Площадь фигуры заштрихованной на рисунке будет равна окружность

Площадь круга в задаче B5

20 октября 2011

Окружности требуют более аккуратного подхода и встречаются в заданиях B5 гораздо реже. Вместе с тем, общая схема решения даже проще, чем в случае с многоугольниками (см. урок «Площади многоугольников на координатной сетке»).

Все, что требуется в таких заданиях — это найти радиус окружности R . Затем можно вычислить площадь круга по формуле S = πR 2 . Из этой формулы также следует, что для решения достаточно найти R 2 .

Чтобы найти указанные величины, достаточно указать на окружности точку, лежащую на пересечении линий сетки. А затем воспользоваться теоремой Пифагора. Рассмотрим конкретные примеры вычисления радиуса:

Задача. Найти радиусы трех окружностей, изображенных на рисунке:

Площадь фигуры заштрихованной на рисунке будет равна окружность

Выполним дополнительные построения в каждой окружности:

Площадь фигуры заштрихованной на рисунке будет равна окружность

В каждом случае точка B выбрана на окружности таким образом, чтобы лежать на пересечении линий сетки. Точка C в окружностях 1 и 3 дополняют фигуру до прямоугольного треугольника. Осталось найти радиусы:

Рассмотрим треугольник ABC в первой окружности. По теореме Пифагора:

Для второй окружности все очевидно:

Третий случай аналогичен первому. Из треугольника ABC по теореме Пифагора:

Теперь мы знаем, как искать радиус окружности (или хотя бы его квадрат). А следовательно, можем найти площадь. Встречаются задачи, где требуется найти площадь сектора, а не всего круга. В таких случаях легко выяснить, какую часть круга составляет этот сектор, и таким образом найти площадь.

Задача. Найти площадь S закрашенного сектора. В ответе укажите S / π .

Площадь фигуры заштрихованной на рисунке будет равна окружность

Очевидно, сектор составляет одну четверть круга. Следовательно,

Остается найти S круга — площадь круга. Для этого выполним дополнительное построение:

Площадь фигуры заштрихованной на рисунке будет равна окружность

Треугольник ABC — прямоугольный. По теореме Пифагора имеем:

Теперь находим площади круга и сектора:

Наконец, искомая величина равна

Видео:Задача на 5 секунд. Найти площадь заштрихованной фигурыСкачать

Задача на 5 секунд. Найти площадь заштрихованной фигуры

Площадь сектора при неизвестном радиусе

Это совершенно новый тип задач, ничего подобного в 2010—2011 годах не было. По условию, нам дан круг определенной площади (именно площади, а не радиуса!). Затем внутри этого круга выделяется сектор, площадь которого и требуется найти.

Хорошая новость состоит в том, что подобные задачи — самые легкие из всех задач на площади, которые бывают в ЕГЭ по математике. К тому же, круг и сектор всегда помещается на координатную сетку. Поэтому, чтобы научиться решать такие задачи, просто взгляните на картинку:

Площадь фигуры заштрихованной на рисунке будет равна окружность

Пусть исходный круг имеет площадь Тогда его можно разделить на два сектора каждый (см. 2 шаг). Аналогично, каждый из этих секторов-«половинок» можно снова разделить пополам — получим четыре сектора каждый (см. 3 шаг). Наконец, можно разделить каждый из этих секторов еще на два — получим 8 секторов-«ошметков». Площадь каждого из этих «ошметков»

Обратите внимание: более мелкого разбиения ни в одной задаче ЕГЭ по математике нет! Таким образом, алгоритм решения следующий:

  1. Разрезать исходный круг на 8 секторов-«ошметков». Площадь каждого из них составляет ровно площади всего круга. Например, если по условию круг имеет то «ошметки» имеют
  2. Выяснить, сколько «ошметков» помещается в исходном секторе, площадь которого требуется найти. Например, если в нашем секторе помещается 3 «ошметка» площадью 30, то площадь искомого сектора равна Это и будет ответ.

Вот и все! Задача решается практически устно. Если все равно что-то непонятно, купите пиццу и порежьте ее на 8 кусков. Каждый такой кусок будет тем самым сектором-«ошметком», которые можно объединить в более крупные куски.

А теперь разберем примеры из пробного ЕГЭ:

Задача. На клетчатой бумаге нарисован круг, площадь которого равна 40. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Площадь фигуры заштрихованной на рисунке будет равна окружность

Итак, площадь круга равна 40. Разделим его на 8 секторов — каждый Получим:

Площадь фигуры заштрихованной на рисунке будет равна окружность

Очевидно, закрашенный сектор состоит ровно из двух секторов-«ошметков». Следовательно, его площадь равна 2 · 5 = 10. Вот и все решение!

Задача. На клетчатой бумаге нарисован круг, площадь которого равна 64. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Площадь фигуры заштрихованной на рисунке будет равна окружность

Снова разделим весь круг на 8 равных секторов. Очевидно, что площадь одного их них как раз и требуется найти. Следовательно, его площадь

Задача. На клетчатой бумаге нарисован круг, площадь которого равна 48. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Площадь фигуры заштрихованной на рисунке будет равна окружность

Опять разделим круг на 8 равных секторов. Площадь каждого из них В искомом секторе помещается ровно три сектора-«ошметка» (см. рисунок). Следовательно, площадь искомого сектора равна 3 · 6 = 18.

Видео:Математика без Ху!ни. Определенные интегралы, часть 3. Площадь фигуры.Скачать

Математика без Ху!ни. Определенные интегралы, часть 3. Площадь фигуры.

На клетчатой бумаге нарисованы два круга

Площадь фигуры заштрихованной на рисунке будет равна окружность

Здравствуйте, друзья! В состав ЕГЭ по математике входят задачи связанные с нахождением площади круга или его частей (сектора, кольцевых элементов). Фигура задаётся на листе в клетку. В одних задачах масштаб клетки задаётся 1×1 сантиметр, в других он не оговаривается – даётся площадь элемента круга или самого круга.

Задания неглубокие, необходимо помнить формулу площади круга, уметь визуально (по клеткам) определить радиус круга, какую долю от круга составляет выделенный сектор. Кстати, на блоге имеется статья о площади сектора. Её содержание к решению представленных ниже задач отношения не имеет, но для тех, кто хочет вспомнить формулу площади круга и площади сектора будет весьма полезна. Рассмотрим задачи (взяты из открытого банка заданий):

Площадь фигуры заштрихованной на рисунке будет равна окружность

Найдите (в см 2 ) площадь S фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см. В ответе запишите S/л.

Площадь фигуры заштрихованной на рисунке будет равна окружность

Для того, чтобы площадь фигуры (кольца) необходимо из площади круга радиусом равным 2 вычесть площадь круга с радиусом 1. Формула площади круга:

Площадь фигуры заштрихованной на рисунке будет равна окружность

Площадь фигуры заштрихованной на рисунке будет равна окружность

Разделим результат на число Пи и запишем ответ.

Площадь фигуры заштрихованной на рисунке будет равна окружность

На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 51. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Площадь фигуры заштрихованной на рисунке будет равна окружность

Площадь заштрихованной фигуры можно найти вычислив разность между площадью большего круга и площадью меньшего. Определим во сколько раз площадь большего отличается от площади меньшего. Пусть радиус меньшего равен R, тогда его площадь равна:

Площадь фигуры заштрихованной на рисунке будет равна окружность

Радиус большего круга в два раза больше (видно по клеткам). Значит, его площадь равна:

Площадь фигуры заштрихованной на рисунке будет равна окружность

Получили, что его площадь в 4 раза больше.

Следовательно, она равна 51∙4 = 204 см 2

Таким образом, площадь заштрихованной фигуры равна 204 – 51 = 153 см 2 .

*Второй способ. Можно было вычислить радиус малого круга, затем определить радиус большего. Далее найти площадь большего и вычислить площадь искомой фигуры.

Площадь фигуры заштрихованной на рисунке будет равна окружность

На клетчатой бумаге нарисовано два круга. Площадь внутреннего круга равна 1. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Площадь фигуры заштрихованной на рисунке будет равна окружность

Данная задача по ходу решения практически не отличается от предыдущей, разница состоит лишь в том, что круги имеют разные центры.

Несмотря на то, что видно, что радиус большего круга в 2 раза больше радиуса меньшего, советую вам обозначить размер клетки переменной х (икс).

Так же, как и в предыдущей задаче, определим во сколько раз площадь большего отличается от площади меньшего. Выразим площадь меньшего круга, так как его радиус равен 3х:

Площадь фигуры заштрихованной на рисунке будет равна окружность

Выразим площадь большего круга, так как его радиус равен 6х:

Площадь фигуры заштрихованной на рисунке будет равна окружность

Как видно, площадь большего круга в 4 раза больше.

Следовательно, она равна 1∙4 = 4 см 2

Таким образом, площадь заштрихованной фигуры равна 4 – 1 = 3 см 2 .

Площадь фигуры заштрихованной на рисунке будет равна окружность

На клетчатой бумаге нарисовано два круга. Площадь внутреннего круга равна 9. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Площадь фигуры заштрихованной на рисунке будет равна окружность

Обозначим размер клетки переменной х (икс).

Определим во сколько раз площадь большего круга отличается от площади меньшего. Выразим площадь меньшего круга. Так как его радиус равен 3 ∙ х, то

Площадь фигуры заштрихованной на рисунке будет равна окружность

Выразим площадь большего круга. Так как его радиус равен 4 ∙ х, то

Площадь фигуры заштрихованной на рисунке будет равна окружность

Разделим площадь большего на площадь меньшего:

Площадь фигуры заштрихованной на рисунке будет равна окружность

То есть, площадь большего круга в 16/9 раза больше площади меньшего, следовательно, она равна:

Площадь фигуры заштрихованной на рисунке будет равна окружность

Таким образом, площадь заштрихованной фигуры равна 16 – 9 = 7 см 2 .

Вычислим радиус меньшего круга. Его площадь равна 9, значит,

Площадь фигуры заштрихованной на рисунке будет равна окружность

Найдём размер клетки и затем сможем определить радиус большего круга. Размер клетки равен:

Площадь фигуры заштрихованной на рисунке будет равна окружность

Так как радиус большего круга соответствует 4 клеткам, то его радиус будет равен:

Площадь фигуры заштрихованной на рисунке будет равна окружность

Определяем площадь большего круга:

Площадь фигуры заштрихованной на рисунке будет равна окружность

Находим разность: 16 – 9 = 7 см 2

Площадь фигуры заштрихованной на рисунке будет равна окружность

На клетчатой бумаге нарисован круг площадью 48. Найдите площадь заштрихованного сектора.

Площадь фигуры заштрихованной на рисунке будет равна окружность

В этой задаче очевидно, что заштрихованная часть составляет половину от площади всего круга, то есть равна 24.

Площадь фигуры заштрихованной на рисунке будет равна окружность

На клетчатой бумаге изображён круг. Какова площадь круга, если площадь заштрихованного сектора равна 32?

Площадь фигуры заштрихованной на рисунке будет равна окружность

По рисунку видно, что площадь сектора составляет треть от площади круга. Значит, площадь круга будет равна 32∙3 = 96.

Площадь фигуры заштрихованной на рисунке будет равна окружность

Найдите (в см 2 ) площадь S фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см. В ответе запишите S/л.

Площадь фигуры заштрихованной на рисунке будет равна окружность

Найдите площадь S круга, считая стороны квадратных клеток равными 1. В ответе укажите S/л.

Площадь фигуры заштрихованной на рисунке будет равна окружность

В задачах связанных с площадью сектора круга необходимо уметь определять какую долю он составляет от площади круга. Это сделать не сложно, так как в подобных задачах центральный угол сектора кратен 30 либо 45.

В задачах связанных с нахождением площадей кольцевых элементов есть разные пути для решения, оба показаны в решённых заданиях. Способ, в котором размер клетки обозначается через переменную х, и затем определяются радиусы более универсален.

Но самое главное – не запоминать эти способы. Можно найти и третий и четвёртый путь решения. Главное – это знать формулу площади круга и уметь логически рассуждать.

На этом всё. Успеха вам!

С уважением, автор проекта Александр Крутицких.

Видео:Найдите площадь закрашенной фигуры ★ 2 способа решения ★ Задание 3 ЕГЭ профильСкачать

Найдите площадь закрашенной фигуры ★ 2 способа решения ★ Задание 3 ЕГЭ профиль

Круг на клетчатой бумаге

Рассмотрим задачи, в которых изображён круг на клетчатой бумаге и требуется по известной площади круга найти площадь заштрихованного сектора либо найти площадь круга по данному значению площади сектора.

Для решения обеих задач надо определить величину соответствующего ему центрального угла.

Градусная мера окружности — 360°. Зная центральный угол, найдем, какую часть площадь закрашенного сектора составляет от площади круга.

Самые простые задания этого вида — те, в которых центральный угол — прямой. 90° составляют четверть от 360°. Отсюда, для нахождения площади сектора площадь круга следует разделить на 4. И наоборот, для нахождения площади круга по известной площади сектора площадь сектора умножаем на 4.

Стороны прямого угла, чаще всего, либо проведены по клеточкам (одна сторона — горизонтально, другая — вертикально), либо делят каждую клеточку по диагонали (как диагональ квадрата).

Определить прямой угол можно даже с помощью листа бумаги (приложив его к центру круга).

Площадь фигуры заштрихованной на рисунке будет равна окружность

1) На клетчатой бумаге изображён круг площадью 60.

Найти площадь заштрихованного сектора.

Так как центральный угол, соответствующий данному сектору, равен 90º, то

Площадь фигуры заштрихованной на рисунке будет равна окружность2) На клетчатой бумаге изображён круг.

Какова площадь круга, если площадь заштрихованного сектора равна 17?

Так как стороны угла делят каждую клеточку по диагонали, образуя с горизонтальной прямой, проходящей из вершины угла, углы по 45°, то центральный угол равен 90º.

Следовательно, площадь сектора составляет 1/4 от площади круга: Sкруга=Sсектора:(1/4)=17·4=68.

Площадь фигуры заштрихованной на рисунке будет равна окружность3) Найти площадь круга, если площадь заштрихованного сектора равна 21.

Площадь заштрихованного сектора составляет 3/4 площади круга.

Следовательно, чтобы найти площадь круга, надо площадь сектора разделить на 3/4:

Площадь фигуры заштрихованной на рисунке будет равна окружность4) Какова площадь круга если известно, что площадь закрашенного сектора равна 11?

Соответствующий центральный угол равен 45° (одно сторона угла проведена по горизонтали, другая делит каждую клеточку по диагонали (является диагональю квадрата).

Так как 45° составляет от 360° 1/8 часть, то

Площадь фигуры заштрихованной на рисунке будет равна окружность5) На клетчатой бумаге изображен круг площадью 96.

Найдите площадь заштрихованного сектора.

Центральный угол, соответствующий незакрашенной части, равен 45°, то есть составляет 1/8 площади круга.

Sзакрашенного сектора=Sнезакрашенного сектора-Sкруга=96-12=84.

А как определить на клетчатой бумаге центральные углы в 60° и 30°?

Можно рассуждать следующим образом.

Площадь фигуры заштрихованной на рисунке будет равна окружностьРассмотрим треугольник ABC.

Так как BH — его высота и медиана, то ABC — равнобедренный с основанием AO. Значит, AB=BO.

Но AO=BO (как радиусы).

Следовательно, AB=BO=AO, то есть треугольник ABC — равносторонний. Следовательно, все его углы равны по 60°, в частности, ∠AOB=60°.

Площадь фигуры заштрихованной на рисунке будет равна окружность6) Найти площадь заштрихованного сектора, если площадь круга равна 30.

Соответствующий центральный угол равен 60°. Значит, площадь сектора составляет 1/6 от площади круга и Sсектора=Sкруга:6=30:6=5.

Площадь фигуры заштрихованной на рисунке будет равна окружность7) Найти площадь круга, если площадь заштрихованного сектора равна 24.

Так как центральный угол заштрихованного сектора равен 30°, то площадь сектора составляет 1/12 часть от площади круга.

Площадь фигуры заштрихованной на рисунке будет равна окружность8) Найти площадь круга, изображенного на клетчатой бумаге, если площадь заштрихованного сектора равна 60.

Центральный угол, соответствующий незакрашенному сектору, равен 60°. Значит, площадь незакрашенной части составляет 1/6 площади круга.

Следовательно, на площадь закрашенной части приходится 5/6 круга:

В некоторых случаях центральный угол можно найти как сумму или разность других центральных углов.

9) Площадь фигуры заштрихованной на рисунке будет равна окружностьЦентральный угол равен 30+45=75°,

площадь заштрихованного сектора составляет

1/12+1/8=5/24 площади круга, то есть

Площадь фигуры заштрихованной на рисунке будет равна окружность10) Центральный угол равен 180-30=150°,

площадь заштрихованного сектора составляет 1/2-1/12=5/12 площади круга,

Площадь фигуры заштрихованной на рисунке будет равна окружность11) Центральный угол равен 60-45=15°,

площадь заштрихованного сектора составляет 1/24 площади круга

Площадь фигуры заштрихованной на рисунке будет равна окружность12) Центральный угол равен 15+90=105°

💥 Видео

Площадь фигурыСкачать

Площадь фигуры

Длина окружности. Площадь круга - математика 6 классСкачать

Длина окружности. Площадь круга - математика 6 класс

Площадь одной клетки равна 1. Найдите площадь фигуры ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 12 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Площадь одной клетки равна 1. Найдите площадь фигуры ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 12 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.

Площадь одной клетки равна 1. Найдите площадь фигуры, изображённой на рисунке.Скачать

Площадь одной клетки равна 1. Найдите площадь фигуры, изображённой на рисунке.

На клетчатой бумаге изображены два круга. Найдите площадь заштрихованной фигуры.Скачать

На клетчатой бумаге изображены два круга. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Найдите площадь фигуры ★ 2 способа решения ★ Классический школьный способ ★ Формула ПИКАСкачать

Найдите площадь фигуры ★ 2 способа решения ★ Классический школьный способ ★ Формула ПИКА

Как найти площадь фигуры?Скачать

Как найти площадь фигуры?

Задача Свободы Найти площадь заштрихованной фигурыСкачать

Задача Свободы Найти площадь заштрихованной фигуры

Найти площадь заштрихованной фигуры.Скачать

Найти площадь заштрихованной фигуры.

№1128. Сторона квадрата на рисунке 317 равна а. Вычислите площадь закрашенной фигуры.Скачать

№1128. Сторона квадрата на рисунке 317 равна а. Вычислите площадь закрашенной фигуры.

Площади фигур. Сохраняй и запоминай!#shortsСкачать

Площади фигур. Сохраняй и запоминай!#shorts

Красивая геометрия ➜ Найдите площадь закрашенной части кругаСкачать

Красивая геометрия ➜ Найдите площадь закрашенной части круга

Самый простой способ нахождения площадиСкачать

Самый простой способ нахождения площади

Найти площадь заштрихованной фигуры.Скачать

Найти площадь заштрихованной фигуры.

Математика 6 класс (Урок№76 - Длина окружности. Площадь круга.)Скачать

Математика 6 класс (Урок№76 - Длина окружности. Площадь круга.)

Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | МатематикаСкачать

Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | Математика
Поделиться или сохранить к себе: