По рис 52 найдите радиус окружности описанной около треугольника abc

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить радиус окружности, описанной около произвольного (любого), прямоугольного или равностороннего треугольника. Также разберем примеры решения задач для закрепления представленного теоретического материала.

Видео:2038 центр окружности описанной около треугольника ABC лежит на стороне ABСкачать

Формулы вычисления радиуса описанной окружности

Произвольный треугольник

Радиус окружности, описанной вокруг любого треугольника, рассчитывается по формуле:

где a, b, c – стороны треугольника, S – его площадь.

Прямоугольный треугольник

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине его гипотенузы или высоте, проведенной к гипотенузе.

Равносторонний треугольник

Радиус описанной около правильного треугольника окружности вычисляется по формуле:

где a – сторона треугольника.

Видео:найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать

Примеры задач

Задание 1
Дан треугольник со сторонами 4, 6 и 9 см. Найдите радиус описанной около него окружности.

Решение
Для начала нам необходимо найти площадь треугольника. Т.к. нам известны длины всех его сторон, можно применить формулу Герона:

Теперь мы можем воспользоваться первой формулой из перечисленных выше для расчета радиуса круга:

Задание 2
Дан треугольник, у которого известны две стороны из трех: 6 и 8 см. Найдите радиус описанной вокруг него окружности.

Решение
Треугольник со сторонами 6 и 8 см может быть только прямоугольным, причем известные по условиям задачи стороны являются его катетами. Таким образом, мы можем найти гипотенузу фигуры, воспользовавшись теоремой Пифагора:

Как мы знаем, радиус круга, описанного вокруг прямоугольного треугольника, равняется половине его гипотенузы, следовательно: R = 10 : 2 = 5.

Видео:Геометрия Радиус окружности описанной около треугольника ABC равен 6 см Найдите радиус окружностиСкачать

По рис 52 найдите радиус окружности описанной около треугольника abc

Вопрос по геометрии:

Используя рисунок,найдите радиус окружности,описанной около треугольника ABC

Трудности с пониманием предмета? Готовишься к экзаменам, ОГЭ или ЕГЭ?

Воспользуйся формой подбора репетитора и занимайся онлайн. Пробный урок — бесплатно!

Ответы и объяснения 1

Знаете ответ? Поделитесь им!

Как написать хороший ответ?

Чтобы добавить хороший ответ необходимо:

• Отвечать достоверно на те вопросы, на которые знаете правильный ответ;
• Писать подробно, чтобы ответ был исчерпывающий и не побуждал на дополнительные вопросы к нему;
• Писать без грамматических, орфографических и пунктуационных ошибок.

Этого делать не стоит:

• Копировать ответы со сторонних ресурсов. Хорошо ценятся уникальные и личные объяснения;
• Отвечать не по сути: «Подумай сам(а)», «Легкотня», «Не знаю» и так далее;
• Использовать мат — это неуважительно по отношению к пользователям;
• Писать в ВЕРХНЕМ РЕГИСТРЕ.

Есть сомнения?

Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует? Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие вопросы в разделе Геометрия.

Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи — смело задавайте вопросы!

Геометрия — раздел математики, изучающий пространственные структуры и отношения, а также их обобщения.

Видео:ОГЭ 2019. Задание 17. Разбор задач. Геометрия. Окружность.Скачать

Треугольник описанный около окружности

Видео:Задание 16 ОГЭ по математике. Две окружности одна описана около квадрата, другая вписана в него.Скачать

Определение

Треугольник, описанный около окружности — это треугольник,
который находится около окружности и соприкасается
с ней всеми тремя сторонами.

На рисунке ниже изображена окружность, вписанная в треугольник;
и треугольник, описанный около окружности.

△ ABC — треугольник, описанный около окружности;
A, B, C — вершины треугольника, описанного около окружности;
F, D, E — точки касания треугольника, описанного около окружности;
O — центр окружности, вписанной в треугольник;
OD = OF = OE — радиусы треугольника, описанного около окружности;
AB, BC, CA — касательные;
FA = AE, EC = CD, FB = BD — отрезки касательных;
OF ⟂ AB, OD ⟂ BC, OE ⟂ AC;

Треугольник ABC имеет три точки, где соприкасаются
стороны и сама окружность, эти точки называют точками
касания. У данного треугольника их всего три.

В любой треугольник можно вписать окружность, причем
только одну. Треугольник, в который вписана окружность
называется треугольником описанным около окружности.

Треугольники, описанные около окружности, обладают рядом
рядом отличительных свойств, характерных признаков, уникальными
терминами, а также формулам, по которым можно найти разные величины.

Формулы радиуса вписанной окружности, радиуса описанной окружности,
диаметра, средней линии, периметра, площади стороны позволяют выразить
одни величины через другие, рассчитать длину величины, узнать во сколько
раз одна величина отличается от другой, какая прослеживается взаимосвязь.

Длина любой величины произвольного
треугольника может измеряется в мм, см, м, км.

Видео:2047 радиус окружности описанной около правильного треугольника равна 36 корней из 3Скачать

Формулы

Радиус вписанной окружности в треугольник

r — радиус вписанной окружности треугольника, описанного около окружности.

1. Радиус вписанной окружности в треугольник,
   если известна площадь и все стороны:

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны площадь и периметр:

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны полупериметр и все стороны:

Радиус описанной окружности около треугольника

R — радиус описанной окружности треугольника, описанного около окружности.

1. Радиус описанной окружности около треугольника,
   если известна одна из сторон и синус противолежащего стороне угла:

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и площадь:

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и полупериметр:

Площадь треугольника

S — площадь треугольника, описанного около окружности.

1. Площадь треугольника вписанного в окружность,
   если известен полупериметр и радиус вписанной окружности:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен полупериметр:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен высота и основание:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известна сторона и два прилежащих к ней угла:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и синус угла между ними:

[ S = fracab cdot sin angle C ]

Периметр треугольника

P — периметр треугольника, описанного около окружности.

1. Периметр треугольника вписанного в окружность,
   если известны все стороны:
   

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известна площадь и радиус вписанной окружности:

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и угол между ними:

Сторона треугольника

a — сторона треугольника, описанного около окружности.

1. Сторона треугольника вписанного в окружность,
   если известны две стороны и косинус угла между ними:

Сторона треугольника вписанного в
окружность, если известна сторона и два угла:

Средняя линия треугольника

l — средняя линия треугольника, описанного около окружности.

1. Средняя линия треугольника вписанного
   в окружность, если известно основание:
   

Средняя линия треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны, ни одна из них не является
основанием, и косинус угла между ними:

Высота треугольника

h — высота треугольника, описанного около окружности.

1. Высота треугольника вписанного в окружность,
   если известна площадь и основание:

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен сторона и синус угла прилежащего
к этой стороне, и находящегося напротив высоты:

[ h = b cdot sin alpha ]

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен радиус описанной окружности и
две стороны, ни одна из которых не является основанием:

Видео:Задание 24 ОГЭ по математике #7Скачать

Свойства

Свойства треугольника, описанного около окружности,
а также окружности, вписанной в треугольник, медиан,
высот, биссектрис, радиусов-перпендикуляров.

Свойство 1. Окружность, можно вписать
в любой треугольник, только один раз.

Свойство 2. Центр окружности, вписанной в треугольник —
точка пересечения биссектрис, центр окружности.

Свойство 3. Центр окружности, описанной около треугольника —
точка пересечения серединных перпендикуляров.

Свойство 4. Центры вписанной и описанной окружностей
равностороннего треугольника, описанного около
окружности совпадают, имеют одну общую точку.

Свойство 5. Отрезок, проведенный из центра треугольника,
описанного около окружности, к любой из сторон,
является радиусом.

Свойство 6. У любого треугольника центр
вписанной окружности находится только внутри.

Свойство 7. Окружность находящаяся внутри
треугольника, описанного около окружности,
касается всех его сторон.

Свойство 8. Вписанная окружность и треугольник,
описанный около окружности, имеют три общие точки,
которые лежат на трех сторонах треугольника.

Свойство 9. Формула радиуса вписанной окружности
у треугольника, описанного около окружности, и четырехугольника,
у которого суммы противоположных равны, совпадает.

Свойство 10. Радиус описанной около треугольника окружности,
можно выразить и рассчитать через Теорему Синусов.

Свойство 11. У треугольника, описанного около
окружности, радиус вписанной окружности, можно
рассчитать через площадь и полупериметр.

Свойство 12. Радиус в точку касания есть перпендикуляр.

Свойство 13. Окружность, вписанная в треугольник, разделяет
стороны треугольника на 3 пары равных отрезков.

Свойство 14. Стороны треугольника, описанного около
окружности, можно также называть касательными.

Свойство 15. Отрезки, которые проведены из центра вписанной
окружности, к точкам касания, перпендикулярны сторонам.

Свойство 16. Сумма углов треугольника, описанного
около окружности, равна 180 градусам.

Свойство 17. Центр вписанной окружности
равноудален от всех сторон треугольника.

Свойство 18. Центр вписанной в треугольник окружности в научных
кругах называется замечательной точкой треугольника, либо инцентром.

Свойство 19. Правильный треугольник, описанный около
окружности, имеет точки касания с окружность, в серединах сторон.

Свойство 20. Равнобедренный, прямоугольный, равносторонний
треугольники, описанные около окружности, в точке пересечения
биссектрис и центре окружности, имеют одну общую точку.

Видео:Радиус описанной окружностиСкачать

Признаки существования

Признак 1. Центр вписанной окружности —
это точка пересечения биссектрис.

Признак 2. На сторонах треугольника лежат
три точки касания вписанной окружности.

Признак 3. Вписанная окружность делит смежные
стороны треугольника на равные отрезки касательных.

Признак 4. У вписанной окружности три радиуса в точку касания быть перпендикулярами.

Исходя из вышеперечисленных признаков, исходных
данных, внешнего вида, можно определить является ли
треугольник описанным около окружности или же нет.

Видео:Разбор ОГЭ по Математике 2024. Вариант 29 Ященко. Куценко Иван. Онлайн школа EXAMhackСкачать

Признаки равенства

Признак 1. По двум сторонам и углу между ними.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника, описанного
около окружности, равны двум сторонам и углу между ними другого
треугольника, описанного около окружности, то такие треугольники равны.

Признак 2. По стороне и двум прилежащим к ней углам.

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника, описанного
около окружности, равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого
треугольника, описанного около окружности, то такие треугольники равны.

Признак 3. По трем сторонам.

Если три стороны одного треугольника, описанного
около окружности, равны трем сторонам другого
треугольника, описанного около окружности.

Как мы знаем, любой треугольник может быть описан около
окружности, исходя из этого можно сказать, что около
окружности, могут быть описаны следующие виды треугольников:

1. Разносторонний треугольник
2. Равносторонний / правильный треугольник
3. Прямоугольный треугольник
4. Равнобедренный треугольник
5. Равнобедренныйпрямоугольный треугольник

• Прямоугольный треугольник, описанный около окружности

Характерные признаки: один из углов прямой,
длину сторон можно найти через Теорему
Пифагора, сумма острых углов 90 градусов.

Основные формулы:

• Равнобедренный треугольник, описанный около окружности
  

Характерные признаки: два угла равны,
две стороны равны, третий угол можно
найти зная два других.

Основные формулы:

• Равносторонний треугольник, описанный около треугольника

Характерные признаки: три угла и три стороны равны, точки пересечения медиан, высот, биссектрис совпадают.

Основные формулы:

Видео:Радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен 2 корня из 3. Найдите АВ, если...Скачать

Термины

Точка касания — это точка, где соприкасается вписанная
окружность с треугольником; это общая точка, для окружности
и треугольника, которая лежит на любой из сторон треугольника.

Инцентр — это точка, где пересекаются три биссектрисы
треугольника; это центр вписанной окружности в треугольник;
это одна из замечательных точек в геометрии.

Касательная — это сторона треугольника, которая имеет с
вписанной окружностью одну общую точку — точку касания.

Ортоцентр — точка, где пересекаются высоты треугольника.

Ось симметрии — это прямая, которая делит
треугольник на равные половины.

Замечательная точка — это точка пересечения медиан,
высот, биссектрис, серединных перпендикуляров.

Отрезок касательной — это отрезок, который берет начало
у одной из вершин треугольника, и имеет конец в точке касания.

🔍 Видео

Задание 26 Нахождение радиуса окружности описанной около треугольникаСкачать

Радиус окружности описанной около равностороннего треугольникаСкачать

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

ЧТО НАДО ГОВОРИТЬ ЕСЛИ НЕ СДЕЛАЛ ДОМАШКУ!Скачать

🔴 Радиус окружности, описанной около треугольника ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 4 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Задача 6 №27909 ЕГЭ по математике. Урок 129Скачать

Радиус описанной окружностиСкачать

Задание 16 ОГЭ по математике. Окружность описана около равностороннего треугольника. Задача 2Скачать

ОГЭ 2020 задание 17Скачать

Нафиг теорему синусов 3 задание проф. ЕГЭ по математике (часть I)Скачать