Пирамида с основанием равностороннего треугольника

Формулы и свойства правильной треугольной пирамиды. Усеченная треугольная пирамида

Объемной фигурой, которая часто появляется в геометрических задачах, является пирамида. Самая простая из всех фигур этого класса — треугольная. В данной статье разберем подробно основные формулы и свойства правильной пирамиды треугольной.

Видео:№251. Основанием пирамиды DABC является прямоугольный треугольник с гипотенузой ВС. БоковыеСкачать

№251. Основанием пирамиды DABC является прямоугольный треугольник с гипотенузой ВС. Боковые

Геометрические представления о фигуре

Прежде чем переходить к рассмотрению свойств правильной пирамиды треугольной, разберемся подробнее, о какой фигуре идет речь.

Предположим, что имеется произвольный треугольник в трехмерном пространстве. Выберем в этом пространстве любую точку, которая в плоскости треугольника не лежит, и соединим ее с тремя вершинами треугольника. Мы получили треугольную пирамиду.

Пирамида с основанием равностороннего треугольника Вам будет интересно: Лихой — это: значение и синонимы

Она состоит из 4-х сторон, причем все они являются треугольниками. Точки, в которых соединяются три грани, называются вершинами. Их у фигуры также четыре. Линии пересечения двух граней — это ребра. Ребер у рассматриваемой пирамиды 6. Рисунок ниже демонстрирует пример этой фигуры.

Пирамида с основанием равностороннего треугольника

Поскольку фигура образована четырьмя сторонами, ее также называют тетраэдром.

Видео:Построение проекции пирамиды. Метод прямого треугольника.Скачать

Построение проекции пирамиды. Метод прямого треугольника.

Правильная пирамида

Выше была рассмотрена произвольная фигура с треугольным основанием. Теперь предположим, что мы провели перпендикулярный отрезок из вершины пирамиды к ее основанию. Этот отрезок называется высотой. Очевидно, что можно провести 4 разные высоты для фигуры. Если высота пересекает в геометрическом центре треугольное основание, то такая пирамида называется прямой.

Прямая пирамида, основанием которой будет треугольник равносторонний, называется правильной. Для нее все три треугольника, образующих боковую поверхность фигуры, являются равнобедренными и равны друг другу. Частным случаем правильной пирамиды является ситуация, когда все четыре стороны являются равносторонними одинаковыми треугольниками.

Рассмотрим свойства правильной пирамиды треугольной и приведем соответствующие формулы для вычисления ее параметров.

Пирамида с основанием равностороннего треугольника

Видео:Построение равнобедренного треугольникаСкачать

Построение равнобедренного треугольника

Сторона основания, высота, боковое ребро и апотема

Любые два из перечисленных параметров однозначно определяют остальные две характеристики. Приведем формулы, которые связывают названные величины.

Предположим, что сторона основания треугольной пирамиды правильной равна a. Длина ее бокового ребра равна b. Чему будут равны высота правильной пирамиды треугольной и ее апотема.

Для высоты h получаем выражение:

Эта формула следует из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, сторонами которого являются боковое ребро, высота и 2/3 высоты основания.

Апотемой пирамиды называется высота для любого бокового треугольника. Длина апотемы ab равна:

Из этих формул видно, что какими бы ни были сторона основания пирамиды треугольной правильной и длина ее бокового ребра, апотема всегда будет больше высоты пирамиды.

Представленные две формулы содержат все четыре линейные характеристики рассматриваемой фигуры. Поэтому по известным двум из них можно найти остальные, решая систему из записанных равенств.

Видео:Делаем модель пирамиды для решения задачи по стереометрииСкачать

Делаем модель пирамиды для решения задачи по стереометрии

Объем фигуры

Пирамида с основанием равностороннего треугольника

Для абсолютно любой пирамиды (в том числе наклонной) значение объема пространства, ограниченного ею, можно определить, зная высоту фигуры и площадь ее основания. Соответствующая формула имеет вид:

Применяя это выражение для рассматриваемой фигуры, получим следующую формулу:

Где высота правильной треугольной пирамиды равна h, а ее сторона основания — a.

Не сложно получить формулу для объема тетраэдра, у которого все стороны равны между собой и представляют равносторонние треугольники. В таком случае объем фигуры определится по формуле:

То есть он определяется длиной стороны a однозначно.

Видео:Развертка пирамидыСкачать

Развертка пирамиды

Площадь поверхности

Продолжим рассматривать свойства пирамиды треугольной правильной. Общая площадь всех граней фигуры называется площадью ее поверхности. Последнюю удобно изучать, рассматривая соответствующую развертку. На рисунке ниже показано, как выглядит развертка правильной пирамиды треугольной.

Пирамида с основанием равностороннего треугольника

Предположим, что нам известны высота h и сторона основания a фигуры. Тогда площадь ее основания будет равна:

Получить это выражение может каждый школьник, если вспомнит, как находить площадь треугольника, а также учтет, что высота равностороннего треугольника также является биссектрисой и медианой.

Площадь боковой поверхности, образованной тремя одинаковыми равнобедренными треугольниками, составляет:

Данное равенство следует из выражения апотемы пирамиды через высоту и длину основания.

Полная площадь поверхности фигуры равна:

S = So + Sb = √3/4*a2 + 3/2*√(a2/12+h2)*a

Заметим, что для тетраэдра, у которого все четыре стороны являются одинаковыми равносторонними треугольниками, площадь S будет равна:

Видео:оригами пирамида как сделать пирамиду из бумаги схема пирамида хеопса How to make Paper PyramidСкачать

оригами пирамида как сделать пирамиду из бумаги схема пирамида хеопса How to make Paper Pyramid

Свойства правильной усеченной пирамиды треугольной

Если у рассмотренной треугольной пирамиды плоскостью, параллельной основанию, срезать верх, то оставшаяся нижняя часть будет называться усеченной пирамидой.

В случае правильной пирамиды с треугольным основанием в результате описанного метода сечения получается новый треугольник, который также является равносторонним, но имеет меньшую длину стороны, чем сторона основания. Усеченная треугольная пирамида показана ниже.

Пирамида с основанием равностороннего треугольника

Мы видим, что эта фигура уже ограничена двумя треугольными основаниями и тремя равнобедренными трапециями.

Предположим, что высота полученной фигуры равна h, длины сторон нижнего и верхнего оснований составляют a1 и a2 соответственно, а апотема (высота трапеции) равна ab. Тогда площадь поверхности усеченной пирамиды можно вычислить по формуле:

S = 3/2*(a1+a2)*ab + √3/4*(a12 + a22)

Здесь первое слагаемое — это площадь боковой поверхности, второе слагаемое — площадь треугольных оснований.

Объем фигуры рассчитывается следующим образом:

V = √3/12*h*(a12 + a22 + a1*a2)

Для однозначного определения характеристик усеченной пирамиды необходимо знать три ее параметра, что демонстрируют приведенные формулы.

Видео:Объем пирамиды. Практическая часть. 11 класс.Скачать

Объем пирамиды. Практическая часть. 11 класс.

Что такое правильная пирамида: определение, виды, свойства

В данной публикации мы рассмотрим определение, виды (треугольная, четырехугольная, шестиугольная) и основные свойства правильной пирамиды. Представленная информация сопровождается наглядными рисунками для лучшего восприятия.

Видео:ПОСТРОИТЬ ПРОЕКЦИИ РАВНОСТОРОННЕГО ТРЕУГОЛЬНИКА ПО ЗАДАННЫМ УСЛОВИЯМ. НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ.Скачать

ПОСТРОИТЬ ПРОЕКЦИИ РАВНОСТОРОННЕГО ТРЕУГОЛЬНИКА ПО ЗАДАННЫМ УСЛОВИЯМ. НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ.

Определение правильной пирамиды

Правильная пирамида – это пирамида, основанием которой является правильный многоугольник, а вершина фигуры проецируется в центр ее основания.

Самые распространенные разновидности правильных пирамид: треугольная, четырехугольная и шестиугольная. Рассмотрим их подробнее.

Видео:Развертка тетраэдра - это легко! Как сделать объёмную правильную треугольную пирамиду из бумаги?Скачать

Развертка тетраэдра - это легко! Как сделать объёмную правильную треугольную пирамиду из бумаги?

Виды правильной пирамиды

Правильная треугольная пирамида

Пирамида с основанием равностороннего треугольника

  • Основание – правильный/равносторонний треугольник ABC.
  • Боковые грани – одинаковые равнобедренные треугольники: ADC, BDC и ADB.

Примечание: если у правильной треугольной пирамиды все ребра равны, она также называется правильным тетраэдром.

Правильная четырехугольная пирамида

Пирамида с основанием равностороннего треугольника

  • Основание – правильный четырехугольник ABCD, другими словами, квадрат.
  • Боковые грани – равные равнобедренные треугольники: AEB, BEC, CED и AED.
  • Проекция вершины E на основание – точка O, является точкой пересечения диагоналей квадрата ABCD.
  • EO – высота фигуры.
  • EN и EMапофемы (всего их 4, на рисунке в качестве примера изображено только два).

Правильная шестиугольная пирамида

Пирамида с основанием равностороннего треугольника

  • Основание – правильный шестиугольник ABCDEF.
  • Боковые грани – равные равнобедренные треугольники: AGB, BGC, CGD, DGE, EGF и FGA.
  • Проекция вершины G на основание – точка O, является точкой пересечения диагоналей/биссектрис шестиугольника ABCDEF.
  • GO – высота пирамиды.
  • GN – апофема (всего их должно быть шесть).

Видео:ОБЪЕМ ПИРАМИДЫСкачать

ОБЪЕМ ПИРАМИДЫ

Свойства правильной пирамиды

  1. Все боковые ребра фигуры равны. Другими словами вершина пирамиды находится на одинаковом расстоянии от всех углов ее основания.
  2. Угол между всеми боковыми ребрами и основанием одинаковый.
  3. Все грани наклонены к основанию под одним и тем же углом.
  4. Площади всех боковых граней равны.
  5. Все апофемы равны.
  6. Вокруг пирамиды можно описать сферу, центром которой будет точка пересечения перпендикуляров, проведенных к серединам боковых ребер.Пирамида с основанием равностороннего треугольника

Примечание: Формулы для нахождения площади поверхности, а также объема пирамиды представлены в отдельных публикациях.

Видео:№252. Основанием пирамиды DABC является равнобедренный треугольник ABC, в котором АВ = АС, ВС=6 смСкачать

№252. Основанием пирамиды DABC является равнобедренный треугольник ABC, в котором АВ = АС, ВС=6 см

Пирамида с основанием равностороннего треугольника

Пирамида с основанием равностороннего треугольника

Учебный курсРешаем задачи по геометрии

В этом уроке приведены определение и свойства правильной треугольной пирамиды и ее частного случая — тетраэдра (см. ниже). Ссылки на примеры решения задач приведены в конце урока.

Видео:Расследование: «УМНЫЙ 3D ФИТНЕС» или «ТРЕНАЖЕРНЫЙ ЗАЛ» ? Как тренироваться, чтобы СОХРАНИТЬ ЗДОРОВЬЕСкачать

Расследование: «УМНЫЙ 3D ФИТНЕС» или «ТРЕНАЖЕРНЫЙ ЗАЛ» ? Как тренироваться, чтобы СОХРАНИТЬ ЗДОРОВЬЕ

Определение

Правильная треугольная пирамида — это пирамида, основанием которой является правильный треугольник, а вершина проецируется в центр основания.

Пирамида с основанием равностороннего треугольника

На рисунке обозначены:
ABC — Основание пирамиды
OS — Высота
KS — Апофема
OK — радиус окружности, вписанной в основание
AO — радиус окружности, описанной вокруг основания правильной треугольной пирамиды
SKO — двугранный угол между основанием и гранью пирамиды (в правильной пирамиде они равны)

Важно. В правильной треугольной пирамиде длина ребра (на рисунке AS, BS, CS ) может быть не равна длине стороны основания (на рисунке AB, AC, BC). Если длина ребра правильной треугольной пирамиды равна длине стороны основания, то такая пирамида называется тетраэдром (см. ниже).

Видео:Основание пирамиды SABC-равносторонний треугольник АВС. Боковое ребро SA перпендикулярноСкачать

Основание пирамиды SABC-равносторонний треугольник АВС. Боковое ребро SA перпендикулярно

Свойства правильной треугольной пирамиды:

  • боковые ребра правильной пирамиды равны
  • все боковые грани правильной пирамиды являются равнобедренными треугольниками
  • в правильную треугольную пирамиду можно как вписать, так и описать вокруг неё сферу
  • если центры вписанной и описанной вокруг правильной треугольной пирамиды, сферы совпадают, то сумма плоских углов при вершине пирамиды равна π (180 градусов) , а каждый из них соответственно равен π / 3 (пи делить на 3 или 60 градусов ).
  • площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему
  • вершина пирамиды проецируется на основание в центр правильного равностороннего треугольника,, который является центром вписанной окружности и точкой пересечения медиан

Формулы для правильной треугольной пирамиды

Формула объема правильной треугольной пирамиды:

Пирамида с основанием равностороннего треугольника

V — объем правильной пирамиды, имеющей в основании правильный (равносторонний) треугольник
h — высота пирамиды
a — длина стороны основания пирамиды
R — радиус описанной окружности
r — радиус вписанной окружности

Поскольку правильная треугольная пирамида является частным случаем правильной пирамиды, то формулы, которые верны для правильной пирамиды, верны и для правильной треугольной — см. формулы для правильной пирамиды.

Примеры решения задач:

Видео:Найти площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамидыСкачать

Найти площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды

Тетраэдр

Частным случаем правильной треугольной пирамиды является тетраэдр.

Тетраэдр — это правильный многогранник (правильная треугольная пирамида) у которой все грани являются правильными треугольниками.

  • Все грани равны
  • 4 грани, 4 вершины и 6 ребер
  • Все двугранные углы при рёбрах и все трёхгранные углы при вершинах равны

Медиана тетраэдра — это отрезок, соединяющий вершину с точкой пересечения медиан противоположной грани (медиан равностороннего треугольника, противолежащего вершине)

Бимедиана тетраэдра — это отрезок, соединяющий середины скрещивающихся рёбер (соединяющий середины сторон треугольника, являющегося одной из граней тетраэдра)

Высота тетраэдра — это отрезок, соединяющий вершину с точкой противоположной грани и перпендикулярный этой грани (то есть является высотой, проведенной от любой грани, также совпадает с центром описанной окружности).

Тетраэдр обладает следующими свойствами:

  • Все медианы и бимедианы тетраэдра пересекаются в одной точке
  • Эта точка делит медианы в отношении 3:1, считая от вершины
  • Эта точка делит бимедианы пополам

🎥 Видео

7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольникаСкачать

7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольника

Пирамида. 11 класс.Скачать

Пирамида. 11 класс.

№250. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с углом 120°. Боковые ребраСкачать

№250. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с углом 120°. Боковые ребра

Определение натуральной величины треугольника АВС методом замены плоскостей проекцииСкачать

Определение натуральной величины треугольника АВС методом замены плоскостей проекции

ВСЕ О ПИРАМИДАХ! ЧАСТЬ II #shorts #егэ #огэ #математика #геометрия #пирамида #профильныйегэСкачать

ВСЕ О ПИРАМИДАХ! ЧАСТЬ II #shorts #егэ #огэ #математика #геометрия #пирамида #профильныйегэ

10 класс, 33 урок, Правильная пирамидаСкачать

10 класс, 33 урок, Правильная пирамида
Поделиться или сохранить к себе: