Плоскость заданная двумя параллельными прямыми начертательная геометрия

ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ

Две плоскости параллельны тогда, когда две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

Если две плоскости заданы горизонталью и фронталыо (или следами), то признаком их параллельности на эпюре может служить параллельность одноименных проекций этих прямых (одноименных следов).

Из курса стереометрии извлекаем еще один геометрический признак, широко употребляемый при решении задач начертательной геометрии: если две параллельные плоскости пересечь третьей плоскостью, полученные линии пересечения будут параллельны.

Поскольку задание плоскостей следами является частным случаем задания плоскостей пересекающимися прямыми, нетрудно понять, что для параллельных плоскостей, заданных следами, одноименные следы должны быть соответственно параллельными (рис. 83).

Плоскость заданная двумя параллельными прямыми начертательная геометрия

Примеры для самостоятельной работы

Для раннее рассмотренной задачи провести через прямую АВ другую прямую ВС так, чтобы полученная плоскость оказалась параллельной треугольнику MNL.

Для закрепления навыков построения параллельных плоскостей предлагается задача, решение которой приводится в динамике построений в соответствии со ступенями алгоритма.

Через точку А (А12) построить плоскость X, параллельную плоскости, заданной двумя параллельными прямыми 0 11 Ь) (рис. 84).

Проводим через точку А прямую с (q, с2), параллельную прямой й (q 11 аь q 11 ах) (рис. 85).

Плоскость заданная двумя параллельными прямыми начертательная геометрия

Рис. 84

Плоскость заданная двумя параллельными прямыми начертательная геометрия

На прямой а (а<, а2) в плоскости 0 произвольно выбираем точку В (Вх, В2) и также произвольно проводим отрезок BD <B<Db B2D2) так, чтобы он находился в заданной плоскости 0 (рис. 86).

Затем через точку А (Л,, А2) проводим прямую d (dx, d2) параллельно отрезку BD, где dx 11 BDX, d211 B2D2 (рис. 87). В результате построений получена плоскость, образованная пересекающимися прямыми X (с d), параллельная заданной плоскости 6.

Видео:Параллельность прямой к плоскостиСкачать

Параллельность прямой к плоскости

Лекция 3. Плоскость

Видео:Построение следов плоскостиСкачать

Построение следов плоскости

3.1. Способы задания плоскости на ортогональных чертежах

Рисунок 3.1 – Способы задания плоскостей

Плоскость общего положения – это плоскость, которая не параллельна и не перпендикулярна ни одной из плоскостей проекций.

Следом плоскости называется прямая, полученная в результате пересечения заданной плоскости с одной из плоскостей проекций.

Плоскость общего положения может иметь три следа: горизонтальный – απ1, фронтальный – απ2 и профильный – απ3, которые она образует при пересечении с известными плоскостями проекций: горизонтальной π1, фронтальной π2 и профильной π3 (Рисунок 3.2).

Плоскость заданная двумя параллельными прямыми начертательная геометрия

Рисунок 3.2 – Следы плоскости общего положения

Видео:Определение кратчайшего расстояние между скрещивающимися прямыми методом замены плоскостей проекцииСкачать

Определение кратчайшего расстояние между скрещивающимися прямыми методом замены плоскостей проекции

3.2. Плоскости частного положения

Плоскость частного положения – плоскость, перпендикулярная или параллельная плоскости проекций.

Плоскость, перпендикулярная плоскости проекций, называется проецирующей и на эту плоскость проекций она будет проецироваться в виде прямой линии.

Свойство проецирующей плоскости : все точки, линии, плоские фигуры, принадлежащие проецирующей плоскости, имеют проекции на наклонном следе плоскости (Рисунок 3.3).

Плоскость заданная двумя параллельными прямыми начертательная геометрия

Рисунок 3.3 – Фронтально-проецирующая плоскость, которой принадлежат: точки А, В, С; линии АС, АВ, ВС; плоскость треугольника АВС

Фронтально-проецирующая плоскость плоскость, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций (Рисунок 3.4, а).

Горизонтально-проецирующая плоскость плоскость, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций (Рисунок 3.4, б).

Профильно-проецирующая плоскость плоскость, перпендикулярная профильной плоскости проекций.

Плоскости, параллельные плоскостям проекций, называются плоскостями уровня или дважды проецирующими плоскостями.

Фронтальная плоскость уровня плоскость, параллельная фронтальной плоскости проекций (Рисунок 3.4, в).

Горизонтальная плоскость уровня плоскость, параллельная горизонтальной плоскости проекций (Рисунок 3.4, г).

Профильная плоскость уровня плоскость, параллельная профильной плоскости проекций (Рисунок 3.4, д).

Плоскость заданная двумя параллельными прямыми начертательная геометрия

Рисунок 3.4 – Эпюры плоскостей частного положения

Видео:Следы плоскости общего положения заданной фронталью и горизонталью. Начертательная геометрия легкоСкачать

Следы плоскости общего положения заданной фронталью и горизонталью. Начертательная геометрия легко

3.3. Точка и прямая в плоскости. Принадлежность точки и прямой плоскости

Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости (Рисунок 3.5). Прямая принадлежит плоскости, если она имеет с плоскостью хотя бы две общие точки (Рисунок 3.6).

Плоскость заданная двумя параллельными прямыми начертательная геометрия

Рисунок 3.5 – Принадлежность точки плоскости

Плоскость заданная двумя параллельными прямыми начертательная геометрия

Рисунок 3.6 – Принадлежность прямой плоскости

left.beginalpha=mparallel n,\Dinalpha\Cinalpha\endright> Longrightarrow CDinalpha

Видео:Пересечение двух плоскостей. Плоскости в виде треугольникаСкачать

Пересечение двух плоскостей. Плоскости в виде треугольника

Упражнение

Плоскость заданная двумя параллельными прямыми начертательная геометрия

Рисунок 3.7 – Решение задачи

Решение :

  1. ABCD – плоский четырехугольник, задающий плоскость.
  2. Проведём в нём диагонали AC и BD (Рисунок 3.7, б), которые являются пересекающимися прямыми, также задающими ту же плоскость.
  3. Согласно признаку пересекающихся прямых, построим фронтальную проекцию точки пересечения этих прямых — K: A2C2B2D2=K2.
  4. Восстановим линию проекционной связи до пересечения с горизонтальной проекцией прямой BD: на проекции диагонали B1D1 строим К1.
  5. Через А1К1 проводим проекцию диагонали А1С1.
  6. Точку С1 получаем, посредством линии проекционной связи до пересечения её с горизонтальной проекцией продолженной диагонали А1К1.

Видео:Определение расстояние между параллельными прямыми (Способ замены плоскостей проекции).Скачать

Определение расстояние между параллельными прямыми (Способ замены плоскостей проекции).

3.4. Главные линии плоскости

В плоскости можно построить бесконечное множество прямых, но есть особые прямые, лежащие в плоскости, называемые главными линиями плоскости (Рисунок 3.8 – 3.11).

Прямой уровня или параллелью плоскости называется прямая, лежащая в данной плоскости и параллельная одной из плоскостей проекций.

Горизонталь или горизонтальная прямая уровня h (первая параллель) – это прямая, лежащая в данной плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекций (π1) (Рисунок 3.8, а; 3.9).

Фронталь или фронтальная прямая уровня f (вторая параллель) – это прямая лежащая в данной плоскости и параллельная фронтальной плоскости проекций (π2) (Рисунок 3.8, б; 3.10).

Профильная прямая уровня p (третья параллель) – это прямая лежащая в данной плоскости и параллельная профильной плоскости проекций (π3) (Рисунок 3.8, в; 3.11).

Плоскость заданная двумя параллельными прямыми начертательная геометрия

Интерактивная модель Горизонталь плоскости
Плоскость заданная двумя параллельными прямыми начертательная геометрия

Рисунок 3.8 а – Горизонтальная прямая уровня в плоскости, заданной треугольником

Плоскость заданная двумя параллельными прямыми начертательная геометрия

Интерактивная модель Фронталь плоскости
Плоскость заданная двумя параллельными прямыми начертательная геометрия

Рисунок 3.8 б – Фронтальная прямая уровня в плоскости, заданной треугольником

Плоскость заданная двумя параллельными прямыми начертательная геометрия

Интерактивная модель Профильная прямая плоскости
Плоскость заданная двумя параллельными прямыми начертательная геометрия

Рисунок 3.8 в – Профильная прямая уровня в плоскости, заданной треугольником

Плоскость заданная двумя параллельными прямыми начертательная геометрия

Рисунок 3.9 – Горизонтальная прямая уровня в плоскости, заданной следами

Плоскость заданная двумя параллельными прямыми начертательная геометрия

Рисунок 3.10 – Фронтальная прямая уровня в плоскости, заданной следами

Плоскость заданная двумя параллельными прямыми начертательная геометрия

Рисунок 3.11 – Профильная прямая уровня в плоскости, заданной следами

Видео:Построение параллельной плоскости на расстояние 30 мм.Скачать

Построение параллельной плоскости на расстояние 30 мм.

3.5. Взаимное положение прямой и плоскости

Прямая по отношению к заданной плоскости может быть параллельной и может с ней иметь общую точку, то есть пересекаться.

3.5.1. Параллельность прямой плоскости

Признак параллельности прямой плоскости : прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, принадлежащей этой плоскости (Рисунок 3.12).

alpha=mcap n\left.begina_2parallel m_2\a_1parallel m_1\endright> Rightarrow aparallelalpha

Плоскость заданная двумя параллельными прямыми начертательная геометрия

Рисунок 3.12 – Параллельность прямой плоскости

3.5.2. Пересечение прямой с плоскостью

Для построения точки пересечения прямой с плоскостью общего положения (Рисунок 3.13), необходимо:

  1. Заключить прямую а во вспомогательную плоскость β (в качестве вспомогательной плоскости следует выбирать плоскости частного положения);
  2. Найти линию пересечения вспомогательной плоскости β с заданной плоскостью α;
  3. Найти точку пересечения заданной прямой а с линией пересечения плоскостей MN.

Плоскость заданная двумя параллельными прямыми начертательная геометрия

Рисунок 3.13 – Построение точки встречи прямой с плоскостью

Видео:ПЕРПЕНДИКУЛЯР К ПЛОСКОСТИ ЗАДАННОЙ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ЛИНИЯМИ. Начертательная геометрияСкачать

ПЕРПЕНДИКУЛЯР К ПЛОСКОСТИ ЗАДАННОЙ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ЛИНИЯМИ. Начертательная геометрия

Упражнение

Заданы: прямая АВ общего положения, плоскость σ⊥π1. (Рисунок 3.14). Построить точку пересечения прямой АВ с плоскостью σ.

Решение :

    1. Точка К должна принадлежать прямой АВК1А1В и заданной плоскости σ ⇒ К1∈σ, следовательно, К1 находится в точке пересечения проекций А1В1 и σ1;
    2. Плоскость σ – горизонтально-проецирующая, следовательно, горизонтальной проекцией плоскости σ является прямая σ1 (горизонтальный след плоскости);
    3. Фронтальную проекцию точки К находим посредством линии проекционной связи: К2А2В2.

Плоскость заданная двумя параллельными прямыми начертательная геометрия

Рисунок 3.14 – Пересечение прямой общего положения с плоскостью частного положения

Видео:Взаимное пересечение двух плоскостейСкачать

Взаимное пересечение двух плоскостей

Упражнение

Заданы: плоскость σ = ΔАВС – общего положения, прямая EF (Рисунок 3.15).

Требуется построить точку пересечения прямой EF с плоскостью σ.

Плоскость заданная двумя параллельными прямыми начертательная геометрия

Рисунок 3.15 – Пересечение прямой с плоскостью

Решение:

  1. Заключим прямую EF во вспомогательную плоскость, в качестве которой воспользуемся горизонтально-проецирующей плоскостью α (Рисунок 3.15, а);
  2. Если α⊥π1, то на плоскость проекций π1 плоскость α проецируется в прямую (горизонтальный след плоскости απ1 или α1), совпадающую с E1F1;
  3. Найдём прямую пересечения (1-2) проецирующей плоскости α с плоскостью σ (решение подобной задачи будет рассмотрено ниже);
  4. Прямая (1-2) и заданная прямая EF лежат в одной плоскости α и пересекаются в точке K.

Алгоритм решения задачи (Рисунок 3.15, б): Через EF проведем вспомогательную плоскость α:

  1. left.beginalpha perp pi_1\alphain EF\endright> Longrightarrow alpha_1in E_1F_1
  2. alphacapsigma=(1-2)left.begin|alpha_1cap A_1C_1=1_1longrightarrow 1_2\|alpha_1cap A_1B_1=2_1longrightarrow 2_2\endright.
  3. (1_2-2_2)cap E_2F_2=K_2\left.beginKin EF\Kin (1-2)Rightarrow Kinsigma\endright>Longrightarrow K=EFcap (sigma =triangle ABC)

Видео:Перпендикуляр к плоскостиСкачать

Перпендикуляр к плоскости

3.6. Определение видимости методом конкурирующих точек

При оценке положения данной прямой, необходимо определить – точка какого участка прямой расположена ближе (дальше) к нам, как к наблюдателям, при взгляде на плоскость проекций π1 или π2.
Точки, которые принадлежат разным объектам, а на одной из плоскостей проекций их проекции совпадают (то есть, две точки проецируются в одну), называются конкурирующими на этой плоскости проекций.
Необходимо отдельно определить видимость на каждой плоскости проекций.
Видимость на π2 (рис. 3.15)
Выберем точки, конкурирующие на π2 – точки 3 и 4. Пусть точка 3∈ВС∈σ, точка 4∈EF.
Чтобы определить видимость точек на плоскости проекций π2 надо определить расположение этих точек на горизонтальной плоскости проекций при взгляде на π2.
Направление взгляда на π2 показано стрелкой.
По горизонтальным проекциям точек 3 и 4, при взгляде на π2, видно, что точка 41 располагается ближе к наблюдателю, чем 31.
41E1F1 ⇒ 4∈EF ⇒ на π2 будет видима точка 4, лежащая на прямой EF, следовательно, прямая EF на участке рассматриваемых конкурирующих точек расположена перед плоскостью σ и будет видима до точки K – точки пересечения прямой с плоскостью σ.
Видимость на π1.
Для определения видимости выберем точки, конкурирующие на π1 – точки 2 и 5.
Чтобы определить видимость точек на плоскости проекций π1 надо определить расположение этих точек на фронтальной плоскости проекций при взгляде на π1.
Направление взгляда на π1 показано стрелкой.
По фронтальным проекциям точек 2 и 5, при взгляде на π1, видно, что точка 22 располагается ближе к наблюдателю, чем 52.
22А2В2 ⇒ 2∈АВ ⇒ на π1 будет видима точка 2, лежащая на прямой АВ, следовательно, прямая EF на участке рассматриваемых конкурирующих точек расположена под плоскостью σ и будет невидима до точки K – точки пересечения прямой с плоскостью σ.
Видимой из двух конкурирующих точек будет та, у которой координата «Z» или(и) «Y» больше.

Видео:Следы прямойСкачать

Следы прямой

3.7. Перпендикулярность прямой плоскости

Признак перпендикулярности прямой плоскости : прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в данной плоскости.

Плоскость заданная двумя параллельными прямыми начертательная геометрия

Рисунок 3.16 – Задание прямой, перпендикулярной плоскости

Теорема. Если прямая перпендикулярна плоскости, то на эпюре: горизонтальная проекции прямой перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали плоскости, а фронтальная проекция прямой перпендикулярна фронтальной проекции фронтали (Рисунок 3.16, б)

Теорема доказывается через теорему о проецировании прямого угла в частном случае.

Если плоскость задана следами, то проекции прямой перпендикулярной плоскости перпендикулярны соответствующим следам плоскости (Рисунок 3.16, а).

Пусть прямая p перпендикулярна плоскости σ=ΔАВС и проходит через точку K.

Видео:Следы прямой Взаимное положение двух прямыхСкачать

Следы прямой  Взаимное положение двух прямых

3.8. Взаимное положение двух плоскостей

3.8.1. Параллельность плоскостей

Две плоскости могут быть параллельными и пересекающимися между собой.

Признак параллельности двух плоскостей : две плоскости взаимно параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

Видео:57. Определение расстояния между двумя параллельными прямымиСкачать

57. Определение расстояния между двумя параллельными прямыми

Упражнение

Задана плоскость общего положения α=ΔАВС и точка F∉α (Рисунок 3.17).

Через точку F провести плоскость β, параллельную плоскости α.

Плоскость заданная двумя параллельными прямыми начертательная геометрия

Рисунок 3.17 – Построение плоскости, параллельной заданной

Решение : В качестве пересекающихся прямых плоскости α возьмем, например, стороны треугольника АВ и ВС.

  1. Через точку F проводим прямую m, параллельную, например, АВ.
  2. Через точку F, или же через любую точку, принадлежащую m, проводим прямую n, параллельную, например, ВС, причём m∩n=F.
  3. β = m∩n и β//α по определению.
Интерактивная модель Параллельность двух плоскостей
Плоскость заданная двумя параллельными прямыми начертательная геометрия

3.8.2. Пересечение плоскостей

Результатом пересечения 2-х плоскостей является прямая. Любая прямая на плоскости или в пространстве может быть однозначно задана двумя точками. Поэтому для того, чтобы построить линию пересечения двух плоскостей, следует найти две точки, общие для обеих плоскостей, после чего соединить их.

Рассмотрим примеры пересечения двух плоскостей при различных способах их задания: следами; тремя точками, не лежащими на одной прямой; параллельными прямыми; пересекающимися прямыми и др.

Видео:Следы плоскостиСкачать

Следы плоскости

Упражнение

Рисунок 3.18 – Пересечение плоскостей общего положения, заданных следами

Порядок построения линии пересечения плоскостей:

  1. Найти точку пересечения горизонтальных следов — это точка М (её проекции М1 и М2, при этом М1, т.к. М – точка частного положения, принадлежащая плоскости π1).
  2. Найти точку пересечения фронтальных следов — это точка N (её проекции N1 и N2, при этом N2=N, т.к. N – точка частного положения, принадлежащая плоскости π2).
  3. Построить линию пересечения плоскостей, соединив одноименные проекции полученных точек: М1N1 и М2N2.

МN – линия пересечения плоскостей.

Видео:Определение натуральной величины треугольника АВС методом замены плоскостей проекцииСкачать

Определение натуральной величины треугольника АВС методом замены плоскостей проекции

Упражнение

Решение:
Так как плоскость α пересекает стороны АВ и АС треугольника АВС, то точки пересечения K и L этих сторон с плоскостью α являются общими для обеих заданных плоскостей, что позволит, соединив их, найти искомую линию пересечения.
Точки могут быть найдены как точки пересечения прямых с проецирующей плоскостью: находим горизонтальные проекции точек K и L, то есть K1 и L1 , на пересечении горизонтального следа (α1) заданной плоскости α с горизонтальными проекциями сторон ΔАВС: А1В1 и A1C1. После чего посредством линий проекционной связи находим фронтальные проекции этих точек K2 и L2 на фронтальных проекциях прямых АВ и АС. Соединим одноимённые проекции: K1 и L1; K2 и L2. Линия пересечения заданных плоскостей построена.

Алгоритм решения задачи :

left.beginABcapsigma=K\ACcapsigma=L\endright> left.beginRightarrow A_1B_1capsigma_1=K_1 rightarrow K_2\Rightarrow A_1C_1cap sigma_1=L_1 rightarrow L_2\endright.

KL – линия пересечения ΔАВС и σ (α∩σ = KL).

Плоскость заданная двумя параллельными прямыми начертательная геометрия

Рисунок 3.19 – Пересечение плоскостей общего и частного положения

Видео:Горизонталь в плоскостиСкачать

Горизонталь в плоскости

Упражнение

Рисунок 3.20 – Пересечение двух плоскостей общего положения (общий случай)

Алгоритм решения задачи :

left.beginalphacapsigma=(4-5)\betacapsigma=(3-2)\endright>\left.beginalphacaptau=(6-7)\betacaptau=(1-8)\endright>left.begin(4_1-5_1)cap(3_1-2_1)=M_1rightarrow M_2\(6_1-7_1)cap(1_1-8_1)=N_1rightarrow N_2\endright>rightarrow\left.beginM_1N_1\M_2N_2\endright>Rightarrowalphacapbeta=MN

Видео:43. Построение следов плоскости, заданной двумя пересекающимися прямымиСкачать

43. Построение следов плоскости, заданной двумя пересекающимися прямыми

Упражнение

Заданы плоскости α = ΔАВС и β = a//b. Построить линию пересечения заданных плоскостей (Рисунок 3.21).

Плоскость заданная двумя параллельными прямыми начертательная геометрия

Рисунок 3.21 Решение задачи на пересечение плоскостей

Решение: Воспользуемся вспомогательными секущими плоскостями частного положения. Введём их так, чтобы сократить количество построений. Например, введём плоскость σ⊥π2, заключив прямую a во вспомогательную плоскость σ (σ∈a). Плоскость σ пересекает плоскость α по прямой (1-2), а σ∩β=а. Следовательно (1-2)∩а=K. Точка К принадлежит обеим плоскостям α и β. Следовательно, точка K, является одной из искомых точек, через которые проходит прямая пересечения заданных плоскостей α и β. Для нахождения второй точки, принадлежащей прямой пересечения α и β, заключим прямую b во вспомогательную плоскость τ⊥π2 (τb). Соединив точки K и L, получим прямую пересечения плоскостей α и β.

Видео:Строим фронталь и горизонталь в плоскости общего положения удаленную от П1 П2 на какое то расстояниеСкачать

Строим фронталь и горизонталь в плоскости общего положения удаленную от П1 П2 на какое то расстояние

3.8.3. Взаимно перпендикулярные плоскости

Плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой.

Видео:Линия пересечения плоскостейСкачать

Линия пересечения плоскостей

Упражнение

Задана плоскость σ⊥π2 и прямая общего положения – DE (Рисунок 3.22)

Требуется построить через DE плоскость τ⊥σ.

Плоскость заданная двумя параллельными прямыми начертательная геометрия

Рисунок 3.22 – Построение плоскости, перпендикулярной к заданной плоскости

По теореме о проецировании прямого угла C1D1 должна быть параллельна оси проекций. Пересекающиеся прямые CD∩DE задают плоскость τ. Итак, τ⊥σ. Аналогичные рассуждения, в случае плоскости общего положения.

Видео:Точка встречи прямой с плоскостьюСкачать

Точка встречи прямой с плоскостью

Упражнение

Рисунок 3.23 – Построение плоскости, перпендикулярной к заданной ΔАВС

3.9. Задачи для самостоятельного решения

1. Задана плоскость α = m//n (Рисунок 3.24). Известно, что K∈α.

Постройте фронтальную проекцию точки К.

Плоскость заданная двумя параллельными прямыми начертательная геометрия

2. Постройте следы прямой, заданной отрезком CB, и определите квадранты, через которые она проходит (Рисунок 3.25).

Плоскость заданная двумя параллельными прямыми начертательная геометрия

3. Постройте проекции квадрата, принадлежащего плоскости α⊥π2, если его диагональ MN //π2 (Рисунок 3.26).

Плоскость заданная двумя параллельными прямыми начертательная геометрия

4. Построить прямоугольник ABCD с большей стороной ВС на прямой m, исходя из условия, что отношение его сторон равно 2 (Рисунок 3.27).

Плоскость заданная двумя параллельными прямыми начертательная геометрия

5. Задана плоскость α=a//b (Рисунок 3.28). Построить плоскость β параллельную плоскости α и удаленную от нее на расстоянии 20 мм.

Плоскость заданная двумя параллельными прямыми начертательная геометрия

6. Задана плоскость α=∆АВС и точка D вне плоскости. Построить через точку D плоскость β⊥α и β⊥π1.

7. Задана плоскость α=∆АВС и точка D вне плоскости. Построить через точку D прямую DE//α и DE//π1.

Признаки параллельности плоскостей

Признаки параллельности плоскостей имеет следующее определение: две произвольные пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

В проективном пространстве две плоскости пересекаются по прямой — собственной или несобственной. Во втором случае плоскости принято называть параллельными.

Используя признаки параллельности плоскостей, можно получить простой графический способ решения задачи по построению плоскости, параллельной заданной.

Провести через точку K плоскость β параллельную плоскости α(ab)

Плоскость заданная двумя параллельными прямыми начертательная геометрия

Алгоритм решения задачи: — для построения плоскости β мы вправе, взять одну прямую m(m`, m») из пересекающихся прямых, проходящих через точку K(K`, K») и параллельных плоскости α — например параллельной прямым a и b. — согласно же условию параллельности плоскостей, в плоскости α необходимо иметь пересекающиеся прямые. Для этого строим прямую 1-2. — далее проводим через точку K(K`, K») вторую из пересекащихся прямых плоскости β — прямую n(n`, n») параллельно прямой 1-2.

Провести через точку K плоскость β параллельную данной плоскости α, выразив ее следами

Плоскость заданная двумя параллельными прямыми начертательная геометрия

Здесь следы плоскости βH и βV- это две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым αH и αV заданной плоскости α.

Провести через точку S плоскость α параллельную плоскости треугольника ABC, выразив ее следами

Плоскость заданная двумя параллельными прямыми начертательная геометрия

Здесь следы плоскости αH и αV построены по следам двух прямым m и n, пересекающихся в точке S и при этом параллельных сторонам AB и BC треугольника соответственно.

Поделиться или сохранить к себе: