Площадь сектора окружности через

Нахождение площади сектора круга

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить площадь сектора круга, а также разберем примеры решения задач для демонстрации их практического применения.

Видео:Площадь сектораСкачать

Площадь сектора

Определение сектора круга

Сектор круга – это часть круга, образованная двумя его радиусами и дугой между ними. На рисунке ниже сектор закрашен зеленым цветом.

Площадь сектора окружности через

  • AB – дуга сектора;
  • R (или r) – радиус круга;
  • α – это угол сектора, т.е. угол между двумя радиусами. Также его иногда называют центральным углом.

Видео:ПЛОЩАДЬ СЕКТОРА 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

ПЛОЩАДЬ СЕКТОРА 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэ

Формулы нахождения площади сектора круга

Через длину дуги и радиус круга

Площадь (S) сектора круга равняется одной второй произведения длины дуги сектора (L) и радиуса круга (r).

Площадь сектора окружности через

Через угол сектора (в градусах) и радиус круга

Площадь (S) сектора круга равняется площади круга, умноженной на угол сектора в градусах ( α°) и деленной на 360°.

Площадь сектора окружности через

Через угол сектора (в радианах) и радиус круга

Площадь (S) сектора круга равняется половине произведения угла сектора в радианах (aрад) и квадрата радиуса круга.

Площадь сектора окружности через

Видео:Площадь сектора и сегмента. 9 класс.Скачать

Площадь сектора и сегмента. 9 класс.

Примеры задач

Задание 1
Дан круг радиусом 6 см. Найдите площадь сектора, если известно, что длина его дуги составляет 15 см.

Решение
Воспользуемся первой формулой, подставив в нее заданные значения:

Площадь сектора окружности через

Задание 2
Найдите угол сектора, если известно, что его площадь равна 78 см 2 , а радиус круга – 8 см.

Решение
Выведем формулу для нахождения центрального угла из второй формулы, рассмотренной выше:

Видео:Геометрия 9 класс (Урок№24 - Площадь круга. Площадь кругового сектора.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№24 - Площадь круга. Площадь кругового сектора.)

Площадь сектора круга — формулы и примеры расчетов

Выполняя инженерные расчёты при проектировании различных объектов строительства, создании роботов, автоматизированных систем, станков, машин, самолётов, ракет, современных средств вооружения часто бывает необходимо найти площадь сектора круга.

Геометрия помогает при этом решать задачи на нахождение центра тяжести (центр масс), вычислять его координаты для плоских пластин, имеющих, в частности, форму правильного многоугольника.

Измерять и вычислять величины считается базовым умением. Оно включено в первую часть профильной программы выпускного экзамена ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Видео:Лайфхаки ОГЭ — площадь сектора #огэ #математикаСкачать

Лайфхаки ОГЭ — площадь сектора #огэ #математика

Сектор круга

Площадь сектора окружности через

Существует несколько определений, каждое из которых отличается только формулировкой, не меняющей подход к рассмотрению понятия:

Часть плоскости, ограниченная центральным углом и соответствующей дугой окружности.

Часть круга, заключённая между двумя радиусами.

Часто эту формулировку заменяют похожей, описывающей построение непосредственно: часть круга, лежащего внутри соответствующего центрального угла.

Видео:Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.

Площадь сектора круга через радиус и длину дуги

Пусть известны радиус круга R, длина дуги l. Как в этом случае определить площадь сектора, стягиваемого данной дугой?

Площадь сектора окружности через

Для ответа на вопрос понадобится формула нахождения длины окружности:

Определение, представленное через третью формулировку, даёт возможность соотнести численные величины понятий: сектор и круг, дуга и окружность, центральный и полный углы.

Поскольку отношения постоянны, то для ответа на поставленный вопрос достаточно найти отношение части к целому, затем умножить полученный результат на площадь круга S = πR 2 .

Площадь сектора окружности через

После сокращения дроби получают формулу:

Площадь сектора окружности через

Видео:ГЕОМЕТРИЯ 9 класс: Длина окружности, площадь круга и площадь кругового сектораСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 9 класс: Длина окружности, площадь круга и площадь кругового сектора

Примеры решения задач

Задача №1

Найти площадь сектора круга радиусом 2 см, имеющего длину дуги 4 см.

Подставляя имеющиеся величины в формулу, получаем:

Sсект = (4 * 2) / 2 = 4.

Ответ: Sсект = 4 см 2 .

Задача №2

Площадь сектора окружности через

Подставив известные данные в формулу, получим:

Площадь сектора окружности через

Тот же результат получился бы при первоначальной работе в «общем виде»:

Площадь сектора окружности через

Видео:9 класс, 28 урок, Площадь кругового сектораСкачать

9 класс, 28 урок, Площадь кругового сектора

Площадь сектора круга через радиус и угол сектора

Площадь сектора окружности через

Если известна градусная мера центрального угла (n°), то, находя отношение её к полному кругу (к 360º), также умножают результат на площадь круга:

Площадь сектора окружности через

Задача №3

Чему равна площадь фигуры, изображённой на рисунке?

Площадь сектора окружности через

Центральный угол изображённого сектора равен

Подставляя в формулу величины, несложно получить искомый результат:

Площадь сектора окружности через

Ответ: Sсект = 27 см 2 .

Также аналогичным образом решаются обратные задачи.

Видео:Длина окружности. Площадь круга - математика 6 классСкачать

Длина окружности. Площадь круга - математика 6 класс

Площадь сектора круга через угол сектора в радианах

Пусть центральный угол задан своей радианной мерой. Учитывая, что

Площадь сектора окружности через

несложно получить искомую формулу:

Площадь сектора окружности через

Задача №4

Чему равен центральный угол сектора в радианах (рад.), если его площадь равна 32, а радиус – 4?

Выразив α, затем подставив числовые данные, легко получить результат:

Площадь сектора окружности через

Благодаря этой формуле, несложно доказать, что площади двух секторов с равными центральными углами относятся как квадраты радиусов соответствующих окружностей:

Площадь сектора окружности через

С другой стороны, площадь части кольца находится из условия:

Площадь сектора окружности через

Видео:Площадь сегментаСкачать

Площадь сегмента

Сегмент круга

Площадь сектора окружности через

Существует два подхода к определению понятия:

Геометрическая фигура, являющаяся общей частью круга и полуплоскости, называется сегментом круга.

Часть плоскости, заключённая между хордой и окружностью.

Оба определения характеризуют один и тот же объект с разных сторон, выражая, по сути одно и то же.

Иногда проводится описательное построение. В этом случае второй вариант быстрее приводит к данному термину.

Видео:Длина дуги окружности. 9 класс.Скачать

Длина дуги окружности. 9 класс.

Площадь сегмента круга по хорде и высоте

Пусть градусная мера ограничивающей дуги мала, длина хорды равна a, h — высота сегмента (перпендикуляр, опущенный из точки на окружности к середине хорды). Примечание: часто высота сегмента называется «стрелкой».

Тогда можно приближённо считать, что

Площадь сектора окружности через

Погрешность такого вычисления уменьшается вместе с отношением

В частности, когда дуга содержит угол, меньший 50º, то есть,

Площадь сектора окружности через

погрешность оказывается менее 1%.

Более точной является формула для любого сегмента меньшего полукруга:

Площадь сектора окружности через

Точный расчёт производится, исходя из свойства нахождения сложной фигуры, являющейся суммой или разностью двух и более объектов.

Сегмент является частью сектора, к которому либо добавлен треугольник, содержащий центральный угол (для дуг больших 180º), либо убран (соответствующий центральный угол меньше 180º).

Отсюда следует, что

Площадь сектора окружности через

Задача №5

Вычислить стрелку и площадь сегмента, если центральный угол содержит 60º, а

Площадь сектора окружности через

Площадь сектора окружности через

Для нахождения стрелки достаточно из радиуса вычесть высоту треугольника AOB. Поскольку угол AOB по условию равен 60º, то треугольник AOB равносторонний. Поэтому его высота в √3/2 раз отличается от стороны (от радиуса).

Отсюда следует, что:

Площадь сектора окружности через

Площадь по первой формуле будет приблизительно равна

Площадь сектора окружности через

Площадь сектора окружности через

Применяя точную формулу и учитывая, что

Площадь сектора окружности через

Площадь сектора окружности через

Площадь сектора окружности через

Ответ: Sсегм = 1,26 см 2 .

Видео:2199 Найдите площадь сектора Круга радиуса 24 длина дуги которого равна 3Скачать

2199 Найдите площадь сектора Круга радиуса 24 длина дуги которого равна 3

Площадь сегмента круга через синус угла

Площадь сектора окружности через

Рассматривая точную формулу, площадь треугольника можно находить, используя половину произведения сторон на синус угла между ними. А значит:

Площадь сектора окружности через

Площадь сектора окружности через

Многие вычисления помогает провести онлайн калькулятор. Достаточно ввести исходные данные и запросить результат.

Видео:ПЛОЩАДЬ СЕКТОРА 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

ПЛОЩАДЬ СЕКТОРА 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэ

Площадь сектора окружности через

Круг — это часть плоскости, ограниченная окружностью. Центр данной окружности называется центром круга, а расстояние от центра до любой точки окружности — радиусом круга:

Площадь сектора окружности через

O — центр круга, OA — радиус круга.

Видео:ПЛОЩАДЬ СЕГМЕНТА 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

ПЛОЩАДЬ СЕГМЕНТА 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэ

Площадь круга

Площадь круга равна произведению числа π на квадрат радиуса. Формула нахождения площади круга:

где S — площадь круга, а r — радиус круга.

Так как диаметр круга равен удвоенному радиусу, то радиус равен диаметру, разделённому на 2:

D = 2r, значит r =D.
2

Следовательно, формула нахождения площади круга через диаметр будет выглядеть так:

S = π(D) 2 = πD 2= πD 2.
22 24

Видео:Сегмент окружности - как найти площадь фермы для кровли.Скачать

Сегмент окружности - как найти площадь фермы для кровли.

Сектор круга. Площадь сектора

Сектор — это часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой. Два радиуса разделяют круг на два сектора:

Площадь сектора окружности через

Чтобы найти площадь сектора, дуга которого содержит , надо площадь круга разделить на 360 и полученный результат умножить на n.

Площадь сектора окружности через

Формула площади сектора:

S =πr 2· n =πr 2 n,
360360

где S — площадь сектора. Выражение

πr 2 n
360

можно представить в виде произведения

πr 2 n= n ·πr·r,
3601802

гдеnπr— это длина дуги сектора.
180

Следовательно, площадь сектора равна длине дуги сектора, умноженной на половину радиуса:

S =sr,
2

где S — это площадь сектора, s — длина дуги данного сектора, r — радиус круга.

Видео:Площадь сегментаСкачать

Площадь сегмента

Сегмент. Площадь сегмента

Сегмент — это часть круга, ограниченная дугой и стягивающей её хордой. Любая хорда делит круг на два сегмента:

Площадь сектора окружности через

Площадь сегмента равна половине радиуса, умноженной на разность между дугой сегмента и половиной хорды двойной дуги.

Площадь сектора окружности через

Площадь сегмента AMB будет вычисляться по формуле:

S =r(sBC),
2

где S — это площадь сегмента, r — радиус круга, s — длина дуги AB, а BC — длина половины хорды двойной дуги.

📺 Видео

Площадь сектора окружностиСкачать

Площадь сектора окружности

Находим площадь сектораСкачать

Находим площадь сектора

Окружность, круг, сектор и сегмент.Скачать

Окружность, круг, сектор и сегмент.

9 класс. Геометрия. Число пи. Длина окружности. Длина дуги. Площадь круга. Площадь сектора. Урок #5Скачать

9 класс. Геометрия. Число пи. Длина окружности. Длина дуги. Площадь круга. Площадь сектора. Урок #5
Поделиться или сохранить к себе: