Параллелограмм вписанный в окружность найдите угол а

Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея
Параллелограмм вписанный в окружность найдите угол аВписанные четырехугольники и их свойства
Параллелограмм вписанный в окружность найдите угол аТеорема Птолемея

Видео:2041 четырёхугольник ABCD вписан в окружность угол abd равен 38 угол cаd равен 54 Найдите угол ABCСкачать

2041 четырёхугольник ABCD вписан в окружность угол abd равен 38 угол cаd равен 54 Найдите угол ABC

Вписанные четырёхугольники и их свойства

Определение 1 . Окружностью, описанной около четырёхугольника, называют окружность, проходящую через все вершины четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, вписанным в окружность, или вписанным четырёхугольником .

Параллелограмм вписанный в окружность найдите угол а

Теорема 1 . Если четырёхугольник вписан в окружность, то суммы величин его противоположных углов равны 180° .

Доказательство . Угол ABC является вписанным углом, опирающимся на дугу ADC (рис.1). Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги ADC . Угол ADC является вписанным углом, опирающимся на дугу ABC . Поэтому величина угла ADC равна половине угловой величины дуги ABC . Отсюда вытекает, что сумма величин углов ABC и ADC равна половине угловой величины дуги, совпадающей со всей окружностью, т.е. равна 180° .

Если рассмотреть углы BCD и BAD , то рассуждение будет аналогичным.

Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если у четырёхугольника суммы величин его противоположных углов равны 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью рассмотрим окружность, проходящую через вершины A , B и С четырёхугольника, и предположим, что эта окружность не проходит через вершину D . Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точка D лежит внутри круга (рис.2).

Параллелограмм вписанный в окружность найдите угол а

Продолжим отрезок CD за точку D до пересечения с окружностью в точке E , и соединим отрезком точку E с точкой A (рис.2). Поскольку четырёхугольник ABCE вписан в окружность, то в силу теоремы 1 сумма величин углов ABC и AEC равна 180° . При этом сумма величин углов ABC и ADC так же равна 180° по условию теоремы 2. Отсюда вытекает, что угол ADC равен углу AEC . Возникает противоречие, поскольку угол ADC является внешним углом треугольника ADE и, конечно же, его величина больше, чем величина угла AEC , не смежного с ним.

Случай, когда точка D оказывается лежащей вне круга, рассматривается аналогично.

Теорема 2 доказана.

Перечисленные в следующей таблице свойства вписанных четырёхугольников непосредственно вытекают из теорем 1 и 2.

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Параллелограмм вписанный в окружность найдите угол а
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
Параллелограмм вписанный в окружность найдите угол а

ФигураРисунокСвойство
Окружность, описанная около параллелограммаПараллелограмм вписанный в окружность найдите угол аОкружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромбаПараллелограмм вписанный в окружность найдите угол аОкружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапецииПараллелограмм вписанный в окружность найдите угол аОкружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоидаПараллелограмм вписанный в окружность найдите угол аОкружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольникПараллелограмм вписанный в окружность найдите угол а

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Параллелограмм вписанный в окружность найдите угол а
где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.
Параллелограмм вписанный в окружность найдите угол а

Окружность, описанная около параллелограмма
Параллелограмм вписанный в окружность найдите угол аОкружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромба
Параллелограмм вписанный в окружность найдите угол аОкружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапеции
Параллелограмм вписанный в окружность найдите угол аОкружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоида
Параллелограмм вписанный в окружность найдите угол аОкружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольник
Параллелограмм вписанный в окружность найдите угол а
Окружность, описанная около параллелограмма
Параллелограмм вписанный в окружность найдите угол а

Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.

Окружность, описанная около ромбаПараллелограмм вписанный в окружность найдите угол а

Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.

Окружность, описанная около трапецииПараллелограмм вписанный в окружность найдите угол а

Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.

Окружность, описанная около дельтоидаПараллелограмм вписанный в окружность найдите угол а

Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.

Произвольный вписанный четырёхугольникПараллелограмм вписанный в окружность найдите угол а

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

Параллелограмм вписанный в окружность найдите угол а

Параллелограмм вписанный в окружность найдите угол а

где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.

Параллелограмм вписанный в окружность найдите угол а

Видео:Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия

Теорема Птолемея

Теорема Птолемея . Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.

Доказательство . Рассмотрим произвольный четырёхугольник ABCD , вписанный в окружность (рис.3).

Параллелограмм вписанный в окружность найдите угол а

Докажем, что справедливо равенство:

Параллелограмм вписанный в окружность найдите угол а

Для этого выберем на диагонали AC точку E так, чтобы угол ABD был равен углу CBE (рис. 4).

Параллелограмм вписанный в окружность найдите угол а

Заметим, что треугольник ABD подобен треугольнику BCE . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABD равен углу CBE (по построению точки E ), угол ADB равен углу ACB (эти углы являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

Параллелограмм вписанный в окружность найдите угол а

откуда вытекает равенство:

Параллелограмм вписанный в окружность найдите угол а(1)

Заметим, что треугольник ABE подобен треугольнику BCD . Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABE равен углу DBC (углы ABD и EBC равны по построению, угол DBE – общий), угол BAC равен углу BDC (эти углы являются вписанными углами, пирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

Видео:№376. Найдите углы параллелограмма ABCD, если: a) ∠A = 84°Скачать

№376. Найдите углы параллелограмма ABCD, если: a) ∠A = 84°

Определите углы параллелограмма, если известно, что этот параллелограмм вписан в окружность.

Видео:Задание 24 ОГЭ по математике #5Скачать

Задание 24 ОГЭ по математике #5

Ваш ответ

Видео:Задача 6 №27871 ЕГЭ по математике. Урок 112Скачать

Задача 6 №27871 ЕГЭ по математике. Урок 112

Похожие вопросы

  • Все категории
  • экономические 43,279
  • гуманитарные 33,618
  • юридические 17,900
  • школьный раздел 606,962
  • разное 16,829

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

В параллелограмм вписана окружность

Если в условии задачи сказано, что в параллелограмм вписана окружность, то что сразу можно сказать об этом параллелограмме?

Для этого надо вспомнить, когда в четырехугольник можно вписать окружность. Это можно сделать лишь в том случае, если суммы противолежащих сторон четырехугольника равны.

Это условие выполняется только для тех параллелограммов, у которых все стороны равны, то есть только для ромба (и квадрата, как частного случая ромба).

Следовательно, если известно, что в параллелограмм можно вписать окружность, сразу можно сделать вывод, что все его стороны равны, и для него справедливы все свойства ромба. Если же дополнительно сказано, что хотя бы один из углов этого параллелограмма прямой, то такой параллелограмм — квадрат.

Радиус вписанной в ромб окружности можно найти по формуле

Параллелограмм вписанный в окружность найдите угол а

где S — площадь ромба, p — его полупериметр;

или как половину высоты ромба

Параллелограмм вписанный в окружность найдите угол а

1) В параллелограмм вписана окружность. Найти периметр параллелограмма, если одна из его сторон равна 10 см.

Из всех параллелограммов вписать окружность можно только в ромб (и квадрат). У ромба все стороны равны.

Параллелограмм вписанный в окружность найдите угол а

2) В параллелограмм вписана окружность. Найти её радиус, если высота параллелограмма равна 12 см.

Из параллелограммов вписать окружность можно в ромб (и квадрат). Радиус вписанной в ромб (и квадрат) окружности равен половине его высоты:

Параллелограмм вписанный в окружность найдите угол а

3) В параллелограмм вписана окружность. Найти её радиус, если диагонали параллелограмма равны 6 см и 8 см.

Параллелограмм вписанный в окружность найдите угол аИз всех параллелограммов окружность можно вписать в ромб (и квадрат. У квадрата диагонали равны, следовательно, в задаче речь идёт о ромбе).

Пусть ABCD — ромб, AC=6 см, BD=8 см.

Рассмотрим треугольник AOB.

Параллелограмм вписанный в окружность найдите угол а

Параллелограмм вписанный в окружность найдите угол а

По теореме Пифагора

Параллелограмм вписанный в окружность найдите угол а

Параллелограмм вписанный в окружность найдите угол а

Параллелограмм вписанный в окружность найдите угол а

Параллелограмм вписанный в окружность найдите угол а

полупериметр — p=2a=2∙AB=25=10 см.

Следовательно, радиус вписанной окружности равен

🎬 Видео

угол a четырёхугольника abcd вписанного в окружность равен 46Скачать

угол a четырёхугольника abcd вписанного в окружность равен 46

8 класс, 4 урок, ПараллелограммСкачать

8 класс, 4 урок, Параллелограмм

Биссектриса параллелограммаСкачать

Биссектриса параллелограмма

Задача 6 №27876 ЕГЭ по математике. Урок 117Скачать

Задача 6 №27876 ЕГЭ по математике. Урок 117

Г: В параллелограмм ABCD с углом А, равным 45о, и стороной AD = 10√2 вписана окружность. НайдитеСкачать

Г: В параллелограмм ABCD с углом А, равным 45о, и стороной AD = 10√2 вписана окружность. Найдите

ЗАДАНИЕ 1| ЕГЭ ПРОФИЛЬ| Угол А четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 25.Найдите уголСкачать

ЗАДАНИЕ 1| ЕГЭ ПРОФИЛЬ| Угол А четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 25.Найдите угол

ПАРАЛЛЕЛОГРАММ. Задачи. Противолежащие углы равны.Скачать

ПАРАЛЛЕЛОГРАММ. Задачи. Противолежащие углы равны.

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Когда в параллелограмм можно вписать окружность. 15 задание ОГЭСкачать

Когда в параллелограмм можно вписать окружность. 15 задание ОГЭ

Касательные к окружности с центром O в точках A и B ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Касательные к окружности с центром O в точках A и B ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.

Найти вписанные в окружность углы (bezbotvy)Скачать

Найти вписанные в окружность углы (bezbotvy)

Углы, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Углы, вписанные в окружность. 9 класс.

В угол C величиной 83° вписана окружность ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

В угол C величиной 83° вписана окружность ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА
Поделиться или сохранить к себе: