Перпендикулярные стороны треугольника равны

Теорема

Дано: АОВ, А₁О₁В₁, ОАО₁А₁, ОВО₁В₁.

Доказать: АОВ = А₁О₁В₁ или АОВ + А₁О₁В₁ = 180 0 .

Доказательство:

1 случай

Пусть угол АОВ — развернутый (Рис. 1).

Угол АОВ — развернутый, значит лучи ОА и ОВ будут лежать на одной прямой, при этом по условию ОАО₁А₁, ОВО₁В₁, значит, лучи О₁А₁ и О₁В₁ также будут лежать на одной прямой, следовательно, А₁О₁В₁ — будет развернутым, тогда АОВ = А₁О₁В₁.

2 случай

Пусть угол АОВ — прямой, т.е. равен 90 0 (Рис.2).

АОВ = 90 0 , то ОАОВ, при этом по условию ОАО₁А₁, следовательно, ОВО₁А₁. Итак, О₁В₁ — секущая относительно прямых ОВ и О₁А₁, ОВО₁А₁, тогда по теореме об односторонних углах их сумма равна 180 0 , т.е. 1 + А₁О₁В₁ = 180 0 , откуда А₁О₁В₁ = 180 0 —1, при этом по условию ОВО₁В₁, значит 1 — прямой, т.е. 1 = 90 0 , следовательно, А₁О₁В₁ = 180 0 — 90 0 = 90 0 . Из равенств АОВ = 90 0 и А₁О₁В₁ = 90 0 следует, что АОВ = А₁О₁В₁ и АОВ + А₁О₁В₁ = 90 0 + 90 0 = 180 0 .

3 случай

Пусть ОО₁А₁ (Рис.3).

По условию ОО₁А₁, тогда лучи ОВ и О₁А₁ будут лежать на одной прямой А₁В. По условию ОАО₁А₁, ОВО₁В₁, значит, ОА и О₁В₁ будут перпендикулярны одной прямой А₁В, следовательно, ОАО₁В₁. Итак, ОАО₁В₁, А₁В — секущая относительно прямых ОА и О₁В₁, тогда по теореме о накрест лежащих углах АОВ = А₁О₁В₁, причем, учитывая то, что ОАО₁А₁, ОВО₁В₁ эти углы будут прямые, т.е. АОВ = А₁О₁В₁ = 90 0 , тогда АОВ + А₁О₁В₁ = 90 0 + 90 0 = 180 0 .

4 случай

Пусть ОО₁В₁ (Рис.4).

По условию ОО₁В₁, тогда лучи ОА и О₁В₁ будут лежать на одной прямой В₁А. По условию ОАО₁А₁, ОВО₁В₁, значит ОВ и О₁А₁ будут перпендикулярны одной прямой В₁А, следовательно, ОВО₁А₁. Итак, ОВО₁А₁, В₁А — секущая относительно прямых ОВ и О₁А₁, тогда по теореме о накрест лежащих углах АОВ = А₁О₁В₁, причем, учитывая то, что ОАО₁А₁, ОВО₁В₁ эти углы будут прямые, т.е. АОВ = А₁О₁В₁ = 90 0 , тогда АОВ + А₁О₁В₁ = 90 0 + 90 0 = 180 0 .

5 случай

Пусть угол АОВ — острый, т.е. меньше 90 0 , при этом ОО₁А₁, ОО₁В₁ (Рис.5).

Проведем луч ОС так, чтобы прямые ОА и ОС были взаимно перпендикулярными (т.е. ОАОС), а точки В и С лежали по разные стороны от прямой ОА. Далее проведем луч ОD так, чтобы прямые ОВ и ОD были взаимно перпендикулярными (т.е. ОВОD), а точки С и D лежали по одну сторону от прямой ОА (Рис.6).

Получим, что АОВ = 90 0 — АОD, а СОD = 90 0 — АОD, значит АОВ = СОD. Стороны угла СОD соответственно параллельны сторонам угла А₁О₁В₁, т.е. ОСО₁А₁ (т.к. две прямые перпендикулярные к третьей прямой параллельны друг другу, по построению ОАОС и по условию ОАО₁А₁), также ОDО₁В₁ (т.к. по построению ОВОD и по условию ОВО₁В₁), поэтому по теореме об углах с соответственно параллельными сторонами либо СОD = А₁О₁В₁, либо СОD + А₁О₁В₁ = 180 0 . Следовательно, учитывая то, что АОВ = СОD получим, либо АОВ = А₁О₁В₁, либо АОВ + А₁О₁В₁ = 180 0 .

6 случай

Пусть угол АОВ — тупой, т.е. меньше 180 0 , но больше 90 0 , при этом ОО₁А₁, ОО₁В₁ (Рис.7).

Проведем луч ОС так, чтобы угол АОС был смежным с углом АОВ (Рис.8).

Угол АВС острый, и его стороны соответственно перпендикулярны сторонам угла А₁О₁В₁. Следовательно, либо АОС + А₁О₁В₁ = 180 0 , либо АОС = А₁О₁В₁ (смотри случай 5). Тогда, учитывая, что углы АОС и АОВ смежные, их сумма будет равна 180 0 , значит АОС = 180 0 — АОВ, следовательно, в первом случае 180 0 — АОВ + А₁О₁В₁ = 180 0 , откуда АОВ = А₁О₁В₁, а во втором случае 180 0 — АОВ = А₁О₁В₁, откуда АОВ + А₁О₁В₁ = 180 0 . Что и требовалось доказать.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Треугольники. Признаки равенства треугольников

Треугольник − это геометрическая фигура, образованная соединением отрезками трех, не лежащих на одной прямой точек .

Эти точки называются вершинами треугольника. Отрезки, соединяющие эти точки называются сторонами треугольника.

Треугольник обозначается знаком ⊿. Например треугольник ABC обозначается так: ⊿ABC. Этот же треугольник можно обозначать так: ⊿BAC, ⊿CBA и т.д.

Углы треугольника обозначают так ∠BAC, ∠ABC, ∠BCA. Эти же углы коротко обозначают также ∠A, ∠B, ∠C, соответственно. Углы треугольника принято также обозначать греческими буквами α, β, γ и т.д. Стороны тркеугольника обозначают так AB, BC, AC. Принято также стороны обозначать одной строчной буквой, причем сторона напротив угла A ,обозначается буквой a, сторона напротив угла B− b, сторона напротив угла C− c. Сумма трех сторон треугольника называется периметром треугольника.

Как известно, две треугольники называются равными, если при наложении друг на друга их можно совместить. На Рис.2 представлены два треугольника ABC и A₁B₁C₁. Треугольник ABC можно наложить на треугольник A₁B₁C₁ так, чтобы вершины и стороны этих треугольников попарно совместились. Очевидно, что при этом совместятся и соответствующие углы.

Вышеизложенное можно сформулировать так:

Если два треугольника равны, то элементы (стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника. Равенство треугольников ABC и A₁B₁C₁ обозначается так:

Первый признак равенства треугольников

Теорема 1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то эти треугольники равны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁C₁ (Рис.3). Пусть AB=A₁B₁, AС=A₁С₁ и ∠A=∠A₁. Докажем, что .

Второй признак равенства треугольников

Теорема 2. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то эти треугольники равны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁С₁ (Рис.4). Пусть AB=A₁B₁, ∠A=∠A₁, ∠B=∠B₁. Докажем, что .

Третий признак равенства треугольников

Теорема 3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то эти треугольники равны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁С₁. Пусть AB=A₁B₁, AC=A₁C₁ и BC=B₁C₁. Докажем, что . Приложим треугольник ABC к треугольнику A₁B₁С₁ так, чтобы вершина A совмещалась с вершиной A₁, вершина B совмещалась с вершиной B₁, а вершины С и С₁ находились по разные стороны от прямой A₁B₁.

Возможны три варианта: луч CC₁ проходит внутри угла ACB(Рис.6); луч CC₁ совпадает с одной из сторон угла ACB (Рис.7); луч CC₁ проходит вне угла ACB(Рис.8). Рассмотрим эти три случая по отдельности.

.

Имеем AC=A₁C₁, BC=B₁C₁ ∠ACB=∠A₁C₁B₁ и по первому признаку равенства треугольников . Теорема доказана.

Вариант 2 (Рис.7). Так как по условию теоремы AC=A₁C₁ и BC=B₁C₁, то треугольник BСС₁ равнобедренный. Тогда ∠1=∠2. Имеем: AC=A₁C₁, BC=B₁C₁, ∠1=∠2 и по первому признаку равенства треугольников . Теорема доказана.

Вариант 3 (Рис.8). Так как по условию теоремы AC=A₁C₁ и BC=B₁C₁, то треугольники AСС₁ и BСС₁ равнобедренные. Тогда ∠1=∠2 и и, следовательно:

.

Имеем AC=A₁C₁, BC=B₁C₁ и по первому признаку равенства треугольников . Теорема доказана.

Задачи и решения

Задача 1. На сторонах угла CAD отмечены точки B и E так, что точка B лежит на отрезке AC, а точка E − на отрезке AD, причем AC=AD и AB=AE. Докажите, что ∠CBD=∠DEC (Рис.9).

Доказательство. AC=AD, AE=AB, ∠CAD общий для треугольников CAE и DAB. Тогда, по первому признаку равенства треугольников (теорема 1) ⊿ACE=⊿ADB. Следовательно ∠DBA=∠AEC. Поскольку углы CBD и DBA смежные, то CBD=180°−∠DBA. Аналогично CED=180°-∠AEC. То есть ∠CBD=∠DEC. Конец доказательства .

Задача 2. По данным рисунка рис.10 докажите, что OP=OT, ∠P=∠T

Доказательство. OC=OB, ∠TCO=∠PBO=90°. Углы TOC и POB вертикальные (следовательно равны) тогда, повторому признаку равенства треугольников (теорема 2), ⊿TCO=⊿PBO. Конец доказательства .

Please wait.

We are checking your browser. mathvox.ru

Why do I have to complete a CAPTCHA?

Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.

What can I do to prevent this in the future?

If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.

If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.

Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store.

Cloudflare Ray ID: 6da70d47fcd0166c • Your IP : 85.95.188.35 • Performance & security by Cloudflare