИСАННАЯ ОКОЛО ТРЕУГОЛЬНИКА. Видеоурок | ГЕОМЕТРИЯ 7 классСкачать

ОКРУЖНОСТЬ, ОПИСАННАЯ ОКОЛО ТРЕУГОЛЬНИКА. Видеоурок | ГЕОМЕТРИЯ 7 класс

Постройте окружность, описанную около тупоугольного треугольника?

Постройте окружность, описанную около тупоугольного треугольника.

Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

Видео:Определение натуральной величины треугольника АВС методом вращения вокруг горизонтали или фронталиСкачать

Определение натуральной величины треугольника АВС методом вращения вокруг горизонтали или фронтали

Диаметр окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 14см?

Диаметр окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 14см.

Найдите радиус окружности, описанной около данного треугольника.

Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

Видео:78. Описанная окружностьСкачать

78. Описанная окружность

Как около треугольника описать окружность?

Как около треугольника описать окружность?

Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

Видео:ОГЭ. ЕГЭ. Как построить окружность, описанную около треугольника, в программе ГЕОГЕБРАСкачать

ОГЭ. ЕГЭ. Как построить окружность, описанную около треугольника, в программе ГЕОГЕБРА

Дан треугольник?

Постройте окружность : а)вписанную в него : б) описанную около него : в) вневписанную.

Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

Видео:Нафиг теорему синусов 3 задание проф. ЕГЭ по математике (часть I)Скачать

Нафиг теорему синусов 3 задание проф. ЕГЭ по математике (часть I)

Описанная окружность?

Центр окружности, описанной около треугольника.

Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

Дан треугольник АВС?

Дан треугольник АВС.

Постройте фигуру, симметричную данной относительно : а) центра описанной около него окружности б) биссектрисы одного из его углов.

На этой странице сайта размещен вопрос Постройте окружность описанную около данного треугольника? из категории Геометрия с правильным ответом на него. Уровень сложности вопроса соответствует знаниям учеников 5 — 9 классов. Здесь же находятся ответы по заданному поиску, которые вы найдете с помощью автоматической системы. Одновременно с ответом на ваш вопрос показаны другие, похожие варианты по заданной теме. На этой странице можно обсудить все варианты ответов с другими пользователями сайта и получить от них наиболее полную подсказку.

Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

Площадь S = 128 Площадь CEF = Площадь BDE / 4 = S / 16 = 8 Площадь AEB = Площадь ABC / 2 = S / 4 = 32 Площадь AFD = Площадь ACD / 2 = S / 4 = 32 Площадь AEF = 128 — 32 — 32 — 8 = 56.

Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

Номер 16 : Угол Ф = углу Л, так как в паралелограме противоположные углы равны. Далее рассмотрим треугольник КЛЕ. В нём есть две равные стороны, из чего можно сделать вывод что он равнобедренный. А так, как в равнобедренном треугольнике углы при о..

Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

2 = 2к + в — 1. 5 = 5. 5к + в — — — — — — — — — — — — — — — — 0. 5 = — 3. 5к| : ( — 3. 5) к = — 1 / 7 2 = 2 * ( — 1 / 7) + в в = 2 + (2 / 7) в = 2 + 2 / 7.

Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

Угол между прямыми АВ1 и СD — это∠АB₁A₁ ( CD║A₁B₁) ΔAA₁B₁ AA₁ / A₁B₁ = tgα = √3, ⇒α = ∠АB₁A₁ = π / 3.

Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

Второстепенными членами предложения бывают : 1) ОБСТОЯТЕЛЬСТВА, они могут отвечать на вопросы КОГДА? КАК ДОЛГО? (времени), ГДЕ? ОТКУДА? КУДА? (места), КАК? КАКИМ ОБРАЗОМ? (образа действия), ИЗ — ЗА ЧЕГО? ПОЧЕМУ? (причины), С КАКОЙ ЦЕЛЬЮ? ЗА..

Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

Прилагательное , обстоятельство места (времени ), дополнение, еще есть причастные обороты (если знаешь, что это).

Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

Имеем трапецию АВСД. Из вершин В и С опустим перпендикуляры ВЕ и СК на АД. Из равных треугольников АВе или СКД находим высоту трапеции по Пифагору : ВЕ = √(СД² — ((АД — ВС) / 2)²) = √(5² — 3²) = √(25 — 9) = √16 = 4. Средняя линия равна (10 + 4) / ..

Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

1) треугольник NOM — р / б Угол ONM = углу OMN = (180° — 64°) : 2 = 58° Угол NMP = 90° Угол OMP = 90° — 58° = 32°.

Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

A = 3 см b = 16 см c = 12 см V — ? V = abc = 3 * 16 * 12 = 576 (см³) Ответ : 576 см³.

Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

Формула объёма для куба с ребром «a» : V = a * a * a = a ^ 3.

Треугольник вписанный в окружность

Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

Определение

Треугольник, вписанный в окружность — это треугольник, который
находится внутри окружности и соприкасается с ней всеми тремя вершинами.

На рисунке 1 изображена окружность, описанная около
треугольника
и окружность, вписанная в треугольник.

ВD = FC = AE — диаметры описанной около треугольника окружности.

O — центр вписанной в треугольник окружности.

Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

Формулы

Радиус вписанной окружности в треугольник

r — радиус вписанной окружности.

  1. Радиус вписанной окружности в треугольник,
    если известна площадь и все стороны:

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны площадь и периметр:

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны полупериметр и все стороны:

Радиус описанной окружности около треугольника

R — радиус описанной окружности.

  1. Радиус описанной окружности около треугольника,
    если известна одна из сторон и синус противолежащего стороне угла:

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и площадь:

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и полупериметр:

Площадь треугольника

S — площадь треугольника.

  1. Площадь треугольника вписанного в окружность,
    если известен полупериметр и радиус вписанной окружности:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен полупериметр:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен высота и основание:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известна сторона и два прилежащих к ней угла:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и синус угла между ними:

[ S = fracab cdot sin angle C ]

Периметр треугольника

P — периметр треугольника.

  1. Периметр треугольника вписанного в окружность,
    если известны все стороны:

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известна площадь и радиус вписанной окружности:

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и угол между ними:

Сторона треугольника

a — сторона треугольника.

  1. Сторона треугольника вписанного в окружность,
    если известны две стороны и косинус угла между ними:

Сторона треугольника вписанного в
окружность, если известна сторона и два угла:

Средняя линия треугольника

l — средняя линия треугольника.

  1. Средняя линия треугольника вписанного
    в окружность, если известно основание:

Средняя линия треугольника вписанного в окружность,
если известныдве стороны, ни одна из них не является
основанием, и косинус угламежду ними:

Высота треугольника

h — высота треугольника.

  1. Высота треугольника вписанного в окружность,
    если известна площадь и основание:

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен сторона и синус угла прилежащего
к этой стороне, и находящегося напротив высоты:

[ h = b cdot sin alpha ]

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен радиус описанной окружности и
две стороны, ни одна из которых не является основанием:

Свойства

  • Центр вписанной в треугольник окружности
    находится на пересечении биссектрис.
  • В треугольник, вписанный в окружность,
    можно вписать окружность, причем только одну.
  • Для треугольника, вписанного в окружность,
    справедлива Теорема Синусов, Теорема Косинусов
    и Теорема Пифагора.
  • Центр описанной около треугольника окружности
    находится на пересечении серединных перпендикуляров.
  • Все вершины треугольника, вписанного
    в окружность, лежат на окружности.
  • Сумма всех углов треугольника — 180 градусов.
  • Площадь треугольника вокруг которого описана окружность, и
    треугольника, в который вписана окружность, можно найти по
    формуле Герона.

Доказательство

Около любого треугольника, можно
описать окружность притом только одну.

Постройте произвольный треугольник и опишите около него окружность

окружность и треугольник,
которые изображены на рисунке 2.

окружность описана
около треугольника.

  1. Проведем серединные
    перпендикуляры — HO, FO, EO.
  2. O — точка пересечения серединных
    перпендикуляров равноудалена от
    всех вершин треугольника.
  3. Центр окружности — точка пересечения
    серединных перпендикуляров — около
    треугольника описана окружность — O,
    от центра окружности к вершинам можно
    провести равные отрезки — радиусы — OB, OA, OC.

окружность описана около треугольника,
что и требовалось доказать.

Подводя итог, можно сказать, что треугольник,
вписанный в окружность
— это треугольник,
в котором все серединные перпендикуляры
пересекаются в одной точке, и эта точка
равноудалена от всех вершин треугольника.

Поделиться или сохранить к себе: