В любом треугольнике все три высоты пересекаются в одной точке. Все высоты в остроугольном треугольнике лежат внутри треугольника (как и точка пересечения высот).
Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке E. Доказать, что углы BB1C1 и BCC1 равны; углы B1C1С и BB1C равны.
Дано: ΔABC — остроугольный,
Около любого треугольника можно описать окружность. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине его гипотенузы. Радиус такой окружности равен половине гипотенузы.
Центр описанной около прямоугольного треугольника BB1C окружности лежит на середине гипотенузы BC, радиус этой окружности равен половине BC.
Центр описанной около прямоугольного треугольника BCC1 окружности — середина гипотенузы BC, радиус равен половине BC.
Значит эти треугольники вписаны в одну и ту же окружность.
Следовательно, точки B, C, B1 и C1лежат на одной окружности.
∠B1C1С=∠B1BC (как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу B1C).
Что и требовалось доказать.
То есть решение такого рода задач начинаем с поиска прямоугольных треугольников с общей гипотенузой.
Видео:8 класс, 37 урок, Теорема о пересечении высот треугольникаСкачать
2 Comments
Здравствуйте!
во втором случае: Угол ВВ1С — прямой, имелся в виду угол В1ВС, как опирающийся на дугу В1С
Видео:Геометрия 7.Треугольники урок 6. Высота треугольника. Определение, свойства, точки пересечения высотСкачать
Точка пересечения высот треугольника — свойства, координаты и расположение ортоцентра
Видео:Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.Скачать
Что такое высота
Если из вершины опустить перпендикуляр на противоположную сторону, получится отрезок, который именуется высотой. В равнобедренном треугольнике 2 отрезка равны, а в равностороннем равны все 3.
У фигур с углами 90 и более градусов высота попадает на противоположную сторону. В случае острого угла дело обстоит иначе. Прямая попадет только на продолжение противоположной стороны и будет находиться вне самой фигуры. Таким образом, если все углы острые, отрезки будут находиться внутри, как и ортоцентр. В тупоугольной фигуре два из трех отрезков будут проходить за его пределами — ортоцентр окажется вне фигуры.
Видео:Высоты треугольника.Скачать
Свойства ортоцентра
Свойства высот треугольника, пересекающихся в одной точке, давно изучены и описаны. Согласно основному из них, все 3 высоты всегда пересекаются в одном месте. Иногда, чтобы найти это место, отрезки нужно продлить, превратив в ортогональные прямые.
Ортоцентр по отношению к фигуре может быть расположен:
- внутри;
- снаружи;
- в вершине (у прямоугольных треугольников)
Ортоцентр — важная в геометрии характеристика, влияющая на нахождение золотого сечения.
Так называется маленький треугольник, расположенный внутри основного, находящийся на пересечении его трех параметров:
Золотое сечение может представлять собой не только треугольную фигуру, но и отрезок. В правильном треугольнике медианы, биссектрисы и высоты совпадают, значит, золотое сечение превращается в точку.
Полезные факты
Местонахождение ортоцентра имеет некоторые закономерности. Их знание принесет пользу при решении задач.
Пусть:
- H — ортоцентр в ABC;
- О — центр описанной окружности.
Тогда:
- окружности, описанные вокруг АБС, АНВ, CHB, HCA, равны:
- отрезок BH вдвое длиннее отрезка АС;
- середины отрезков AC и BH разделены расстоянием, равным радиусу описанной окружности.
Задача Фаньяно
Это классическая теорема. Она возникла в процессе поиска фигур с наименьшим периметром. Теорему доказал Фаньяно — итальянский математик и инженер. Это произошло еще в начале XVIII века.
Формулировка: ортотреугольник, то есть фигура, полученная соединением трех оснований треугольника, проведенный внутри остроугольного треугольника, имеет самый маленький периметр изо всех возможных, вписанных в данную фигуру.
Площадь ортотреугольника рассчитывается по формуле:
Здесь S — площадь, а, b, c — стороны.
Существует понятие ортоцентрической системы. Оно включает в себя 3 вершины и место пересечения их высот. Любая из данных четырех точек будет являться ортоцентром треугольника, образованного тремя остальными.
Видео:Точка пересечения высот треугольника.Скачать
История изучения
Важное значение имеет место пересечения медиан или центр тяжести. Вместе с ортоцентром это еще одна «замечательная точка», которая была известна еще древним грекам. Так их стали называть начиная с 18 века, другое название «особенные».
Исследование этих точек стало началом для создания геометрии треугольника, основателем которой считается Леонард Эйлер. Ученый показал, что в любом треугольнике точки соединения высот, медиан и центр описанного круга находятся на одной линии, которую позже назвали прямой Эйлера.
В позапрошлом веке была обнаружена окружность 9 точек или Фейербаха. Она состоит из оснований медиан, высот и центров высот. Оказалось, что все эти точки лежат на общей окружности, центр которой находится на линии Эйлера.
Каждый отрезок, прочерченный из ортоцентра до соединения с описанной окружностью, всегда будет делиться линией Эйлера на 2 равные части.
Треугольник — удивительная фигура, изучением которой занимается целый раздел геометрии. Ортоцентр и его свойства имеют широкое применение в практической жизни, например, в строительстве. Этот показатель настолько важен и распространен, что существуют калькуляторы, позволяющие определить местонахождение точки по координатам вершин.
Видео:Геометрия В остроугольном треугольнике ABC точки A, C, точка пересечения высот H и центр вписаннойСкачать
Свойства высот треугольника. Ортоцентр
Схема 1. В треугольнике АВС проведены высоты АМ и СК.
Н – точка пересечения высот треугольника (ортоцентр), Н=АМ∩СК
Запомните этот рисунок. Перед вами – схема, из которой можно получить сразу несколько полезных фактов.
1. Треугольники МВК и △АВС, подобны, причем коэффициент подобия
, если 
, и 
, если 
- Четырехугольник АКМС можно вписать в окружность. Эта вспомогательная окружность поможет решить множество задач.
- Четырехугольник ВКМН также можно вписать в окружность.
- Радиусы окружностей, описанных вокруг треугольников АВС, АНС, ВНС и АВН, равны.
- ,где R – радиус описанной окружности .
Докажем эти факты по порядку.
1) Заметим, что на рисунке есть подобные треугольники. Это АВМ и СВК, прямоугольные треугольники с общим углом В, и они подобны по двум углам
Мы получили, что в треугольниках МВК и АВС стороны, прилежащие к углу В, пропорциональны. Получаем, что по углу и двум сторонам.
2) Докажем, что вокруг четырехугольника АКМС можно описать окружность. Для этого необходимо и достаточно, чтобы суммы противоположных углов четырехугольника АКМС были равны .
Пусть ∠ACB=∠BKM=γ (поскольку треугольники МВК и АВС подобны), тогда
– как смежный с углом ВКМ. Получили, что , и это значит, что четырехугольник AKMC можно вписать в окружность.
3) Рассмотрим четырехугольник KBMH. Его противоположные углы ВКН и ВМН — прямые, их сумма равна , и значит, четырехугольник КВМН можно вписать в окружность.
4) По теореме синусов, радиус окружности, описанной вокруг треугольника АВС,
Радиус окружности, описанной вокруг треугольника АНС,
Мы помним, что . Значит, синусы углов АВС и АНС равны, и радиусы окружностей, описанных вокруг треугольников АВС и АНС равны.
5) Докажем, что ,где R – радиус описанной окружности . Поскольку четырехугольник КВМН можно вписать в окружность и углы ВКН и ВМН – прямые, отрезок ВН является диаметром этой окружности. Треугольник МВК также вписан в эту окружность, и по теореме синусов, .
Диаметр окружности, описанной вокруг треугольника АВС, равен Поскольку треугольники МВК и АВС подобны, отношение диаметров описанных вокруг них окружностей равно . Получили, что
Задача ЕГЭ по теме «Высоты треугольника» (Профильный уровень, №16)
2. В остроугольном треугольнике KMN проведены высоты KB и NA.
а) Докажите, что угол ABK равен углу ANK.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABM, если известно, что и
а) Докажем, что
(по двум углам). Запишем отношение сходственных сторон:
Но это значит, что (по углу и двум сторонам), причем .
— смежный с углом ,
,
,четырехугольник ABNK можно вписать в окружность.
(опираются на одну дугу).
🎬 Видео
Геометрия 8 класс (Урок№31 - Теорема о пересечении высот треугольника.)Скачать
Замечательные точки треугольника | Ботай со мной #030 | Борис Трушин ||Скачать
Построение высоты в треугольникеСкачать
7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать
Найди точку пересечения высот.Геометрия.Повторение.Скачать
Теорема о пересечении высот треугольника | Геометрия 7-9 класс #73 | ИнфоурокСкачать
Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать
Новое доказательство пересечения высот треугольника в одной точкеСкачать
Диагностическая работа-1 в формате ОГЭ. Задача-25Скачать
✓ Расстояние от вершины треугольника до точки пересечения высот | Ботай со мной #113 | Борис ТрушинСкачать
Точка пересечения высот | ЕГЭ-2018. Задание 16. Математика. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать
Точка пересечения высот треугольникаСкачать
76. Теорема о пересечении высот треугольникаСкачать
Высоты остроугольного треугольника PQR, проведённые из вершины Q и R, продолжим до пересеченияСкачать
