Официальное объяснение тригонометрии вы можете почитать в учебниках или на других интернет сайтах, а в этой статье мы хотим объяснить суть тригонометрии «на пальцах».
Тригонометрические функции связаны с соотношениями сторон в прямоугольном треугольнике:
- Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе;
- Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе;
- Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему;
- Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему.
Или в виде формул:
Для удобства работы с тригонометрическими функциями был придуман тригонометрический круг, который представляет собой окружность с единичным радиусом (r = 1).
Тогда проекции радиуса на оси X и Y (OB и OA’) равны катетам построенного треугольника ОАВ, которые в свою очередь равны значениям синуса и косинуса данного угла.
Тангенс и котангенс получаются соответстсвенно из треугольников OCD и OC’D’, построенных подобно исходному треугольнику OAB.
Для упрощения обучения тригонометрическим функциям в школе используют только некоторые удобные углы в 0°, 30°, 45°, 60° и 90°.
Значения тригонометрических функций повторяются каждые 90° и в некоторых случаях меняя знак на отрицательный.
Достаточно запомнить значения некоторых важных углов и понять принцип повтора значений для бОльших углов.
- Значения тригонометрических функций для первой четверти круга (0° – 90°)
- Принцип повтора знаков тригонометрических функций
- Тригонометрический круг
- Углы в радианах
- Значения тангенса и котангенса на тригонометрическом круге
- Геометрия. Урок 1. Тригонометрия
- Тригонометрия в прямоугольном треугольнике
- Тригонометрия: Тригонометрический круг
- Основное тригонометрическое тождество
- Тригонометрия: Таблица значений тригонометрических функций
- Тригонометрия: градусы и радианы
- Тригонометрия: Формулы приведения
- Тригонометрия: Теорема синусов
- Тригонометрия: Расширенная теорема синусов
- Тригонометрия: Теорема косинусов
- Примеры решений заданий из ОГЭ
- Тригонометрия: Тригонометрические уравнения
Значения тригонометрических функций
для первой четверти круга (0° – 90°)
| 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | sin | 0 | 1 | √3 | – | ctg | – | √3 | 1 | Принцип повтора знаков тригонометрических функций
Угол может быть как положительный, так и отрицательный. Отрицательный угол считается угол, откладываемый в противоположную сторону. В виду того, что полная окружность составляет 360°, значения тригонометрических функций углов, описывающих одинаковое положение радиуса, РАВНЫ. Например, значения тригонометрических функций для углов 270° и -90° равны.
Для лучшего понимания и запоминания значений тригонометрических функций воспользуйтесь динамическим макетом тригонометрического круга ниже. Нажимая кнопки «+» и «–» значения угла будут увеличиваться или уменьшаться соответственно. Тригонометрический кругУглы в радианахДля математических вычислений тригонометрических функций используются углы не в градусах, а в радианах. Что такое радиан? Угол в радианах равен отношению длины дуги окружности к радиусу. Полный круг в 360° соответствует длине окружности 2 π r. Следовательно 360° в радианах равно 2 π , а 180° равно π радиан. Как преобразовывать градусы в радианы? Нужно значение в градусах разделить на 180° и умножить на π . Чтобы закрепить свои знания и проверить себя, воспользуйтесь онлайн-тренажером для запоминания значений тригонометрических функций. Значения тангенса и котангенса на тригонометрическом кругеВ прошлой статье мы познакомились с тригонометрическим кругом и научились находить значения синуса и косинуса основных углов. Как же быть с тангенсом и котангенсом ? Об этом и поговорим сегодня. Где же на тригонометрическом круге оси тангенсов и котангенсов? Ось тангенсов параллельна оси синусов (имеет тоже направление, что ось синусов) и проходит через точку (1; 0). Ось котангенсов параллельна оси косинусов (имеет тоже направление, что ось косинусов) и проходит через точку (0; 1). На каждой из осей располагается вот такая цепочка основных значений тангенса и котангенса: Я думаю, вы легко сообразите и сами. 🙂 Можно по-разному рассуждать. Можете, например, использовать тот факт, что
Собственно, картинка за себя сама говорит. Если не очень все же понятно, разберем примеры: Пример 1. Вычислить Находим на круге Ответ: Пример 2. Вычислить Находим на круге Ответ: не существует Пример 3. Вычислить
Находим на круге точку Так значит, Ответ: Пример 4. Вычислить
Поэтому от точки Выходим на ось котангенсов, получаем, что Ответ: Пример 5. Вычислить Находим на круге Ответ:
Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя: Геометрия. Урок 1. ТригонометрияСмотрите бесплатные видео-уроки по теме “Тригонометрия” на канале Ёжику Понятно.
Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись! Содержание страницы: Тригонометрия в прямоугольном треугольникеРассмотрим прямоугольный треугольник. Для каждого из острых углов найдем прилежащий к нему катет и противолежащий.
Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе. sin α = Противолежащий катет гипотенуза Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе. cos α = Прилежащий катет гипотенуза Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему (или отношение синуса к косинусу). tg α = Противолежащий катет Прилежащий катет Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему (или отношение косинуса к синусу). ctg α = Прилежащий катет Противолежащий катет Рассмотрим прямоугольный треугольник A B C , угол C равен 90 °: sin ∠ A = C B A B cos ∠ A = A C A B tg ∠ A = sin ∠ A cos ∠ A = C B A C ctg ∠ A = cos ∠ A sin ∠ A = A C C B sin ∠ B = A C A B cos ∠ B = B C A B tg ∠ B = sin ∠ B cos ∠ B = A C C B ctg ∠ B = cos ∠ B sin ∠ B = C B A C Тригонометрия: Тригонометрический кругТригонометрия на окружности – это довольно интересная абстракция в математике. Если понять основной концепт так называемого “тригонометрического круга”, то вся тригонометрия будет вам подвластна. В описании к видео есть динамическая модель тригонометрического круга. Тригонометрический круг – это окружность единичного радиуса с центром в начале координат. Такая окружность пересекает ось х в точках ( − 1 ; 0 ) и ( 1 ; 0 ) , ось y в точках ( 0 ; − 1 ) и ( 0 ; 1 ) На данной окружности будет три шкалы отсчета – ось x , ось y и сама окружность, на которой мы будем откладывать углы. Углы на тригонометрической окружности откладываются от точки с координатами ( 1 ; 0 ) , – то есть от положительного направления оси x , против часовой стрелки. Пусть эта точка будет называться S (от слова start). Отметим на окружности точку A . Рассмотрим ∠ S O A , обозначим его за α . Это центральный угол, его градусная мера равна дуге, на которую он опирается, то есть ∠ S O A = α = ∪ S A . Давайте найдем синус и косинус этого угла. До этого синус и косинус мы искали в прямоугольном треугольнике, сейчас будем делать то же самое. Для этого опустим перпендикуляры из точки A на ось x (точка B ) и на ось игрек (точка C ) . Отрезок O B является проекцией отрезка O A на ось x , отрезок O C является проекцией отрезка O A на ось y . Рассмотрим прямоугольный треугольник A O B : cos α = O B O A = O B 1 = O B sin α = A B O A = A B 1 = A B Поскольку O C A B – прямоугольник, A B = C O . Итак, косинус угла – координата точки A по оси x (ось абсцисс), синус угла – координата точки A по оси y (ось ординат). Давайте рассмотрим еще один случай, когда угол α – тупой, то есть больше 90 ° : Опускаем из точки A перпендикуляры к осям x и y . Точка B в этом случае будет иметь отрицательную координату по оси x . Косинус тупого угла отрицательный . Можно дальше крутить точку A по окружности, расположить ее в III или даже в IV четверти, но мы пока не будем этим заниматься, поскольку в курсе 9 класса рассматриваются углы от 0 ° до 180 ° . Поэтому мы будем использовать только ту часть окружности, которая лежит над осью x . (Если вас интересует тригонометрия на полной окружности, смотрите видео на канале). Отметим на этой окружности углы 0 ° , 30 ° , 45 ° , 60 ° , 90 ° , 120 ° , 135 ° , 150 ° , 180 ° . Из каждой точки на окружности, соответствующей углу, опустим перпендикуляры на ось x и на ось y . Координата по оси x – косинус угла , координата по оси y – синус угла . Ещё одно замечание. Синус тупого угла – положительная величина, а косинус – отрицательная. Тангенс – это отношение синуса к косинусу. При делении положительной величины на отрицательную результат отрицательный. Тангенс тупого угла отрицательный . Котангенс – отношение косинуса к синусу. При делении отрицательной величины на положительную результат отрицательный. Котангенс тупого угла отрицательный . Основное тригонометрическое тождествоsin 2 α + cos 2 α = 1 Данное тождество – теорема Пифагора в прямоугольном треугольнике O A B : A B 2 + O B 2 = O A 2 sin 2 α + cos 2 α = R 2 sin 2 α + cos 2 α = 1 Тригонометрия: Таблица значений тригонометрических функций | 0 ° | 30 ° | 45 ° | 60 ° | 90 ° |
|---|---|---|---|---|---|
| sin α | 0 | 1 2 | 2 2 | 3 2 | 1 |
| cos α | 1 | 3 2 | 2 2 | 1 2 | 0 |
| tg α | 0 | 3 3 | 1 | 3 | нет |
| ctg α | нет | 3 | 1 | 3 3 | 0 |
Почему так?
и 
. Эту точку соединяем с точкой (0;0) лучом (начало – точка (0;0)) и смотрим, где этот луч пересекает ось тангенсов. Видим, что 
. Точку (0;0) соединяем с указанной точкой лучом. И видим, что луч никогда не пересечет ось тангенсов.
(это та же точка, что и 
) и от нее по часовой стрелке (знак минус!) откладываем 
(
). Куда попадаем? Мы окажемся в точке, что на круге у нас (см. рис.) названа как 
. Эту точку соединяем с точкой (0;0) лучом. Вышли на ось тангенсов в значение 
.
(именно там будет 
) откладываем против часовой стрелки 
.
. Эту точку соединяем с точкой (0; 0). Выходим на ось котангенсов. Видим, что 
Теперь, умея находить по тригонометрическому кругу значения тригонометрических функций (а я надеюсь, что статья, где мы начинали знакомство с кругом и учились вычислять значения синусов и косинусов, вами прочитана…), вы можете пройт и тест по теме «Нахождение значений косинуса, синуса, тангенса и котангенса различных углов».
Тригонометрия: градусы и радианы
Как перевести градусы в радианы, а радианы в градусы? Как и когда возникла градусная мера угла? Что такое радианы и радианная мера угла? Ищите ответы в этом видео!
Тригонометрия: Формулы приведения
Тригонометрия на окружности имеет некоторые закономерности. Если внимательно рассмотреть данный рисунок,
можно заметить, что:
sin 180 ° = sin ( 180 ° − 0 ° ) = sin 0 °
sin 150 ° = sin ( 180 ° − 30 ° ) = sin 30 °
sin 135 ° = sin ( 180 ° − 45 ° ) = sin 45 °
sin 120 ° = sin ( 180 ° − 60 ° ) = sin 60 °
cos 180 ° = cos ( 180 ° − 0 ° ) = − cos 0 °
cos 150 ° = cos ( 180 ° − 30 ° ) = − cos 30 °
cos 135 ° = cos ( 180 ° − 45 ° ) = − cos 45 °
cos 120 ° = cos ( 180 ° − 60 ° ) = − cos 60 °
Рассмотрим тупой угол β :
Для произвольного тупого угла β = 180 ° − α всегда будут справедливы следующие равенства:
sin ( 180 ° − α ) = sin α
cos ( 180 ° − α ) = − cos α
tg ( 180 ° − α ) = − tg α
ctg ( 180 ° − α ) = − ctg α
Тригонометрия: Теорема синусов
В произвольном треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.
a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C
Тригонометрия: Расширенная теорема синусов
Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной вокруг данного треугольника окружности.
a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R
Тригонометрия: Теорема косинусов
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c ⋅ cos ∠ A
b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c ⋅ cos ∠ B
c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b ⋅ cos ∠ C
Примеры решений заданий из ОГЭ
Модуль геометрия: задания, связанные с тригонометрией.
Тригонометрия: Тригонометрические уравнения
Это тема 10-11 классов.
Из серии видео ниже вы узнаете, как решать простейшие тригонометрические уравнения, что такое обратные тригонометрические функции, зачем они нужны и как их использовать. Если вы поймёте эти базовые темы, то вскоре сможете без проблем решать любые тригонометрические уравнения любого уровня сложности!