Построить описанную окружность для остроугольного прямоугольного и тупоугольного треугольников

Окружность, описанная около треугольника.
Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов
Построить описанную окружность для остроугольного прямоугольного и тупоугольного треугольниковСерединный перпендикуляр к отрезку
Построить описанную окружность для остроугольного прямоугольного и тупоугольного треугольниковОкружность описанная около треугольника
Построить описанную окружность для остроугольного прямоугольного и тупоугольного треугольниковСвойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
Построить описанную окружность для остроугольного прямоугольного и тупоугольного треугольниковДоказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Построить описанную окружность для остроугольного прямоугольного и тупоугольного треугольников

Видео:№701. Начертите три треугольника: остроугольный, прямоугольный и тупоугольный. В каждыйСкачать

№701. Начертите три треугольника: остроугольный, прямоугольный и тупоугольный. В каждый

Серединный перпендикуляр к отрезку

Определение 1 . Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).

Построить описанную окружность для остроугольного прямоугольного и тупоугольного треугольников

Теорема 1 . Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку AB (рис.2), и докажем, что треугольники ADC и BDC равны.

Построить описанную окружность для остроугольного прямоугольного и тупоугольного треугольников

Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты AC и BC равны, а катет DC является общим. Из равенства треугольников ADC и BDC вытекает равенство отрезков AD и DB . Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью предположим, что некоторая точка E находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок EA пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой D .

Построить описанную окружность для остроугольного прямоугольного и тупоугольного треугольников

Докажем, что отрезок AE длиннее отрезка EB . Действительно,

Построить описанную окружность для остроугольного прямоугольного и тупоугольного треугольников

Построить описанную окружность для остроугольного прямоугольного и тупоугольного треугольников

Таким образом, в случае, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.

Построить описанную окружность для остроугольного прямоугольного и тупоугольного треугольников

Теперь рассмотрим случай, когда точки E и A лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4). Докажем, что отрезок EB длиннее отрезка AE . Действительно,

Построить описанную окружность для остроугольного прямоугольного и тупоугольного треугольников

Построить описанную окружность для остроугольного прямоугольного и тупоугольного треугольников

Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2

Видео:№711. Начертите три треугольника: тупоугольный, прямоугольный и равносторонний. ДляСкачать

№711. Начертите три треугольника: тупоугольный, прямоугольный и равносторонний. Для

Окружность, описанная около треугольника

Определение 2 . Окружностью, описанной около треугольника , называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником .

Построить описанную окружность для остроугольного прямоугольного и тупоугольного треугольников

Видео:Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

Построить описанную окружность (Задача 1)

Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Построить описанную окружность для остроугольного прямоугольного и тупоугольного треугольников,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

Построить описанную окружность для остроугольного прямоугольного и тупоугольного треугольников

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

ФигураРисунокСвойство
Серединные перпендикуляры
к сторонам треугольника
Построить описанную окружность для остроугольного прямоугольного и тупоугольного треугольниковВсе серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
Посмотреть доказательство
Окружность, описанная около треугольникаПостроить описанную окружность для остроугольного прямоугольного и тупоугольного треугольниковОколо любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиЦентр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиПостроить описанную окружность для остроугольного прямоугольного и тупоугольного треугольниковЦентром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиПостроить описанную окружность для остроугольного прямоугольного и тупоугольного треугольниковЦентр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.
Теорема синусовПостроить описанную окружность для остроугольного прямоугольного и тупоугольного треугольников
Площадь треугольникаПостроить описанную окружность для остроугольного прямоугольного и тупоугольного треугольников
Радиус описанной окружностиПостроить описанную окружность для остроугольного прямоугольного и тупоугольного треугольников
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника
Построить описанную окружность для остроугольного прямоугольного и тупоугольного треугольников

Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Окружность, описанная около треугольникаПостроить описанную окружность для остроугольного прямоугольного и тупоугольного треугольников

Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиПостроить описанную окружность для остроугольного прямоугольного и тупоугольного треугольников

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиПостроить описанную окружность для остроугольного прямоугольного и тупоугольного треугольников

Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиПостроить описанную окружность для остроугольного прямоугольного и тупоугольного треугольников

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.

Теорема синусовПостроить описанную окружность для остроугольного прямоугольного и тупоугольного треугольников

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Построить описанную окружность для остроугольного прямоугольного и тупоугольного треугольников,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Площадь треугольникаПостроить описанную окружность для остроугольного прямоугольного и тупоугольного треугольников

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Радиус описанной окружностиПостроить описанную окружность для остроугольного прямоугольного и тупоугольного треугольников

Для любого треугольника справедливо равенство:

Построить описанную окружность для остроугольного прямоугольного и тупоугольного треугольников

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Видео:Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.Скачать

Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.

Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Теорема 3 . Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 6).

Построить описанную окружность для остроугольного прямоугольного и тупоугольного треугольников

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.

Следствие . Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Доказательство . Рассмотрим точку O , в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABC (рис. 6).

При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:

из которого вытекает, что окружность с центром в точке O и радиусами OA , OB , OC проходит через все три вершины треугольника ABC , что и требовалось доказать.

Теорема 4 (теорема синусов) . Для любого треугольника (рис. 7)

Построить описанную окружность для остроугольного прямоугольного и тупоугольного треугольников

Построить описанную окружность для остроугольного прямоугольного и тупоугольного треугольников.

Доказательство . Докажем сначала, что длина хорды окружности радиуса R хорды окружности радиуса R , на которую опирается вписанный угол величины φ , вычисляется по формуле:

l = 2Rsin φ .(1)

Рассмотрим сначала случай, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром окружности (рис.8).

Построить описанную окружность для остроугольного прямоугольного и тупоугольного треугольников

Поскольку все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то для произвольного вписанного угла всегда найдется равный ему вписанный угол, у которого одна из сторон является диаметром окружности.

Формула (1) доказана.

Из формулы (1) для вписанного треугольника ABC получаем (рис.7):

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Построй окружность, описанную около треугольника ABC, если треугольник ABC: а) остроугольный; б) прямоугольный; в) тупоугольный.

Видео:32. Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольникиСкачать

32. Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники

Ваш ответ

Видео:Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).Скачать

Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).

решение вопроса

Видео:7 класс, 32 урок, Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольникиСкачать

7 класс, 32 урок, Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники

Похожие вопросы

  • Все категории
  • экономические 43,282
  • гуманитарные 33,619
  • юридические 17,900
  • школьный раздел 607,061
  • разное 16,829

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Please wait.

Видео:Как построить окружность, описанную около треугольника, в программе ГЕОГЕБРАСкачать

Как построить окружность, описанную около треугольника, в программе ГЕОГЕБРА

We are checking your browser. mathvox.ru

Видео:Построить окружность, вписанную в треугольникСкачать

Построить окружность, вписанную в треугольник

Why do I have to complete a CAPTCHA?

Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.

Видео:Построение высоты в треугольникеСкачать

Построение высоты в треугольнике

What can I do to prevent this in the future?

If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.

If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.

Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store.

Cloudflare Ray ID: 6d94d8f97e337a6d • Your IP : 85.95.188.35 • Performance & security by Cloudflare

🎦 Видео

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Построить окружность, описанную около треугольникаСкачать

Построить окружность, описанную около треугольника

Задание 24 Тупоугольный вписанный треугольник ПлощадьСкачать

Задание 24 Тупоугольный вписанный треугольник  Площадь

Вписанная и описанная окружностиСкачать

Вписанная и описанная окружности

Построение медианы в треугольникеСкачать

Построение медианы в треугольнике

Окружность, описанная около треугольника. Как найти центр и радиус. Геометрия 7-8 классСкачать

Окружность, описанная около треугольника. Как найти центр и радиус. Геометрия 7-8 класс

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника, окружностьСкачать

Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника,  окружность
Поделиться или сохранить к себе: