Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех точек, попарно соединенных между собой отрезками. Точки называются вершинами треугольника, отрезки – сторонами треугольника. Треугольник имеет три вершины и три стороны. Стороны треугольника обозначаются часто малыми буквами, которые соответствуют заглавным буквам, обозначающим противоположные вершины.
Внутренние углы треугольника – это углы, образованные его сторонами. Угол А – это угол, образованный сторонами АВ и АС.
Виды треугольников по углам:
- Остроугольный треугольник – это треугольник, все углы которого острые (то есть градусная мера каждого угла меньше 90º).
- Прямоугольный треугольник – это треугольник, у которого один угол прямой (то есть имеет градусную меру 90º).
- Тупоугольный треугольник – это треугольник, у которого один угол тупой (то есть имеет градусную меру больше 90º).
Виды треугольников по сторонам:
- Равносторонний треугольник (или правильный треугольник) – это треугольник, у которого все три стороны равны.
- Равнобедренный треугольник – это треугольник, у которого две стороны равны.
- Разносторонний треугольник – треугольник, все стороны которого имеют разную длину.
Элементы треугольника
Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Любой треугольник имеет три медианы, которые пересекаются в одной точке. Эта точка пересечения называется центроидом или центром тяжести треугольника. Центроид делит каждую медиану в отношении 1:2, считая от основания медианы.
Биссектриса – это отрезок, делящий угол треугольника на две равные части. Любой треугольник имеет три биссектрисы, которые пересекаются в одной точке.
Высота – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону. Любой треугольник имеет три высоты, которые пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника.
Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине: (MN=frac12AC; MNparallel AC) .
Серединный перпендикуляр к отрезку – прямая, перпендикулярная к этому отрезку и проходящая через его середину. Три срединных перпендикуляра треугольника пересекаются в одной точке, являющейся центром описанного круга.
Основные свойства треугольников
- Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.
- Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот. В частности, все углы в равностороннем треугольнике равны.
- Сумма углов треугольника равна 180º. Из двух последних свойств следует, что каждый угол в равностороннем треугольнике равен 60º.
- Продолжая одну из сторон треугольника, получаем внешний угол. Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов, не смежных с ним.
- Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности (a b – c; b a – c; c a – b).
Один из внешних углов треугольника равен 65 (^circ) . Углы, не смежные с данным внешним углом, относятся как 6:7. Найдите наибольший из них.
Внутренние углы треугольника относятся как 3:7:8. Найдите отношение внешних углов треугольника.
Чему равна градусная мера одного из углов прямоугольного треугольника?
Если в треугольнике один угол больше суммы двух других углов, то он
Если в треугольнике один внешний угол острый, то этот треугольник
Периметр равнобедренного треугольника равен 11 см, а основание равно 3 см. Найдите боковую сторону треугольника.
Видео:Треугольник и его элементыСкачать
Элементы треугольника — формулы вычисления основных параметров
Видео:Геометрия 7 класс (Урок№9 - Треугольник.)Скачать
Общие сведения
Произвольное множество точек называют геометрической фигурой. На плоскости они соединены замкнутыми линиями, образующими контур тела. В трёхмерном пространстве многоугольник, состоящий из трёх отрезков, не принадлежащих одной прямой, носит имя треугольник. Его линии называют сторонами или боковыми гранями, а место их пересечения — вершинами.
Треугольник — замкнутое геометрическое тело, состоящее из трёх сторон и такого же количества углов. Боковые грани принято обозначать маленькими латинскими буквами. Углы на рисунке показывают маленькой дугой, а в записи — символом ∠ с указанием соответствующей вершины. Точки же пересечения линий подписывают большими буквами.
Например, если имеется треугольник ABC, у него есть углы A, B, C и стороны a, b, c. Боковые грани могут обозначать и как отрезки, тогда в их имени учитываются ограничивающие точки. Например, AB, BC, CA. Строгого требования в виде обозначений нет, но существуют негласные правила, которых всё же рекомендуется придерживаться.
Хотя определение треугольника и его элементов одинаковое, выделяют 3 класса фигур:
- остроугольный — любой из углов тела не превышает 90 градусов;
- тупоугольный — форма одного из разворотов тупоугольная;
- прямоугольный — размер одного из трёх углов составляет 90 градусов.
Кроме этого, многоугольник классифицируют по числу равных сторон. Разносторонним он считается в том случае, если все они разной длины, равнобедренным — треугольник, имеющий 2 равные стороны, а равносторонним — у которого все стороны равны. Последний в литературе может ещё называться правильным.
На основании классификационных групп треугольники можно сравнивать между собой. Они считаются подобными, если 2 угла одного соответственно равны двум углам другого, или когда 2 стороны одного пропорциональны двум сторонам другого, а углы, заключённые между этими сторонами, равны. Эти правила называют признаками подобия. Они особенно популярны среди физиков. Их часто используют при вычислении элементов прямоугольников, квадратов, трапеций.
Видео:Треугольники. 7 класс.Скачать
Элементы треугольника
Кроме сторон и вершин, фигура имеет различные точки и линии, называемые замечательными. Такое имя они получили из-за своих свойств. Но перед тем как их перечислить, нелишним будет привести основные величины, характеризующие фигуру, способы их нахождения и теоремы.
Периметр многоугольника можно определить, сложив все стороны: P = a + b + c. Площадь треугольника находится как половина произведения двух граней, умноженных на синус угла между ними: S = (a * b * sinC) / 2. Сумма углов равна 180 градусов, при этом напротив равных сторон лежат одинаковые углы.
К замечательным линиям относят:
- Медиану — линию, проходящую через вершину к середине противолежащей стороны. Всего в треугольнике можно провести 3 таких отрезка. Точка их пересечения является центром массы. Если считать от вершины, в ней она делится в отношении 2 к 1. Каждая медиана разделяет фигуру на 2 объекта с одинаковой площадью.
- Биссектрису — отрезок, построенный к стороне из угла и делящий его на 2 равные части. Она делит грань на 2 замкнутые линии, пропорциональные прилежащим сторонам. Точка, в которой пересекаются биссектрисы, является началом диаметра вписанной в треугольник окружности.
- Высоту — перпендикуляр, опущенный из угла на противоположную сторону. Все они пересекаются в одной точке.
- Срединную линию — проходит всегда параллельно одной из граней и соединяет середины двух оставшихся сторон. 3 таких линии разделят многоугольник на 4 равных треугольника.
При измерениях используют и «особенные» точки фигуры. Если в треугольник вписать окружность, её центр совпадёт с местом скрещивания перпендикуляров. А если поместить в круг, середина будет совпадать с пересечением биссектрис. Для других замечательных линий точки их соприкосновения также имеют свои названия: ортоцентр (высот) и центроид (медиан). Первая может принадлежать как внутренней площади фигуры, так и внешней (тупоугольный треугольник).
В равнобедренном треугольнике медиана, высота и биссектриса совпадают. При этом их центр является серединой как вписанной окружности, так и описанного круга. А угол, из которого построен один из таких отрезков, будет разделён на 2 одинаковых разворота равных 30 градусам.
Видео:Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnlineСкачать
Основные формулы
Найти любой элемент треугольника можно по специальным формулам. Чаще всего приходится искать стороны фигуры. Зная их, можно найти практически любые параметры, просто подставив в выражения значения размеров граней.
Найти длину отрезка, формирующего контур фигуры, можно, зная длины двух сторон и угла или значения двух углов и одной стороны. Для первого случая формула имеет вид a = b * sin (a) / sin (b) = b * sin (a) / sin (a + c), а второго: a = √(b 2 + c 2 — 2bc * cos (a)). Если имеется тупой угол, косинус будет отрицательный. Это необходимо учитывать при расчётах.
Это общие формулы, подходящие для любого типа треугольника. Но в то же время для прямоугольного существует своё правило, связывающее все 3 грани в одну формулу: c = √(b 2 + a 2 ). Называется оно теоремой Пифагора. В равнобедренном вычислить сторону можно, зная любую другую и угол. Для основания используют равенство b = 2a * cos (a), а для равных граней: a = b / 2 * cos (a).
Из множества других существующих формул для определения различных элементов фигуры, можно указать на те, что чаще всего используются при решении примеров:
- Высота: h = (2 / a) * √(p * (p — a) * (p — b) * (p — c)) или h = b * sin© = c * sin (b). Отрезок можно найти, зная площадь и сторону h = 2 * S / a или радиус описанной окружности: h = (b * c) / 2 * R.
- Биссектриса: L = √(a * b * (a + b + c) * (a + b — c)) / (a + b). Формулу можно упростить, используя периметр: L = 2 * √ (a * b * P) * (P — c)) / (a + b), где P = p /2 (полупериметр).
- Медиана: М = √(2 * a 2 + 2b 2 — c 2 ) / 2. Линию можно определить, зная только 2 стороны и лежащий между ними угол: М = √(a 2 + b 2 — 2 * a * b * cos (с)) / 2. В прямоугольном треугольнике она равняется радиусу описанного круга или половине гипотенузы: М = R = c / 2.
Существуют и упрощённые выражения. Формула Герона позволяет высчитать площадь, используя полупериметр и длины сторон: S = √(P * (P — a) * (P — b) * (P — c)). Также величину можно определить, зная высоту и длину основания: S = (a * H) / 2.
Для нахождения элементов треугольника в 7 классе ученикам дают ещё 2 фундаментальные теоремы: косинусов и синусов. Первая сообщает, что квадрат грани фигуры равен удвоенному произведению двух сторон и косинуса угла между ними, вычтенному из сумы квадратов: a 2 = b 2 + c 2 — 2 * b * c * cos (a). Согласно же второй, стороны пропорциональны синусам противолежащих углов: a / sin (a) = b / sin (b) = c / sin©.
Видео:9 класс, 15 урок, Решение треугольниковСкачать
Решение примеров
Формул для вычисления элементов треугольников можно насчитать несколько десятков. Запомнить их довольно сложно, поэтому нужно выучить основные определения и выражения, а сделать это лучше всего, решая практические примеры. Вот некоторые из них:
- В треугольнике проведено 2 высоты. Одна равняется 63 см, а другая 56 см. Найти истинный отрезок, если основание AC = 84 см, а размер медианы BK совпадает с длиной стороны BC. Так как точка K делит отрезок AC пополам, AK = KC = AC / 2 = 84 /2 = 42 см. В треугольнике BKC 2 стороны равны друг другу, согласно условию, значит, он равнобедренный. Следовательно, высота является одновременно и медианой. KH = HC = MC /2 = 42 / 2 = 21 см. Искомый отрезок будет равен: h = AK + KC = 42 + 21 = 63 см. Следовательно, правильный первый вариант.
- Пусть дан треугольник ABC. Найти возможный отрезок BN, на который биссектриса поделит сторону BC, если AB = 6 см, BC = 7 см, AC = 8 см. Для решения понадобится вспомнить свойство биссектрисы. Из него следует, что BN / NC = AB / AC = 6 / 8. Если искомый отрезок принять за икс, будет верным равенство KC = 7 — x. Значит: x / (7 — x) = 6 / 8. Отсюда можно выразить неизвестное: x = 42 / 14 = 3 см. Теперь останется подставить найденное число и найти искомое значение: KC = 7 — 3 = 4 см.
- Завод начал выпускать новую серию объёмных фигур. Определить, какой тип многоугольника лежит в их основании, если её стороны равны 3, 2 и √3. Чтобы найти ответ, нужно проанализировать исходные данные. Так как сумма двух меньших сторон больше третей боковой грани, в основании лежит треугольник. 3 в квадрате не равно 2 2 + (√3) 2 . Следовательно, геометрическое тело непрямоугольное. По теореме косинусов можно записать: a 2 = b 2 + c 2 — 2 * b * c * cos (a). Исходя из того, что cos (a) = -1/ √ 3, то есть он отрицательный, можно утверждать, что разворот угла тупой. Значит, треугольник у основания тупоугольный.
Проверить правильность вычислений можно, воспользовавшись онлайн-калькуляторами. Это сервисы, предоставляющие услуги по расчёту различных математических величин. Воспользоваться ими сможет любой, даже тот, кто не знает ни одной формулы и теоремы. Всё, что требуется от пользователя — правильно ввести исходные данные в специальную форму и нажать кнопку «Рассчитать». Через несколько секунд ответ, а в некоторых случаях и решение, появится на экране.
Видео:7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать
Что такое элементы треугольника?
Что такое элементы треугольника? — Наука
Видео:Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать
Содержание:
В элементы треугольника они делятся на первичные и вторичные. Они составляют его компоненты и как таковые определяют. Треугольник — это трехсторонний многоугольник, сумма углов которого равна 180 градусам.
Первичные элементы соответствуют вершинам, сторонам и углам, они могут быть внутренними или внешними.
Второстепенные относятся к высоте, ортоцентру, биссектрисе, центру, биссектрисе, центру описанной окружности и медиане. Обычно в тригонометрии время уделяется только изучению основных элементов и дополнительно к высоте.
Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать
Основные элементы треугольника
Когда дело доходит до изучения геометрических фигур, треугольники играют ключевую роль, поскольку они считаются простейшими существующими многоугольниками, поскольку у них всего 3 стороны. Любой многоугольник с 4 или более сторонами можно разделить на конечное число треугольников.
Видео:Геометрия 7 класс (Урок№15 - Решение задач на признаки равенства треугольников.)Скачать
Вершины
Они являются исходными точками треугольника. Визуально вершину можно определить как место, где рождаются линии многоугольника и которые определяют его границы.
Их легко узнать, так как они определяют общий размер фигуры. Обычно их обозначают заглавными буквами A, B и C.
Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать
Стороны
Это каждая из линий, составляющих треугольник. Одна сторона — это пространство между двумя вершинами, обозначенными прямой линией.
Обычно они обозначаются буквами вершин на концах, например сторона AB, или строчными буквами a, b и c, расположив их на противоположной стороне вершин A, B и C.
Сумма длин сторон треугольника называется периметром.
Видео:ВСЕ ВИДЫ ТРЕУГОЛЬНИКОВ😉 #егэ #огэ #математика #профильныйегэ #shorts #геометрия #образованиеСкачать
Углы
Это степень разделения двух сторон, начинающихся от одной и той же вершины (внутренний угол), измеряется в градусах.
Сумма всех углов в треугольнике всегда 180 градусов. Также можно измерить внешний угол, в этом случае необходимо удлинить одну из сторон.
Углы обозначаются греческими буквами, такими как альфа (α), бета (β) или гамма (γ).
Видео:Признаки равенства треугольников. 7 класс.Скачать
Высота
Это мера перпендикулярной линии (которая образует угол в 90 градусов), которая проходит от одной вершины к противоположной стороне.
Оно обозначается строчной буквой h. Треугольник может иметь 3 разных высоты в зависимости от измеряемой вершины.
Видео:Формулы равностороннего треугольника #shortsСкачать
Ортоцентр
При нанесении трех высот треугольника точка, в которой соприкасаются три линии, является ортоцентром. Обычно обозначается буквой H.
Видео:7 класс. Треугольник: основные элементы, главные отрезкиСкачать
Биссектриса
Это линия, идущая от одной вершины к центру противоположной стороны треугольника, поэтому она «делит» угол пополам. В зависимости от типа треугольника высота и биссектриса могут быть одинаковыми.
Видео:7 класс, 15 урок, Первый признак равенства треугольниковСкачать
Incenter
Это точка, где встречаются 3 биссектрисы.
Видео:ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать
Медиатр
Также известная как симметричная линия, это линия, перпендикулярная одной стороне треугольника, проходящая через его середину.
Видео:2 Элементы треугольникаСкачать
Окружной центр
Это общая точка пересечения трех медиатрис. Если нарисовать круг, который касается трех вершин треугольника, центр описанной окружности будет центром круга.
Видео:1.3. Треугольники и их элементы. Высоты.Скачать
Медиана
Это линия, соединяющая середины двух сторон.
Видео:7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать
Ссылки
- Что такое вершина в геометрии (н.ф.). Получено 30 ноября 2017 г. из Study.
- Элементы треугольника (н.д.). Получено 30 ноября 2017 г. из CEIBAL.
- Элементы треугольника (н.ф.). Получено 30 ноября 2017 г. из Интернет-профессора.
- Вторичные элементы треугольника (н.ф.). Получено 30 ноября 2017 г. из Узингго.
- Каролина Педроза (s.f.). Элементы треугольника. Получено 30 ноября 2017 г. с сайта Modern Mathematics.
Экономические явления: понятие, характеристика и примеры
🎬 Видео
Геометрия 7 класс (Урок№25 - Прямоугольные треугольники.)Скачать