Перпендикулярные стороны треугольника равны

Теорема об углах с соответственно перпендикулярными сторонами

Теорема

Если стороны одного угла соответственно перпендикулярны сторонам другого угла, то такие углы или равны, или в сумме составляют 180 0 .

Дано: Перпендикулярные стороны треугольника равныАОВ, Перпендикулярные стороны треугольника равныА1О1В1, ОАПерпендикулярные стороны треугольника равныО1А1, ОВПерпендикулярные стороны треугольника равныО1В1.

Доказать: Перпендикулярные стороны треугольника равныАОВ = Перпендикулярные стороны треугольника равныА1О1В1 или Перпендикулярные стороны треугольника равныАОВ + Перпендикулярные стороны треугольника равныА1О1В1 = 180 0 .

Доказательство:

1 случай

Пусть угол АОВ — развернутый (Рис. 1).

Перпендикулярные стороны треугольника равны

Угол АОВ — развернутый, значит лучи ОА и ОВ будут лежать на одной прямой, при этом по условию ОАПерпендикулярные стороны треугольника равныО1А1, ОВПерпендикулярные стороны треугольника равныО1В1, значит, лучи О1А1 и О1В1 также будут лежать на одной прямой, следовательно, Перпендикулярные стороны треугольника равныА1О1В1 — будет развернутым, тогда Перпендикулярные стороны треугольника равныАОВ = Перпендикулярные стороны треугольника равныА1О1В1.

2 случай

Пусть угол АОВ — прямой, т.е. равен 90 0 (Рис.2).

Перпендикулярные стороны треугольника равны

Перпендикулярные стороны треугольника равныАОВ = 90 0 , то ОАПерпендикулярные стороны треугольника равныОВ, при этом по условию ОАПерпендикулярные стороны треугольника равныО1А1, следовательно, ОВПерпендикулярные стороны треугольника равныО1А1. Итак, О1В1 — секущая относительно прямых ОВ и О1А1, ОВПерпендикулярные стороны треугольника равныО1А1, тогда по теореме об односторонних углах их сумма равна 180 0 , т.е. Перпендикулярные стороны треугольника равны1 + Перпендикулярные стороны треугольника равныА1О1В1 = 180 0 , откуда Перпендикулярные стороны треугольника равныА1О1В1 = 180 0 Перпендикулярные стороны треугольника равны1, при этом по условию ОВПерпендикулярные стороны треугольника равныО1В1, значит Перпендикулярные стороны треугольника равны1 — прямой, т.е. Перпендикулярные стороны треугольника равны1 = 90 0 , следовательно, Перпендикулярные стороны треугольника равныА1О1В1 = 180 0 — 90 0 = 90 0 . Из равенств Перпендикулярные стороны треугольника равныАОВ = 90 0 и Перпендикулярные стороны треугольника равныА1О1В1 = 90 0 следует, что Перпендикулярные стороны треугольника равныАОВ = Перпендикулярные стороны треугольника равныА1О1В1 и Перпендикулярные стороны треугольника равныАОВ + Перпендикулярные стороны треугольника равныА1О1В1 = 90 0 + 90 0 = 180 0 .

3 случай

Пусть ОПерпендикулярные стороны треугольника равныО1А1 (Рис.3).

Перпендикулярные стороны треугольника равны

По условию ОПерпендикулярные стороны треугольника равныО1А1, тогда лучи ОВ и О1А1 будут лежать на одной прямой А1В. По условию ОАПерпендикулярные стороны треугольника равныО1А1, ОВПерпендикулярные стороны треугольника равныО1В1, значит, ОА и О1В1 будут перпендикулярны одной прямой А1В, следовательно, ОАПерпендикулярные стороны треугольника равныО1В1. Итак, ОАПерпендикулярные стороны треугольника равныО1В1, А1В — секущая относительно прямых ОА и О1В1, тогда по теореме о накрест лежащих углах Перпендикулярные стороны треугольника равныАОВ = Перпендикулярные стороны треугольника равныА1О1В1, причем, учитывая то, что ОАПерпендикулярные стороны треугольника равныО1А1, ОВПерпендикулярные стороны треугольника равныО1В1 эти углы будут прямые, т.е. Перпендикулярные стороны треугольника равныАОВ = Перпендикулярные стороны треугольника равныА1О1В1 = 90 0 , тогда Перпендикулярные стороны треугольника равныАОВ + Перпендикулярные стороны треугольника равныА1О1В1 = 90 0 + 90 0 = 180 0 .

4 случай

Пусть ОПерпендикулярные стороны треугольника равныО1В1 (Рис.4).

Перпендикулярные стороны треугольника равны

По условию ОПерпендикулярные стороны треугольника равныО1В1, тогда лучи ОА и О1В1 будут лежать на одной прямой В1А. По условию ОАПерпендикулярные стороны треугольника равныО1А1, ОВПерпендикулярные стороны треугольника равныО1В1, значит ОВ и О1А1 будут перпендикулярны одной прямой В1А, следовательно, ОВПерпендикулярные стороны треугольника равныО1А1. Итак, ОВПерпендикулярные стороны треугольника равныО1А1, В1А — секущая относительно прямых ОВ и О1А1, тогда по теореме о накрест лежащих углах Перпендикулярные стороны треугольника равныАОВ = Перпендикулярные стороны треугольника равныА1О1В1, причем, учитывая то, что ОАПерпендикулярные стороны треугольника равныО1А1, ОВПерпендикулярные стороны треугольника равныО1В1 эти углы будут прямые, т.е. Перпендикулярные стороны треугольника равныАОВ = Перпендикулярные стороны треугольника равныА1О1В1 = 90 0 , тогда Перпендикулярные стороны треугольника равныАОВ + Перпендикулярные стороны треугольника равныА1О1В1 = 90 0 + 90 0 = 180 0 .

5 случай

Пусть угол АОВ — острый, т.е. меньше 90 0 , при этом ОПерпендикулярные стороны треугольника равныО1А1, ОПерпендикулярные стороны треугольника равныО1В1 (Рис.5).

Перпендикулярные стороны треугольника равны

Проведем луч ОС так, чтобы прямые ОА и ОС были взаимно перпендикулярными (т.е. ОАПерпендикулярные стороны треугольника равныОС), а точки В и С лежали по разные стороны от прямой ОА. Далее проведем луч ОD так, чтобы прямые ОВ и ОD были взаимно перпендикулярными (т.е. ОВПерпендикулярные стороны треугольника равныОD), а точки С и D лежали по одну сторону от прямой ОА (Рис.6).

Перпендикулярные стороны треугольника равны

Получим, что Перпендикулярные стороны треугольника равныАОВ = 90 0 Перпендикулярные стороны треугольника равныАОD, а Перпендикулярные стороны треугольника равныСОD = 90 0 — Перпендикулярные стороны треугольника равныАОD, значит Перпендикулярные стороны треугольника равныАОВ = Перпендикулярные стороны треугольника равныСОD. Стороны угла СОD соответственно параллельны сторонам угла А1О1В1, т.е. ОСПерпендикулярные стороны треугольника равныО1А1 (т.к. две прямые перпендикулярные к третьей прямой параллельны друг другу, по построению ОАПерпендикулярные стороны треугольника равныОС и по условию ОАПерпендикулярные стороны треугольника равныО1А1), также ОDПерпендикулярные стороны треугольника равныО1В1 (т.к. по построению ОВПерпендикулярные стороны треугольника равныОD и по условию ОВПерпендикулярные стороны треугольника равныО1В1), поэтому по теореме об углах с соответственно параллельными сторонами либо Перпендикулярные стороны треугольника равныСОD = Перпендикулярные стороны треугольника равныА1О1В1, либо Перпендикулярные стороны треугольника равныСОD + Перпендикулярные стороны треугольника равныА1О1В1 = 180 0 . Следовательно, учитывая то, что Перпендикулярные стороны треугольника равныАОВ = Перпендикулярные стороны треугольника равныСОD получим, либо Перпендикулярные стороны треугольника равныАОВ = Перпендикулярные стороны треугольника равныА1О1В1, либо Перпендикулярные стороны треугольника равныАОВ + Перпендикулярные стороны треугольника равныА1О1В1 = 180 0 .

6 случай

Пусть угол АОВ — тупой, т.е. меньше 180 0 , но больше 90 0 , при этом ОПерпендикулярные стороны треугольника равныО1А1, ОПерпендикулярные стороны треугольника равныО1В1 (Рис.7).

Перпендикулярные стороны треугольника равны

Проведем луч ОС так, чтобы угол АОС был смежным с углом АОВ (Рис.8).

Перпендикулярные стороны треугольника равны

Угол АВС острый, и его стороны соответственно перпендикулярны сторонам угла А1О1В1. Следовательно, либо Перпендикулярные стороны треугольника равныАОС + Перпендикулярные стороны треугольника равныА1О1В1 = 180 0 , либо Перпендикулярные стороны треугольника равныАОС = Перпендикулярные стороны треугольника равныА1О1В1 (смотри случай 5). Тогда, учитывая, что углы АОС и АОВ смежные, их сумма будет равна 180 0 , значит Перпендикулярные стороны треугольника равныАОС = 180 0 Перпендикулярные стороны треугольника равныАОВ, следовательно, в первом случае 180 0 Перпендикулярные стороны треугольника равныАОВ + Перпендикулярные стороны треугольника равныА1О1В1 = 180 0 , откуда Перпендикулярные стороны треугольника равныАОВ = Перпендикулярные стороны треугольника равныА1О1В1, а во втором случае 180 0 Перпендикулярные стороны треугольника равныАОВ = Перпендикулярные стороны треугольника равныА1О1В1, откуда Перпендикулярные стороны треугольника равныАОВ + Перпендикулярные стороны треугольника равныА1О1В1 = 180 0 . Что и требовалось доказать.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Видео:Перпендикулярные прямые. 6 класс.Скачать

Перпендикулярные прямые. 6 класс.

Треугольники. Признаки равенства треугольников

Треугольник − это геометрическая фигура, образованная соединением отрезками трех, не лежащих на одной прямой точек .

Эти точки называются вершинами треугольника. Отрезки, соединяющие эти точки называются сторонами треугольника.

Перпендикулярные стороны треугольника равны

Треугольник обозначается знаком ⊿. Например треугольник ABC обозначается так: ⊿ABC. Этот же треугольник можно обозначать так: ⊿BAC, ⊿CBA и т.д.

Углы треугольника обозначают так ∠BAC, ∠ABC, ∠BCA. Эти же углы коротко обозначают также ∠A, ∠B, ∠C, соответственно. Углы треугольника принято также обозначать греческими буквами α, β, γ и т.д. Стороны тркеугольника обозначают так AB, BC, AC. Принято также стороны обозначать одной строчной буквой, причем сторона напротив угла A ,обозначается буквой a, сторона напротив угла Bb, сторона напротив угла Cc. Сумма трех сторон треугольника называется периметром треугольника.

Как известно, две треугольники называются равными, если при наложении друг на друга их можно совместить. На Рис.2 представлены два треугольника ABC и A1B1C1. Треугольник ABC можно наложить на треугольник A1B1C1 так, чтобы вершины и стороны этих треугольников попарно совместились. Очевидно, что при этом совместятся и соответствующие углы.

Перпендикулярные стороны треугольника равны

Вышеизложенное можно сформулировать так:

Если два треугольника равны, то элементы (стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника. Равенство треугольников ABC и A1B1C1 обозначается так:

Перпендикулярные стороны треугольника равны

Видео:Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать

Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnline

Первый признак равенства треугольников

Теорема 1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то эти треугольники равны.

Перпендикулярные стороны треугольника равны

Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A1B1C1 (Рис.3). Пусть AB=A1B1, =A1С1 и ∠A=∠A1. Докажем, что Перпендикулярные стороны треугольника равны.

Видео:№206. Стороны треугольника равны 17 см, 15 см и 8 см. Через вершину A меньшего угла треугольника проСкачать

№206. Стороны треугольника равны 17 см, 15 см и 8 см. Через вершину A меньшего угла треугольника про

Второй признак равенства треугольников

Теорема 2. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то эти треугольники равны.

Перпендикулярные стороны треугольника равны

Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A1B1С1 (Рис.4). Пусть AB=A1B1, ∠A=∠A1, ∠B=∠B1. Докажем, что Перпендикулярные стороны треугольника равны.

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Третий признак равенства треугольников

Теорема 3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то эти треугольники равны.

Перпендикулярные стороны треугольника равны

Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A1B1С1. Пусть AB=A1B1, AC=A1C1 и BC=B1C1. Докажем, что Перпендикулярные стороны треугольника равны. Приложим треугольник ABC к треугольнику A1B1С1 так, чтобы вершина A совмещалась с вершиной A1, вершина B совмещалась с вершиной B1, а вершины С и С1 находились по разные стороны от прямой A1B1.

Перпендикулярные стороны треугольника равны

Возможны три варианта: луч CC1 проходит внутри угла ACB(Рис.6); луч CC1 совпадает с одной из сторон угла ACB (Рис.7); луч CC1 проходит вне угла ACB(Рис.8). Рассмотрим эти три случая по отдельности.

Перпендикулярные стороны треугольника равныПерпендикулярные стороны треугольника равны.

Имеем AC=A1C1, BC=B1C1 ∠ACB=∠A1C1B1 и по первому признаку равенства треугольников Перпендикулярные стороны треугольника равны. Теорема доказана.

Перпендикулярные стороны треугольника равны

Вариант 2 (Рис.7). Так как по условию теоремы AC=A1C1 и BC=B1C1, то треугольник BСС1 равнобедренный. Тогда ∠1=∠2. Имеем: AC=A1C1, BC=B1C1, ∠1=∠2 и по первому признаку равенства треугольников Перпендикулярные стороны треугольника равны. Теорема доказана.

Перпендикулярные стороны треугольника равны

Вариант 3 (Рис.8). Так как по условию теоремы AC=A1C1 и BC=B1C1, то треугольники AСС1 и BСС1 равнобедренные. Тогда ∠1=∠2 и Перпендикулярные стороны треугольника равныи, следовательно:

Перпендикулярные стороны треугольника равныПерпендикулярные стороны треугольника равны.

Имеем AC=A1C1, BC=B1C1 Перпендикулярные стороны треугольника равныи по первому признаку равенства треугольников Перпендикулярные стороны треугольника равны. Теорема доказана.

Видео:Перпендикулярные прямыеСкачать

Перпендикулярные прямые

Задачи и решения

Задача 1. На сторонах угла CAD отмечены точки B и E так, что точка B лежит на отрезке AC, а точка E − на отрезке AD, причем AC=AD и AB=AE. Докажите, что ∠CBD=∠DEC (Рис.9).

Перпендикулярные стороны треугольника равны

Доказательство. AC=AD, AE=AB, ∠CAD общий для треугольников CAE и DAB. Тогда, по первому признаку равенства треугольников (теорема 1) ⊿ACE=⊿ADB. Следовательно ∠DBA=∠AEC. Поскольку углы CBD и DBA смежные, то CBD=180°−∠DBA. Аналогично CED=180°-∠AEC. То есть ∠CBD=∠DEC. Конец доказательства .

Задача 2. По данным рисунка рис.10 докажите, что OP=OT, ∠P=∠T

Перпендикулярные стороны треугольника равны

Доказательство. OC=OB, ∠TCO=∠PBO=90°. Углы TOC и POB вертикальные (следовательно равны) тогда, повторому признаку равенства треугольников (теорема 2), ⊿TCO=⊿PBO. Конец доказательства .

Видео:Признаки равенства треугольников. 7 класс.Скачать

Признаки равенства треугольников. 7 класс.

Please wait.

Видео:7 класс, 16 урок, Перпендикуляр к прямойСкачать

7 класс, 16 урок, Перпендикуляр к прямой

We are checking your browser. mathvox.ru

Видео:7 класс, 30 урок, Углы с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонамиСкачать

7 класс, 30 урок, Углы с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонами

Why do I have to complete a CAPTCHA?

Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.

Видео:7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

What can I do to prevent this in the future?

If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.

If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.

Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store.

Cloudflare Ray ID: 6da70d47fcd0166c • Your IP : 85.95.188.35 • Performance & security by Cloudflare

📺 Видео

Первый признак равенства треугольников. 7 класс.Скачать

Первый признак равенства треугольников. 7 класс.

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

Наклонная, проекция, перпендикуляр. 7 класс.Скачать

Наклонная, проекция, перпендикуляр. 7 класс.

Геометрия 7 класс (Урок№7 - Перпендикулярные прямые.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№7 - Перпендикулярные прямые.)

Найдите сторону треугольника, если другие его стороны равны 1 и 5Скачать

Найдите сторону треугольника, если другие его стороны равны 1 и 5

Геометрия 7 класс. Углы с соответственно параллельными или перпендикулярнымСкачать

Геометрия 7 класс. Углы с соответственно параллельными или перпендикулярным

7 класс, 15 урок, Первый признак равенства треугольниковСкачать

7 класс, 15 урок, Первый признак равенства треугольников

Перпендикулярные прямые. Перпендикуляр. Теорема о перпендикулярной прямой проходящей через точку.Скачать

Перпендикулярные прямые. Перпендикуляр. Теорема о перпендикулярной прямой проходящей через точку.

№470. Две стороны треугольника равны 7,5 см и 3,2 см. Высота, проведенная кСкачать

№470. Две стороны треугольника равны 7,5 см и 3,2 см. Высота, проведенная к

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построение

Геометрия Стороны треугольника равны √18 см 5 см и 7 см Найдите средний по величине уголСкачать

Геометрия Стороны треугольника равны √18 см 5 см и 7 см Найдите средний по величине угол
Поделиться или сохранить к себе: