Курс школьной геометрии » Окружность

Площадь и периметр ромба с вписанной окружностью

Обновлено
Ромб. Формулы, признаки и свойства ромба
Площадь и периметр ромба с вписанной окружностьюПлощадь и периметр ромба с вписанной окружностью
Рис.1Рис.2

Содержание
  1. Признаки ромба
  2. Основные свойства ромба
  3. Сторона ромба
  4. Формулы определения длины стороны ромба:
  5. Диагонали ромба
  6. Формулы определения длины диагонали ромба:
  7. Периметр ромба
  8. Формула определения длины периметра ромба:
  9. Площадь ромба
  10. Формулы определения площади ромба:
  11. Окружность вписанная в ромб
  12. Формулы определения радиуса круга вписанного в ромб:
  13. Площадь и периметр ромба с вписанной окружностью
  14. Контакты
  15. Ромб, свойства, признаки, формулы, площадь и периметр
  16. Примеры решения задач
  17. Видео
  18. Площадь ромба
  19. Формулы определения площади ромба:
  20. Сторона ромба
  21. Формулы определения длины стороны ромба:
  22. Основные соотношения
  23. Периметр и площадь
  24. Нахождение стороны
  25. Другие соотношения

Признаки ромба

∠BAC = ∠CAD или ∠BDA = ∠BDC

Δ ABO = Δ BCO = Δ CDO = Δ ADO

Основные свойства ромба

∠BAC = ∠CAD, ∠ABD = ∠DBC, ∠BCA = ∠ACD, ∠ADB = ∠BDC

AC 2 + BD 2 = 4AB 2

Сторона ромба

Формулы определения длины стороны ромба:

1. Формула стороны ромба через площадь и высоту:

a =S
ha

2. Формула стороны ромба через площадь и синус угла:

a =√ S
√ sinα
a =√ S
√ sinβ

3. Формула стороны ромба через площадь и радиус вписанной окружности:

a =S
2 r

4. Формула стороны ромба через две диагонали:

a =√ d 1 2 + d 2 2
2

5. Формула стороны ромба через диагональ и косинус острого угла ( cos α ) или косинус тупого угла ( cos β ):

a =d 1
√ 2 + 2 cosα
a =d 2
√ 2 — 2 cosβ

6. Формула стороны ромба через большую диагональ и половинный угол:

a =d 1
2 cos ( α /2)
a =d 1
2 sin ( β /2)

7. Формула стороны ромба через малую диагональ и половинный угол:

a =d 2
2 cos ( β /2)
a =d 2
2 sin ( α /2)

8. Формула стороны ромба через периметр:

a =Р
4

Диагонали ромба

Формулы определения длины диагонали ромба:

d 1 = a √ 2 + 2 · cosα

d 1 = a √ 2 — 2 · cosβ

d 2 = a √ 2 + 2 · cosβ

d 2 = a √ 2 — 2 · cosα

d 1 = 2 a · cos ( α /2)

d 1 = 2 a · sin ( β /2)

d 2 = 2 a · sin ( α /2)

d 2 = 2 a · cos ( β /2)

7. Формулы диагоналей через площадь и другую диагональ:

d 1 =2S
d 2
d 2 =2S
d 1

8. Формулы диагоналей через синус половинного угла и радиус вписанной окружности:

d 1 =2 r
sin ( α /2)
d 2 =2 r
sin ( β /2)

Периметр ромба

Периметром ромба называется сумма длин всех сторон ромба.

Длину стороны ромба можно найти за формулами указанными выше.

Формула определения длины периметра ромба:

Площадь ромба

Формулы определения площади ромба:

4. Формула площади ромба через две диагонали:

S =1d 1 d 2
2

5. Формула площади ромба через синус угла и радиус вписанной окружности:

S =4 r 2
sinα

6. Формулы площади через большую диагональ и тангенс острого угла ( tgα ) или малую диагональ и тангенс тупого угла ( tgβ ):

S =1d 1 2 · tg ( α /2)
2
S =1d 2 2 · tg ( β /2)
2

Окружность вписанная в ромб

Формулы определения радиуса круга вписанного в ромб:

1. Формула радиуса круга вписанного в ромб через высоту ромба:

r =h
2

2. Формула радиуса круга вписанного в ромб через площадь и сторону ромба:

r =S
2 a

3. Формула радиуса круга вписанного в ромб через площадь и синус угла:

r =√ S · sinα
2

4. Формулы радиуса круга вписанного в ромб через сторону и синус любого угла:

r =a · sinα
2
r =a · sinβ
2

5. Формулы радиуса круга вписанного в ромб через диагональ и синус угла:

r =d 1 · sin ( α /2)
2
r =d 2 · sin ( β /2)
2

6. Формула радиуса круга вписанного в ромб через две диагонали:

r =d 1 · d 2
2√ d 1 2 + d 2 2

7. Формула радиуса круга вписанного в ромб через две диагонали и сторону:

r =d 1 · d 2
4 a

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Площадь и периметр ромба с вписанной окружностью

Учасники групи мають 10% знижку при замовленні робіт, і ще багато бонусів!

Контакты

Администратор, решение задач
Роман

Tel. +380685083397
[email protected]
skype, facebook:
roman.yukhym

Решение задач
Андрей

facebook:
dniprovets25

Ромб, свойства, признаки, формулы, площадь и периметр

Площадь и периметр ромба с вписанной окружностью

Примеры решения задач

Дано: ABCD — ромб. AC=24 ; BD=10 Найти: AB=? Решение: Составим уравнение исходя из третьего свойства ромба. AC2+BD2=4AB2 576+100=4AB2 676=4AB2 AB=6.5 Ответ: длина стороны AB=6.5

Дано: ABCD—ромб;∠A+∠C=120°;PABCD=68 Найти: BD = ? Решение: 1 способ — P=68=>AB=68:4=17=>AB=BC=DC=AD=17; 2 способ — ∠A=∠D (по свойствам ромба) ; ∠A=∠C=120:2=60° ∠B=∠D (по свойствам ромба) ; ∠B=∠D=(360-120):2=120° ▵ABO — прямоугольный (т.к. диагонали в ромбе пересекаются под прямым углом) ∠BAO=30° (т.к. диагонали в ромбе являются его биссектрисами) =>BO=8.5(т.к. сторона в прямоугольном треугольнике, лежащая напротив угла 30°, равна половине гипотенузы) BD=8.5×2=17 Ответ: длина стороны BD=17

Видео

Площадь ромба

Формулы определения площади ромба:

2. Формула площади ромба через сторону и синус любого угла:

4. Формула площади ромба через две диагонали:

Площадь и периметр ромба с вписанной окружностью
S =1d 1 d 2
2

5. Формула площади ромба через синус угла и радиус вписанной окружности:

S =4 r 2
sinα

6. Формулы площади через большую диагональ и тангенс острого угла (tgα ) или малую диагональ и тангенс тупого угла (tgβ ): S = 1d 12 · tg (α /2)2 S = 1d 22 · tg (β /2)2

Сторона ромба

Формулы определения длины стороны ромба:

1. Формула стороны ромба через площадь и высоту:

a =S
ha

2. Формула стороны ромба через площадь и синус угла:

a =√ S
√ sinα
a =√ S
√ sinβ

3. Формула стороны ромба через площадь и радиус вписанной окружности:

a =S
2 r

4. Формула стороны ромба через две диагонали:

a =√ d 1 2 + d 2 2
2

5. Формула стороны ромба через диагональ и косинус острого угла ( cos α ) или косинус тупого угла ( cos β ):

a =d 1
√ 2 + 2 cosα
a =d 2
√ 2 — 2 cosβ

6. Формула стороны ромба через большую диагональ и половинный угол:

a =d 1
2 cos ( α /2)
a =d 1
2 sin ( β /2)

7. Формула стороны ромба через малую диагональ и половинный угол:

a =d 2
2 cos ( β /2)
a =d 2
2 sin ( α /2)

8. Формула стороны ромба через периметр: a = Р4

Основные соотношения

Для решения задач применяются формулы. Ромб не является исключением. Соотношения применяются для определения неизвестных параметров фигуры. Однако бывают случаи, когда недостаточно одной формулы, поскольку нужно связать несколько компонентов в единый процесс вычислений. Для корректного использования формул следует ввести класс некоторых обозначений:

  1. Ромб обозначить набором латинских букв ABCD.
  2. Стороны приравнять к некоторому числу, заданному в общей форме: AB = BC = CD = DA = a.
  3. Диагонали: меньшая — m2 и большая = m1. Их точку пересечения следует обозначить литерой P.
  4. Углы: ∠ABC = ∠ADC и ∠BAD = ∠BCD.
  5. Характеристики вписанной окружности: диаметр D и радиус R.
  6. Периметр и площадь (размерность): P и S соответственно.

Периметр и площадь

Периметр ромба — характеристика, которая эквивалентна значению алгебраической суммы всех ее сторон. Площадью называется параметр геометрической фигуры, показывающий ее размерность в определенном геометрическом пространстве. Следует отметить, что величина S существует только у фигуры в двумерном пространстве. В трехмерном нужно рассматривать объем геометрического тела. Кроме того, у объемного тела есть параметр площади поперечного сечения. Эта величина является двумерной.

Периметр вычисляется по следующей формуле: P = 4 * a. Следует отметить, что величину a можно выражать через диагонали, площадь и другие характеристики. Базовая формула площади ромба имеет такой вид: S = a * BP = a * DP = a * AP = a * CP. Кроме того, размерность можно найти по следующим соотношениям:

  1. S = a 2 * sin (∠ABC) = a 2 * sin (∠BCD) (через синус острого угла).
  2. S = 2 * a * R.
  3. S = (m1 * m2) / 2.
  4. S = (4 * R 2 ) / sin (∠BAD).
  5. S = [(m1)^2 * tg (∠BAD / 2)] / 2 = [(m2)^2 * tg (∠ABC / 2)] / 2.

В последней формуле при большем значении диагонали m1 следует брать тангенс острого угла, а при m2 — тангенс тупого угла. На это нужно обратить особое внимание, поскольку на этом моменте новички делают много ошибок, путая диагонали и углы.

Нахождение стороны

Длина стороны находится очень просто, поскольку математики выполнили доказательства некоторых тождеств. Они предлагают готовые решения в виде формул, позволяющих правильно выразить одну величину через другую, и подставить необходимые числовые значения:

  1. a = S / BP = S / DP = S / AP = S / CP.
  2. a = S^(½) / (sin (∠BAD))^(½).
  3. a = S / 2 * R.
  4. a = [(m1)^2 + (m2)^2]^(½) / 2.
  5. a = P / 4.

Необходимо обратить внимание, что используются в некоторых соотношения тригонометрические функции. Последнее соотношение является формулой определения периметра. Если он известен, то легко вычислить значение стороны, используя обратную формулу P.

Другие соотношения

Осталось еще два параметра ромба — диагонали. Специалисты рекомендуют воспользоваться готовыми соотношениями для нахождения ее длины:

  1. m1 = 2 * a * cos (∠BAD/2).
  2. m2 = 2 * a * sin (∠BAD/2).

m1 = [4 * a 2 — (m2)^2]^(½) = [4 * S — (m2)^2]^(½).

m2 = [4 * a 2 — (m1)^2]^(½) = [4 * S — (m1)^2]^(½).

Следует также рассмотреть случай, когда окружность вписана в ромб. Такой прием применяется для расширения возможностей поиска неизвестной, что существенно позволит сэкономить время на расчетах. К формулам относятся следующие тождества:

  1. R = S / 2 * a.
  2. R = m1 * m2 / (2 * ((m1)^2 + (m2)^2)^(½)).
  3. R = m1 * m2 / P = m1 * m2 / 4 * a.

Если нужно найти диаметр, то следует использовать такое соотношение: R = D / 2. Можно также выразить диагонали через стороны. Для этого следует подставить вместо m1 значение со стороной a.

Таким образом, математики предлагают специальный алгоритм, позволяющие без ошибок идентифицировать ромб, а затем применить соответствующие формулы для решения задачи.

Поделиться или сохранить к себе: