Перпендикуляр из центра окружности к хорде

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке
Перпендикуляр из центра окружности к хордеОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Перпендикуляр из центра окружности к хордеСвойства хорд и дуг окружности
Перпендикуляр из центра окружности к хордеТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Перпендикуляр из центра окружности к хордеДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Перпендикуляр из центра окружности к хордеТеорема о бабочке

Перпендикуляр из центра окружности к хорде

Видео:Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать

Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 класс

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьПерпендикуляр из центра окружности к хорде
КругПерпендикуляр из центра окружности к хорде
РадиусПерпендикуляр из центра окружности к хорде
ХордаПерпендикуляр из центра окружности к хорде
ДиаметрПерпендикуляр из центра окружности к хорде
КасательнаяПерпендикуляр из центра окружности к хорде
СекущаяПерпендикуляр из центра окружности к хорде
Окружность
Перпендикуляр из центра окружности к хорде

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругПерпендикуляр из центра окружности к хорде

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусПерпендикуляр из центра окружности к хорде

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаПерпендикуляр из центра окружности к хорде

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрПерпендикуляр из центра окружности к хорде

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяПерпендикуляр из центра окружности к хорде

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяПерпендикуляр из центра окружности к хорде

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:Демо-вариант ОГЭ по математике, задача 10Скачать

Демо-вариант ОГЭ по математике, задача 10

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеПерпендикуляр из центра окружности к хордеДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыПерпендикуляр из центра окружности к хордеЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныПерпендикуляр из центра окружности к хордеБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиПерпендикуляр из центра окружности к хордеУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыПерпендикуляр из центра окружности к хордеДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Перпендикуляр из центра окружности к хорде

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыПерпендикуляр из центра окружности к хорде

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыПерпендикуляр из центра окружности к хорде

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиПерпендикуляр из центра окружности к хорде

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныПерпендикуляр из центра окружности к хорде

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиПерпендикуляр из центра окружности к хорде

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыПерпендикуляр из центра окружности к хорде

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:Теорема о диаметре, перпендикулярном хордеСкачать

Теорема о диаметре, перпендикулярном хорде

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Перпендикуляр из центра окружности к хорде

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Перпендикуляр из центра окружности к хорде

Перпендикуляр из центра окружности к хорде

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыПерпендикуляр из центра окружности к хорде
Касательные, проведённые к окружности из одной точкиПерпендикуляр из центра окружности к хорде
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиПерпендикуляр из центра окружности к хорде
Секущие, проведённые из одной точки вне кругаПерпендикуляр из центра окружности к хорде

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Перпендикуляр из центра окружности к хорде

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Перпендикуляр из центра окружности к хорде

Перпендикуляр из центра окружности к хорде

Пересекающиеся хорды
Перпендикуляр из центра окружности к хорде
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Перпендикуляр из центра окружности к хорде
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Перпендикуляр из центра окружности к хорде
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Перпендикуляр из центра окружности к хорде
Пересекающиеся хорды
Перпендикуляр из центра окружности к хорде

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Перпендикуляр из центра окружности к хорде

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Перпендикуляр из центра окружности к хорде

Перпендикуляр из центра окружности к хорде

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Перпендикуляр из центра окружности к хорде

Перпендикуляр из центра окружности к хорде

Перпендикуляр из центра окружности к хорде

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Перпендикуляр из центра окружности к хорде

Перпендикуляр из центра окружности к хорде

Перпендикуляр из центра окружности к хорде

Видео:4K Как найти центр окружности, how to find the center of a circleСкачать

4K Как найти центр окружности, how to find the center of a circle

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Перпендикуляр из центра окружности к хорде

Перпендикуляр из центра окружности к хорде

Тогда справедливо равенство

Перпендикуляр из центра окружности к хорде

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Перпендикуляр из центра окружности к хорде

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Перпендикуляр из центра окружности к хорде

Перпендикуляр из центра окружности к хорде

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Перпендикуляр из центра окружности к хорде

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Перпендикуляр из центра окружности к хорде

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Перпендикуляр из центра окружности к хорде

Перпендикуляр из центра окружности к хорде

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Перпендикуляр из центра окружности к хорде

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Перпендикуляр из центра окружности к хорде

Перпендикуляр из центра окружности к хорде

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Перпендикуляр из центра окружности к хорде

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Перпендикуляр из центра окружности к хорде

Перпендикуляр из центра окружности к хорде

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Перпендикуляр из центра окружности к хорде

Перпендикуляр из центра окружности к хорде

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Перпендикуляр из центра окружности к хорде

Перпендикуляр из центра окружности к хорде

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Перпендикуляр из центра окружности к хорде

Перпендикуляр из центра окружности к хорде

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Перпендикуляр из центра окружности к хорде

Перпендикуляр из центра окружности к хорде

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Перпендикуляр из центра окружности к хорде

Перпендикуляр из центра окружности к хорде

Перпендикуляр из центра окружности к хорде

Перпендикуляр из центра окружности к хорде

Перпендикуляр из центра окружности к хорде

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Перпендикуляр из центра окружности к хорде

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

Видео:Определение центра дуги окружности, построение окружности по 3 точкамСкачать

Определение центра дуги окружности, построение окружности по 3 точкам

Теорема о серединном перпендикуляре к хорде

Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности.

Перпендикуляр из центра окружности к хорде

Серединный перпендикуляр к отрезку АВ – это множество точек, равноудаленных от точек А и В. Другими словами, все точки, равноудаленные от А и В, лежат на серединном перпендикуляре к АВ. С другой стороны, если точки А и В лежат на окружности с центром О, то АО = ВО. Это значит, что точка О лежит на серединном перпендикуляре к АВ.

Видео:ОГЭ. Математика. Задание 26 | Перпендикуляр в окружности | Борис Трушин |Скачать

ОГЭ. Математика. Задание 26 | Перпендикуляр в окружности | Борис Трушин |

Это полезно

В нашей статье вы найдете всю необходимую теорию для решения задания №9 ЕГЭ по теме «Графики функций». Это задание появилось в 2022 году в вариантах ЕГЭ Профильного уровня.

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

Расстояние от центра окружности до хорды

Рассмотрим, как найти расстояние от центра окружности до хорды.

Расстояние от точки до прямой измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную прямую. Значит, расстояние от центра окружности до хорды равно длине перпендикуляра, проведённого из центра окружности к этой хорде.

Перпендикуляр из центра окружности к хорде

Например, расстояние от точки O — центра окружности — до хорды AB равно длине перпендикуляра OF:

Перпендикуляр из центра окружности к хорде

Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найти расстояние от центра окружности до хорды CD, если AB=24, CD=10, а расстояние от центра окружности до хорды AB равно 5.

Перпендикуляр из центра окружности к хордеДано: окружность (O; R), AB и CD — хорды,

Перпендикуляр из центра окружности к хорде

Перпендикуляр из центра окружности к хорде1) Соединим центр окружности с концами хорд.

2) Треугольники AOB и COD — равнобедренные с основаниями AB и CD (AO=BO=CO=DO как радиусы).

Значит, их высоты OF и OK являются также медианами. Следовательно,

Перпендикуляр из центра окружности к хорде

3) Рассмотрим треугольник AOF, где ∠AFO=90 º.

Перпендикуляр из центра окружности к хорде

Перпендикуляр из центра окружности к хорде

4) Рассмотрим треугольник COK, где ∠CKO=90 º.

🌟 Видео

Задание 24 ОГЭ по математике #6Скачать

Задание 24 ОГЭ по математике #6

Как Найти Радиус Сегмента на Потолке. Радиус Окружности По Хорде И Высоте СегментаСкачать

Как Найти Радиус Сегмента на Потолке. Радиус Окружности По Хорде И Высоте Сегмента

Длина хорды окружности равна 72 ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Длина хорды окружности равна 72 ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

УЦИ как найти центр отверстия детали?..Скачать

УЦИ как найти центр отверстия детали?..

Окружность. 7 класс.Скачать

Окружность. 7 класс.

Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды CDСкачать

Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды CD

ОГЭ вариант-4 #24Скачать

ОГЭ вариант-4 #24

7 класс. Геометрия. Теорема о перпендикулярности диаметра и хорды. 07.04.2020.Скачать

7 класс. Геометрия. Теорема о перпендикулярности диаметра и хорды. 07.04.2020.

ОГЭ ЗАДАНИЕ 16 НАЙДИТЕ ДЛИНУ ХОРДЫ ОКРУЖНОСТИ ЕСЛИ РАДИУС 13 РАССТОЯНИЕ ДО ХОРДЫ 5Скачать

ОГЭ ЗАДАНИЕ 16 НАЙДИТЕ ДЛИНУ ХОРДЫ ОКРУЖНОСТИ ЕСЛИ РАДИУС 13 РАССТОЯНИЕ ДО ХОРДЫ 5

Как найти диаметр окружности, зная длину хорды и расстояние от центра окружности до неё? #огэ #егэСкачать

Как найти диаметр окружности, зная длину хорды и расстояние от центра окружности до неё? #огэ #егэ

Демо ОГЭ по математике. Задание 17. Хорда окружности.Скачать

Демо ОГЭ по математике. Задание 17. Хорда окружности.

ОГЭ Задание 26 Окружность, хорды Иррациональное уравнениеСкачать

ОГЭ Задание 26 Окружность, хорды Иррациональное уравнение
Поделиться или сохранить к себе: