Площадь поверхности правильного треугольника (7 видео)

Площадь правильного треугольника — формулы, свойства и признаки

Содержание

Формулы площади правильного треугольника
Признаки площади правильного треугольника
Правильный треугольник. Площадь правильного треугольника
Площадь правильного треугольника
Формулы для нахождения площади треугольника.
Что мы узнали?
🎬 Видео

Видео:Площадь равностороннего треугольникаСкачать

Формулы площади
правильного треугольника

Формула площади правильного треугольника,
выраженная через сторону:

Формула площади правильного треугольника,
выраженная через периметр:

Формула площади правильного треугольника,
выраженная через радиус вписанной окружности:

Формула площади правильного треугольника,
выраженная через радиус описанной окружности:

Мы рассмотрели признаки, того что площадь в треугольнике является
площадью правильного треугольника, и рассмотрели формулы площади
характерные для правильного треугольника.

Видео:Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать

Признаки площади
правильного треугольника

Площадь в произвольном треугольнике, является площадью
правильного треугольника, если выполняется ряд признаков.

Например, если один из признаков правильного треугольника
истинен для произвольного треугольника, то площадь
можно найти по формулам истинным только для
правильного треугольника.

В правильном треугольнике все углы имеют градусную
меру в 60 градусов.Также, в правильном треугольнике
сумма градусных мер всех углов 180 градусов.

Перечислим основные признаки правильного треугольника:

Все углы равны.
Все стороны равны.
Каждый угол по 60 градусов.

Если, для произвольного треугольника истинен один из
вышеперечисленных признаков, то треугольник правильный.
Соответственно, площадь в правильном треугольнике можно
найти, по формулам площади правильного треугольника.

Видео:КАК НАЙТИ ПЛОЩАДЬ БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ ПИРАМИДЫ?Скачать

Правильный треугольник. Площадь правильного треугольника

Правильный треугольник — треугольник, у которого все стороны равны. Каждый угол правильного треугольника равен градусов.
Правильный треугольник называют еще равносторонним.

Каждая из высот правильного треугольника является также его медианой и биссектрисой.
Центры вписанной и описанной окружностей правильного треугольника совпадают.

Пусть сторона правильного треугольника равна .

Высота правильного треугольника:
Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник: .
Радиус описанной окружности в два раза больше: .
Площадь правильного треугольника: .

Все эти формулы легко доказать. Если вы нацелены на решение задач части — докажите их самостоятельно.

. Сторона правильного треугольника равна . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Задача решается в одну строчку. Радиус вписанной окружности .

. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, высота которого равна .

Сравним формулы для высоты правильного треугольника и радиуса вписанной окружности. Очевидно, радиус вписанной окружности равен высоты.

. Сторона правильного треугольника равна . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Радиус окружности, описанной вокруг правильного треугольника, равен .

Видео:Площадь поверхности призмы. 11 класс.Скачать

Площадь правильного треугольника

Средняя оценка: 4.4

Всего получено оценок: 255.

Средняя оценка: 4.4

Всего получено оценок: 255.

Правильные треугольники – это особое явление в геометрии. Все углы треугольника абсолютно точно определены значением в 60 градусов. Из-за этого, помимо обычных для треугольников способов нахождения площади, существуют и способы нахождения именно площади правильного треугольника, не характерные для других фигур. Все способы будут рассмотрены в этой статье.

Видео:🙂 Площадь поверхности правильной пирамидыСкачать

Формулы для нахождения площади треугольника.

Первая формула площади правильного треугольника стандартна. Площадь равна половине произведения основания на высоту: $S= h*a$.
Существует формула нахождения площади через сторону, которая проистекает из первой, но характерна только для правильных треугольников. В правильном треугольнике АВС проведем высоту АМ, которая будет являться так же медианой и биссектрисой.

Это свойство характерно для равнобедренных треугольников, но любой правильный треугольник и будет равнобедренным, просто любая из его сторон может считаться основанием, так как две другие стороны в любом случае будут равны.

В результате треугольник делиться на два, равных между собой прямоугольных треугольника. Теперь найдем значение высоты, подставим его в классическую формулу площади треугольника и получим формулу для правильного треугольника.

Рис. 2. Рисунок к доказательству.

В прямоугольном треугольнике АВМ катет АМ можно выразить через синус угла АВМ. Этот угол известен и равен 60 градусам, значит, известны и значения синуса и косинуса для этого угла. Катет АМ противолежащий, значит, для его нахождения необходимо воспользоваться формулой синуса.

С другой стороны синус 60 градусов заранее известнее и равен $$sqrt over 2$$ . Значит можно выразить значение АМ:

Все стороны треугольника между собой равны, поэтому для удобства обозначим их через букву а.

Тогда формула будет выглядеть следующим образом:

Теперь вспомним классическую формулу площади треугольника:

$S= h*a$, где а это основание треугольника, h – высота, проведенная к этому основанию. В заданном треугольнике это будет выглядеть следующим образом:

ВС заменили на а, так как все стороны равны между собой, а значение высоты мы находили ранее. Получившаяся формула гораздо проще классических в плане количества необходимых параметров. Для нахождения площади правильного треугольника необходимо знать только значение одной из его сторон. Это возможно за счет равенства углов в таком треугольнике.

Только в правильном треугольнике возможно нахождение площади полной поверхности через сторону.

По той же причине нельзя использовать эту формулу для равнобедренного или произвольного треугольника. Прежде чем использовать эту формулу необходимо доказать, что треугольник правильный или убедиться, что это условие прописано в исходных данных задачи.

Рис. 3. Произвольный треугольник.

Видео:Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны 16, а боковые рёбра равны 10. РЕШЕНИЕ!Скачать

Что мы узнали?

Мы узнали, как можно найти площадь правильного треугольника по стороне, разобрались как эту формулу можно просто и быстро вывести. Запомнив ход вывода можно пользоваться этим в дальнейшем, не запоминая точных значений, а просто проверяя себя, выводя формулу в черновике.