Теорема
Если стороны одного угла соответственно перпендикулярны сторонам другого угла, то такие углы или равны, или в сумме составляют 180 0 . |
Дано: АОВ, А1О1В1, ОАО1А1, ОВО1В1.
Доказать: АОВ = А1О1В1 или АОВ + А1О1В1 = 180 0 .
Доказательство:
1 случай
Пусть угол АОВ — развернутый (Рис. 1).
Угол АОВ — развернутый, значит лучи ОА и ОВ будут лежать на одной прямой, при этом по условию ОАО1А1, ОВО1В1, значит, лучи О1А1 и О1В1 также будут лежать на одной прямой, следовательно, А1О1В1 — будет развернутым, тогда АОВ = А1О1В1.
2 случай
Пусть угол АОВ — прямой, т.е. равен 90 0 (Рис.2).
АОВ = 90 0 , то ОАОВ, при этом по условию ОАО1А1, следовательно, ОВО1А1. Итак, О1В1 — секущая относительно прямых ОВ и О1А1, ОВО1А1, тогда по теореме об односторонних углах их сумма равна 180 0 , т.е. 1 + А1О1В1 = 180 0 , откуда А1О1В1 = 180 0 —1, при этом по условию ОВО1В1, значит 1 — прямой, т.е. 1 = 90 0 , следовательно, А1О1В1 = 180 0 — 90 0 = 90 0 . Из равенств АОВ = 90 0 и А1О1В1 = 90 0 следует, что АОВ = А1О1В1 и АОВ + А1О1В1 = 90 0 + 90 0 = 180 0 .
3 случай
Пусть ОО1А1 (Рис.3).
По условию ОО1А1, тогда лучи ОВ и О1А1 будут лежать на одной прямой А1В. По условию ОАО1А1, ОВО1В1, значит, ОА и О1В1 будут перпендикулярны одной прямой А1В, следовательно, ОАО1В1. Итак, ОАО1В1, А1В — секущая относительно прямых ОА и О1В1, тогда по теореме о накрест лежащих углах АОВ = А1О1В1, причем, учитывая то, что ОАО1А1, ОВО1В1 эти углы будут прямые, т.е. АОВ = А1О1В1 = 90 0 , тогда АОВ + А1О1В1 = 90 0 + 90 0 = 180 0 .
4 случай
Пусть ОО1В1 (Рис.4).
По условию ОО1В1, тогда лучи ОА и О1В1 будут лежать на одной прямой В1А. По условию ОАО1А1, ОВО1В1, значит ОВ и О1А1 будут перпендикулярны одной прямой В1А, следовательно, ОВО1А1. Итак, ОВО1А1, В1А — секущая относительно прямых ОВ и О1А1, тогда по теореме о накрест лежащих углах АОВ = А1О1В1, причем, учитывая то, что ОАО1А1, ОВО1В1 эти углы будут прямые, т.е. АОВ = А1О1В1 = 90 0 , тогда АОВ + А1О1В1 = 90 0 + 90 0 = 180 0 .
5 случай
Пусть угол АОВ — острый, т.е. меньше 90 0 , при этом ОО1А1, ОО1В1 (Рис.5).
Проведем луч ОС так, чтобы прямые ОА и ОС были взаимно перпендикулярными (т.е. ОАОС), а точки В и С лежали по разные стороны от прямой ОА. Далее проведем луч ОD так, чтобы прямые ОВ и ОD были взаимно перпендикулярными (т.е. ОВОD), а точки С и D лежали по одну сторону от прямой ОА (Рис.6).
Получим, что АОВ = 90 0 — АОD, а СОD = 90 0 — АОD, значит АОВ = СОD. Стороны угла СОD соответственно параллельны сторонам угла А1О1В1, т.е. ОСО1А1 (т.к. две прямые перпендикулярные к третьей прямой параллельны друг другу, по построению ОАОС и по условию ОАО1А1), также ОDО1В1 (т.к. по построению ОВОD и по условию ОВО1В1), поэтому по теореме об углах с соответственно параллельными сторонами либо СОD = А1О1В1, либо СОD + А1О1В1 = 180 0 . Следовательно, учитывая то, что АОВ = СОD получим, либо АОВ = А1О1В1, либо АОВ + А1О1В1 = 180 0 .
6 случай
Пусть угол АОВ — тупой, т.е. меньше 180 0 , но больше 90 0 , при этом ОО1А1, ОО1В1 (Рис.7).
Проведем луч ОС так, чтобы угол АОС был смежным с углом АОВ (Рис.8).
Угол АВС острый, и его стороны соответственно перпендикулярны сторонам угла А1О1В1. Следовательно, либо АОС + А1О1В1 = 180 0 , либо АОС = А1О1В1 (смотри случай 5). Тогда, учитывая, что углы АОС и АОВ смежные, их сумма будет равна 180 0 , значит АОС = 180 0 — АОВ, следовательно, в первом случае 180 0 — АОВ + А1О1В1 = 180 0 , откуда АОВ = А1О1В1, а во втором случае 180 0 — АОВ = А1О1В1, откуда АОВ + А1О1В1 = 180 0 . Что и требовалось доказать.
Поделись с друзьями в социальных сетях:
- Треугольники. Признаки равенства треугольников
- Первый признак равенства треугольников
- Второй признак равенства треугольников
- Третий признак равенства треугольников
- Задачи и решения
- Please wait.
- We are checking your browser. mathvox.ru
- Why do I have to complete a CAPTCHA?
- What can I do to prevent this in the future?
- 📺 Видео
Видео:Перпендикулярные прямые. 6 класс.Скачать
Треугольники. Признаки равенства треугольников
Треугольник − это геометрическая фигура, образованная соединением отрезками трех, не лежащих на одной прямой точек .
Эти точки называются вершинами треугольника. Отрезки, соединяющие эти точки называются сторонами треугольника.
Треугольник обозначается знаком ⊿. Например треугольник ABC обозначается так: ⊿ABC. Этот же треугольник можно обозначать так: ⊿BAC, ⊿CBA и т.д.
Углы треугольника обозначают так ∠BAC, ∠ABC, ∠BCA. Эти же углы коротко обозначают также ∠A, ∠B, ∠C, соответственно. Углы треугольника принято также обозначать греческими буквами α, β, γ и т.д. Стороны тркеугольника обозначают так AB, BC, AC. Принято также стороны обозначать одной строчной буквой, причем сторона напротив угла A ,обозначается буквой a, сторона напротив угла B− b, сторона напротив угла C− c. Сумма трех сторон треугольника называется периметром треугольника.
Как известно, две треугольники называются равными, если при наложении друг на друга их можно совместить. На Рис.2 представлены два треугольника ABC и A1B1C1. Треугольник ABC можно наложить на треугольник A1B1C1 так, чтобы вершины и стороны этих треугольников попарно совместились. Очевидно, что при этом совместятся и соответствующие углы.
Вышеизложенное можно сформулировать так:
Если два треугольника равны, то элементы (стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника. Равенство треугольников ABC и A1B1C1 обозначается так:
Видео:Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать
Первый признак равенства треугольников
Теорема 1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то эти треугольники равны.
Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A1B1C1 (Рис.3). Пусть AB=A1B1, AС=A1С1 и ∠A=∠A1. Докажем, что .
Видео:№206. Стороны треугольника равны 17 см, 15 см и 8 см. Через вершину A меньшего угла треугольника проСкачать
Второй признак равенства треугольников
Теорема 2. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то эти треугольники равны.
Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A1B1С1 (Рис.4). Пусть AB=A1B1, ∠A=∠A1, ∠B=∠B1. Докажем, что .
Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать
Третий признак равенства треугольников
Теорема 3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то эти треугольники равны.
Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A1B1С1. Пусть AB=A1B1, AC=A1C1 и BC=B1C1. Докажем, что . Приложим треугольник ABC к треугольнику A1B1С1 так, чтобы вершина A совмещалась с вершиной A1, вершина B совмещалась с вершиной B1, а вершины С и С1 находились по разные стороны от прямой A1B1.
Возможны три варианта: луч CC1 проходит внутри угла ACB(Рис.6); луч CC1 совпадает с одной из сторон угла ACB (Рис.7); луч CC1 проходит вне угла ACB(Рис.8). Рассмотрим эти три случая по отдельности.
. |
Имеем AC=A1C1, BC=B1C1 ∠ACB=∠A1C1B1 и по первому признаку равенства треугольников . Теорема доказана.
Вариант 2 (Рис.7). Так как по условию теоремы AC=A1C1 и BC=B1C1, то треугольник BСС1 равнобедренный. Тогда ∠1=∠2. Имеем: AC=A1C1, BC=B1C1, ∠1=∠2 и по первому признаку равенства треугольников . Теорема доказана.
Вариант 3 (Рис.8). Так как по условию теоремы AC=A1C1 и BC=B1C1, то треугольники AСС1 и BСС1 равнобедренные. Тогда ∠1=∠2 и и, следовательно:
. |
Имеем AC=A1C1, BC=B1C1 и по первому признаку равенства треугольников . Теорема доказана.
Видео:Перпендикулярные прямыеСкачать
Задачи и решения
Задача 1. На сторонах угла CAD отмечены точки B и E так, что точка B лежит на отрезке AC, а точка E − на отрезке AD, причем AC=AD и AB=AE. Докажите, что ∠CBD=∠DEC (Рис.9).
Доказательство. AC=AD, AE=AB, ∠CAD общий для треугольников CAE и DAB. Тогда, по первому признаку равенства треугольников (теорема 1) ⊿ACE=⊿ADB. Следовательно ∠DBA=∠AEC. Поскольку углы CBD и DBA смежные, то CBD=180°−∠DBA. Аналогично CED=180°-∠AEC. То есть ∠CBD=∠DEC. Конец доказательства .
Задача 2. По данным рисунка рис.10 докажите, что OP=OT, ∠P=∠T
Доказательство. OC=OB, ∠TCO=∠PBO=90°. Углы TOC и POB вертикальные (следовательно равны) тогда, повторому признаку равенства треугольников (теорема 2), ⊿TCO=⊿PBO. Конец доказательства .
Видео:Признаки равенства треугольников. 7 класс.Скачать
Please wait.
Видео:7 класс, 16 урок, Перпендикуляр к прямойСкачать
We are checking your browser. mathvox.ru
Видео:7 класс, 30 урок, Углы с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонамиСкачать
Why do I have to complete a CAPTCHA?
Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.
Видео:7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать
What can I do to prevent this in the future?
If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.
If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.
Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store.
Cloudflare Ray ID: 6da70d47fcd0166c • Your IP : 85.95.188.35 • Performance & security by Cloudflare
📺 Видео
Первый признак равенства треугольников. 7 класс.Скачать
Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать
Наклонная, проекция, перпендикуляр. 7 класс.Скачать
Геометрия 7 класс (Урок№7 - Перпендикулярные прямые.)Скачать
Найдите сторону треугольника, если другие его стороны равны 1 и 5Скачать
Геометрия 7 класс. Углы с соответственно параллельными или перпендикулярнымСкачать
7 класс, 15 урок, Первый признак равенства треугольниковСкачать
Перпендикулярные прямые. Перпендикуляр. Теорема о перпендикулярной прямой проходящей через точку.Скачать
№470. Две стороны треугольника равны 7,5 см и 3,2 см. Высота, проведенная кСкачать
7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать
Геометрия Стороны треугольника равны √18 см 5 см и 7 см Найдите средний по величине уголСкачать