Построить фигуру из окружностей (8 видео)

Геометрия. 7 класс

Содержание

Урок информатики по теме «Построение сложных фигур, состоящих из частей окружностей, в среде ЛогоМиры»
«Календарь счастливой жизни: инструменты и механизм работы для достижения своих целей»
Построить фигуру из окружностей
🎥 Видео

Конспект урока

Окружность. Задачи на построение

Перечень рассматриваемых вопросов:

Геометрическое место точек, примеры ГМТ.
Изображение на рисунке окружности и ее элементов.
Решение задач на построение.
Выполнение построений прямого угла, отрезка, угла равного данному, биссектрисы угла, перпендикулярных прямых, середины отрезка с помощью циркуля и линейки.

Радиус окружности – отрезок соединяющий центр окружности с какой-либо точкой окружности.

Окружность – это геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

Хорда – отрезок, соединяющий две точки окружности.

Диаметр – хорда, проходящая через центр окружности.

Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.

Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
Иченская М.А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9 классы. // Иченская М.А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Ранее мы узнали некоторые геометрические фигуры, например, угол, отрезок, треугольник, научились их строить и измерять. Сегодня мы введём определение ещё одной фигуры – окружности, рассмотрим её элементы и выполним построения геометрических фигур с помощью циркуля и линейки.

Для начала дадим определение геометрической фигуры, называемой окружностью.

Окружность – это геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

Но можно использовать и другое определение окружности.

Окружность ‑ это геометрическое место точек, удалённых на одно и то же расстояние от точки, называемой центром окружности. Это расстояние называют радиусом окружности. В нашем случае точки О.

При этом стоит пояснить, что геометрическое место точек – это фигура речи, употребляемая в математике для определения геометрической фигуры, как множества всех точек, обладающих некоторым свойством.

Вспомним элементы окружности.

Радиус окружности – отрезок соединяющий центр окружности с какой-либо точкой окружности.

По определению окружности все её радиусы имеют одну и ту же длину. OM = OA

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой.

Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.

O – середина диаметра.

Любые две точки окружности делят её на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности.

AMB, ALB – дуги окружности.

Построим окружность радиусом 3 см. Для этого поставим точку О. Возьмём циркуль и выставим с помощью линейки расстояние между ножками циркуля, равное 3 см. Поставим иголочку циркуля в точку О и построим окружность, вращая ножку циркуля с грифелем вокруг этой точки. Грифель описывает замкнутую кривую линию, которую называют окружностью.

Часть плоскости, которая лежит внутри окружности, вместе с самой окружностью, называют кругом, т. е. окружность ‑ граница круга.

Итак, мы можем с помощью циркуля строить окружность, но с его помощью можно построить и угол равный данному. Для построения воспользуемся ещё и линейкой.

Построить: EOМ = A.

1. Окр. (A; r), r – произвольный радиус.

2. Окр. (A; r) ∩ AB = B.

3. Окр. (A; r) ∩ AС = С.

4. Окр. (O; r) ∩ OM = D.

5. Окр. (D; BС) ∩ Окр. (O; r) = E

6. OЕ, ЕОD = BAC (из равенства ∆ОЕD и ∆ABC). EOM – искомый.

Теперь выполним построение биссектрисы угла.

Построить: AE – биссектриса CAB.

Окр. (A; r), r – произвольный радиус.

Окр. (A; r) ∩ AB = B.
Окр. (A; r) ∩ AC = C.
Окр. (C; CB) ∩ Окр. (B; CB) = E.
AE – искомая биссектриса BAC, т. к. ABE =CBE (из равенства ∆ACE и ∆ABE).

Рассмотрим ещё одно построение с помощью циркуля и линейки. Построим середину отрезка АВ.

Для этого построим две окружности с центрами на концах отрезка , т. е. в точках А и В. Окружности пересекутся в точках Р и Q. Проведём прямую через точки Р и Q. Прямая РQ пересечёт прямую АВ в точке О, которая и будет являться искомой серединой отрезка АВ. Докажем это. Для этого рассмотрим ∆APQ и ∆BPQ. Они равны по трём сторонам, следовательно, ∠1 = ∠2, поэтому РО– биссектриса равнобедренного ∆АВР, а соответственно РО ещё и медиана. Следовательно, точка О – середина отрезка АВ.

Разбор заданий тренировочного модуля.

№ 1. АВ и СК – диаметры окружности, с центром в точке О. По какому признаку равенства треугольников равны треугольники АОС и ОКВ?

Так как О – центр окружности, то точка О делит диаметры пополам, следовательно отрезки АО, ОВ, ОС, ОК равны. ∠СОА = ∠КОВ (как вертикальные). Поэтому треугольники АОС и ОКВ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Ответ: 1 признак равенства треугольников.

№ 2. На рисунке O – центр окружности, АВ – диаметр окружности. Отрезки АD и ВС, перпендикулярны к отрезку АВ. АВ = 8 см, ОС = 5 см, СВ = 3 см. Чему равен периметр ∆AOD?

Периметр треугольника AOD равен сумме сторон АО, AD, DO. Найдём эти стороны.

По условию O – центр окружности, то она делит диаметр пополам, следовательно отрезок АО равен отрезку ОВ, т. е. АО = АВ:2 = 8 см :2 = 4 см.

По условию отрезки АD и ВС, перпендикулярны к отрезку АВ, следовательно ∠СВО = ∠ОАD = 90°, ∠АОD = ∠СОВ (как вертикальные). Поэтому ∆АОD = ∆СОВ (по 2 признаку равенства треугольников). Следовательно, AD = СВ = 3 см, DO = ОС = 5 см.

Р_∆AOD = АО + AD + DO = 4 см + 3 см + 5 см = 12 см.

Видео:ПОСТРОИТЬ ПРАВИЛЬНЫЙ ПЯТИУГОЛЬНИК [construction a regular pentagon]Скачать

Урок информатики по теме «Построение сложных фигур, состоящих из частей окружностей, в среде ЛогоМиры»

Видео:1 2 4 сопряжение окружностейСкачать

«Календарь счастливой жизни:
инструменты и механизм работы
для достижения своих целей»

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

«Построение сложных фигур, состоящих из частей окружностей,
в среде ЛогоМиры»

Тип урока: урок практического применения знаний.

Цель урока: повторить темы «Правильные многоугольники в среде ЛОГО», «Окружности в среде ЛОГО», «Вычисление длины окружности по ее радиусу (диаметру) и наоборот». Научиться вычислять диаметр по величине окружности в ЛОГО, т.е. по длине пути Черепашки. Сформировать навыки программирования сложных фигур, состоящих из частей окружностей и радиусов.

Используемые образовательные технологии:

исследовательские методы в обучении;

обучение в сотрудничестве.

Ход урока: 1. Повторение пройденного материала

2. Проверка ЗУН по пройденному материалу

3. Постановка задачи

4. Отработка навыков

5. Домашнее задание

6. Формулирование вывода

1. Повторение пройденного материала:

что такое правильный многоугольник?

приведите примеры правильных многоугольников; (слайд 2)

что такое, с вашей точки зрения, окружность?

что для Черепашки является окружностью? (слайды 3,4)

как вычислить угол одного поворота Черепашки при построении правильного n-угольника?

как посчитать путь, который пройдет Черепашка, рисуя окружность?

как посчитать диаметр окружности, нарисованной Черепашкой?

какая окружность будет большего размера и почему? (слайд 5)
а) повтори 18 [вп 18 пр 20] или повтори 18 [вп 20 пр 20]?
б) повтори 18 [вп 20 пр 20] или повтори 20 [вп 18 пр 18]?

2. Проверка ЗУН при построении окружностей разной величины.

Сейчас для проверки того, насколько вы овладели навыками построения правильных многоугольников и окружностей, мы проведем небольшую проверочную работу. В полученных карточках вы должны по каждому заданию сделать необходимые вычисления и вписать их. Затем вы обменяетесь попарно своими карточками и сделаете проверку работы товарища. После этого мы проанализируем ошибки, если они будут. (слайд 6)

Итак, сформулируем ключевые моменты нашей темы. Правильным называется многоугольник, у которого все углы равны между собой и все стороны равны. При построении правильного многоугольника Черепашка совершает полный оборот, равный 360 0 . Угол одного поворота головы Черепашки b при построении правильного n-угольника вычисляется по формуле

Окружность – это множество точек, равноудаленных от ее центра. Для Черепашки окружностью является правильный многоугольник с количеством сторон 36 и более. Длина окружности – это тот путь, который пройдет Черепашка, рисуя заданную окружность. Диаметр окружности — это отрезок, соединяющий 2 точки окружности и проходящий через ее центр. Все диаметры окружности пересекаются в одной точке – ее центре.

Помнить каждому нужно,

Что такое окружность.

Это множество точек,

На одном расстоянии,

От одной только точки.

Помни смысл этой строчки.

Эта общая точка, по-дружески,

Называется центром окружности.

3. Постановка задачи

Предположим, мы с вами хотим попросить Черепашку нарисовать серую мышку, приведенную на рисунке. Тело мышки состоит из половинки окружности и прямой линии, которая образует замкнутую область. (слайд 7)

Каков будет алгоритм создания тела такой мышки? (слайд 8) (Нужно продумать, из какой точки лучше начать рисование. Давайте начнем из той точки, откуда «растет» хвостик.) Сначала нужно нарисовать половину окружности с поворотом Черепашки против часовой стрелки, затем повернуть голову Черепашки на 90 0 налево и провести прямую линию до начальной точки, из которой начинали рисование. Когда тело мышки нарисовано, нужно его закрасить. В каком случае серая краска зальет весь экран? (Если прямая линия не дойдет хотя бы на один черепаший шаг до начальной точки и образуется разрыв, в который краска «вытечет»). Как исключить такую ситуацию? (Нужно нарисовать прямую линию, которая бы замкнула фигуру, т.е. нужно правильно рассчитать расстояние между двумя концами половины окружности, а это и есть диаметр окружности).

Вспоминаем формулу вычисления длины окружности L по ее радиусу r:

L= 2 p r. Число p является константой, его значение принимают равным p =3,14.

Немного истории. Откуда же взялось число π и почему так называется?

Самое раннее из известных приближений числа π датируется 1900 годом до н.э.

Впервые обозначением этого числа греческой буквой воспользовался британский математик Джонс в 1706 году, а общепринятым оно стало после работ Леонарда Эйлера в 1737 году. Обозначение происходит от начальной буквы греческих слов — — окружность, периферия, и — периметр.

Существует неофициальный праздник «Международный день числа π». Он отмечается 14 марта, который в американском формате дат (месяц/день) записывается как 3.14. Примечательно, что этот праздник, случайно или умышленно, совпадает с днём рождения выдающегося физика современности Альберта Эйнштейна.

Предположим, мы решили построить тело мышки как половину 360-угольника со стороной 2 шага. Итоговый угол поворота Черепашки после построения половины окружности будет равен 180 0 . Путь, который она пройдет L ₁ , равен половине длины окружности L, т.е. = Т.е. L ₁ =360 (черепашьих шагов)

Для того, чтобы замкнуть тело мышки, нужно повернуть голову Черепашки в направлении нк 90 (или используя команду относительного поворота лв 90) и пройти путь, равный диаметру окружности (или двум ее радиусам).

Используя формулу L= 2 p r, где L – полная длина окружности, находим диаметр:

2r = 2r = 2r = 114,7.

Нужно округлить значение диаметра до ближайшего целого числа – до большего или меньшего? (до большего, иначе Черепашка не дойдет 1 шаг до линии, не замкнет область тела мышки, и мы не сможем использовать заливку цветом, т.е. получим ситуацию, когда «краска вытечет в получившуюся щель»).

сг по повтори 180 [вп 2 лв 1] лв 90 вп 115 пр 45 пп нд 20 нц 15 крась вп 20 лв 45 нрп 3
повтори 90 [вп 2 пр 2] повтори 90 [вп 2 лв 2]сч

4. Отработка навыков

Для того, чтобы научиться строить фигуры, состоящие из частей окружностей с использованием закраски, разберем алгоритмы рисования божьих коровок, приведенных на рис.1 и рис.2:

или

Божья коровка на рис.1: (слайды 9,10)

тело состоит из полной окружности, рисуется и закрашивается в начале программы;

крылья – четвертинки окружности, размер которой совпадает с размером окружности, образующей тело;

крылья нарисованы под углом к линии окружности, отличным от прямого угла, т.е. не равным 90 0 ;

крылья примыкают к телу в точках, которые «отстают» от вертикальной линии на 45 0 влево и вправо, поэтому удобно использовать команду абсолютного направления нов_курс; получается, что расстояние между крыльями по дуге «равно» 90 0 ;

поскольку крылья являются четвертинками окружности, то они образуют во внутренней части прямой угол 90 0 , поэтому крылья удобнее рисовать по такому алгоритму: прямая линия внутрь тела (равна радиусу), поворот на прямой угол, вторая прямая линия, поворот на прямой угол, дуга (четвертая часть окружности), далее – закраска крыла;

по желанию можно дорисовать божьей коровке глазки как окружности маленького размера;

используя возможности графического редактора ЛогоМиров, дорисовать усики и сделать пятнышки на крыльях.

Божья коровка на рис.2: (слайд 11)

тело состоит из полной окружности, рисуется и закрашивается в начале программы;

крылья – половинки такой же по размеру окружности;

крылья нарисованы под небольшим углом относительно вертикали, поэтому удобно использовать команду нов_курс;

чтобы расположить крылья на теле божьей коровки, удобно изначально привязать фигуру к координатной плоскости и использовать команду нов_место;

по желанию можно дорисовать божьей коровке глазки как окружности маленького размера;

используя возможности графического редактора ЛогоМиров, сделать пятнышки на крыльях и ножки.

Нюанс: после построения крыльев (у обеих божьих коровок) их контуры частично выходят за пределы тела, т.е. крылья будут состоять из двух замкнутых областей, которые потребуется закрашивать отдельно каждую.

Программы: (слайды 12,13)

сг по нц 9 пр 90 повтори 360 [вп 2 пр 1]

пр 90 пп вп 10 по крась нд 10 лв 90

пп повтори 45 [вп 2 пр 1]

по нц 15 пр 70 вп 115 лв 90 вп 115 лв 90 повтори 90 [ вп 2 лв 1]

пр 45 пп нд 10 по крась

пр 90 пп вп 5 по крась нд 10 лв 90

пп вп 10 лв 25 повтори 90 [вп 2 лв 1]

лв 70 по вп 115 пр 90 вп 115 пр 90 повтори 90 [вп 2 пр 1]

лв 70 пп нд 10 по крась лв 90 пп вп 10 по крась сч

сг пп нм [0 80]по нц 85 пр 90 повтори 360 [вп 2 пр 1]

пр 90 пп вп 10 по крась

пп нц 25 нм [20 20] нк 70 по повтори 180 [вп 2 пр 1]

пр 90 вп 230 лв 10 пп нд 10 по крась пп нд 150 по крась

пп нм [-20 20] нк 290 по повтори 180 [вп 2 лв 1]

лв 90 вп 230 пп пр 10 нд 10 по крась пп нд 150 по крась сч

5. Домашнее задание (слайд 14)

Вашим домашним заданием будет написание программы рисования рака.

Посмотрите на рисунки. На них подробно показано, из каких частей состоит наша фигура.

Рисунки 3 и 4 показывают, из каких частей будет состоять рак: одна полная окружность (голова), две ее половинки (две главных клешни), две четвертинки (тело) и четыре восьмушки (четыре маленьких клешни).

На рис.5 показано расположение частей окружности относительно друг друга.

Глаза и усики можно будет дорисовать на уроке с помощью графических инструментов.

6. Формулирование вывода (слайд 15)

Из курса наглядной геометрии. изучаемого в 5 классе, вы узнали, что отношение длины окружности к ее диаметру есть величина одинаковая, она называется постоянной величиной p (пи). Эта величина позволяет вычислять как величину диаметра (и радиуса) окружности по известной длине, так и наоборот: длину окружности по заданному диаметру.

Эти знания, полученные на уроках математики, мы с вами проверили сегодня на практике. С помощью программной среды ЛогоМиры мы смогли построить разнообразные смешные фигурки, состоящие из частей окружностей, замкнуть их и раскрасить. Для этого мы написали программы, в которых использовали радиусы и диаметры разных окружностей, вычисляя их по формулам.

Подведем итог сегодняшнего урока:

отношение длины окружности к ее диаметру есть величина постоянная, обозначается знаком p и равна 3,14;

в Лого окружностью для Черепашки является многоугольник с количеством сторон 36 и более;

зная путь, который проходит Черепашка, рисуя окружность, можно вычислить ее диаметр и радиус;

зная соотношения длины окружности и ее диаметра, можно составлять программы рисования различных сложных фигур в Лого, состоящих из частей окружностей.

Видео:Аксонометрические Проекции Окружности #черчение #окружность #проекции #изометрияСкачать

Построить фигуру из окружностей

Автор: Лейман Екатерина Владимировна

Организация: МБОУ «Гимназия №1»

Населенный пункт: Новосибирская область, г. Новосибирск

Урок по теме «Построение фигур из окружностей и дуг на языке программирования Лого» является одним из главных в теме программирования в среде Лого. В нем систематизированы и обобщены разные подходы к введению этой темы и внесены новые знания и замечания молодого учителя. Урок рассчитан для учащихся 6 класса, среда программирования ЛогоМиры. К уроку прилагается презентация.