Пересечение диаметров в окружности свойства

Окружность

Окружностью называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, находящихся от данной точки на данном расстоянии. Данная точка называется центром окружности, а отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, — радиусом окружности.

Часть плоскости, ограниченная окружностью называется кругом.

Круговым сектором или просто сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Сегментом называется часть круга, ограниченная дугой и стягивающей ее хордой.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Основные термины


Касательная

Прямая, имеющая с только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

Свойства касательной


  1. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Хорда

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.

Свойства хорд


  1. Диаметр (радиус), перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и обе стягиваемые ею дуги пополам. Верна и обратная теорема: если диаметр (радиус) делит пополам хорду, то он перпендикулярен этой хорде.

Дуги, заключенные между параллельными хордами, равны.

Если две хорды окружности, AB и CD пересекаются в точке M , то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: AM•MB = CM•MD.

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

Свойства окружности


  1. Прямая может не иметь с окружностью общих точек; иметь с окружностью одну общую точку ( касательная ); иметь с ней две общие точки ( секущая ).
  2. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.
  3. Точка касания двух окружностей лежит на линии, соединяющей их центры.

Теорема о касательной и секущей

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая, то квадрат длины касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть: MC 2 = MA•MB .

Теорема о секущих

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение одной секущей на её внешнюю часть равно произведению другой секущей на её внешнюю часть. MA•MB = MC•MD.

Видео:Свойство диаметра окружности. 7 класс.Скачать

Свойство диаметра окружности. 7 класс.

Углы в окружности

Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре.

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным углом.

Любые две точки окружности делят ее на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. Мерой дуги может служить мера соответствующего ей центрального угла.

Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.

Свойства углов, связанных с окружностью


  1. Вписанный угол либо равен половине соответствующего ему центрального угла, либо дополняет половину этого угла до 180°.

Углы, вписанные в одну окружность и опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.

Угол, образованный касательной к окружности и секущей, проведенной через точку касания, равен половине дуги, заключенной между его сторонами.

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Длины и площади


  1. Длина окружности C радиуса R вычисляется по формуле:

Площадь S круга радиуса R вычисляется по формуле:

Длина дуги окружности L радиуса R с центральным углом ,измеренным в радианах, вычисляется по формуле:

Площадь S сектора радиуса R с центральным углом в радиан вычисляется по формуле:

Видео:Теорема о диаметре, перпендикулярном хордеСкачать

Теорема о диаметре, перпендикулярном хорде

Вписанные и описанные окружности


Окружность и треугольник


  • центр вписанной окружности — точка пересечения биссектристреугольника, ее радиус r вычисляется по формуле:

где S — площадь треугольника, а — полупериметр;

центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров, ее радиус R вычисляется по формуле:

здесь a, b, c — стороны треугольника, — угол, лежащий против стороны a , S — площадь треугольника;

  • центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы;
  • центр описанной и вписанной окружностей треугольника совпадают только в том случае, когда этот треугольник — правильный.
  • Окружность и четырехугольники


    • около выпуклого четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его внутренних противоположных углов равна 180°:

    в четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у него равны суммы противоположных сторон:

    • около параллелограмма можно описать окружность тогда и только тогда, когда он является прямоугольником;
    • около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда эта трапеция — равнобедренная; центр окружности лежит на пересечении оси симметрии трапеции с серединным перпендикуляром к боковой стороне;
    • в параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом.

    Видео:Теорема о числе точек пересечения двух окружностейСкачать

    Теорема о числе точек пересечения двух окружностей

    Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке

    Пересечение диаметров в окружности свойстваОтрезки и прямые, связанные с окружностью
    Пересечение диаметров в окружности свойстваСвойства хорд и дуг окружности
    Пересечение диаметров в окружности свойстваТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
    Пересечение диаметров в окружности свойстваДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
    Пересечение диаметров в окружности свойстваТеорема о бабочке

    Пересечение диаметров в окружности свойства

    Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

    Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

    Отрезки и прямые, связанные с окружностью

    Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

    Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

    Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

    Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

    Хорда, проходящая через центр окружности.

    Диаметр является самой длинной хордой окружности

    Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

    Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

    Прямая, пересекающая окружность в двух точках

    ФигураРисунокОпределение и свойства
    ОкружностьПересечение диаметров в окружности свойства
    КругПересечение диаметров в окружности свойства
    РадиусПересечение диаметров в окружности свойства
    ХордаПересечение диаметров в окружности свойства
    ДиаметрПересечение диаметров в окружности свойства
    КасательнаяПересечение диаметров в окружности свойства
    СекущаяПересечение диаметров в окружности свойства
    Окружность
    Пересечение диаметров в окружности свойства

    Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

    КругПересечение диаметров в окружности свойства

    Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

    РадиусПересечение диаметров в окружности свойства

    Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

    ХордаПересечение диаметров в окружности свойства

    Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

    ДиаметрПересечение диаметров в окружности свойства

    Хорда, проходящая через центр окружности.

    Диаметр является самой длинной хордой окружности

    КасательнаяПересечение диаметров в окружности свойства

    Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

    Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

    СекущаяПересечение диаметров в окружности свойства

    Прямая, пересекающая окружность в двух точках

    Видео:Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать

    Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 класс

    Свойства хорд и дуг окружности

    ФигураРисунокСвойство
    Диаметр, перпендикулярный к хордеПересечение диаметров в окружности свойстваДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
    Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
    Равные хордыПересечение диаметров в окружности свойстваЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
    Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
    Две хорды разной длиныПересечение диаметров в окружности свойстваБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
    Равные дугиПересечение диаметров в окружности свойстваУ равных дуг равны и хорды.
    Параллельные хордыПересечение диаметров в окружности свойстваДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
    Диаметр, перпендикулярный к хорде
    Пересечение диаметров в окружности свойства

    Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

    Диаметр, проходящий через середину хордыПересечение диаметров в окружности свойства

    Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

    Равные хордыПересечение диаметров в окружности свойства

    Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

    Хорды, равноудалённые от центра окружностиПересечение диаметров в окружности свойства

    Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

    Две хорды разной длиныПересечение диаметров в окружности свойства

    Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

    Равные дугиПересечение диаметров в окружности свойства

    У равных дуг равны и хорды.

    Параллельные хордыПересечение диаметров в окружности свойства

    Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

    Видео:8 класс, 33 урок, Градусная мера дуги окружностиСкачать

    8 класс, 33 урок, Градусная мера дуги окружности

    Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

    Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

    Пересечение диаметров в окружности свойства

    Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

    Пересечение диаметров в окружности свойства

    Пересечение диаметров в окружности свойства

    ФигураРисунокТеорема
    Пересекающиеся хордыПересечение диаметров в окружности свойства
    Касательные, проведённые к окружности из одной точкиПересечение диаметров в окружности свойства
    Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиПересечение диаметров в окружности свойства
    Секущие, проведённые из одной точки вне кругаПересечение диаметров в окружности свойства

    Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

    Пересечение диаметров в окружности свойства

    Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

    Пересечение диаметров в окружности свойства

    Пересечение диаметров в окружности свойства

    Пересекающиеся хорды
    Пересечение диаметров в окружности свойства
    Касательные, проведённые к окружности из одной точки
    Пересечение диаметров в окружности свойства
    Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
    Пересечение диаметров в окружности свойства
    Секущие, проведённые из одной точки вне круга
    Пересечение диаметров в окружности свойства
    Пересекающиеся хорды
    Пересечение диаметров в окружности свойства

    Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

    Пересечение диаметров в окружности свойства

    Касательные, проведённые к окружности из одной точки

    Пересечение диаметров в окружности свойства

    Пересечение диаметров в окружности свойства

    Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

    Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

    Пересечение диаметров в окружности свойства

    Пересечение диаметров в окружности свойства

    Пересечение диаметров в окружности свойства

    Секущие, проведённые из одной точки вне круга

    Пересечение диаметров в окружности свойства

    Пересечение диаметров в окружности свойства

    Пересечение диаметров в окружности свойства

    Видео:НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ОКРУЖНОСТИ. КАСАТЕЛЬНАЯ к окружности. §20 геометрия 7 классСкачать

    НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ОКРУЖНОСТИ. КАСАТЕЛЬНАЯ к окружности. §20 геометрия 7 класс

    Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

    Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

    Пересечение диаметров в окружности свойства

    Пересечение диаметров в окружности свойства

    Тогда справедливо равенство

    Пересечение диаметров в окружности свойства

    Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

    Пересечение диаметров в окружности свойства

    откуда и вытекает требуемое утверждение.

    Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

    Пересечение диаметров в окружности свойства

    Пересечение диаметров в окружности свойства

    Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

    Пересечение диаметров в окружности свойства

    Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

    Пересечение диаметров в окружности свойства

    откуда и вытекает требуемое утверждение.

    Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

    Пересечение диаметров в окружности свойства

    Пересечение диаметров в окружности свойства

    Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

    Пересечение диаметров в окружности свойства

    Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

    Пересечение диаметров в окружности свойства

    Пересечение диаметров в окружности свойства

    Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

    Пересечение диаметров в окружности свойства

    откуда и вытекает требуемое утверждение.

    Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

    Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

    Теорема о бабочке

    Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

    Пересечение диаметров в окружности свойства

    Пересечение диаметров в окружности свойства

    Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

    Пересечение диаметров в окружности свойства

    Пересечение диаметров в окружности свойства

    Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

    Пересечение диаметров в окружности свойства

    Пересечение диаметров в окружности свойства

    Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

    Пересечение диаметров в окружности свойства

    Пересечение диаметров в окружности свойства

    Воспользовавшись теоремой 1, получим

    Пересечение диаметров в окружности свойства

    Пересечение диаметров в окружности свойства

    Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

    Пересечение диаметров в окружности свойства

    Пересечение диаметров в окружности свойства

    Пересечение диаметров в окружности свойства

    Пересечение диаметров в окружности свойства

    Пересечение диаметров в окружности свойства

    Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

    Пересечение диаметров в окружности свойства

    откуда вытекает равенство

    что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

    Видео:Свойство хорд, пересекающихся внутри окружностиСкачать

    Свойство хорд, пересекающихся внутри окружности

    Всё про окружность и круг

    Окружность — это геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от некоторой заданной точки (центра окружности). Расстояние между любой точкой окружности и ее центром называется радиусом окружности (радиус обозначают буквой R).
    Значит, окружность — это линия на плоскости, каждая точка которой расположена на одинаковом расстоянии от центра окружности.

    Кругом называется часть плоскости, ограниченная окружностью и включающая ее центр.

    Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, представляет собой диаметр. Диаметр окружности равен ее удвоенному радиусу: D = 2R.

    Пересечение диаметров в окружности свойства

    Пересечение диаметров в окружности свойства

    Точка пересечения двух хорд делит каждую хорду на отрезки, произведение которых одинаково: a1a2 = b1b2

    Пересечение диаметров в окружности свойства

    Касательная к окружности всегда перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

    Пересечение диаметров в окружности свойства

    Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны: AB = AC, центр окружности лежит на биссектрисе угла BAC.

    Пересечение диаметров в окружности свойства

    Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть

    Пересечение диаметров в окружности свойства

    Центральный угол — это угол, вершина которого совпадает с центром окружности.

    Дугой называется часть окружности, заключенная между двумя точками.

    Мерой дуги (в градусах или радианах) является центральный угол, опирающийся на данную дугу.

    Пересечение диаметров в окружности свойства

    Вписанный угол это угол, вершина которого лежит на окружности, а cтороны угла пересекают ее.

    Пересечение диаметров в окружности свойства

    Вписанный угол равен половине центрального, если оба угла опираются на одну и ту же дугу окружности.
    Внутренние углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

    Пересечение диаметров в окружности свойства

    Сектором круга называется геометрическая фигура, ограниченная двумя радиусами и дугой, на которую опираются данные радиусы.

    Пересечение диаметров в окружности свойства

    Периметр сектора: P = s + 2R.

    Площадь сектора: S = Rs/2 = ПR 2 а/360°.

    Сегментом круга называется геометрическая фигура, ограниченная хордой и стягиваемой ею дугой.

    🔍 Видео

    Задание 26 Свойство секущих Свойство диаметра и хордыСкачать

    Задание 26  Свойство секущих  Свойство диаметра и хорды

    Окружность. 7 класс.Скачать

    Окружность. 7 класс.

    Окружность №16 из ОГЭ. Свойства хорд, касательных, секущих.Скачать

    Окружность №16 из ОГЭ. Свойства хорд, касательных, секущих.

    №144. Отрезки АВ и CD — диаметры окружности. Докажите, что: а) хорды BD и АС равны; б) хорды AD и ВССкачать

    №144. Отрезки АВ и CD — диаметры окружности. Докажите, что: а) хорды BD и АС равны; б) хорды AD и ВС

    Окружность и круг, 6 классСкачать

    Окружность и круг, 6 класс

    Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

    Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.

    Некоторые свойства окружности касательная к окружности - 7 класс геометрияСкачать

    Некоторые свойства окружности касательная к окружности - 7 класс геометрия

    Теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд.Скачать

    Теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд.
    Поделиться или сохранить к себе: