Параллельные прямые внутри треугольника

Планиметрия. Страница 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Параллельные прямые внутри треугольника
Содержание
  1. 1.Параллельность прямых
  2. 2.Признаки параллельности прямых
  3. 3.Свойство углов при пересечении параллельных прямых
  4. 4.Сумма углов треугольника
  5. 5.Единственность перпендикуляра к прямой
  6. 6. Высота, биссектриса и медиана треугольника
  7. 7. Свойство медианы равнобедренного треугольника
  8. Репетитор: Васильев Алексей Александрович
  9. 8. Пример 1
  10. Пример 2
  11. Пример 3
  12. Пример 4
  13. Пример 5
  14. Через точку, расположенную внутри треугольника, проведены прямые, параллельные сторонам треугольника. Эти прямые разбивают треугольник на три треугольника и три четырёхугольника. Пусть a, b и c — параллельные высоты трёх этих треугольников. Найдите параллельную им высоту исходного треугольника.
  15. Треугольник — формулы, свойства, элементы и примеры с решением
  16. Что такое треугольник
  17. Определение треугольника
  18. Сумма углов треугольника
  19. Пример №1
  20. Пример №2
  21. О равенстве геометрических фигур
  22. Пример №3
  23. Пример №4
  24. Признаки равенства треугольников
  25. Пример №5
  26. Пример №6
  27. Равнобедренный треугольник
  28. Пример №7
  29. Пример №10
  30. Прямоугольный треугольник
  31. Первый признак равенства треугольников и его применение
  32. Пример №14
  33. Опровержение утверждений. Контрпример
  34. Перпендикуляр к прямой
  35. Перпендикуляр. Расстояние от точки до прямой
  36. Пример №15
  37. Второй признак равенства треугольников и его применение
  38. Решение геометрических задач «от конца к началу»
  39. Пример №16
  40. Пример №17
  41. Признак равнобедренного треугольника
  42. Пример №18
  43. Прямая и обратная теоремы
  44. Медиана, биссектриса и высота треугольника
  45. Свойство медианы, биссектрисы и высоты равнобедренного треугольника
  46. Пример №19
  47. Дополнительные построения в геометрических задачах. Метод удвоения медианы .
  48. Пример №20
  49. Третий признак равенства треугольников и его применение
  50. Пример №21
  51. Свойства и признаки
  52. Признаки параллельности прямых
  53. Пример №22
  54. О существовании прямой, параллельной данной
  55. Свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей.
  56. Пример №23
  57. Расстояние между параллельными прямыми
  58. Сумма углов треугольника
  59. Пример №24
  60. Виды треугольников по величине углов. Классификация
  61. Внешний угол треугольника
  62. Прямоугольные треугольники
  63. Прямоугольный треугольник с углом 30°
  64. Сравнение сторон и углов треугольника
  65. Неравенство треугольника
  66. Пример №25
  67. Справочный материал по треугольнику
  68. Треугольники
  69. Средняя линия треугольника и ее свойства
  70. Пример №26
  71. Треугольник и его элементы
  72. Признаки равенства треугольников
  73. Виды треугольников
  74. Внешний угол треугольника
  75. Прямоугольные треугольники
  76. Всё о треугольнике
  77. Равные треугольники. Высота, медиана, биссектриса треугольника
  78. Первый и второй признаки равенства треугольников
  79. Пример №27
  80. Равнобедренный треугольник и его свойства
  81. Пример №28
  82. Признаки равнобедренного треугольника
  83. Пример №29
  84. Третий признак равенства треугольников
  85. Теоремы
  86. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника
  87. Параллельные прямые
  88. Пример №30
  89. Признаки параллельности двух прямых
  90. Пример №31
  91. Пятый постулат Евклида
  92. Пример №34
  93. Прямоугольный треугольник
  94. Пример №35
  95. Свойства прямоугольного треугольника
  96. Пример №36
  97. Пример №37
  98. 🎦 Видео

Видео:6 .7 кл Построение параллельных прямых.Как построить параллельные прямыеСкачать

6 .7 кл Построение параллельных прямых.Как построить параллельные прямые

1.Параллельность прямых

Теорема: если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Доказательство. Пусть даны две прямые а и b. Допустим, что они не параллельны между собой. (Рис.1) Тогда они пересекаются в некоторой точке С. Следовательно, через точку С проходят две прямые, параллельные прямой с. А это невозможно согласно аксиоме: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. Следовательно, прямые а и b не пересекаются. Они параллельны.

Параллельные прямые внутри треугольника

Рис.1 Теорема. Параллельность прямых.

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

2.Признаки параллельности прямых

Теорема. Если внутренние накрест лежащие углы равны или сумма внутренних односторонних углов равна 180 градусов, то прямые параллельны.

Доказательство. Пусть даны две прямые a и b, которые образуют с секущей АВ внутренние накрест лежащие углы (Рис. 2 а). Допустим, что прямые a и b не параллельны. Тогда они пересекаются в одной точке С. Секущая АВ разбивает плоскость на две полуплоскости. И, следовательно, точка С лежит в одной из них и образует треугольник АВС. Сторона АС принадлежит прямой а. Сторона ВС принадлежит прямой b. (Рис. 2 б)

Отложим равный треугольник ABC1 в другой полуплоскости с вершиной С1 так, чтобы угол А треугольника АВС совпал с углом В треугольника АВС1. Так как по условию задачи сумма внутренних односторонних углов равна 180 градусов, то сторона АС1 ляжет на прямую а, ВС1 — на прямую b. Тогда точка С1 принадлежит двум прямым: а и b. Т.е. две точки С и С1 одновременно принадлежат двум прямым. А это невозможно. Следовательно прямые a и b не пересекаются, они параллельны.

Параллельные прямые внутри треугольника

Рис.2 Теорема. Признаки параллельности прямых.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)

3.Свойство углов при пересечении параллельных прямых

Теорема. Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны и сумма внутренних односторонних углов равна 180 градусов.

Доказательство. Пусть a и b параллельные прямые. Прямая с пересекает их в точках А и В. (Рис. 3)

Проведем через точку А прямую а 1 так, чтобы внутренние накрест лежащие углы, образованные между прямыми а 1 и b и секущей с, были равны. Тогда по признаку параллельности прямых они параллельны. А так как согласно аксиоме о единственной параллельной прямой, проходящей через точку не лежащей на данной прямой, такая прямая может быть только одна, то прямые а и а 1 совпадают. А следовательно внутренние накрест лежащие углы, образованные между прямыми а,b и секущей с, равны.

Параллельные прямые внутри треугольника

Рис.3 Теорема. Свойство углов при пересечении параллельных прямых.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)

4.Сумма углов треугольника

Теорема. Сумма углов треугольника равна 180 градусов.

Доказательство. Пусть АВС данный треугольник. Проведем через вершину В прямую BD, параллельную стороне АС (Рис. 4).

Тогда углы α и α’, γ и γ’ равны как внутренние накрест лежащие. А так как прямая BD представляет собой развернутый угол с вершиной угла в точке В, который равен 180°, т.е. α’ + β + γ’ = 180°, то сумма углов треугольника равна также 180°. Таким образом, мы пришли к выводу, что сумма углов треугольника, т.е. α + β + γ = 180°.

Параллельные прямые внутри треугольника

Рис.4 Теорема. Сумма углов треугольника.

Видео:7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать

7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

5.Единственность перпендикуляра к прямой

Теорема. Из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить только один перпендикуляр на данную прямую.

Доказательство. Пусть дана прямая а и не лежащая на ней точка А. Отметим на прямой а произвольную точку, например D. И проведем через нее перпендикуляр.(Рис. 5)

Теперь проведем через точку А прямую, параллельную нашей перпендикулярной прямой. Она также будет перпендикулярна прямой а. Так как прямая а, перпендикулярна одной из параллельных прямых, перпендикулярна и второй прямой. Отрезок АВ и есть перпендикуляр. Если допустить, что существует другой перпендикуляр, допустим в точке С. То в треугольнике АВС образуются два угла 90 градусов, а это невозможно. Следовательно отрезок АВ — это единственный перпендикуляр, проходящий через точку А.

Параллельные прямые внутри треугольника

Рис.5 Теорема. Единственность перпендикуляра к прямой.

Видео:№196. Дан треугольник ABC. Сколько прямых, параллельных стороне АВ, можно провестиСкачать

№196. Дан треугольник ABC. Сколько прямых, параллельных стороне АВ, можно провести

6. Высота, биссектриса и медиана треугольника

Высотой треугольника, проведенной из данной вершины, называется перпендикуляр, опущенный из данной вершины на противолежащую сторону.

Биссектрисой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину угла и противолежащую сторону, и делящий данный угол пополам.

Медианой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину и противолежащую сторону, и делящий ее пополам. (Рис.6)

Параллельные прямые внутри треугольника

Рис.6 Высота, биссектриса и медиана треугольника.

Видео:Параллельные прямые циркулемСкачать

Параллельные прямые циркулем

7. Свойство медианы равнобедренного треугольника

Теорема. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная из вершины угла к основанию, является биссектрисой и высотой.

Доказательство:

Пусть АВС — данный равнобедренный треугольник с основанием АС. Боковые стороны АВ и ВС равны, ВD — медиана. Необходимо доказать, что BD является биссектрисой и высотой.

Рассмотрим треугольники ABD и BDC. Они равны по третьему признаку равенства треугольников. АВ = ВС по условию, AD = DC, так как BD медиана, а сторона BD у них общая. Следовательно, углы при вершине D равны, а так как они являются смежными, то ∠ADB = ∠CDB = 90°.

Из равенства треугольников ABD и BDC следует равенство углов при вершине В, т.е. ∠AВD = ∠CВD = α.

Отсюда можно сделать вывод, что медиана BD является биссектрисой и высотой.

Параллельные прямые внутри треугольника

Рис.7 Свойство медианы равнобедренного треугольника.

Репетитор: Васильев Алексей Александрович

Предметы: математика, физика, информатика, экономика, программирование.

Параллельные прямые внутри треугольника2000 руб / 120 мин — подготовка к ЕГЭ и ГИА для школьников. 3000 руб / 120 мин — индивидуально (базовый уровень). 2000 руб / 120 мин — студенты.

Тел. 8 916 461-50-69, email: alexey-it@ya.ru

Параллельные прямые внутри треугольника

8. Пример 1

Даны прямая а и точка С, не лежащая на этой прямой. Необходимо доказать, что через точку С можно провести прямую, параллельную прямой а. (Рис.8)

Доказательство:

Проведем прямую b, параллельную прямой а. Тогда, согласно аксиоме 9, (через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую) проведем прямую с через точку С, параллельную прямой b.

Таким образом, получается, что прямая с параллельна прямой b, и прямая a также параллельна прямой b по построению. Следовательно, по теореме о двух прямых, параллельных третьей прямой, имеем, что две прямые a и c параллельны прямой b и, следовательно, они (прямые а и с) параллельны. Т.е. через точку С можно провести прямую, параллельную прямой а.

Параллельные прямые внутри треугольника

Рис.8 Задача. Даны прямая а и точка С .

Пример 2

Даны две параллельные прямые а и b, и секущая с. Докажите, что биссектрисы внутренних накрест лежащих углов, образованных этими прямыми, параллельны (Рис.9)

Доказательство:

Так как прямые а и b параллельны, то углы α и β, образованные этими параллельными прямыми и секущей с, равны как внутренние накрест лежащие, т.е. ∠α = ∠β. Согласно определению, биссектриса — это луч, исходящий из вершины угла между его сторонами, который делит этот угол пополам. Следовательно, биссектрисы d1 и d2 делят углы α и β пополам.

Таким образом, так как углы α и β равны, то и углы α/2 и β/2 также равны. А если углы α/2 и β/2 равны, то они являются внутренними накрест лежащими углами, между секущей с и прямыми, на которых лежат лучи d1 и d2, и согласно теореме: признак параллельности прямых, лучи d1 и d2 лежат на параллельных прямых.

Параллельные прямые внутри треугольника

Рис.9 Задача. Даны две параллельные прямые а и b и секущая с.

Пример 3

Один из углов равнобедренного треугольника АВС равен 100° (Рис.10). Найти остальные углы треугольника.

Решение:

Так как сумма углов треугольника составляет 180°, а два угла у равнобедренного треугольника равны, то они не могут равняться 100°. Следовательно, углы при вершинах А и С равны, а угол при вершине В = 100°.

Отсюда следует, что можно составить соотношение:

Ответ: углы равнобедренного треугольника составляют: 100°, 40°, 40°.

Параллельные прямые внутри треугольника

Рис.10 Задача. Найти углы треугольника.

Пример 4

Сумма внешних углов треугольника АВС при вершиах А и В равна 240° (Рис.11). Найдите угол С треугольника АВС.

Решение:

Так как сумма углов α + β + α1 + β1 = 360°, а

α1 + β1 = 240° по условию задачи, то

А так как сумма углов треугольника составляет 180°, то

α + β + γ = 180°, т.е.

И следовательно, γ = 60°

Ответ: угол при вершине С = 60°.

Параллельные прямые внутри треугольника

Рис.11 Задача. Найти угол треугольника.

Пример 5

В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена биссектриса AD. Угол при вершине В составляет 36° (Рис.12). Докажите, что треугольники CDA и ADB равнобедренные.

Доказательство:

Так как по условию задачи треугольник АВС равнобедренный, то углы при вершинах А и С равны:

α = 72°, а так как AD биссектриса, то ∠BAD = ∠DAC, т.е.

Следовательно, треугольник ADB равнобедренный. Углы при вершинах А и В равны 36°.

Теперь рассмотрим треугольник ADC. Угол λ равен:

λ = 180° — (α / 2 + α)

Таким образом, треугольник ADC равнобедренный. Углы при вершинах С и D равны 72°.

Параллельные прямые внутри треугольника

Рис.12 Задача. В равнобедренном треугольнике АВС .

Видео:Параллельные прямые. 6 класс.Скачать

Параллельные прямые. 6 класс.

Через точку, расположенную внутри треугольника, проведены прямые, параллельные сторонам треугольника. Эти прямые разбивают треугольник на три треугольника и три четырёхугольника. Пусть a, b и c — параллельные высоты трёх этих треугольников. Найдите параллельную им высоту исходного треугольника.

Пусть точка M расположена на стороне BC треугольника ABC, а точки K и N — на сторонах AB и AC соответственно, причём MK || AC и MN || AB; KP = a, NQ = b и AR — высоты треугольников BKM, MNC и ABC.

Через точку N проведём прямую, параллельную BC. Предположим, что эта прямая пересекает сторону AB в точке F, расположенной между A и K. Четырёхугольник AKMN — параллелограмм, поэтому AN = KM. Высота AD треугольника ANF равна высоте KP равного ему треугольника KMB, следовательно,

Если точка M лежит внутри треугольника ABC на расстоянии, равном c, от прямой BC, то искомая высота равна сумме трёх данных высот.

Воспользуемся следующим утверждением. Если прямая имеет с параллелограммом XYZT единственную общую точку T, то расстояние от точки Y до этой прямой равно сумме расстояний до этой прямой от точек X и Z.

Пусть точка M расположена на стороне BC треугольника ABC, а точки K и N — на сторонах AB и AC соответственно, причём MK || AC и MN || AB; KP = a, NQ = b и AR — высоты треугольников BKM, MNC и ABC. Тогда прямая BC имеет единственную общую точку M с параллелограммом AKMN. Следовательно,

Если точка M лежит внутри треугольника ABC на расстоянии, равном c, от прямой BC, то искомая высота равна сумме трёх данных высот.

Видео:Задачи на доказательство по геометрии. Признаки параллельности прямых.Скачать

Задачи на доказательство по геометрии. Признаки параллельности прямых.

Треугольник — формулы, свойства, элементы и примеры с решением

Содержание:

Треугольники и его элементы:

Определение: Треугольником называется геометрическая фигура, которая состоит из трех точек (вершин треугольника), не лежащих на одной прямой, и трех отрезков (сторон треугольника), попарно соединяющих эти точки.

Треугольник обозначается знаком Параллельные прямые внутри треугольника

На рисунке 54 изображен треугольник с вершинами А, B, С и сторонами АВ, ВС, АС. Этот треугольник можно обозначить так: Параллельные прямые внутри треугольника

Параллельные прямые внутри треугольника

Определение: Углом треугольника ABC при вершине А называется угол ВАС.

Угол треугольника обозначают тремя буквами (например, «угол ABC») или одной буквой, которая указывает его вершину (например, «угол А треугольника ABC »).

Если вершина данного угла треугольника не принадлежит стороне, то говорят, что данный угол противолежащий этой стороне. В противном случае угол является прилежащим к стороне. Так, в треугольнике ABC угол А — прилежащий к сторонам АВ и АС и противолежащий стороне ВС. Стороны и углы треугольника часто называют его элементами

Определение: Периметром треугольника называется сумма всех его сторон.

Периметр — от греческого «пери» — вокруг и «метрео» — измеряю, измеренный вокруг.

Периметр обозначается буквой Р. По определению — Параллельные прямые внутри треугольникаЛюбой треугольник ограничивает часть плоскости. Будем считать, что точки, принадлежащие этой части, расположены внутри треугольника, а точки, которые ей не принадлежат,— вне треугольника.

Роль треугольника в геометрии трудно переоценить. Ученые не зря называют треугольники клетками организма геометрии. Действительно, многие более сложные геометрические фигуры можно разбить на треугольники.

В этой главе мы не только изучим «внутрен нее устройство» треугольников и выделим их виды, но и докажем признаки, по которым можно установить равенство треугольников, сравнивая их стороны и углы. Полученные в ходе наших рассуждений теоремы и соотношения расширят ваши представления об отрезках и углах, параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости.

В процессе решения задач и доказательства теорем о свойствах треугольников вам предстоит освоить важные геометрические методы, которые помогут в ходе дальнейшего изучения геометрии.

Видео:Параллельные прямые (задачи).Скачать

Параллельные прямые (задачи).

Что такое треугольник

Рассмотрим понятие треугольника. Пусть на плоскости дана трехзвенная замкнутая ломаная. Тогда эта ломаная разделяет множество оставшихся точек плоскости на ограниченную и неограниченную фигуры. При этом ограниченная фигура называется частью плоскости, ограниченной данной ломаной. Например, на рисунке 59, а изображена часть плоскости, ограниченная трехзвенной замкнутой ломаной ABC.

Определение. Треугольником называется геометрическая фигура, состоящая из трехзвенной замкнутой ломаной и части плоскости, ограниченной этой ломаной.

Вершины ломаной называются вершинами треугольника, а звенья ломаной — сторонами треугольника.

Точки треугольника, не принадлежащие его сторонам, называются внутренними.

Треугольник, вершинами которого являются точки А, В и С, обозначается следующим образом: Параллельные прямые внутри треугольникаАВС (читают: «Треугольник ABC»). Этот же треугольник можно обозначать и так: Параллельные прямые внутри треугольникаBСА или Параллельные прямые внутри треугольникаCАВ.

На рисунке 59, а изображен треугольник ABC. Точки А, В и С — вершины этого треугольника, а отрезки AB, ВС и АС — его стороны. На рисунке 59, B показан треугольник AFD, содержащийся в грани куба.

Параллельные прямые внутри треугольника

Углы АBС, АСВ и САВ (см. рис. 59, а) называются внутренними углами треугольника ABC или просто углами треугольника. Иногда они обозначаются одной буквой: Параллельные прямые внутри треугольникаA, Параллельные прямые внутри треугольникаB, Параллельные прямые внутри треугольникаC. Стороны и углы треугольника называются его элементами.

На рисунке 59, в изображены треугольники ABC и ACD, у которых общая сторона АС. Угол ВАС — внутренний угол треугольника ВАС, Параллельные прямые внутри треугольникаACD — внутренний угол треугольника ACD.

Периметром треугольника называется сумма длин всех его сторон. Периметр треугольника ABC обозначается PABC.

Конструкции, имеющие треугольную форму, применяются при строительстве архитектурных сооружений, мостов и жилых зданий. Например, при постройке крыш некоторых домов используются стропила, имеющие форму треугольников (рис. 60, а).

Для треугольников, как и любых геометрических фигур, определяется понятие их равенства.

Два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением, т. е. можно совместить их вершины, стороны и углы.

Рассмотрим пример. Если лист бумаги, имеющий форму прямоугольника, разрезать на две части, как показано на рисунке 60, б, то мы получим модели равных треугольников. Непосредственно можно убедиться, что полученные части можно наложить одна на другую так, что они совместятся.

Параллельные прямые внутри треугольника

Два равных треугольника ABC и A1B1C1 (рис. 60, в) можно совместить так, что попарно совместятся их вершины, стороны и углы. Другими словами, если два треугольника равны, то стороны и углы одного треугольника соответственно равны сторонам и углам другого треугольника. Подчеркнем, что:

  • в равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы;
  • в равных треугольниках против соответственно равных углов лежат равные стороны.

Например, в равных треугольниках ABC и A1B1C1 , изображенных на рисунке 60, в, против равных сторон ВС и В1С1 лежат равные углы А и А1. Против равных углов С и С1 лежат равные стороны AB и A1B1.

Если треугольники ABC и A1B1C1 равны, то это обозначается следующим образом: Параллельные прямые внутри треугольникаABC = Параллельные прямые внутри треугольникаA1B1C1

Заметим, что для установления равенства треугольников необязательно их совмещать один с другим, а достаточно сравнить некоторые их элементы (стороны и углы).

Для доказательства равенства треугольников пользуются соответствующими теоремами (признаками), которые позволяют на основании равенства некоторых элементов треугольников делать вывод о равенстве самих треугольников.

Видео:24. Параллельные линии могут пересекаться. Такое возможно?Скачать

24. Параллельные линии могут пересекаться. Такое возможно?

Определение треугольника

Треугольник — замкнутая ломаная, состоящая из трех звеньев. Или часть плоскости, ограниченная этой ломаной. У каждого треугольника три стороны, три вершины и три угла. Сумма длин сторон треугольника — его периметр.

Сумма углов треугольника равна 180°.

Важную роль в геометрии играют признаки равенства треугольников. Две фигуры называются равными, если их можно совместить. ЕслиПараллельные прямые внутри треугольника, тоПараллельные прямые внутри треугольникаПараллельные прямые внутри треугольника

Три признака равенства треугольников:

Два треугольника равны, если: две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника (I); или если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника (II); или если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника (III).

Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным. Равные стороны равнобедренного треугольники называются боковыми сторонами, а третья — его основанием.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Если два угла треугольника равны, то он равнобедренный.

Если у треугольника все стороны равны, его называют равно сторонним треугольником. Каждый угол равностороннего треугольника равен 60°.

В зависимости от углов треугольники делят на остроуголь ные, прямоугольные, и тупоугольные. Сторону прямоугольного треугольника, лежащую против прямого угла, называют гипотенузой, а две другие — катетами.

Каждая сторона треугольника меньше суммы двух другим его сторон и больше их разности. Какие бы ни были три точки плоскости А, В и С, всегда АВ + ВС > АС.

В каждом треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла — большая сторона.

Если три точки, не лежащие на одной прямой, соединить отрезками, получится треугольник. Другими словами: треугольник — это замкнутая ломаная из трех звеньев. На рисунке 119 изображён треугольник ABC (пишут: Параллельные прямые внутри треугольника). Точки А, В, С — вершины, отрезки АВ, ВС и СА — стороны этого треугольника. Каждый треугольник имеет три вершины и три стороны.

Параллельные прямые внутри треугольника

Много разных моделей треугольников можно увидеть в подъемных кранах, заводских конструкциях, различных архитектурных строениях (рис. 120).

Параллельные прямые внутри треугольника

Сумму длин всех сторон треугольника называют его периметром.

Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон. Почему?Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой его противолежащей стороны, — медиана треугольника. Отрезок биссектрисы угла треугольника от его вершины до противолежащей стороны — биссектриса треугольника. Перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, которой принадлежит его противолежащая сторона, — высота треугольника. На рисунке 121 изображен Параллельные прямые внутри треугольника, в котором из вершины С проведены: медиана СМ, биссектриса CL и высота СН.

Параллельные прямые внутри треугольника

Каждый треугольник имеет три медианы, три биссектрисы и три высоты.

Треугольник разделяет плоскость на две области: внутреннюю и внешнюю. Фигура, состоящая из треугольника и его внутренней области, также называется треугольником.

Углами треугольника ABC называют углы ВАС, ABC и АСИ. Их обозначают еще так: Параллельные прямые внутри треугольника. Каждый треугольник имеет три угла.

Если треугольник имеет прямой или тупой угол, его называют соответственно прямоугольным или тупоугольным треугольником. Треугольник, все углы которого острые, называется остроугольным. На рисунке 122 изображены остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники. Их внутренние области закрашены.

Параллельные прямые внутри треугольника

Словом треугольник геометры называют два разных понятия: и замкнутую ломаную из трех звеньев, и такую ломаную вместе с ограниченной ею внутренней частью плоскости. Подобно тому, как стороной треугольника иногда называют отрезок, иногда — длину этого отрезка, высотой треугольника называют и определенный отрезок, и его длину.

Так делают для удобства: чтобы каждый раз не говорить, например, «длина высоты треугольника равна 5 см», договорились говорить проще: «высота треугольника равна 5 см».

Каждый многоугольник можно разрезать на несколько треугольников. Поэтому треугольники в геометрии играют такую важную роль, как атомы в физике, как кирпичи в доме. Существует даже отдельная часть геометрии, интересная и содержательная: геометрия треугольника.

Пример:

На сколько частей могут разбивать плоскость два ее треугольника?

Решение:

Если два треугольника расположены в одной плоскости, то они могут разбить ее максимум на 8 частей (рис. 123). Мысленно передвигая один из двух данных треугольников так, чтобы сначала один из образованных их пересечением треугольник превратился в точку, потом-второй и т. д., убеждаемся, что два треугольника могут разбивать плоскость на 3, 4, 5, 6, 7, 8 частей (рис. 124). Лишь когда два треугольника равны и совмещены друг с другом, они разбивают плоскость на 2 части.

Параллельные прямые внутри треугольника

Пример:

Среднее арифметическое всех сторон треугольника равно т. Найдите периметр треугольника.

Решение:

Если a, b, c — стороны треугольника, а Р — его периметр , то
Параллельные прямые внутри треугольника

Сумма углов треугольника

Теорема: Сумма углов треугольника равна 180°

Доказательство:

Пусть ABC — произвольный треугольник (рис. 127). Через его вершину С проведем прямую КР, параллельную АВ.

Параллельные прямые внутри треугольника

11олученные углы АСК и ВСР обозначим цифрами 1 и 2. ТогдаПараллельные прямые внутри треугольникакак внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых АВ и КР и секущих АС и ВС. Углы 1, 2 и С в сумме равны развернутому углу, то есть 180°. Поэтому

Параллельные прямые внутри треугольника

В доказанной теореме 8 речь идет о сумме мер углов треугольника. Но для упрощения формулировок вместо «мера угла» часто употребляют слово «угол».

Треугольник не может иметь два прямых или два тупых угла, В каждом треугольнике по крайней мере два угла — острые.

Иногда кроме углов треугольника (внутренних) рассматривают также его внешние углы. Внешним углом треугольника называют угол, образованный стороной треугольника и продолжением его другой стороны. Например, внешним углом треугольника ABC при вершине А является угол КАС (рис. 128).

Параллельные прямые внутри треугольника

Теорема: Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.

Параллельные прямые внутри треугольника

Параллельные прямые внутри треугольникаПараллельные прямые внутри треугольника

Параллельные прямые внутри треугольникаВНИМАНИЕ! При каждой вершине треугольника можно построить два внешних угла, продлив ту или иную его сторону. Например, каждый из углов КАС и РАВ — внешний угол треугольника ABC при вершине А (рис. 129). Такие два внешних угла — вертикальные, поэтому равны друг другу.

Теорему о сумме углов треугольника можно обобщить и распространить на произвольные многоугольники.

Каждый четырехугольник можно разрезать на два треугольника, соединив его противолежащие вершины отрезком. (Если один из углов четырехугольника больше развернутого, то именно его вершину следует соединить с противолежащей, как на рисунке 130.) Сумма всех углов четырех- ‘ угольника равна сумме всех углов двух образованных треугольников, то есть 180° • 2. Таким образом, сумма углов любого четырехугольника равна 360°.

Параллельные прямые внутри треугольника

Произвольный пятиугольник можно разрезать на четырехугольник и треугольник или на 3 треугольника (рис. 131). Таким образом, сумма углов пятиугольника равна 180° • 3, то есть 540°.

Параллельные прямые внутри треугольника

Попробуйте написать формулу, по которой можно вычислить сумму углов произвольного n-угольника.

Пример №1

Чему равна сумма внешних углов треугольника, взятых при каждой вершине по одному?

Решение:

Пусть ABC — произвольный треугольник. Обозначим его внешние углы 1, 2 и 3 (рис. 132). Согласно теореме о внешнем угле треугольника

Параллельные прямые внутри треугольника

Сложив отдельно левые и правые части этих равенств, получим:

Параллельные прямые внутри треугольника

Параллельные прямые внутри треугольника

Параллельные прямые внутри треугольника

Пример №2

Докажите, что в каждом треугольнике есть угол не больше 60° и угол не меньше 60°.

Решение:

Если бы каждый угол треугольника был меньше 60°, то сумма всех его углов составляла бы меньше 180°, а это невозможно. Если бы каждый угол треугольника был больше 60°, то сумма всех его углов была бы больше 180°, что также невозможно.

Следовательно, в каждом треугольнике есть угол не ‘ больше 60° и угол не меньше 60°.

О равенстве геометрических фигур

На рисунке 136 изображены два треугольника. Представьте, что один из них начерчен на бумаге, и второй — на прозрачной пленке. Передвигая пленку, второй треугольник можно совместить с первым. Говорят: если данные треугольники можно совместить движением, то они равны. Равными друг другу бывают не только треугольники, но и отрезки, углы, окружности и другие фигуры.

Изображенные на рисунке 137 фигуры тоже равны, потому что их можно совместить, согнув лист бумаги по прямой I. Л фигуры, изображенные на рисунке 138, не равны, их нельзя Совместить.
Для обозначения равных фигур используют знак равенства Параллельные прямые внутри треугольника. Например, Параллельные прямые внутри треугольника

Параллельные прямые внутри треугольника

Если каждая из двух фигур равна третьей, то первая и вторая фигуры также равны.

С равными фигурами часто приходится иметь дело многим специалистам. В форме равных прямоугольников изготовляют листы жести, фанеры, стекла, облицовочную плитку, паркетины и т. д. Равны все листы бумаги из одной пачки, соответствующие детали двух машин одной марки.Чтобы выяснить, равны ли две фигуры, можно попробовать их совместить. Но на практике это не всегда удается осуществить. Например, таким способом нельзя определить, равны ли два земельных участка. Поэтому приходится искать другие способы, выявлять признаки равенства тех или иных фигур. Например, если радиусы двух окружностей равны, то равны и сами окружности. Это — признак равенства окружностей. В следующем параграфе мы рассмотрим признаки равенства треугольников.

Треугольник с вершинами А, В и С можно обозначать по-разному: Параллельные прямые внутри треугольникаи т. д. Однако для удобства договоримся, что когда пишут Параллельные прямые внутри треугольника, то подразумевают, что Параллельные прямые внутри треугольникаАВ = КР, АС = КТ, ВС = РТ.

Слово равенство в математике и других науках употребляется достаточно часто. Говорят, в частности, о равенстве чисел, равенстве выражений, равенстве значений величин. Равенство геометрических фигур — это отношение. Оно имеет следующие свойства:

  1. каждая фигура равна самой себе;
  2. если фигура А равна фигуре В, то и фигура В равна А;
  3. если фигура А равна В, а фигура В равна С, то фигуры А и С также равны.

Нередко из равенства одних фигур либо величин следует и равенство других фигур либо величин, но — не всегда. Например, если треугольники равны, то и их периметры равны. Однако если периметры двух треугольников равны, то это еще не значит, что равны и сами треугольники. То же самое: если треугольники равны, то и их площади равны. Но если площади двух треугольников равны, это еще не означает, что и треугольники равны.

Очень часто для обоснования равенства тех или иных фигур необходимо обосновать равенство некоторых треугольников. Вот почему вопросу о равенстве треугольников в геометрии придают такое важное значение: большинство теорем школьной геометрии доказывают, используя признаки равенства треугольников.

Пример №3

Равны ли углы, изображенные на рисунке 139?

Решение:

Стороны угла — лучи. Хотя на рисунке они изображены неравными отрезками, но следует представить их в виде бесконечных лучей. Поскольку каждый из этих углов имеет 35° (проверьте), то они равны.

Пример №4

Докажите, что треугольники не могут быть равными, если не равны их наибольшие углы.

Решение:

Пусть у треугольников ABC и КРТ

Параллельные прямые внутри треугольника. Если бы данные треугольники были равны, их можно было бы совместить. Тогда наибольший угол А треугольника ABC совместился бы с наибольшим углом К треугольника КРТ. Это невозможно, поскольку Параллельные прямые внутри треугольника. Значит, данные треугольники не могут быть равными.

Параллельные прямые внутри треугольника

Признаки равенства треугольников

Если треугольники ABC и Параллельные прямые внутри треугольникавины друг другу, то их можно совместить. При этом если совместятся вершины Параллельные прямые внутри треугольникаи то совместятся и стороны:Параллельные прямые внутри треугольника Параллельные прямые внутри треугольникаЗначит, если Параллельные прямые внутри треугольникато Параллельные прямые внутри треугольника,Параллельные прямые внутри треугольникаЧтобы доказать, что данные треугольники равны, не обязательно убеждаться в истинности всех шести равенств.

Теорема: (первый признак равенства треугольников). Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Пусть Параллельные прямые внутри треугольника— два треугольника, у которыхПараллельные прямые внутри треугольника, Параллельные прямые внутри треугольникаПараллельные прямые внутри треугольника(рис. 1;46). Докажем, что Параллельные прямые внутри треугольникаПараллельные прямые внутри треугольника

Наложим Параллельные прямые внутри треугольникатаким образом, чтобы вершина Параллельные прямые внутри треугольникасовместилась А, вершина Параллельные прямые внутри треугольника— с В, а сторона Параллельные прямые внутри треугольниканаложилась на луч АС. Это можно сделать, потому что по условиюПараллельные прямые внутри треугольникаПараллельные прямые внутри треугольника. Поскольку Параллельные прямые внутри треугольника, то при таком положении точка Параллельные прямые внутри треугольникасовместится с С. В результате все вершины Параллельные прямые внутри треугольникасовместятся с соответствующими вершинами

Параллельные прямые внутри треугольника

Параллельные прямые внутри треугольника

Теорема: (второй признак равенства треугольников). Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Параллельные прямые внутри треугольника

Параллельные прямые внутри треугольникаПараллельные прямые внутри треугольника

*Существуют также и другие признаки равенства треугольников (см. теорему 14).
На признаки равенства треугольников нам придется ссылаться часто. Чтобы не путать, какой из них назвали первым, какой — вторым и т. д., их лучше всего различать по смыслу, говорить о признаке равенства треугольников:

  1. по двум сторонам и углу между ними;
  2. по стороне и двум прилежащим углам,
  3. по трем сторонам (его докажем позже).

Эти признаки равенства треугольников называют общими признаками, поскольку они верны для любых треугольников. Кроме них, есть еще признаки равенства прямоугольных треугольников, равнобедренных треугольников и др.

Два равносторонних треугольника равны, если сторона одного из них равна стороне другого.

Попробуйте доказать этот признак, воспользовавшись общими признаками.

Пример №5

Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О так, что АО = OD и СО = ОВ. Докажите, что АС = BD.

Решение:

Рассмотрим треугольники АСО и DBO (рис. 148). Их углы при вершине О вертикальные, значит, равны. Соответственные стороны тоже равны:

АО = OD, СО = ОВ. По первому признаку равенства треугольников Параллельные прямые внутри треугольника

Параллельные прямые внутри треугольникаСтороны АС и BD этих треугольников соответственные, поскольку лежат против равных углов при вершине О. Следовательно, АС = BD.

Параллельные прямые внутри треугольника

Пример №6

Две стороны треугольника равны. Докажите, что и медианы, проведенные к этим сторонам, также равны.

Параллельные прямые внутри треугольника

Решение:

Пусть у Параллельные прямые внутри треугольникасторона АВ = АС, а ВК и СР — медианы (рис. 149). АР = = АК, как половины равных сторон. Параллельные прямые внутри треугольника, поскольку АВ = = АС, АК = АР и угол А общий. Следовательно, ВК = СР.

Равнобедренный треугольник

Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Равные стороны равнобедренного треугольника называют боковыми сторонами, а третью его сторону — основанием.

Треугольник, не являющийся равнобедренным, называют разносторонним. Треугольник, у которого все стороны равны, называют равносторонним. Это отдельный вид равнобедренного треугольника (рис. 161).

Параллельные прямые внутри треугольника

Теорема: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, а биссектриса, проведенная к основанию, является и медианой, и высотой.

Доказательство:

Пусть ABC — равнобедренный треугольник с основанием ВС (рис. 162). Биссектриса AL разбивает его на треугольники ABL и ACL. Поскольку АВ = AC, AL — общая сторона, Параллельные прямые внутри треугольникаПараллельные прямые внутри треугольника, то по двум сторонам и углу между ними Параллельные прямые внутри треугольника. Из равенства этих треугольников следует:

а) Параллельные прямые внутри треугольника, то есть углы при основании Параллельные прямые внутри треугольникаравны;

б) BL = CL, то есть AL — медиана Параллельные прямые внутри треугольника

в) Параллельные прямые внутри треугольника, Параллельные прямые внутри треугольника

Параллельные прямые внутри треугольника

Теорема: Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

Доказательство:

Пусть в Параллельные прямые внутри треугольника(рис. 162). Докажем, что АВ =АС. Проведем биссектрису AL. Она делит данный треугольник И я два: Параллельные прямые внутри треугольникаУ нихПараллельные прямые внутри треугольника, Поэтому Параллельные прямые внутри треугольника. По стороне AL и прилежащим к ней углам Параллельные прямые внутри треугольника. Следовательно, Параллельные прямые внутри треугольника

Из теорем 9 и 10 вытекает такое следствие.

В треугольнике против равных сторон лежат равные углы, а против равных углов — равные стороны.

Равнобедренный — это имеющий равные бедра. Равные стороны — словно ноги.

Как соотносятся между собой треугольники и равнобедренные треугольники? Равнобедренные треугольники составляют только часть всех треугольников. Говорят, что объем понятия «треугольники» больше объема понятия «равнобедренные треугольники». Такие соотношения принято наглядно изображать диаграммами Эйлера (рис. 163). Те треугольники, которые не являются равнобедренными, называют разносторонними треугольниками. Следовательно, общее понятие «треугольники»можно разделить на два класса: треугольники равнобедренные и треугольники разносторонние (рис. 164):
Параллельные прямые внутри треугольника

Пример №7

Две стороны равнобедренного треугольника равны соответственно 2 см и б см. Найдите длину третьей его стороны.

Решение:

Основание данного треугольника не может быть равно б см, поскольку 2 см + 2 см против равных сторон лежат равны’ углы. Поэтому Параллельные прямые внутри треугольника

Параллельные прямые внутри треугольника

Равенство углов BAD и BCD можно доказать двумя способами: либо показать, что каждый из них состоит из двух равных углов Параллельные прямые внутри треугольника Параллельные прямые внутри треугольника(рис. 175), либо проведя отрезок BD.

Параллельные прямые внутри треугольника

Пример №10

На окружности с центром О обозначены точки А, В, К и Р такие, что АВ = КР (рис. 176). Докажите, что Параллельные прямые внутри треугольника

Решение:

Проведя в данные точки радиусы, получим треугольники АОВ и КОР. Они равны по трем сторонам, поскольку АВ = КР по условию и ОА = OB = OK = ОР — как радиусы. Поэтому Параллельные прямые внутри треугольника

Параллельные прямые внутри треугольника

Прямоугольный треугольник

Треугольник называется прямоугольным, если один из его углов прямой Сумма двух других его углов равна 90° поскольку 180° — 90° = 90°.

Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, — эп гипотенуза, две другие его стороны катеты (рис. 182). На рисунке прямо! угол иногда обозначают квадратиком. В каждом прямоугольном треугольнике гипотенуза больше каждого из катетов.

Параллельные прямые внутри треугольника

Позже нам будут необходимы признаки равенства прямо угольных треугольников. Из первого и второго признаков равенства треугольников (§ 12) непосредственно следуют таки АС.

Стороны АВ и АС не могут быть равными, потому что тогда данный треугольник был бы равнобедренным и один из его углов при основании не мог бы быть больше другого.

Не может сторона АВ быть и меньше АС, поскольку тогда угол С был бы меньше угла В. А поскольку сторона АВ не равна АС и не меньше АС, то она больше АС.Параллельные прямые внутри треугольника

  1. В каждом прямоугольном треугольнике гипотенуза длиннее каждого катета.
  2. Перпендикуляр, проведенный из какой-либо точки к прямой, короче любой наклонной, проведенной и: Параллельные прямые внутри треугольника. Если представить, что фигура Параллельные прямые внутри треугольникаизображена на прозрачной пленке, то с помощью наложения этой пленки на фигуру Параллельные прямые внутри треугольника(той или другой стороной (рис. 55, а, б) можно совместить фигуры Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольника. В таком случае фигуры Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольникапо определению равны.

Параллельные прямые внутри треугольника

Для обозначения равенства фигур используют знак математического равенства Параллельные прямые внутри треугольникаЗапись Параллельные прямые внутри треугольникаозначает «фигура Параллельные прямые внутри треугольникаравна фигуре Параллельные прямые внутри треугольника »

Рассмотрим равные треугольники Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольника(рис. 56).

По определению, такие треугольники можно совместить наложением. Очевидно, что при наложении соответственно совместятся стороны и углы этих треугольников, то есть каждому эле менту треугольника Параллельные прямые внутри треугольникабудет соответствовать равный элемент треугольника Параллельные прямые внутри треугольника. Условимся, что в записи Параллельные прямые внутри треугольникамы будем упорядочивать названия треугольников так, чтобы вершины равных углов указывались в порядке соответствия. Это означает: если Параллельные прямые внутри треугольника, то Параллельные прямые внутри треугольникаПараллельные прямые внутри треугольника

Таким образом, из равенства двух треугольников вытекают шесть равенств соответствующих элементов: три — для углов и три — для сторон. На рисунках соответственно равные стороны обычно обозначают одинаковым количеством черточек, Рис. 56. Треугольники а соответственно равные углы — одинаковым ко личеством дужек (рис. 56).

Параллельные прямые внутри треугольника

А верно ли, что треугольники, имеющие соответственно равные стороны и углы, совмещаются наложением? Можно ли по равенству некоторых соответствующих элементов доказать равенство самих треугольников? Ответить на эти вопросы мы попытаемся в дальнейшем.

[1] Существование треугольника, равного данному, является одной из аксиом планиметрии. Эта аксиома приведена в Приложении 1.

Первый признак равенства треугольников и его применение

Первый признак равенства треугольников

В соответствии с определением равных фигур, два треугольника равны, если они совмещаются наложением. Но на практике наложить один треугольник на другой не всегда возможно. Например, таким образом невозможно сравнить два земельных участка. Значит, возникает необходимость свести вопрос о равенстве треугольников к сравнению их сторон и углов. Но нужно ли для установления равенства сравнивать все шесть элементов данных треугольников? Бели нет, то какие именно элементы двух треугольников должны быть соответственно равными, чтобы данные треугольники были равны? Ответ на этот вопрос дают признаки равенства треугольников.

Докажем первый из этих признаков.

Теорема: (первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними)

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Пусть даны треугольники Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольника, у которых Параллельные прямые внутри треугольникаПараллельные прямые внутри треугольника(рис. 58). Докажем, что Параллельные прямые внутри треугольника

Параллельные прямые внутри треугольника

Поскольку Параллельные прямые внутри треугольникато треугольник Параллельные прямые внутри треугольникаможно наложить на треугольник Параллельные прямые внутри треугольникатак, чтобы точки Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольникасовместились, а стороны Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольниканаложились на лучи Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольникасоответственно. По условию Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольника, следовательно, сторона Параллельные прямые внутри треугольникасовместится со стороной Параллельные прямые внутри треугольника, а сторона Параллельные прямые внутри треугольника— со стороной Параллельные прямые внутри треугольника. Таким образом, точка Параллельные прямые внутри треугольникасовместится с точкой Параллельные прямые внутри треугольника, а точка Параллельные прямые внутри треугольника— с точкой Параллельные прямые внутри треугольника, то есть стороны Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольникатакже совместятся. Значит, при наложении треугольники Параллельные прямые внутри треугольника, совместятся полностью. Итак, Параллельные прямые внутри треугольникапо определению. Теорема доказана.

Пример №14

Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. Докажите равенство треугольников АОС и BOD (рис. 59).

Параллельные прямые внутри треугольника

Решение:

В треугольниках АОС и BOD АО = ВО и СО = DO по условию, Параллельные прямые внутри треугольникапо теореме о вертикальных углах. Таким образом, Параллельные прямые внутри треугольникапо первому признаку равенства треугольников.

Практическое значение доказанной теоремы очевидно из такого примера.

Пусть на местности необходимо определить расстояние между точками А и С, прямой проход между которыми невозможен (рис. 60). Один из способов измерения следующий: на местности выбирают некоторую точку О, к которой можно пройти из точек А , С, В, D, и на лучах АО и СО откладывают отрезки ВО=АО и DO = СО.

Параллельные прямые внутри треугольника

Тогда, согласно предыдущей задаче, Параллельные прямые внутри треугольникапо первому признаку равенства треугольников. Отсюда следует, что искомое расстояние АС равно расстоянию BD, которое можно измерить.

Опровержение утверждений. Контрпример

Проанализируем первый признак равенства треугольников. Согласно ему для доказательства равенства двух треугольников достаточно доказать равенство трех пар соответствующих элементов — двух сторон и угла между ними. Требование того, чтобы равные углы обязательно лежали между равными сторонами, является очень важным.

Действительно, рассмотрим треугольники ABC и А1В1С1 (рис. 61). Они имеют две пары соответственно равных сторон (АВ = А1В1, ВС = В1С1), но равные углы Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольникалежат не между равными сторонами, поэтому данные треугольники не равны.

Параллельные прямые внутри треугольника

С помощью приведенного примера мы показали, что утверждение «Если две стороны и некоторый угол одного треугольника соответственно равны двум сторонам и некоторому углу другого треугольника, то такие треугольники равны» является ошибочным. Иначе говоря, мы опровергли это утверждение конкретным примером. Такой пример, с помощью которого можно показать, что некоторое общее утверждение является неправильным, называется контрпримером. Принцип построения контрпримера для опровержения неправильного утверждения довольно прост: нужно смоделировать ситуацию, когда условие утверждения выполняется, а заключение — нет.

Контрпример — от латинского «контра» — против

Изобразим схематически опровержение утверждения с помощью контрпримера.

УТВЕРЖДЕНИЕ Если А, то В

КОНТРПРИМЕР А, но не В

Контрпримеры используются только для опровержения неправильных утверждений, но не для доказательства правильных. Заметим также, что не всякое ошибочное утверждение можно опровергнуть контрпримером. Если для опровержения некоторого утверждения не удалось подобрать контрпример, это не означает, что данное утверждение верно.

Опровержение утверждений с помощью контрпримеров применяется не только в математике. Пусть, например, некто утверждает, что все птицы, которые водятся в Украине, осенью улетают на юг. Это утверждение можно опровергнуть, приведя в качестве контрпримера воробьев. А опровергнуть утверждение «В русском языке нет существительного, в котором содержались бы пять согласных подряд» можно с помощью самого слова «контрпример » .

Перпендикуляр к прямой

9.1. Существование и единственность прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой

Признаки равенства треугольников применяются не только для решения задач, но и для доказательства новых геометрических утверждений, в частности и тех, в формулировках которых не упоминается треугольник. Докажем с помощью первого признака равенства треугольников теорему о прямой, проходящей через данную точку плоскости перпендикулярно данной прямой.

Теорема (о существовании и единственности перпендикулярной прямой) Через любую точку плоскости можно провести прямую, перпендикулярную данной, и только одну.

Перед началом доказательства теоремы проанализируем ее формулировку. Теорема содержит два утверждения:

  1. существует прямая, проходящая через данную точку плоскости и перпендикулярная данной прямой;
  2. такая прямая единственна.

Первое утверждение теоремы говорит о существовании прямой с описанными свойствами, второе — о ее единственности. Каждое из этих утверждений необходимо доказать отдельно.

Рассмотрим сначала случай, когда данная точка не лежит на данной прямой.

1) Существование. Пусть даны прямая Параллельные прямые внутри треугольникаи точка А , не лежащая на данной прямой. Выберем на прямой Параллельные прямые внутри треугольникаточки В и М так, чтобы угол АВМ был острым (рис. 67).

Параллельные прямые внутри треугольника

С помощью транспортира отложим от луча ВМ угол СВМ, равный углу АВМ так, чтобы точки А и С лежали по разные стороны от прямой Параллельные прямые внутри треугольника. На луче ВС отложим отрезок ВА1 , равный отрезку ВА , и соединим точки А и D. Пусть D — точка пересечения отрезка Параллельные прямые внутри треугольника, с прямой Параллельные прямые внутри треугольника.

Рассмотрим треугольники Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольника. Они имеют общую сторону BD, a Параллельные прямые внутри треугольника Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольникапо построению. Таким образом, Параллельные прямые внутри треугольникапо первому признаку равенства треугольников. Отсюда следует, что Параллельные прямые внутри треугольникаНо эти углы смежные, поэтому по теореме о смежных углах Параллельные прямые внутри треугольникаПараллельные прямые внутри треугольника. Итак, прямая Параллельные прямые внутри треугольникаперпендикулярна прямой Параллельные прямые внутри треугольника.

2) Единственность. Применим метод доказательства от противного.

Пусть через точку А проходят две прямые Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольникаперпендикулярные прямой Параллельные прямые внутри треугольника(рис. 68). Тогда по теореме о двух прямых, перпендикулярных третьей, Параллельные прямые внутри треугольника. Но это невозможно, поскольку прямые Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольникаимеют общую точку А. Итак, наше предположение неверно, то есть прямая, проходящая через точку А перпендикулярно прямой Параллельные прямые внутри треугольника, единственна.

Параллельные прямые внутри треугольникаПараллельные прямые внутри треугольника

Теперь рассмотрим случай, когда точка А лежит на прямой Параллельные прямые внутри треугольника. От любой полупрямой прямой Параллельные прямые внутри треугольникас начальной точкой А можно отложить прямой угол (рис. 69). Отсюда вытекает существование перпендикулярной прямой, содержащей сторону этого угла.

Доказательство единственности такой прямой повторяет доказательство, представленное выше. Теорема доказана.

Утверждения о существовании и единственности уже встречались нам в аксиомах, но необходимость доказывать их возникла впервые. В математике существует целый ряд теорем, аналогичных доказанной (их называют теоремами существования и единственности). Общий подход к таким теоремам состоит в отдельном доказательстве каждого из двух утверждений.

Необходимость двух отдельных этапов доказательства в шутку можно пояснить так: утверждение «У дракона есть голова» не означает, что эта голова единственная. Доказательство существования определенного объекта чаще всего сводится к описанию способа его получения. Единственность обычно доказывают методом от противного.

Перпендикуляр. Расстояние от точки до прямой

Определение:

Перпендикуляром к данной прямой, проведенным из точки А, называется отрезок прямой, перпендикулярной данной, одним из концов которого является точка А а вторым (основанием перпендикуляра) — точка пересечения этих прямых.

На рисунке 70 отрезок АВ является перпендикуляром к прямой а, проведенным из точки А . Точка В — основание этого перпендикуляра. Поскольку по предыдущей теореме через точку А можно провести единственную прямую, перпендикулярную прямой а, то отрезок АВ — единственный перпендикуляр к прямой а, проведенный из точки А.

Параллельные прямые внутри треугольника

Из доказанной теоремы следует, что из точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и только один.

Это утверждение называют теоремой о существовании и единственности перпендикуляра к прямой.

Определение:

Расстоянием от точки до прямой, не проходящей через эту точку, называется длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую.

Иногда расстоянием от точки до прямой называют сам этот перпендикуляр. Таким образом, отрезок АВ (см. рис. 70) является расстоянием от точки А до прямой а.

Пример №15

Точки А и С лежат по одну сторону от прямой а, АВ и CD — расстояние от данных точек до прямой а, причем АВ = CD (рис. 71). Докажите, что AD = СВ.

Параллельные прямые внутри треугольника

Решение:

Рассмотрим треугольники ABD и CDB. У них сторона ВD общая, АВ = CD по условию. По определению расстояния от точки до прямой АВ и CD — перпендикуляры к прямой а, то есть Параллельные прямые внутри треугольникаТогда Параллельные прямые внутри треугольникапо первому признаку равенства треугольников. Из этого следует, что AD = СВ, что и требовалось доказать.

Второй признак равенства треугольников и его применение

Второй признак равенства треугольников

В первом признаке равенства треугольников равенство двух треугольников было доказано по трем элементам: двум сторонам и углу между ними. Однако это не единственный возможный набор элементов, равенство которых гарантирует равенство треугольников. Еще один такой набор — это сторона и прилежащие к ней углы.

Теорема: (второй признак равенства треугольников — по стороне и прилежащим к ней углам)

Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника соответственно равны стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Пусть даны треугольники Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольника, у которых Параллельные прямые внутри треугольника, Параллельные прямые внутри треугольникаПараллельные прямые внутри треугольника(рис. 72). Докажем, что Параллельные прямые внутри треугольника

Параллельные прямые внутри треугольника

Поскольку Параллельные прямые внутри треугольника, то треугольник Параллельные прямые внутри треугольникаможно наложить на треугольник Параллельные прямые внутри треугольникатак, чтобы сторона АС совместилась со стороной Параллельные прямые внутри треугольника, а точки Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольникалежали по одну сторону от прямой Параллельные прямые внутри треугольника. По условию Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольника, поэтому сторона Параллельные прямые внутри треугольниканаложится на луч Параллельные прямые внутри треугольника, а сторона Параллельные прямые внутри треугольника— на луч Параллельные прямые внутри треугольника. Тогда точка Параллельные прямые внутри треугольника— общая точка сторон Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольника— будет лежать как на луче Параллельные прямые внутри треугольника, так и на луче Параллельные прямые внутри треугольника, то есть совместится с общей точкой этих лучей — точкой В. Таким образом, совместятся стороны Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольника, а также Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольника. Значит, при наложении треугольники Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольника, совместятся полностью, то есть по определению Параллельные прямые внутри треугольника. Теорема доказана.

Решение геометрических задач «от конца к началу»

Рассмотрим пример применения второго признака равенства треугольников для решения задачи.

Пример №16

На рисунке 73 Параллельные прямые внутри треугольникаНайдите угол D если Параллельные прямые внутри треугольника

Параллельные прямые внутри треугольника

Прежде чем привести решение этой задачи, попытаемся ответить на вопрос: как именно надо рассуждать, чтобы найти путь к нему?

  1. Сначала проанализируем вопрос задачи. Нам необходимо найти градусную меру угла D. Очевидно, что для этого должны быть использованы числовые данные. Мы имеем лишь одно такое условие: Параллельные прямые внутри треугольника. Таким образом, можно предположить, что углы B и D должны быть как-то связаны. Как именно?
  2. Заметим, что углы В и D являются углами треугольников ABC и ADC соответственно, причем оба эти угла противолежат стороне АС . Отсюда возникает идея о том, что углы B и D могут быть равными, и их равенство может следовать из равенства треугольников ABC и ADC .
  3. Следующий шаг рассуждений: действительно ли треугольники ABC и ADC равны? Если да, то на основании какого признака можно доказать их равенство? Здесь на помощь приходят другие данные задачи — равенства углов: Параллельные прямые внутри треугольника. Как вы уже знаете, две пары соответственно равных углов рассматриваются в формулировке второго признака равенства треугольников, то есть следует попробовать применить именно его.
  4. Для окончательного определения хода решения задачи осталось ответить на вопрос: каких еще данных нам не достает для применения второго признака равенства треугольников? Откуда их можно получить? Отметим, что углы 1 и 3 треугольника ABC, а также углы 2 и 4 треугольника ADC являются прилежащими к сторонеАС, которая, кроме того, является общей стороной данных треугольников.

Итак, путь определен, и остается лишь записать решение, повторяя рассуждения в обратном порядке — от 4-го к 1-му пункту.

Решение:

Рассмотрим треугольники ABC и АDС . В них сторона АС общая, Параллельные прямые внутри треугольникапо условию, и эти углы прилежат к стороне АС. Таким образом, Параллельные прямые внутри треугольникапо второму признаку равенства треугольников.

Углы В и D — соответственно равные углы равных треугольников.

Значит, Параллельные прямые внутри треугольника

Ответ: 110°.

Отметим, что в рассуждениях 1) — 4) мы начинали с вопроса задачи, а затем использовали ее условия, то есть шли «от конца к началу». Во многих геометрических задачах именно такой способ рассуждений позволяет найти правильный путь к решению.

Пример №17

Докажите, что середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами другого равнобедренного треугольника.

Решение:

Пусть ABC — равнобедренный треугольник с основанием АС, точки D , Е, F — середины сторон АВ, ВС и АС соответственно (рис. 84). Докажем, что треугольник D EF равнобедренный. Рассмотрим треугольники DAF и ECF. У них AD = СЕ как половины равных сторон АВ и СВ, AF = CF (поскольку по условию точка F — середина AC), Параллельные прямые внутри треугольникакак углы при основании равнобедренного треугольника ABC. Следовательно, Параллельные прямые внутри треугольникапо первому признаку равенства треугольников. Тогда отрезки D F = EF как соответствующие стороны равных треугольников, то есть треугольник D EF равнобедренный.

Параллельные прямые внутри треугольника

Признак равнобедренного треугольника

Из предыдущей теоремы следует, что в треугольнике против равных сторон лежат равные углы. Но всегда ли стороны, противолежащие равным углам, должны быть равными? Ответим на этот вопрос следующей теоремой.

Теорема: (признак равнобедренного треугольника) Если в треугольнике два угла равны, те он равнобедренный:

Доказательство:

Пусть в треугольнике ABC Параллельные прямые внутри треугольника. Докажем, что этот треугольник равнобедренный.

Через точку D — середину стороны АС — проведем прямую d , перпендикулярную АС. Пусть эта прямая пересекает луч АВ в точке Параллельные прямые внутри треугольника(рис. 85). Соединим точки Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольникаи рассмотрим треугольники Параллельные прямые внутри треугольника. У них сторона Параллельные прямые внутри треугольникаобщая, Параллельные прямые внутри треугольникаи AD = CD по построению. Таким образом, Параллельные прямые внутри треугольникапо первому признаку. Отсюда Параллельные прямые внутри треугольника, Параллельные прямые внутри треугольника. Поскольку по построению точка Параллельные прямые внутри треугольникалежит на луче АВ, угол Параллельные прямые внутри треугольникасовпадает с углом А треугольника ABC. Тогда по условию теоремы и по доказанному имеем: Параллельные прямые внутри треугольника. Таким образом, по аксиоме откладывания углов углы Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольникасовпадают, то есть точка Параллельные прямые внутри треугольникалежит и на луче СВ. Поскольку лучи АВ и СВ имеют единственную точку пересечения, точки Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольникасовпадают, то есть АВ = СВ. Теорема доказана.

Параллельные прямые внутри треугольника

Если в треуольнике все углы равны, то он равносторонний.

Параллельные прямые внутри треугольника

Отметим, что теперь мы имеем два пути доказательства того, что треугольник равнобедренный:

  1. по определению равнобедренного треугольника (то есть путем доказательства равенства двух сторон);
  2. по признаку равнобедренного треугольника (то есть путем доказательства равенства двух углов).

Пример №18

На продолжении основания АС равнобедренного треугольника ABC отмечены точки D и E, причем AD=CE (рис. 87). Докажите, что треугольник DBE равнобедренный:

Параллельные прямые внутри треугольника

Решение:

Рассмотрим треугольники DAB и ЕСВ. У них AD = СЕ по условию, АВ = СВ как боковые стороны равнобедренного треугольника ABC. По свойству углов при основании равнобедренного треугольника ABC Параллельные прямые внутри треугольникатогда Параллельные прямые внутри треугольникакак углы, смежные с равными углами. Значит, Параллельные прямые внутри треугольникапо первому признаку равенства треугольников.

Завершить доказательство можно одним из двух способов.

1 -й способ. Поскольку Параллельные прямые внутри треугольникато Параллельные прямые внутри треугольникаТаким образом, треугольник DBE равнобедренный по определению.

2-й способ. Поскольку Параллельные прямые внутри треугольникато Параллельные прямые внутри треугольникаТаким образом, треугольник D BE равнобедренный по признаку равнобедренного треугольника;

Прямая и обратная теоремы

Проанализируем две предыдущие теоремы о равнобедренном треугольнике, выделив в каждой из них условие и заключение. Свойство углов равнобедренного треугольника можно сформулировать так: «Если треугольник равнобедренный, то в нем два угла (при основании) равны». Теперь становится очевидным, что условие первой теоремы («треугольник равнобедренный») — это заключение второй, а заключение первой теоремы («в треугольнике два угла равны») — это условие второй теоремы. В таком случае вторая теорема является обратной первой (прямой).

Изобразим наглядно связь прямой и обратной теорем.

ПРЯМАЯ ТЕОРЕМА

Если А то B

ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМА

Если В, то А

Теорема, обратная данной, не обязательно верна. Рассмотрим, например, теорему о вертикальных углах, сформулировав ее так: «Если два угла вертикальные, то они равны». Понятно, что обратная теорема неверна: ведь если два угла равны, то они не обязательно вертикальные.

Немало подобных примеров можно привести и из повседневной жизни. Например, если ученик является семиклассником, то он изучает геомет рию. Обратное утверждение ошибочно: если ученик изучает геометрию, то он не обязательно семиклассник, ведь геометрию изучают и в старших классах. Попробуйте самостоятельно найти примеры прямых и обратных утверждений в других науках, изучаемых в школе.

Таким образом, пользоваться утверждением, обратным доказанной теореме, можно лишь тогда, когда оно также доказано.

Медиана, биссектриса и высота треугольника

Определение медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Помимо сторон и углов, с треугольником связано несколько важных элементов, имеющих специальные названия.

Определение

Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

На рисунке 95 отрезок ВМ является медианой треугольника ABC. В любом треугольнике можно провести три медианы — по одной из каждой вершины. Далее будет доказано, что все они пересекаются в одной точке (рис. 96)

Параллельные прямые внутри треугольникаПараллельные прямые внутри треугольника

Определение:

Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину этого угла с точкой на противолежащей стороне.

На рисунке 97 отрезок BL — биссектриса треугольника ABC. Обратим внимание на то, что, в отличие от биссектрисы угла, являющейся лучом, биссектриса треугольника — отрезок. Очевидно, что любой треугольник имеет три биссектрисы (рис. 98). Все они также пересекаются в одной точке (этот факт будет доказан далее).

Параллельные прямые внутри треугольникаПараллельные прямые внутри треугольника

Определение:

Высотой треугольника называется перпендикуляр. опущенный из вершины треугольника на прямую, которая содержит его противолежащую сторону.

[1] Подчеркнем, что здесь и далее, приводя утверждения, которые будут доказаны позднее, мы не будем ссылаться на них до того момента, когда они будут доказаны.

На рисунке 99 отрезок ВН — высота треугольника ABC.

По теореме о существовании и единственности перпендикуляра к прямой, из каждой вершины треугольника можно провести только одну его высоту. Высоты треугольника не обязательно лежат внутри него. В отличие от медиан и биссектрис, некоторые из высот могут совпадать со сторонами или проходить вне треугольника (рис. 100).

Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке (это утверждение докажем позднее).

Параллельные прямые внутри треугольника

Свойство медианы, биссектрисы и высоты равнобедренного треугольника

Теорема: (свойство медианы, биссектрисы и высоты равнобедренного треугольника)

В равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведенные к основанию, совпадают.

Доказательство:

Доказательство данной теоремы состоит из трех частей.

1) Пусть BD — медиана равнобедренного треугольника ABC , проведенная к основанию АС (рис. 101, а). Докажем, что BD является также биссектрисой и высотой треугольника ABC .

Параллельные прямые внутри треугольникаПараллельные прямые внутри треугольника

Рис. 101 Отрезок DB — медиана, биссектриса и высота равнобедренного треугольника ABC

Рассмотрим треугольники ABD и CBD . У них АВ = СВ по определению равнобедренного треугольника, Параллельные прямые внутри треугольникакак углы при основании равнобедренного треугольника, AD = CD по определению медианы. Следовательно, Параллельные прямые внутри треугольникапо первому признаку равенства треугольников. Из этого вытекает, что Параллельные прямые внутри треугольника, то есть BD — биссектриса треугольника ABC .

Кроме того, Параллельные прямые внутри треугольникаа поскольку эти углы смежные, то оба они прямые. Значит, BD — высота треугольника ABC . Таким образом, отрезок BD — медиана треугольника ABC , проведенная к основанию,— является также биссектрисой и высотой треугольника.

2. Пусть теперь BD — биссектриса равнобедренного треугольника ABC, проведенная к основанию АС (рис. 101, б). Аналогично предыдущему случаю можно доказать, что BD является также медианой и высотой треугольника ABC. Действительно, в этом случае Параллельные прямые внутри треугольникано второму признаку Параллельные прямые внутри треугольникаОтсюда AD=CD, то есть BD — медиана треугольника, и Параллельные прямые внутри треугольника, то есть BD — высота треугольника.

3. Пусть BD — высота треугольника ABC . Докажем от противного, что BD является медианой и биссектрисой данного треугольника. Пусть существуют медиана Параллельные прямые внутри треугольникаи биссектриса Параллельные прямые внутри треугольника, не совпадающие с Параллельные прямые внутри треугольника— Тогда по доказанному выше отрезки Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольникатакже являются высотами треугольника. Таким образом, из точки В к прямой АС проведены три различных перпендикуляра, что противоречит теореме о существовании и единственности перпендикуляра к прямой. Из этого противоречия следует, что отрезки Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольникасовпадают,

то есть BD — медиана и биссектриса данного треугольника.

Итак, в равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведенные к основанию, совпадают.

Медиана — от латинского «медианус» — средний

В равностороннем треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведенные из одной вершины, совпадают.

Теорема, обратная данной, также верна: если в треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведанные из одной вершины, совпадают, то такой треугольник равнобедренный (докажите это утверждение самостоятельно).

На практике для решения задач вместо доказанной теоремы часто используют утверждение с условием совпадения лишь двух из трех указанных отрезков:

  1. если в треугольнике медиана и высота, проведенные из одной вершины, совпадают, то такой треугольник равнобедренный;
  2. если в треугольнике биссектриса и высота, проведенные из одной вершины, совпадают, то такой треугольник равнобедренный;
  3. если в треугольнике медиана и биссектриса, проведенные из одной вершины, совпадают, то такой треугольник равнобедренный. Первые два утверждения докажите самостоятельно. Третье утверждение мы рассмотрим в п. 12.3.

Пример №19

Докажите равенство равнобедренных Треугольников по углу, противолежащему основанию, и медиане, проведенной к основанию

Решение:

Пусть Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольника— данные равнобедренные треугольники с основаниями Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольникаПараллельные прямые внутри треугольника, Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольника— Медианы этих треугольников, причем Параллельные прямые внутри треугольника(рис. 102). Докажем, что Параллельные прямые внутри треугольника

Рассмотрим треугольники Параллельные прямые внутри треугольника. По условию Параллельные прямые внутри треугольника. Поскольку по свойству медианы биссектрисы и высоты равнобедренного треугольника Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольникаявляются также биссектрисами равных углов Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольника, то Параллельные прямые внутри треугольникаотрезки Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольника— высоты равнобедренных треугольников, поэтому Параллельные прямые внутри треугольника90°. Таким образом,Параллельные прямые внутри треугольника, по второму признаку равенства треугольников, откуда Параллельные прямые внутри треугольникатогда и Параллельные прямые внутри треугольника Параллельные прямые внутри треугольникаЗначит, треугольники Параллельные прямые внутри треугольникаравны по перво му признаку равенства треугольников. • . ;

Параллельные прямые внутри треугольника

Дополнительные построения в геометрических задачах. Метод удвоения медианы .

Для решения некоторых геометрических задач необходимо проводить дополнительные построения, то есть достраивать отрезки и углы, не упомянутые в условии задачи. Это нужно для получения вспомогательных фигур, рассмотрение которых позволяет найти или доказать требуемое. Существуют определенные виды дополнительных построений, применяемые чаще других. Один из них мы рассмотрим в следующей задаче.

Пример №20

Если в треугольнике медиана и биссектриса, проведенные из одной вершины, совладают, то такой треугольник равнобедренный. Докажите.

Решение:

Пусть 80 — медиана и биссектриса данного треугольника ABC (рис; 103). Докажем, что треугольник ABC равнобедренный.

Параллельные прямые внутри треугольника

На луче ВD от точки D отложим отрезок Параллельные прямые внутри треугольникаравный BD (то есть удвоим медиану ВО). Рассмотрим треугольники Параллельные прямые внутри треугольникаУ них АD = СD по определению медианы, Параллельные прямые внутри треугольникапо построению, Параллельные прямые внутри треугольникакак вертикальные. Таким образом, Параллельные прямые внутри треугольникапо первому признаку равенства треугольников. Отсюда следует, что Параллельные прямые внутри треугольника Параллельные прямые внутри треугольника. Рассмотрим теперь треугольник Параллельные прямые внутри треугольникаС учетом того, что BD — биссектриса угла ABC , имеем Параллельные прямые внутри треугольникатогда Параллельные прямые внутри треугольникаПо признаку равнобедренного треугольника, треугольник Параллельные прямые внутри треугольникаравнобедренный с основанием Параллельные прямые внутри треугольникаОтсюда Параллельные прямые внутри треугольникаа поскольку по доказанному Параллельные прямые внутри треугольникаТаким образом, треугольник ABC равнобедренный, что и требовалось доказать.

[1] Здесь и далее звездочкой обозначен теоретический материал, изучение которого не является обязательным.

Проанализируем решение этой задачи. Отображение всех данных условия на рисунке не выявило набора элементов, позволяющих сразу начать доказательство. Это обусловило необходимость дополнительного построения, благодаря которому образовался вспомогательный треугольник Параллельные прямые внутри треугольника. Доказав его равенство с треугольником Параллельные прямые внутри треугольника, мы получили дополнительные равенства отрезков и углов и решили задачу.

Дополнительное построение состояло в удвоении отрезка BD . Такое построение используется чаще всего именно для медиан треугольников, поэтому основанн ый на нем метод доказательства называют методом удвоения медианы.

Третий признак равенства треугольников и его применение

Третий признак равенства треугольников

Применим свойства равнобедренного треугольника для доказательства третьего признака равенства треугольников.

Теорема: (третий признак равенства треугольников — по трем сторонам)

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Пусть даны треугольники Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольника, у которых Параллельные прямые внутри треугольника. Докажем, что Параллельные прямые внутри треугольника.

Приложим треугольник Параллельные прямые внутри треугольникак треугольнику Параллельные прямые внутри треугольникатак, чтобы вершина А1 совместилась с вершиной Параллельные прямые внутри треугольника, вершина Параллельные прямые внутри треугольника— с вершиной В, а точки Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольникалежали по разные стороны от прямой АВ. Возможны три случая:

  1. луч Параллельные прямые внутри треугольникапроходит внутри угла АСВ (рис. 107, а);
  2. луч Параллельные прямые внутри треугольникапроходит вне угла АСВ (рис. 107, б);
  3. луч Параллельные прямые внутри треугольникасовпадает с одной из сторон угла АСВ (рис. 107, в).

Параллельные прямые внутри треугольника Параллельные прямые внутри треугольникаПараллельные прямые внутри треугольника

Рис. Прикладывание треугольника Параллельные прямые внутри треугольникак треугольнику Параллельные прямые внутри треугольника

Рассмотрим случаи 1 и 2, Поскольку по условию теоремы Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольника, то треугольники Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольникаравнобедренные с основанием Параллельные прямые внутри треугольника. По свойству равнобедренного треугольника Параллельные прямые внутри треугольника. Тогда Параллельные прямые внутри треугольникакак суммы (или разности) равных углов. Таким образом, Параллельные прямые внутри треугольникапо первому признаку равенства треугольников. В случае 3 равенство углов Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольникаследует из свойства равнобедренного треугольника с основаниемПараллельные прямые внутри треугольника, а дальнейшее доказательство проводится аналогично. Теорема доказана.

Обобщая признаки равенства треугольников, можно увидеть, что во всех трех признаках равенство треугольников следует из равенства трех пар соответствующих элементов. И это не случайно: как правило, треугольник можно задать (построить) именно по трем элементам, но не произвольным, а определяющим единственный треугольник. Например, треугольник однозначно определяется длинами трех его сторон (это следует из только что доказанного третьего признака). Однако, например, градусные меры трех углов не задают треугольник однозначно. Попробуйте самостоятельно построить соответствующий контрпример — два неравных треугольника с соответственно равными углами.

Пример №21

Докажите равенство треугольников по двум сторонам и медиане, проведенной к одной из них.

Решение:

Пусть Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольника— данные треугольники с медианами Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольника, соответственно, причем Параллельные прямые внутри треугольникаПараллельные прямые внутри треугольника(рис. 108). Рассмотрим сначала треугольники Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольникаВ них Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольника, по условию, Параллельные прямые внутри треугольникакак половины равных сторон Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольникато есть Параллельные прямые внутри треугольникапо третьему признаку. Отсюда, в частности, следует, что Параллельные прямые внутри треугольникаТогда Параллельные прямые внутри треугольникапо первому признаку Параллельные прямые внутри треугольникапо условию, Параллельные прямые внутри треугольникапо доказанному).

Параллельные прямые внутри треугольника

Свойства и признаки

Проанализируем признаки равенства треугольников. Все эти утверждения одинаковы по структуре: если треугольники имеют некоторую особенность, то они равны. Эта особенность (равенство трех пар соответствующих элементов) и составляет признак равенства треугольников. Нетрудно догадаться по аналогии, что, скажем, признак параллельности прямых может выглядеть так: «Если две прямые имеют определенную особенность, то они параллельны» (вспомните, рассматривались ли ранее похожие утверждения).

Во многих геометрических утверждениях мы получаем новые особенности фигур с помощью уже известных: например, если два угла вертикальные, то они равны. В этом случае равенство является свойством вертикальных углов. По аналогии, свойство смежных углов будет иметь следующий вид: «Если два угла смежные, то они имеют определенную особенность». Нетрудно догадаться, какое из изученных утверждений является свойством смежных углов.

Отметим еще один интересный факт. Если нам дан равнобедренный треугольник, то равенство двух его углов — свойство равнобедренного треугольника. Если же из условия равенства двух углов некоторого треугольника мы делаем заключение, что этот треугольник равнобедренный, то равенство этих углов — признак равнобедренного треугольника. Таким образом, одна и та же особенность фигуры в зависимости от условия задачи может рассматриваться либо как свойство, либо как признак.

Приведем примеры свойств и признаков, не связанные с геометрией. Наличие длинной шеи является свойством жирафа (если животное — жираф, то оно имеет длинную шею). Но длинную шею имеют также и страусы, то есть не любое животное с длинной шеей — жираф. Таким образом, наличие длинной шеи не является признаком жирафа. Другой пример: повышение температуры — признак болезни (ведь если у человека высокая температура, то он болен), но повышение температуры не свойство болезни (ведь многие болезни не сопровождаются повышением температуры). И наконец, пример из арифметики: последняя цифра 0 — и свойство, и признак чисел, которые делятся на 10.

Попробуйте привести собственные примеры свойств и признаков, изучаемых в школе.

Признаки параллельности прямых

Углы, образованные при пересечении двух прямых третьей

Пусть прямая с пересекает каждую из двух прямых a и b (рис. 118). В таком случае говорят, что прямая с является секущей прямых а и b. При таком пересечении двух прямых третьей образуются пары неразвернутых углов, имеющих специальные названия:

Параллельные прямые внутри треугольника

  • внутренние накрест лежащие углы лежат между прямыми а и b по разные стороны от секущей: 3 и 6, 4 и 5;
  • внутренние односторонние углы лежат между прямыми а и & по одну сторону от секущей: 3 и 5, 4 и 6;
  • соответственные углы лежат по одну сторону от секущей, причем сторона одного из них является частью стороны другого: 1 и 5, 3 и 7, 2 и 6, 4 и 8.

Признаки параллельности прямых

Вы уже изучили две теоремы, которые утверждают, что две прямые параллельны:

  1. если две прямые параллельны третьей, то они параллельны;
  2. если две прямые перпендикулярны третьей, то они параллельны.

Докажем еще несколько признаков параллельности прямых.

Теорема: (признак параллельности двух прямых, которые пересекаются секущей)

Если при пересечении двух прямых, секущей внутренние накрестлежащие углы равны; то прямые параллельны.

Доказательство:

Пусть прямая с пересекает прямые а и b в точках А и В соответственно, причем Параллельные прямые внутри треугольника(рис. 119). Докажем, что Параллельные прямые внутри треугольника.

Параллельные прямые внутри треугольника

Если углы 1 и 2 прямые, то Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольника. Тогда Параллельные прямые внутри треугольникапо теореме о двух прямых, перпендикулярных третьей. Рассмотрим случай, когда углы 1 и 2 не прямые. Проведем из точки О — середины отрезка АВ — перпендикуляр Параллельные прямые внутри треугольника, к прямой O. Пусть Н2 — точка пересечения прямых Параллельные прямые внутри треугольника

Рассмотрим треугольники Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольника. У них Параллельные прямые внутри треугольникапо условию, Параллельные прямые внутри треугольникакак вертикальные и Параллельные прямые внутри треугольникапо построению. Итак, Параллельные прямые внутри треугольникапо второму признаку равенства треугольников. Отсюда Параллельные прямые внутри треугольникато есть прямая Параллельные прямые внутри треугольникаперпендикулярна прямым а и b. Тогда Параллельные прямые внутри треугольникапо теореме о двух прямых, перпендикулярных третьей. Теорема доказана.

Для доказательства параллельности прямых можно использовать не только внутренние накрест лежащие углы, но и другие пары образовавшихся углов.

Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна Параллельные прямые внутри треугольника, то прямые параллельны.

Действительно, если Параллельные прямые внутри треугольника(рис. 120) и по теореме о смежных углах Параллельные прямые внутри треугольника, то Параллельные прямые внутри треугольникаТогда по доказанной теореме Параллельные прямые внутри треугольника.

Параллельные прямые внутри треугольника

Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Действительно, если Параллельные прямые внутри треугольника(рис. 121), a Параллельные прямые внутри треугольникакак вертикальные, то Параллельные прямые внутри треугольникаТогда но доказанной теореме Параллельные прямые внутри треугольника

Параллельные прямые внутри треугольника

Следствия 1 и 2 можно объединить с доказанной теоремой в одно утверждение, выражающее признаки параллельности прямых.

Если при пересечении двух прямых секущей выполняется хотя бы одно из условий:

  1. внутренние накрест лежащие углы равны;
  2. сумма внутренних односторонних углов равна 180°;
  3. соответственные углы равны, то данные прямые параллельны.

Если выполняется одно из трех приведенных условий, то выполняются и два других (докажите это самостоятельно).

Пример №22

На рисунке 122 Параллельные прямые внутри треугольника— биссектриса угла Параллельные прямые внутри треугольникаДокажите, что Параллельные прямые внутри треугольника

Параллельные прямые внутри треугольника

Решение:

По условию задачи треугольник Параллельные прямые внутри треугольникаравнобедренный с основанием Параллельные прямые внутри треугольникаПо свойству углов равнобедренного треугольника Параллельные прямые внутри треугольникаВместе с тем Параллельные прямые внутри треугольникатак как АС — биссектриса угла BAD. Отсюда, Параллельные прямые внутри треугольника Параллельные прямые внутри треугольникаУглы 2 и 3 внутренние накрест лежащие при прямых Параллельные прямые внутри треугольникаи секущей Параллельные прямые внутри треугольникаПоскольку эти уг лы равны, то по признаку параллельности прямых Параллельные прямые внутри треугольникачто и требовалось доказать.

О существовании прямой, параллельной данной

Доказанные признаки параллельности прямых позволяют подробнее проанализировать формулировку аксиомы параллельных прямых (аксиомы Евклида, п. 4.1). В этой аксиоме утверждалась единственность прямой, проходящей через данную точку и параллельной данной прямой, но не утверждалось ее существование.

На основании признака параллельности прямых существование такой прямой можно доказать.

Пусть даны прямая АВ и точка С, не принадлежащая этой прямой (рис. 123). Проведем прямую АС. От луча СА отложим угол ACD, равный углу CAB, так, как показано на рисунке. Тогда углы ACD и CAB — внутренние накрест лежащие при прямых АВ и CD и секущей АС. По доказанному признаку AB || CD , то есть существует прямая, проходящая через точку С параллельна прямой АВ.

Параллельные прямые внутри треугольника

Таким образом, мы можем объединить доказанный факт с аксиомой параллельных прямых в следующей теореме.

Теорема: (о существовании и единственности прямой, параллельной данной)

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, я притом только одну.

Вообще, аксиома Евклида и связанные с ней утверждения были предметом особого внимания ученых на протяжении многих веков. В начале позапрошлого столетия выдающийся русский математик Николай Иванович Лобачевский создал неевклидову геометрию, в которой аксиома параллельных прямых не выполняется.

Свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей.

Теорема о свойствах углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей

В предыдущем параграфе мы установили соотношения углов между двумя прямыми и секущей, гарантирующие параллельность данных прямых. Но обязательно ли эти соотношения сохраняются для любой пары параллельных прямых, пересеченных секущей? Докажем утверждение, обратное признаку параллельности прямых.

Теорема: (свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей)

Если секущая пересекает две параллельные прямые, то:

  1. внутренние накрестлежащие углы равны;
  2. сумма внутренних односторонних углов равна 180°;
  3. соответственные углы равны.

Доказательство:

Докажем первое из утверждений теоремы.

Пусть секущая с пересекает параллельные прямые а и b в точках A и В соответственно (рис. 132). Докажем методом от противного, что внутренние накрест лежащие углы при этих прямых равны.

Параллельные прямые внутри треугольника

Пусть эти углы не равны. Проведем через точку А прямую Параллельные прямые внутри треугольникатак, чтобы внутренние накрест лежащие углы при прямых Параллельные прямые внутри треугольникаи b и секущей с были равны. Тогда по признаку параллельности прямых имеем Параллельные прямые внутри треугольникаНо Параллельные прямые внутри треугольникапо условию теоремы, а по аксиоме параллельных прямых через точку А можно провести лишь одну прямую, параллельную b. Таким образом, мы получили противоречие.

Следовательно, наше предположение ошибочно, то есть внутренние накрест лежащие углы равны. Из доказанного утверждения нетрудно получить другие два утверждения теоремы (сделайте это самостоятельно).

Следствие Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой прямой

Это следствие обоснуйте самостоятельно по рисунку 133.

Параллельные прямые внутри треугольника

Пример №23

Сумма двух внутренних углов, образовавшихся при пересечении двух параллельных прямых секущей, равна 210°. Найдите все образовавшиеся углы.

Решение:

Пусть а || b, с — секущая. Внутренние углы, о которых говорится в условии, могут быть односторонними, накрест лежащими или смежными. Поскольку при пересечении параллельных прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180° и сумма смежных углов также равна 180°, то данные углы — внутренние накрест лежащие. Пусть Параллельные прямые внутри треугольника(рис. 134). Поскольку Параллельные прямые внутри треугольникато Параллельные прямые внутри треугольникаТогда:

Параллельные прямые внутри треугольника°, так как углы 1 и 5 соответственные; Параллельные прямые внутри треугольника, так как углы 3 и 5 внутренние односторонние; Параллельные прямые внутри треугольникатак как углы 2 и 3 вертикальные; Параллельные прямые внутри треугольникатак как углы 5 и 6 смежные; Параллельные прямые внутри треугольникатак как углы 7 и 3 соответственные; Параллельные прямые внутри треугольникатак как углы 8 и 4 соответственные.

Параллельные прямые внутри треугольника

Расстояние между параллельными прямыми

Как вы уже знаете, расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую. Можно предположить, что расстояние между параллельными прямыми тоже будет определяться с помощью перпендикуляра. Но прежде чем сформулировать определение, докажем еще одно свойство параллельных прямых.

Теорема: (о расстояниях от точек прямой до параллельной прямой)

Расстояния от любых двух точек прямой до параллельной ей прямой равны

Доказательство:

Пусть а и b — данные параллельные прямые, Параллельные прямые внутри треугольника— расстояния от точек Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольникапрямой Параллельные прямые внутри треугольникадо прямой Параллельные прямые внутри треугольника(рис. 135). Докажем, что

Параллельные прямые внутри треугольника

Параллельные прямые внутри треугольника

Поскольку по определению расстояния от точки до прямой Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольника, то по теореме о двух прямых, перпендикулярных третьей, Параллельные прямые внутри треугольника

Рассмотрим треугольники Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольникаУ них сторона Параллельные прямые внутри треугольникаобщая, Параллельные прямые внутри треугольникакак внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольникаи секущей Параллельные прямые внутри треугольникакак внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольникаи секущей Параллельные прямые внутри треугольника. Таким образом, Параллельные прямые внутри треугольникапо второму признаку равенства треугольников, откуда Параллельные прямые внутри треугольникаТеорема доказана.

Из только что доказанной теоремы следует, что расстояние от точки прямой а до прямой b не зависит от выбора точки, то есть одинаково для всех точек прямой a. Это позволяет сформулировать следующее определение.

Определение:

Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от любой точки одной из этих прямых до другой прямой.

Таким образом, расстояние между параллельными прямыми — длина перпендикуляра, опущенного из произвольной точки одной прямой на другую прямую.

На рисунке 136 Параллельные прямые внутри треугольникато есть АВ — расстояние между прямыми а и b. Заметим, что по следствию теоремы о свойствах углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей, Параллельные прямые внутри треугольника, то есть Параллельные прямые внутри треугольника— общий перпендикуляр к прямым а и b.

Параллельные прямые внутри треугольника

Сумма углов треугольника

Теорема о сумме углов треугольника и ее следствия

Теорема: (о сумме углов треугольника)

Сумма углов треугольника равна 180°.

Доказательство:

Пусть ABC — произвольный треугольник. Докажем, что Параллельные прямые внутри треугольникаПроведем через вершину В прямую b , параллельную АС (рис. 141). Тогда углы 1 и 4 равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых b и АС и секущей АВ. Аналогично Параллельные прямые внутри треугольникакак внутренние накрест лежащие при тех же параллельных прямых, но секущей ВС. Имеем: Параллельные прямые внутри треугольникаТеорема доказана.

Параллельные прямые внутри треугольника

В любом треугольнике по крайней мере два угла острые.

Действительно, если треугольник имел бы два неострых угла (тупых или прямых), то сумма всех углов превышала бы 180°, что противоречит доказанной теореме.

Каждый угол равностороннего треугольника равен 60°.

Поскольку все углы равностороннего треугольника равны, то каждый из них равен Параллельные прямые внутри треугольника.

Рассмотрим еще одно важное утверждение, которое следует из доказанной теоремы.

Пример №24

Если в равнобедренном треугольнике один из углов равен 60°, то этот треугольник равносторонний. Докажите.

Решение:

Пусть ABC — равнобедренный треугольник с основанием АС. Рассмотрим два случая.

  1. Пусть угол 60° — один из углов при основании, например Параллельные прямые внутри треугольника(рис. 142, а). Тогда Параллельные прямые внутри треугольникакак углы при основании равнобедренного треугольника. Таким образом, Параллельные прямые внутри треугольникаПараллельные прямые внутри треугольникаЗначит, Параллельные прямые внутри треугольникато есть ABC — равносторонний треугольник.
  2. Пусть угол 60° — угол, противолежащий основанию, то есть Параллельные прямые внутри треугольника(рис. 142, б). Тогда Параллельные прямые внутри треугольникакак углы при основании равнобедренного треугольника. Каждый из этих углов равен (180° — 60°) : 2 = 60°. Снова имеем, что все углы треугольника ABC равны, значит, этот треугольник равносторонний.

Только что решенная задача является опорной, то есть на нее можно ссылаться при решении других задач, кратко пересказывая ее содержание. В дальнейшем условия таких задач в учебнике будут выделены полужирным шрифтом и словом «опорная».

Виды треугольников по величине углов. Классификация

Как уже было доказано, любой треугольник имеет не менее двух острых углов. Это означает, что возможны три случая:

  1. все углы треугольника острые — остроугольный треугольник;
  2. два угла треугольника острые, а третий угол прямой — прямоугольный треугольник;
  3. два угла треугольника острые, а третий угол тупой — тупоугольный треугольник.

Исходя из этого, все треугольники можно разделить по величине углов на три вида: остроугольные, прямоугольные и тупоугольные (рис. 143).

Параллельные прямые внутри треугольника

Обратим внимание на то, что величина углов — это признак, по которому любой данный треугольник можно отнести лишь к одному из трех названных видов. Такое деление объектов на отдельные виды по определенному признаку называют классификацией. Признак, по которому осуществляется классификация, является ее основанием. Так, треугольники можно разделить и по другому основанию — длине сторон — на разносторонние (то есть не имеющие равных сторон), равнобедренные, но не равносторонние (у которых только две стороны равны) и равносторонние треугольники.

Классификация считается правильной, если любой из объектов можно отнести лишь к одному из названных классов. Так, неправильно будет разделять прямые на плоскости по взаимному расположению на параллельные, пересекающиеся и перпендикулярные (ведь перпендикулярность — частный случай пересечения). Ошибочно подразделять по величине неразвернутые углы на острые и тупые, поскольку есть еще и прямые углы.

Очень важно проводить классификацию лишь по одному основанию. Например, неверным было бы разделять треугольники на остроугольные, прямоугольные, тупоугольные и равнобедренные, ведь равнобедренным может быть и остроугольный, и прямоугольный, и тупоугольный треугольник. Допустить такую ошибку — то же самое, что разделить всех людей на мужчин, женщин и учителей.

Примеры классификаций нетрудно найти и в других науках. Так, филологи делят члены предложения на главные (подлежащее и сказуемое) и второстепенные (дополнение, определение и обстоятельство). Попробуйте найти примеры классификации в физике, географии, биологии.

Внешний угол треугольника

Определение:

Внешним углом треугольника называется угол, смежный с внутренним углом данного треугольника.

На рисунке 144 угол DAB — внешний угол треугольника ABC при вершине А.

Параллельные прямые внутри треугольника

Очевидно, что при любой вершине треугольника можно построить два внешних угла, которые по отношению друг к другу являются вертикальными (рис. 145).

Параллельные прямые внутри треугольника

Теорема: (о внешнем угле треугольника)

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Доказательство:

Пусть углы 1, 2 и 3 — внутренние углы треугольника ABC, a Параллельные прямые внутри треугольника— внешний угол, смежный с углом 1 (рис. 146). По теореме о сумме углов треугольника Параллельные прямые внутри треугольникаС другой стороны, по теореме о смежных углах Параллельные прямые внутри треугольникаОтсюда, Параллельные прямые внутри треугольникачто и требовалось доказать.

Параллельные прямые внутри треугольника

Сумма внешних углов треугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360°.

Действительно, по доказанной теореме (рис. 146) Параллельные прямые внутри треугольникаТогда для их суммы имеем: Параллельные прямые внутри треугольникаПараллельные прямые внутри треугольникаПараллельные прямые внутри треугольника

Прямоугольные треугольники

Элементы прямоугольного треугольника

Как известно, прямоугольный треугольник имеет один прямой и два острых угла. Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой, две другие стороны — катетами. На рисунке 147 в треугольнике Параллельные прямые внутри треугольника, AC — гипотенуза, АВ и ВС — катеты.

Параллельные прямые внутри треугольника

Из теоремы о сумме углов треугольника следует: сумма острых углов прямоугольного трек- угольника равна 90°. Имеет место и обратное утверждение — признак прямоугольного треугольника: если в треугольнике сумма двух углов равна 90°, то этот треугольник прямоугольный.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Пользуясь признаками равенства треугольников и теоремой о сумме углов треугольника, можно сформулировать признаки равенства, характерные только для прямоугольных треугольников.

Приведем сначала два из них.

Признак равенства прямоугольных треугольников по двум катетам (рис. 148) Если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Параллельные прямые внутри треугольника

Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и прилежащему острому углу (рис. 149)

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Параллельные прямые внутри треугольника

Данные признаки — частные случаи первого и второго признаков равенства треугольников.

Следующие два признака нетрудно получить из второго признака равенства треугольников, используя теорему о сумме углов треугольника.

Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему углу (рис. 150) Если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему ему углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Параллельные прямые внутри треугольника

Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу (рис. 151)

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Параллельные прямые внутри треугольника

Действительно, если данный треугольники имеют по равному острому углу Параллельные прямые внутри треугольника, то другие острые углы этих треугольников равны Параллельные прямые внутри треугольника, то есть также соответственно равны.

Еще один признак равенства прямоугольных треугольников докажем отдельно.

Гипотенуза — от греческого «гипотейнуса» — стягивающая. Название связано со способом построения прямоугольных реугольников натягиванием бечевки.

Теорема: (признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету)

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Пусть Параллельные прямые внутри треугольника— данные прямоугольные треугольники, в которых Параллельные прямые внутри треугольника90° , Параллельные прямые внутри треугольника(рис. 152). Докажем, что Параллельные прямые внутри треугольника

На продолжениях сторон Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольникаотложим отрезки Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольника, равные катетам Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольникасоответственно. Тогда Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольника, по двум катетам. Таким образом, Параллельные прямые внутри треугольника. Это значит, что Параллельные прямые внутри треугольникапо трем сторонам. Отсюда Параллельные прямые внутри треугольникаИ наконец, Параллельные прямые внутри треугольника, по гипотенузе и острому углу. Теорема доказана.

Обратим внимание на дополнительное построение, состоящее в достраивании прямоугольного треугольника до равнобедренного.

Такой прием позволяет применять свойства равнобедренного треугольника при решении задач, в условиях которых о равнобедренном треугольнике речь не идет.

Параллельные прямые внутри треугольникаПараллельные прямые внутри треугольника

Рис. 152. Прямоугольные треугольники ABC и Параллельные прямые внутри треугольникаравны по гипотенузе и катету.

Прямоугольный треугольник с углом 30°

Прямоугольный треугольников котором один из острых углов равен 30°, имеет полезное свойство.

Опорная задача

В прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы. Докажите.

Решение

Пусть в треугольнике Параллельные прямые внутри треугольника. Докажем, что Параллельные прямые внутри треугольникаОчевидно, что в треугольнике Параллельные прямые внутри треугольникаОтложим на продолжении стороны Параллельные прямые внутри треугольникаотрезок Параллельные прямые внутри треугольника, равный Параллельные прямые внутри треугольника(рис. 153). Прямоугольные треугольники Параллельные прямые внутри треугольникаравны по двум катетам. Отсюда следует, что Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольника Параллельные прямые внутри треугольникаТаким образом, треугольник Параллельные прямые внутри треугольникаравносторонний, а отрезок Параллельные прямые внутри треугольника— его медиана, то есть Параллельные прямые внутри треугольникачто и требовалось доказать.

Параллельные прямые внутри треугольника

Имеет место также обратное утверждение (опорное): если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, противолежащий данному катету, равен 30°.

Попробуйте доказать это утверждение самостоятельно при помощи дополнительного построения, аналогичного только что описанному.

Катет — от греческого «катетос» — отвес.

Сравнение сторон и углов треугольника

Соотношения между сторонами и углами треугольника

Теорема: (соотношения между сторонами и углами треугольника)

  1. против большей стороны лежит больший угол;
  2. против большего угла лежит большая сторона.

Доказательство:

Данная теорема содержит два утверждения — прямое и обратное. Докажем каждое из них отдельно.

1. Пусть в треугольнике Параллельные прямые внутри треугольника. Докажем, что Параллельные прямые внутри треугольника. Отложим на стороне АВ отрезок AD, равный стороне АС (рис. 156). Поскольку Параллельные прямые внутри треугольникато точка D лежит между точками А к В, значит, угол 1 является частью угла С, то есть Параллельные прямые внутри треугольникаОчевидно, что треугольник ADC равнобедренный с основанием DC, откуда Параллельные прямые внутри треугольникаКроме того, угол 2 — внешний угол треугольника Параллельные прямые внутри треугольника, поэтому Параллельные прямые внутри треугольника. Следовательно, имеем: Параллельные прямые внутри треугольникаоткуда Параллельные прямые внутри треугольника

2. Пусть в треугольнике Параллельные прямые внутри треугольникаДокажем от противного, что Параллельные прямые внутри треугольника. Если это не так, то Параллельные прямые внутри треугольникаили Параллельные прямые внутри треугольника. В первом случае треугольник ABC равнобедренный с основанием ВС, то есть Параллельные прямые внутри треугольника. Во втором случае, по только что доказанному утверждению, против большей стороны должен лежать больший угол, то есть Параллельные прямые внутри треугольника. В обоих случаях имеем противоречие условию Параллельные прямые внутри треугольника. Таким образом, наше предположение неверно, то есть Параллельные прямые внутри треугольника. Теорема доказана.

Параллельные прямые внутри треугольника

В тупоугольном треугольнике сторона, лежащая против тупого угла, — наибольшая.

В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

Неравенство треугольника

Теорема: (неравенство треугольника)

В треугольнике длина каждой стороны меньше суммы длин двух других сторон.

Доказательство:

Рассмотрим произвольный треугольник ABC и докажем, что Параллельные прямые внутри треугольника. Отложим на продолжении стороны АВ отрезок BD, равный стороне ВС (рис. 157). Треугольник BСD равнобедренный с основанием CD, откуда Параллельные прямые внутри треугольникаНо угол 2 является частью угла ACD, то есть Параллельные прямые внутри треугольникаТаким образом, в треугольнике Параллельные прямые внутри треугольника. Учитывая соотношение между сторонами и углами тре угольника, имеем: Параллельные прямые внутри треугольникаТеорема доказана.

Параллельные прямые внутри треугольника

Если для трех точек А, В, С справедливо равенство АС = АВ + ВС, то эти тонки лежат на одной прямой, причем точка В лежит между точками А и С.

Действительно, если точка В не лежит на прямой АС, то по неравенству треугольника АС Параллельные прямые внутри треугольника АВ + ВС . Если точка В лежит на прямой АС вне отрезка АС, это неравенство также очевидно справедливо. Остается единственная возможность: точка В лежит на отрезке АС.

Неравенство треугольника позволяет проанализировать возможность построения треугольника с заданными сторонами. В частности, если хотя бы одно из трех положительных чисел а, b, с больше или равно сумме двух других, то построить треугольник со сторонами а, b, с невозможно.

С неравенством треугольника связана классическая задача о нахождении кратчайшего пути на плоскости. Ее решение было известно еще великому древнегреческому ученому Архимеду (287—212 гг. до н. э.).

Пример №25

Точки А и В лежат по одну сторону от прямой с. Найдите на данной прямой такую точку С, чтобы сумма расстояний АС + СВ была наименьшей (рис. 158).

Параллельные прямые внутри треугольника

Решение:

Опустим из точки А перпендикуляр АО к прямой с и отложим на его продолжении отрезок Параллельные прямые внутри треугольникаравный Параллельные прямые внутри треугольникаДля любой точки С прямой с прямоугольные треугольники Параллельные прямые внутри треугольникаравны по двум катетам, откуда Параллельные прямые внутри треугольникаОчевидно, что по следствию неравенства треугольника сумма Параллельные прямые внутри треугольникабудет наименьшей в случае, когда точки Параллельные прямые внутри треугольникалежат на одной прямой. Таким образом, искомая точка должна быть точкой пересечения отрезка Параллельные прямые внутри треугольникас прямой с.

Отметим, что в условиях данной задачи прямые АС и СB образуют с прямой с равные углы. Именно так распространяется луч света, который исходит из точки A, отражается от прямой с и попадает в точку В. Физики в таком случае говорят, что угол падения светового луча равен углу отражения.

Историческая справка

Аксиомы Евклида. Аксиомы, сформулированные Евклидом, легли в основу современной геометрии. Ученые на протяжении более двух тысяч лет исследовали, возможно ли доказать некоторые из евклидовых постулатов (аксиом), опираясь на другие. Особое внимание вызывала аксиома параллельных прямых (аксиома Евклида). Среди великих геометров прошлого не было, пожалуй, ни одного, кто не попытался бы доказать ее как теорему. И только в начале XIX века выдающийся русский математик Николай Иванович Лобачевский (1792—1856) доказал, что эту аксиому невозможно вывести из других аксиом.

Неевклидова геометрия. Лобачевский создал другую, неевклидову геометрию. По Лобачевскому, прямая, параллельная данной прямой и проходящая через данную точку вне ее, не является единственной. Большинство современников это открытие не приняли. Такая же судьба постигла и работы других ученых, получивших аналогичные результаты: венгра Яноша Больяи и немца Карла Гаусса. И только через столетие неевклидова геометрия была признана и оценена как выдающееся научное открытие.

Параллельные прямые внутри треугольника

Становление геометрической аксиоматики. В XX в. исследования вопросов аксиоматического построения геометрии вышли на качественно новый уровень. Немецкий математик Давид Гильберт (1862—1943) обобщил и усовершенствовал систему евклидовых аксиом. Авторский вариант геометрических аксиом, разработанный на основе трудов Евклида и Гильберта, предложил наш соотечественник Алексей Васильевич Погорелов (1919-2002).

Геометрия треугольников. Евклид ввел понятие о равенстве геометрических фигур, совмещаемых наложением. В исследованиях древнегреческих геометров многие задачи и теоремы сводились к доказательству равенства треугольников (доказательство второго признака равенства треугольников приписывают Фалесу). Грекам была известна и теорема о сумме углов треугольника (впервые она встречается в комментариях Прокла к «началам» Евклида).

Параллельные прямые внутри треугольника

Геометрия треугольника стала основой для изучения более сложных видов многоугольников, которые можно разбить на треугольники.

Видео:ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ. СУММА УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА. Контрольная № 3. 7 классСкачать

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ. СУММА УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА. Контрольная № 3. 7 класс

Справочный материал по треугольнику

Треугольники

Треугольник и его элементы. Равные треугольники

  • ✓ Три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой, соединены отрезками (рис. 245). Образовавшаяся фигура ограничивает часть плоскости, которую вместе с отрезками АВ, ВС и СА называют треугольником. Точки А, В, С называют вершинами, а отрезки АВ, ВС, СА — сторонами треугольника.

Параллельные прямые внутри треугольника

  • ✓ Треугольник называют и обозначают по его вершинам.
  • ✓ В треугольнике АВС угол В называют углом, противолежащим стороне АС, а углы А и С — углами, прилежащими к стороне АС.
  • ✓ Периметром треугольника называют сумму длин всех его сторон.
  • ✓ Треугольник называют остроугольным, если все его углы острые; прямоугольным, если один из его углов прямой; тупоугольным, если один из его углов тупой.
  • ✓ Сторону прямоугольного треугольника, противолежащую прямому углу, называют гипотенузой, а стороны, прилежащие к прямому углу, — катетами.
  • ✓ Неравенство треугольника. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон.
  • ✓ Два треугольника называют равными, если их можно совместить наложением. Те пары сторон и углов, которые совмещаются при наложении равных треугольников, называют соответственными сторонами и соответственными углами.
  • ✓ В треугольнике против равных сторон лежат равные углы.
  • ✓ В треугольнике против равных углов лежат равные стороны.
  • ✓ В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и наоборот, против большего угла лежит большая сторона.

Высота, медиана, биссектриса треугольника

  • ✓ Перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противолежащую сторону, называют высотой треугольника.
  • ✓ Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны, называют медианой треугольника.
  • ✓ Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противолежащей стороны, называют биссектрисой треугольника.

Признаки равенства треугольников

  • ✓ Первый признак равенства треугольников: по двум сторонам и углу между ними. Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
  • ✓ Второй признак равенства треугольников: по стороне и двум прилежащим к ней углам. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
  • ✓ Третий признак равенства треугольников: по трем сторонам. Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Равнобедренный треугольник и его свойства. Равносторонний треугольник

  • ✓ Треугольник, у которого две стороны равны, называют равнобедренным.
  • ✓ Равные стороны треугольника называют боковыми сторонами, а третью сторону — основанием равнобедренного треугольника.
  • ✓ Вершиной равнобедренного треугольника называют общую точку его боковых сторон.

✓ В равнобедренном треугольнике:

  • 1) углы при основании равны;
  • 2) биссектриса треугольника, проведенная к его основанию, является медианой и высотой треугольника.

✓ Треугольник, у которого все стороны равны, называют равносторонним.

✓ В равностороннем треугольнике:

  • 1) все углы равны;
  • 2) биссектриса, высота и медиана, проведенные из одной вершины, совпадают.

Признаки равнобедренного треугольника

  • ✓ Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник равнобедренный.
  • ✓ Если медиана треугольника является его высотой, то этот треугольник равнобедренный.
  • ✓ Если биссектриса треугольника является его высотой, то этот треугольник равнобедренный.
  • ✓ Если медиана треугольника является его биссектрисой, то этот треугольник равнобедренный.

Сумма углов треугольника. Внешний угол треугольника

  • ✓ Сумма углов треугольника равна 180°.
  • ✓ Среди углов треугольника по крайней мере два угла острые.
  • ✓ Внешним углом треугольника называют угол, смежный с углом этого треугольника.
  • ✓ Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.
  • ✓ Внешний угол треугольника больше каждого из углов треугольника, не смежных с ним.

Средняя линия треугольника и ее свойства

Средней линией треугольника называют отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

На рисунке 105 Параллельные прямые внутри треугольника— средняя линия треугольника Параллельные прямые внутри треугольника

Теорема 1 (свойство средней линии треугольника). Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.

Доказательство:

Пусть Параллельные прямые внутри треугольника— средняя линия треугольника Параллельные прямые внутри треугольника(рис. 105). Докажем, что Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольника

1) Проведем через точку Параллельные прямые внутри треугольникапрямую, параллельную Параллельные прямые внутри треугольникаПо теореме Фалеса она пересекает сторону Параллельные прямые внутри треугольникав ее середине, то есть в точке Параллельные прямые внутри треугольникаСледовательно, эта прямая содержит среднюю линию Параллельные прямые внутри треугольникаПоэтому Параллельные прямые внутри треугольника

2) Проведем через точку Параллельные прямые внутри треугольникапрямую, параллельную Параллельные прямые внутри треугольникакоторая пересекает Параллельные прямые внутри треугольникав точке Параллельные прямые внутри треугольникаТогда Параллельные прямые внутри треугольника(по теореме Фалеса). Четырехугольник Параллельные прямые внутри треугольника— параллелограмм.

Параллельные прямые внутри треугольника(по свойству параллелограмма), но Параллельные прямые внутри треугольника

Поэтому Параллельные прямые внутри треугольника

Параллельные прямые внутри треугольника

Пример №26

Докажите, что середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма, один из углов которого равен углу между диагоналями четырехугольника.

Доказательство:

Пусть Параллельные прямые внутри треугольника— данный четырехугольник, а точки Параллельные прямые внутри треугольника— середины его сторон (рис. 106). Параллельные прямые внутри треугольника— средняя линия треугольника Параллельные прямые внутри треугольникапоэтому Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольникаАналогично Параллельные прямые внутри треугольника

Таким образом, Параллельные прямые внутри треугольникаТогда Параллельные прямые внутри треугольника— параллелограмм (по признаку параллелограмма).

Параллельные прямые внутри треугольника— средняя линия треугольника Параллельные прямые внутри треугольникаПоэтому Параллельные прямые внутри треугольникаСледовательно, Параллельные прямые внутри треугольника— также параллелограмм, откуда: Параллельные прямые внутри треугольника

Рассмотрим свойство медиан треугольника.

Теорема 2 (свойство медиан треугольника). Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2 : 1, считая от вершины треугольника.

Параллельные прямые внутри треугольника

Доказательство:

Пусть Параллельные прямые внутри треугольника— точка пересечения медиан Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольникатреугольника Параллельные прямые внутри треугольника(рис. 107).

1) Построим четырехугольник Параллельные прямые внутри треугольникагде Параллельные прямые внутри треугольника— середина Параллельные прямые внутри треугольника— середина Параллельные прямые внутри треугольника

2) Параллельные прямые внутри треугольника— средняя линия треугольника

Параллельные прямые внутри треугольникапоэтому Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольника

3) Параллельные прямые внутри треугольника— средняя линия треугольника Параллельные прямые внутри треугольникапоэтому Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольника

4) Следовательно, Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольникаЗначит, Параллельные прямые внутри треугольника— параллелограмм (по признаку параллелограмма).

5) Параллельные прямые внутри треугольника— точка пересечения диагоналей Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольникапараллелограмма Параллельные прямые внутри треугольникапоэтому Параллельные прямые внутри треугольникаНо Параллельные прямые внутри треугольника Параллельные прямые внутри треугольникаТогда Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольникаСледовательно, точка Параллельные прямые внутри треугольникаделит каждую из медиан Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольникав отношении 2:1, считая от вершин Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольникасоответственно.

6) Точка пересечения медиан Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольникадолжна также делить в отношении 2 : 1 каждую медиану. Поскольку существует единственная точка — точка Параллельные прямые внутри треугольникакоторая в таком отношении делит медиану Параллельные прямые внутри треугольникато медиана Параллельные прямые внутри треугольникатакже проходит через эту точку.

7) Следовательно, три медианы треугольника пересекаются в одной точке и этой точкой делятся в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.

Точку пересечения медиан еще называют центром масс треугольника, или центроидом треугольника.

Треугольник и его элементы

Треугольником называют фигуру, состоящую из трех точек, которые не лежат на одной прямой, и трех отрезков, соединяющих эти точки (рис. 267).

Точки Параллельные прямые внутри треугольникавершины треугольника; отрезки Параллельные прямые внутри треугольника Параллельные прямые внутри треугольникастороны треугольника; Параллельные прямые внутри треугольника Параллельные прямые внутри треугольникауглы треугольника.

Параллельные прямые внутри треугольника

Периметром треугольника называют сумму длин всех его сторон. Параллельные прямые внутри треугольника

Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

На рисунке 268 Параллельные прямые внутри треугольника— медиана треугольника Параллельные прямые внутри треугольника

Биссектрисой треугольника называют отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противолежащей стороны.

На рисунке 269 Параллельные прямые внутри треугольника— биссектриса треугольника Параллельные прямые внутри треугольника

Высотой треугольника называют перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника на прямую, содержащую его противолежащую сторону.

Параллельные прямые внутри треугольника

На рисунке 270 Параллельные прямые внутри треугольника— высота Параллельные прямые внутри треугольникаСумма углов треугольника равна 180°.

Неравенство треугольника. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

В треугольнике: 1) против большей стороны лежит больший угол; 2) против большего угла лежит большая сторона.

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 271).

Параллельные прямые внутри треугольника

Второй признак равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 272).

Параллельные прямые внутри треугольника

Третий признак равенства треугольников (по трем сторонам ). Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого, то такие треугольники равны (рис. 273).

Параллельные прямые внутри треугольника

Виды треугольников

Треугольник называют равнобедренным, если две его стороны равны.

На рисунке 274 Параллельные прямые внутри треугольника— равнобедренный, Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольника— его боковые стороны, Параллельные прямые внутри треугольникаоснование.

Свойство углов равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Параллельные прямые внутри треугольника

Признак равнобедренного треугольника. Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

Треугольник, все стороны которого равны, называют равносторонним.

На рисунке 275 Параллельные прямые внутри треугольника— равносторонний.

Свойство углов равностороннего треугольника. Каждый угол равностороннего треугольника равен 60°.

Признак равностороннего треугольника. Если в треугольнике все углы равны, то он равносторонний.

Треугольник, все стороны которого имеют разную длину, называют разносторонним.

Свойство биссектрисы равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

На рисунке 276 биссектриса Параллельные прямые внутри треугольникапроведенная к основанию Параллельные прямые внутри треугольникаравнобедренного треугольника Параллельные прямые внутри треугольникаявляется его медианой и высотой.

В зависимости от углов рассматривают следующие виды треугольников:

  • остроугольные (все углы которого — острые — рис. 277);
  • прямоугольные (один из углов которых — прямой, а два других — острые — рис. 278);
  • тупоугольные (один из углов которых — тупой, а два других — острые — рис. 279).

Параллельные прямые внутри треугольника

Внешний угол треугольника

Внешним углом треугольника называют угол, смежный с углом этого треугольника.

На рисунке 280 Параллельные прямые внутри треугольника— внешний угол треугольника Параллельные прямые внутри треугольника

Свойство внешнего угла треугольника. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, то есть Параллельные прямые внутри треугольника

Параллельные прямые внутри треугольника

Прямоугольные треугольники

Если Параллельные прямые внутри треугольникато Параллельные прямые внутри треугольника— прямоугольный (рис. 281). Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольникакатеты прямоугольного треугольника; Параллельные прямые внутри треугольникагипотенуза прямоугольного треугольника.

Свойства прямоугольных треугольников:

  1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
  2. Гипотенуза больше любого из катетов.
  3. Катет, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы.
  4. Если катет равен половине гипотенузы, то противолежащий ему угол равен 30°.
  5. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине.

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

  1. По двум катетам. Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.
  2. По катету и прилежащему острому углу. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему углу другого, то такие треугольники равны.
  3. По гипотенузе и острому углу. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.
  4. По катету и противолежащему углу. Если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему ему углу другого, то такие треугольники равны.
  5. По катету и гипотенузе. Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника равны соответственно катету и гипотенузе другого, то такие треугольники равны.

Видео:7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построение

Всё о треугольнике

Как, не накладывая треугольники один на другой, узнать, что они равны? Какими особыми свойства ми обладают равнобедренный и равносторонний треугольники? Как «устроена» теорема?

На эти и многие другие вопросы вы найдете ответы в данном параграфе.

Равные треугольники. Высота, медиана, биссектриса треугольника

Рассмотрим три точки Параллельные прямые внутри треугольника, Параллельные прямые внутри треугольника, Параллельные прямые внутри треугольника, не лежащие на одной прямой. Соединим их отрезками Параллельные прямые внутри треугольника, Параллельные прямые внутри треугольника, Параллельные прямые внутри треугольника. Полученная фигура ограничивает часть плоскости, выделенную на рисунке 109 зеленым цветом. Эту часть плоскости вместе с отрезками Параллельные прямые внутри треугольника, Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольниканазывают треугольником. Точки Параллельные прямые внутри треугольника, Параллельные прямые внутри треугольника, Параллельные прямые внутри треугольниканазывают вершинами, а отрезки Параллельные прямые внутри треугольника, Параллельные прямые внутри треугольника, Параллельные прямые внутри треугольникасторонами треугольника.

Параллельные прямые внутри треугольника

Треугольник называют и обозначают по его вершинам. Треугольник, изображенный на рисунке 109, обозначают так: Параллельные прямые внутри треугольника, или Параллельные прямые внутри треугольника, или Параллельные прямые внутри треугольникаи т. д. (читают: «треугольник Параллельные прямые внутри треугольника, треугольник Параллельные прямые внутри треугольника» и т. д.). Углы Параллельные прямые внутри треугольника, Параллельные прямые внутри треугольника, Параллельные прямые внутри треугольника(рис. 110) называют углами треугольника Параллельные прямые внутри треугольника.

В треугольнике Параллельные прямые внутри треугольника, например, угол Параллельные прямые внутри треугольниканазывают углом, противолежащим стороне Параллельные прямые внутри треугольника, углы Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольника— углами, прилежащими к стороне Параллельные прямые внутри треугольника, сторону Параллельные прямые внутри треугольникастороной, противолежащей углу Параллельные прямые внутри треугольника, стороны Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольникасторонами, прилежащими к углу Параллельные прямые внутри треугольника(рис. 110).

Параллельные прямые внутри треугольника

Определение. Периметром треугольника называют сумму длин всех его сторон.

Например, для периметра треугольника Параллельные прямые внутри треугольникаиспользуют обозначение Параллельные прямые внутри треугольника.

Определение. Треугольник называют прямоугольным, если один из его углов прямой; тупоугольным, если один из его углов тупой. Если все углы острые, то треугольник называют остроугольным (рис. 111).

Параллельные прямые внутри треугольника

Теорема7.1 (неравенство треугольника). Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон.

Доказательство: Рассмотрим Параллельные прямые внутри треугольника(рис. 109). Точка Параллельные прямые внутри треугольникане принадлежит отрезку Параллельные прямые внутри треугольника. Тогда в силу основного свойства длины отрезка Параллельные прямые внутри треугольника. Аналогично доказывают остальные два неравенства: Параллельные прямые внутри треугольника, Параллельные прямые внутри треугольника.

Из доказанной теоремы следует, что если ZK длина одного из трех данных отрезков не меньше суммы длин двух других, то эти отрезки не могут служить сторонами треугольника (рис. 112).

Параллельные прямые внутри треугольника

Если любой из трех данных отрезков меньше суммы двух других, то эти отрезки могут служить сторонами треугольника.

Определение. Два треугольника называют равными, если их можно совместить наложением.

Параллельные прямые внутри треугольника

На рисунке 113 изображены равные треугольники Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольника. Записывают: Параллельные прямые внутри треугольникаПараллельные прямые внутри треугольника. Эти треугольники можно совместить так, что вершины Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольника, Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольника, Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольникасовпадут. Тогда можно записать: Параллельные прямые внутри треугольника, Параллельные прямые внутри треугольникаПараллельные прямые внутри треугольника.

Те стороны и те углы, которые совмещаются при наложении треугольников, называют соответственными сторонами и соответственными углами. Так, на рисунке 113 углы Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольника, стороны Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольника— соответственные.

Обычно на рисунках равные стороны отмечают одинаковым количеством черточек, а равные углы — одинаковым количеством дуг. На рисунке ИЗ таким способом отмечены соответственные стороны и углы.

Заметим, что в равных треугольниках против соответственных углов лежат соответственные стороны, и наоборот: против соответственных сторон лежат соответственные углы.

То, что для каждого треугольника существует равный ему треугольник, обеспечивает такое основное свойство равенства треугольников. Для данного треугольника Параллельные прямые внутри треугольникаи луча Параллельные прямые внутри треугольникасуществует треугольник Параллельные прямые внутри треугольникаравный треугольнику Параллельные прямые внутри треугольника, такой, что Параллельные прямые внутри треугольникаи сторона Параллельные прямые внутри треугольникапринадлежит лучу Параллельные прямые внутри треугольника, а вершина Параллельные прямые внутри треугольникалежит в заданной полуплоскости относительно прямой Параллельные прямые внутри треугольника(рис. 114).

Параллельные прямые внутри треугольника

Теорема 7.2. Через точку, не принадлежащую данной прямой, проходит только одна прямая, перпендикулярная данной.

Доказательство: Рассмотрим прямую Параллельные прямые внутри треугольникаи не принадлежащую ей точку Параллельные прямые внутри треугольника(рис. 115). Предположим, что через точку Параллельные прямые внутри треугольникапроходят две прямые Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольника, перпендикулярные прямой Параллельные прямые внутри треугольника.

Параллельные прямые внутри треугольника

В силу основного свойства равенства треугольников существует треугольник Параллельные прямые внутри треугольника, равный треугольнику Параллельные прямые внутри треугольника(рис. 116). Тогда Параллельные прямые внутри треугольника. Отсюда Параллельные прямые внутри треугольника, а значит, точки Параллельные прямые внутри треугольника, Параллельные прямые внутри треугольника( лежат на одной прямой.

Аналогично доказывают, что точки Параллельные прямые внутри треугольникатакже лежат на одной прямой. Но тогда прямые Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольникаимеют две точки пересечения: Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольника. А это противоречит теореме 1.1. Следовательно, наше предположение неверно.

Параллельные прямые внутри треугольника

Возможно, вы заметили, что определения равных отрезков, равных углов и равных треугольников очень похожи. Поэтому целесообразно принять следующее

Определение. Две фигуры называют равными, если их можно совместить наложением.

Параллельные прямые внутри треугольника

На рисунке 117 изображены равные фигуры Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольника. Пишут: Параллельные прямые внутри треугольника. Понятно, что любые две прямые (два луча, две точки).

Определение. Перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противоположную сторону, называют высотой треугольника.

Параллельные прямые внутри треугольника

На рисунке 118 отрезки Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольника— высоты треугольника Параллельные прямые внутри треугольника. Определение. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называют медианой треугольника.

Параллельные прямые внутри треугольника

На рисунке 119 отрезок Параллельные прямые внутри треугольника— медиана треугольника Параллельные прямые внутри треугольника.

Определение. Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называют биссектрисой треугольника.

Параллельные прямые внутри треугольника

На рисунке 120 отрезок Параллельные прямые внутри треугольника— биссектриса треугольника Параллельные прямые внутри треугольника.

Далее, говоря «биссектриса угла треугольника», будем иметь в виду биссектрису треугольника, проведенную из вершины этого угла. Ясно, что каждый треугольник имеет три высоты, три медианы и три биссектрисы.

Часто длины сторон, противолежащих углам Параллельные прямые внутри треугольника, обозначают соответственно Параллельные прямые внутри треугольника. Длины высот обозначают Параллельные прямые внутри треугольника, Параллельные прямые внутри треугольника, Параллельные прямые внутри треугольника, медиан — Параллельные прямые внутри треугольника, Параллельные прямые внутри треугольника, Параллельные прямые внутри треугольника, биссектрис — Параллельные прямые внутри треугольника. Индекс показывает, к какой стороне проведен отрезок (рис. 121).

Параллельные прямые внутри треугольника

Первый и второй признаки равенства треугольников

Если для треугольников Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольникавыполняются шесть условий Параллельные прямые внутри треугольника, Параллельные прямые внутри треугольника,Параллельные прямые внутри треугольника, Параллельные прямые внутри треугольника, Параллельные прямые внутри треугольникаПараллельные прямые внутри треугольника, Параллельные прямые внутри треугольникато очевидно, что эти треугольники совпадут при наложении, значит, они равны. Попробуем уменьшить количество условий. Например, оставим лишь два равенства: Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольника. Но тогда треугольники не обязательно окажутся равными (рис. 127).

Параллельные прямые внутри треугольника

Как же сократить список требований до минимума, но при этом сохранить равенство треугольников? На этот вопрос отвечают теоремы, которые называют признаками равенства треугольников.

Теорема 8.1 (первый признак равенства треугольников: по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум, сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Параллельные прямые внутри треугольника

Доказательство: Рассмотрим треугольники Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольникау которых Параллельные прямые внутри треугольника(рис. 128). Докажем, что Параллельные прямые внутри треугольникаПараллельные прямые внутри треугольника

Наложим Параллельные прямые внутри треугольникана Параллельные прямые внутри треугольникатак, чтобы луч Параллельные прямые внутри треугольникасовместился с лучом Параллельные прямые внутри треугольника, а луч Параллельные прямые внутри треугольникасовместился с лучом Параллельные прямые внутри треугольника. Это можно сделать, так как по условию Параллельные прямые внутри треугольникаПоскольку по условию Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольника, то при таком наложении сторона Параллельные прямые внутри треугольникасовместится со стороной Параллельные прямые внутри треугольника, а сторона Параллельные прямые внутри треугольника— со стороной Параллельные прямые внутри треугольника. Следовательно, Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольникаполностью совместятся, значит, они равны.

Определение. Прямую, перпендикулярную отрезку и проходящую через его середину, называют серединным перпендикуляром отрезка.

Параллельные прямые внутри треугольника

На рисунке 129 прямая а является серединным перпендикуляром отрезка Параллельные прямые внутри треугольника.

Теорема 8.2. Каждая точка серединного перпендикуляра отрезка равноудалена от концов этого отрезка.

Параллельные прямые внутри треугольника

Доказательство: Пусть Параллельные прямые внутри треугольника— произвольная точка серединного перпендикуляра Параллельные прямые внутри треугольникаотрезка Параллельные прямые внутри треугольника, точка Параллельные прямые внутри треугольника— середина отрезка Параллельные прямые внутри треугольника. Надо доказать, что Параллельные прямые внутри треугольника. Если точка Параллельные прямые внутри треугольникасовпадает с точкой Параллельные прямые внутри треугольника(а это возможно, так как Параллельные прямые внутри треугольника— произвольная точка прямой а), то Параллельные прямые внутри треугольника. Если точки Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольникане совпадают, то рассмотрим треугольники Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольника(рис. 130).

В этих треугольниках Параллельные прямые внутри треугольника, так как Параллельные прямые внутри треугольника— середина отрезка Параллельные прямые внутри треугольника. Сторона Параллельные прямые внутри треугольника— общая, Параллельные прямые внутри треугольника. Следовательно, Параллельные прямые внутри треугольникапо первому признаку равенства треугольников. Значит, отрезки Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольникаравны как соответственные стороны равных треугольников.

Теорема 8.3 (второй признак равенства треугольников: по стороне и двум прилежащим к ней углам). Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Параллельные прямые внутри треугольника

Доказательство: Рассмотрим треугольники Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольника, у которых Параллельные прямые внутри треугольника, Параллельные прямые внутри треугольника, Параллельные прямые внутри треугольника, (рис. 131). Докажем, что Параллельные прямые внутри треугольникаПараллельные прямые внутри треугольника.

Наложим Параллельные прямые внутри треугольникана Параллельные прямые внутри треугольникатак, чтобы точка Параллельные прямые внутри треугольникасовместилась с точкой Параллельные прямые внутри треугольника, отрезок Параллельные прямые внутри треугольника— с отрезком Параллельные прямые внутри треугольника(это возможно, так как Параллельные прямые внутри треугольника) и точки Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольникалежали в одной полуплоскости относительно прямой Параллельные прямые внутри треугольника. Поскольку Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольникато луч Параллельные прямые внутри треугольникасовместится с лучом Параллельные прямые внутри треугольника, а луч Параллельные прямые внутри треугольника— с лучом Параллельные прямые внутри треугольника. Тогда точка Параллельные прямые внутри треугольника— общая точка лучей Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольника— совместится с точкой Параллельные прямые внутри треугольника— общей точкой лучей Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольника. Значит, Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольника, полностью совместятся, следовательно, они равны.

Параллельные прямые внутри треугольника

Пример №27

На рисунке 132 точка Параллельные прямые внутри треугольника— середина отрезка Параллельные прямые внутри треугольника. Докажите, что Параллельные прямые внутри треугольника.

Решение:

Рассмотрим Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольника. Параллельные прямые внутри треугольника, так как точка Параллельные прямые внутри треугольника— середина отрезка Параллельные прямые внутри треугольника. Параллельные прямые внутри треугольникапо условию. Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольникаравны как вертикальные. Следовательно, Параллельные прямые внутри треугольникапо / стороне и двум прилежащим углам. Рассмотрим Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольника. Параллельные прямые внутри треугольника, Параллельные прямые внутри треугольника, так как Параллельные прямые внутри треугольника. Параллельные прямые внутри треугольника— общая сторона. Следовательно, Параллельные прямые внутри треугольникапо двум сторонам и углу между ними. Тогда Параллельные прямые внутри треугольника.

Равнобедренный треугольник и его свойства

Определение. Треугольник, у которого две стороны равны, называют равнобедренным.

Параллельные прямые внутри треугольника

На рисунке 155 изображен равнобедренный треугольник Параллельные прямые внутри треугольника, у которого Параллельные прямые внутри треугольника.

Равные стороны треугольника называют боковыми сторонами, а третью сторону — основанием равнобедренного треугольника.

Вершиной равнобедренного треугольника называют общую точку его боковых сторон (точка Параллельные прямые внутри треугольникана рисунке 155). При этом угол Параллельные прямые внутри треугольниканазывают углом при вершине, а углы Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольникауглами при основании равнобедренного треугольника.

Определение. Треугольник, у которого все стороны равны, называют равносторонним.

Параллельные прямые внутри треугольника

На рисунке 156 изображен равносторонний треугольник Параллельные прямые внутри треугольника. Равносторонний треугольник — частный случай равнобедренного треугольника.

Теорема 9.1. В равнобедренном треугольнике: 1) углы при основании равны; 2) биссектриса угла при вершине является медианой и высотой.

Параллельные прямые внутри треугольника

Доказательство: Рассмотрим равнобедренный треугольник Параллельные прямые внутри треугольника, у которого Параллельные прямые внутри треугольника, отрезок Параллельные прямые внутри треугольника— его биссектриса (рис. 157). Требуется доказать, что Параллельные прямые внутри треугольника, Параллельные прямые внутри треугольника, Параллельные прямые внутри треугольника.

В треугольниках Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольникасторона Параллельные прямые внутри треугольника— общая, Параллельные прямые внутри треугольника, так как по условию Параллельные прямые внутри треугольника— биссектриса угла Параллельные прямые внутри треугольника, стороны Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольникаравны как боковые стороны равнобедренного треугольника. Следовательно, Параллельные прямые внутри треугольникапо первому признаку равенства треугольников.

Отсюда можно сделать такие выводы:

  1. Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольникаравны как соответственные углы в равных треугольниках;
  2. отрезки Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольникаравны как соответственные стороны равных треугольников, следовательно, Параллельные прямые внутри треугольника— медиана;
  3. Параллельные прямые внутри треугольника. Но Параллельные прямые внутри треугольника. Отсюда следует, что Параллельные прямые внутри треугольника, значит, Параллельные прямые внутри треугольника— высота.

Из этой теоремы следует, что:

  1. в треугольнике против равных сторон лежат равные углы;
  2. в равнобедренном треугольнике биссектриса, высота и медиана, проведенные из его вершины, совпадают;
  3. в равностороннем треугольнике все углы равны;
  4. в равностороннем треугольнике биссектриса, высота и медиана, проведенные из одной вершины, совпадают.

Определение. Если в треугольнике все стороны имеют разную длину, то такой треугольник называют разносторонним.

Параллельные прямые внутри треугольника

Пример №28

Отрезок Параллельные прямые внутри треугольника— медиана равнобедренного треугольника Параллельные прямые внутри треугольника, проведенная к основанию. На сторонах Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольникаотмечены соответственно точки Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольникатак, что Параллельные прямые внутри треугольника. Докажите равенство треугольников Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольника.

Решение:

Имеем:Параллельные прямые внутри треугольника, Параллельные прямые внутри треугольника(рис. 158). Так как Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольника, то Параллельные прямые внутри треугольника. Параллельные прямые внутри треугольника, поскольку медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является его биссектрисой. Параллельные прямые внутри треугольника— общая сторона треугольников Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольника. Следовательно, Параллельные прямые внутри треугольникапо двум сторонам и углу между ними.

Признаки равнобедренного треугольника

В предыдущем пункте мы рассмотрели свойства равнобедренного треугольника. А как среди треугольников «распознавать» равнобедренные? На этот вопрос дают ответ следующие теоремы.

Теорема 10.1. Если медиана треугольника является его высотой, то этот треугольник равнобедренный.

Параллельные прямые внутри треугольника

Доказательство: Рассмотрим треугольник Параллельные прямые внутри треугольника, у которого отрезок Параллельные прямые внутри треугольника— медиана и высота. Надо доказать, что Параллельные прямые внутри треугольника(рис. 168). Из условия теоремы следует, что прямая Параллельные прямые внутри треугольника— серединный перпендикуляр отрезка Параллельные прямые внутри треугольника.

Тогда по свойству серединного перпендикуляра Параллельные прямые внутри треугольника.

Теорема 10.2. Если биссектриса треугольника является его высотой, то этот треугольник равнобедренный.

Параллельные прямые внутри треугольника

Доказательство: Рассмотрим треугольник Параллельные прямые внутри треугольника, у которого отрезок Параллельные прямые внутри треугольника— биссектриса и высота. Надо доказать, что Параллельные прямые внутри треугольника(рис. 169). В треугольниках Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольникасторона Параллельные прямые внутри треугольника— общая, Параллельные прямые внутри треугольника, так как по условию Параллельные прямые внутри треугольника— биссектриса угла Параллельные прямые внутри треугольника, Параллельные прямые внутри треугольника, так как по условию Параллельные прямые внутри треугольника— высота. Следовательно, Параллельные прямые внутри треугольника Параллельные прямые внутри треугольникапо второму признаку равенства треугольников. Тогда стороны Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольникаравны как соответственные стороны равных треугольников.

Теорема 10.3. Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник равнобедренный.

Доказательство: Рассмотрим треугольник Параллельные прямые внутри треугольника, у которогоПараллельные прямые внутри треугольника. Надо доказать, что Параллельные прямые внутри треугольника.

Проведем серединный перпендикуляр Параллельные прямые внутри треугольникастороны Параллельные прямые внутри треугольника. Докажем, что прямая Параллельные прямые внутри треугольникапроходит через вершину Параллельные прямые внутри треугольника.

Параллельные прямые внутри треугольника

Предположим, что это не так. Тогда прямая Параллельные прямые внутри треугольникапересекает или сторону Параллельные прямые внутри треугольника(рис. 170), или сторону Параллельные прямые внутри треугольника(рис. 171).

Рассмотрим первый из этих случаев. Пусть Параллельные прямые внутри треугольника— точка пересечения прямой Параллельные прямые внутри треугольникасо стороной Параллельные прямые внутри треугольника. Тогда по свойству серединного перпендикуляра (теорема 8.2) Параллельные прямые внутри треугольника. Следовательно, Параллельные прямые внутри треугольника— равнобедренный, а значит Параллельные прямые внутри треугольника. Но по условиюПараллельные прямые внутри треугольника. Тогда имеем: Параллельные прямые внутри треугольника, что противоречит основному свойству величины угла (п. 3).

Аналогично получаем противоречие и для второго случая (рис. 171).

Параллельные прямые внутри треугольника

Следовательно, наше предположение неверно. Прямая Параллельные прямые внутри треугольникапроходит через точку Параллельные прямые внутри треугольника(рис. 172), и по свойству серединного перпендикуляра Параллельные прямые внутри треугольника.

Из этой теоремы следует, что в треугольнике против равных углов лежат равные стороны.

Теорема 10.4. Если медиана треугольника является его биссектрисой, то этот треугольник равнобедренный.

Параллельные прямые внутри треугольника

Доказательство: Рассмотрим треугольник Параллельные прямые внутри треугольника, у которого отрезок Параллельные прямые внутри треугольника— медиана и биссектриса (рис. 173). Надо доказать, что Параллельные прямые внутри треугольника. На луче Параллельные прямые внутри треугольникаотложим отрезок Параллельные прямые внутри треугольника, равный отрезку Параллельные прямые внутри треугольника(рис. 173). В треугольниках Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольника, так как по условию Параллельные прямые внутри треугольника— медиана, Параллельные прямые внутри треугольникапо построению, Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольникаравны как вертикальные. Следовательно, Параллельные прямые внутри треугольника Параллельные прямые внутри треугольникапо первому признаку равенства треугольников. Тогда стороны Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольника, Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольникаравны как соответственные элементы равных треугольников. Поскольку Параллельные прямые внутри треугольника— биссектриса угла Параллельные прямые внутри треугольника, то Параллельные прямые внутри треугольникаПараллельные прямые внутри треугольника. С учетом доказанного получаем, что Параллельные прямые внутри треугольникаПараллельные прямые внутри треугольника. Тогда по теореме 10.3 Параллельные прямые внутри треугольника— равнобедренный, откуда Параллельные прямые внутри треугольника. Но уже доказано, что Параллельные прямые внутри треугольника. Следовательно, Параллельные прямые внутри треугольника.

Параллельные прямые внутри треугольника

Пример №29

В треугольнике Параллельные прямые внутри треугольникапроведена биссектриса Параллельные прямые внутри треугольника(рис. 174), Параллельные прямые внутри треугольника,Параллельные прямые внутри треугольника. Докажите, что Параллельные прямые внутри треугольника.

Решение:

Так как Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольника— смежные, то Параллельные прямые внутри треугольникаПараллельные прямые внутри треугольника. Следовательно, в треугольнике Параллельные прямые внутри треугольникаПараллельные прямые внутри треугольника.

Тогда Параллельные прямые внутри треугольника— равнобедренный с основанием Параллельные прямые внутри треугольника, и его биссектриса Параллельные прямые внутри треугольника( Параллельные прямые внутри треугольника— точка пересечения Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольника) является также высотой, т. е. Параллельные прямые внутри треугольника.

Третий признак равенства треугольников

Теорема 11.1 (третий признак равенства треугольников: по трем сторонам). Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Параллельные прямые внутри треугольника

Доказательство: Рассмотрим треугольники Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольника(рис. 177), у которых Параллельные прямые внутри треугольника, Параллельные прямые внутри треугольника, Параллельные прямые внутри треугольника Параллельные прямые внутри треугольника(эти равенства указывают, какие стороны треугольников соответствуют друг другу). Докажем, что Параллельные прямые внутри треугольникаПараллельные прямые внутри треугольника.

Параллельные прямые внутри треугольника

Расположим треугольники Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольника, так, чтобы вершина Параллельные прямые внутри треугольникасовместилась с вершиной Параллельные прямые внутри треугольникавершина Параллельные прямые внутри треугольника— с Параллельные прямые внутри треугольникаа вершины Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольникалежали в разных полуплоскостях относительно прямой Параллельные прямые внутри треугольника(рис. 178). Проведем отрезок Параллельные прямые внутри треугольника. Поскольку Параллельные прямые внутри треугольника, то треугольник Параллельные прямые внутри треугольника— равнобедренный, значит, Параллельные прямые внутри треугольника. Аналогично можно доказать, что Параллельные прямые внутри треугольника. Следовательно, Параллельные прямые внутри треугольника. Тогда Параллельные прямые внутри треугольника Параллельные прямые внутри треугольникапо первому признаку равенства треугольников.

Казалось бы, доказательство завершено. Однако мы рассмотрели лишь случай, когда отрезок Параллельные прямые внутри треугольникапересекает отрезок Параллельные прямые внутри треугольникаво внутренней точке. На самом деле отрезок Параллельные прямые внутри треугольникаможет проходить через один из концов отрезка Параллельные прямые внутри треугольника, например, через точку Параллельные прямые внутри треугольника(рис. 179), или не иметь общих точек с отрезком Параллельные прямые внутри треугольника(рис. 180). В обоих этих случаях доказательства будут аналогичными приведенному. Проведите их самостоятельно.

Параллельные прямые внутри треугольника

Из третьего признака равенства треугольников следует, что треугольникжесткая фигура. Действительно, если четыре рейки скрепить так, как показано на рисунке 181, а, то такая конструкция не будет жесткой (рис. 181, б, в).

Параллельные прямые внутри треугольника

Если же добавить еще одну рейку, создав два треугольника (рис. 181, г), то полученная конструкция станет жесткой.

Этот факт широко используют в практике (рис. 182).

Параллельные прямые внутри треугольника

Теорема 11.2. Если точка равноудалена от концов отрезка, то она принадлежит серединному перпендикуляру этого отрезка.

Параллельные прямые внутри треугольника

Доказательство: Пусть точка Параллельные прямые внутри треугольникаравноудалена от концов отрезка Параллельные прямые внутри треугольника, т. е. Параллельные прямые внутри треугольника(рис. 183). Рассмотрим треугольники Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольника, где Параллельные прямые внутри треугольника— середина отрезка Параллельные прямые внутри треугольника. Тогда Параллельные прямые внутри треугольникапо третьему признаку равенства треугольников. Отсюда Параллельные прямые внутри треугольника. Но сумма этих углов равна 180°, следовательно, каждый из них равен 90°. Значит, прямая Параллельные прямые внутри треугольника— серединный перпендикуляр отрезка Параллельные прямые внутри треугольника.

Заметим, что мы рассмотрели случай, когда точка Параллельные прямые внутри треугольникане принадлежит прямой Параллельные прямые внутри треугольника. Если точка Параллельные прямые внутри треугольникапринадлежит прямой Параллельные прямые внутри треугольника, то она совпадает с серединой отрезка Параллельные прямые внутри треугольника, а значит, принадлежит его серединному перпендикуляру.

Теоремы

Вы видите, что в учебнике появляется все больше и больше теорем. И это не удивительно: ведь геометрия в основном состоит из теорем и их доказательств. Формулировки всех теорем, которые мы доказали, состоят из двух частей. Первую часть теоремы (то, что дано) называют условием теоремы, вторую часть теоремы (то, что требуется доказать) — заключением.

Например, в теореме 8.1 (первый признак равенства треугольников) условием является то, что две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, а заключением — равенство треугольников.

Все знакомые вам теоремы можно условно разделить на теоремы-свойства и теоремы-признаки. Например, теорема 1.1 устанавливает свойство пересекающихся прямых, теорема 9.1 — свойство равнобедренного треугольника.

Теоремы-признаки перечисляют свойства, по которым можно распознать фигуру, т. е. отнести ее к тому или иному виду (классу). Так, теоремы-признаки равенства треугольников указывают требования, по которым два треугольника можно причислить к классу равных. Например, в теоремах 10.1-10.4 сформулированы свойства, по которым «распознают» равнобедренный треугольник. Теоремы, которые следуют непосредственно из аксиом или теорем, называют теоремами-следствиями или просто следствиями.

Например, теорема 7.1 (неравенство треугольника) является следствием из основного свойства длины отрезка. Свойство углов, противолежащих равным сторонам треугольника, является следствием из теоремы 9.1.

Если в теореме 8.2 о свойстве серединного перпендикуляра поменять местами условие и заключение, то получим теорему 11.2. В таких случаях теоремы называют взаимно обратными. Если какую-то из этих теорем назвать прямой, то вторую теорему будем называть обратной.

При формулировке обратной теоремы надо быть очень внимательными: не всегда можно получить истинное утверждение. Например, утверждение, обратное теореме 4.1 о сумме смежных углов, неверно. Действительно, если сумма каких-то двух углов равна 180°, то совершенно не обязательно, чтобы эти углы были смежными. В таких случаях говорят, что обратная теорема неверна. Вы знаете, что справедливость теоремы устанавливают путем логических рассуждений, т. е. доказательства.

Первая теорема этого учебника была доказана методом от противного. Название этого метода фактически отражает его суть. Мы предположили, что заключение теоремы 1.1 неверно. На основании этого предположения с помощью логических рассуждений был получен факт, который противоречил основному свойству прямой.

Методом от противного также были доказаны и другие теоремы, например теоремы 2.1, 5.1, 10.3.

Очень важно, чтобы доказательство теоремы было полным. Так, полное доказательство теоремы 11.1 (третий признак равенства треугольников) потребовало рассмотрения всех трех возможных случаев. Умение видеть все тонкости доказательства — важнейшее качество, формирующее математическую культуру. Если бы, например, при доказательстве теоремы 8.2 о свойстве серединного перпендикуляра мы не рассмотрели отдельно случай, когда точка Параллельные прямые внутри треугольникаявляется серединой отрезка Параллельные прямые внутри треугольника, то обращение к треугольникам Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольникабыло бы не совсем «законным». При доказательстве теоремы 10.4 (признак равнобедренного треугольника) мы использовали прием дополнительного построения: чертеж дополнили элементами, о которых не шла речь в условии теоремы. Этот метод является ключом к решению многих задач и доказательству ряда теорем. Поэтому очень важно научиться видеть «выгодное» (результативное) дополнительное построение.

А как приобрести такое «геометрическое зрение»? Вопрос непростой, и на него сложно ответить конкретными рекомендациями. Но все же мы советуем, во-первых, не быть равнодушными к геометрии, а полюбить этот красивый предмет, во-вторых, решать больше задач, чтобы развить интуицию и приобрести нужный опыт. Дерзайте!

Видео:Контрольная работа по теме: "Параллельные прямые" | Геометрия 7 классСкачать

Контрольная работа по теме: "Параллельные прямые" | Геометрия 7 класс

Параллельные прямые. Сумма углов треугольника

Как установить параллельность двух прямых? Какими свойствами обладают параллельные прямые? Чему равна сумма углов любого треугольника? Какими свойствами обладает прямоугольный треугольник? Изучив материал этого параграфа, вы получите ответы на поставленные вопросы.

Параллельные прямые

Определение. Две прямые называют параллельными, если они не пересекаются.

Параллельные прямые внутри треугольника

На рисунке 192 изображены параллельные прямые Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольника. Пишут: Параллельные прямые внутри треугольника(читают: «прямые Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольникапараллельны» или «прямая а параллельна прямой Параллельные прямые внутри треугольника»). Если два отрезка лежат на параллельных прямых, то их также называют параллельными.

Параллельные прямые внутри треугольника

На рисунке 193 отрезки Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольникапараллельны. Пишут: Параллельные прямые внутри треугольника.

Параллельные прямые внутри треугольника

Также можно говорить о параллельности двух лучей, луча и отрезка, прямой и луча, отрезка и прямой. Например, на рисунке 194 изображены параллельные лучи.

Теорема 13.1 (признак параллельности прямых). Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны.

Параллельные прямые внутри треугольника

Доказательство: На рисунке 195 Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольника. Надо доказать, чтоПараллельные прямые внутри треугольника.

Параллельные прямые внутри треугольника

Предположим, что прямые Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольникапересекаются в некоторой точке Параллельные прямые внутри треугольника(рис. 196). Тогда через точку Параллельные прямые внутри треугольника, не принадлежащую прямой Параллельные прямые внутри треугольника, проходят две прямые Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольника, перпендикулярные прямой Параллельные прямые внутри треугольника. Это противоречит теореме 7.2. Следовательно, Параллельные прямые внутри треугольника.

Доказанная теорема позволяет с помощью линейки и угольника строить параллельные прямые (рис. 197).

Параллельные прямые внутри треугольника

Следствие. Через данную точку Параллельные прямые внутри треугольника, не принадлежащую прямой Параллельные прямые внутри треугольника, можно провести прямую Параллельные прямые внутри треугольника, параллельную прямой Параллельные прямые внутри треугольника.

Доказательство: Пусть точка Параллельные прямые внутри треугольника не принадлежит прямой Параллельные прямые внутри треугольника (рис. 198).

Параллельные прямые внутри треугольника

Проведем (например, с помощью угольника) через точку Параллельные прямые внутри треугольника прямую Параллельные прямые внутри треугольника, перпендикулярную прямой Параллельные прямые внутри треугольника. Теперь через точку Параллельные прямые внутри треугольника проведем прямую Параллельные прямые внутри треугольника, перпендикулярную прямой Параллельные прямые внутри треугольника. В силу теоремы 13.1 Параллельные прямые внутри треугольника.

Можно ли через точку Параллельные прямые внутри треугольника(рис. 198) провести еще одну прямую, параллельную прямой Параллельные прямые внутри треугольника? Ответ дает следующее

Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Теорема 13.2. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Доказательство: Пусть Параллельные прямые внутри треугольникаиПараллельные прямые внутри треугольника. Докажем, что Параллельные прямые внутри треугольника.

Параллельные прямые внутри треугольника

Предположим, что прямые Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольникане параллельны, а пересекаются в некоторой точке Параллельные прямые внутри треугольника(рис. 199). Получается, что через точку Параллельные прямые внутри треугольникапроходят две прямые, параллельные прямой Параллельные прямые внутри треугольника, что противоречит аксиоме параллельности прямых. Следовательно, Параллельные прямые внутри треугольника.

Пример №30

Докажите, что если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Параллельные прямые внутри треугольника

Решение:

Пусть прямые Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольникапараллельны, прямая Параллельные прямые внутри треугольникапересекает прямую Параллельные прямые внутри треугольникав точке Параллельные прямые внутри треугольника(рис. 200). Предположим, что прямая Параллельные прямые внутри треугольникане пересекает прямую Параллельные прямые внутри треугольника, тогда Параллельные прямые внутри треугольника. Но в этом случае через точку Параллельные прямые внутри треугольникапроходят две прямые Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольника, параллельные прямой Параллельные прямые внутри треугольника, что противоречит аксиоме параллельности прямых. Следовательно, прямая Параллельные прямые внутри треугольникапересекает прямую Параллельные прямые внутри треугольника.

Параллельные прямые внутри треугольника

Признаки параллельности двух прямых

Если две прямые Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольникапересечь третьей прямой Параллельные прямые внутри треугольника, то образуется восемь углов (рис. 204). Прямую с называют секущей прямых Параллельные прямые внутри треугольникаа и Параллельные прямые внутри треугольника.

Параллельные прямые внутри треугольника

  • Углы 3 и 6, 4 и 5 называют односторонними.
  • Углы 3 и 5, 4 и 6 называют накрест лежащими.
  • Углы 6и 2, 5 и 1, 3 и 7, 4 и 8 называют соответственными.

Теорема 14.1. Если накрест лежащие углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.

Параллельные прямые внутри треугольника

Доказательство: На рисунке 205 прямая Параллельные прямые внутри треугольникаявляется секущей прямых Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольника, Параллельные прямые внутри треугольника. Докажем, что Параллельные прямые внутри треугольника.

Параллельные прямые внутри треугольника

Если Параллельные прямые внутри треугольника(рис. 206), то параллельность прямых Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольникаследует из теоремы 13.1.

Параллельные прямые внутри треугольника

Пусть теперь прямая Параллельные прямые внутри треугольникане перпендикулярна ни прямой Параллельные прямые внутри треугольника, ни прямой Параллельные прямые внутри треугольника. Отметим точку Параллельные прямые внутри треугольника— середину отрезка Параллельные прямые внутри треугольника(рис. 207). Через точку Параллельные прямые внутри треугольникапроведем перпендикуляр Параллельные прямые внутри треугольникак прямой Параллельные прямые внутри треугольника. Пусть прямая Параллельные прямые внутри треугольникапересекает прямую Параллельные прямые внутри треугольникав точке Параллельные прямые внутри треугольника. Имеем: Параллельные прямые внутри треугольникапо условию; Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольникаравны как вертикальные.

Следовательно, Параллельные прямые внутри треугольникапо второму признаку равенства треугольников. Отсюда Параллельные прямые внутри треугольника. Мы показали, что прямые Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольникаперпендикулярны прямой Параллельные прямые внутри треугольника, значит, они параллельны.

Теорема 14.2. Если сумма односторонних углов, образующихся при пересечении двух прямых секущей, равна 180°, то прямые параллельны.

Параллельные прямые внутри треугольника

Доказательство: На рисунке 208 прямая Параллельные прямые внутри треугольникаявляется секущей прямых Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольника, Параллельные прямые внутри треугольника. Докажем, что Параллельные прямые внутри треугольника.

Углы 1 и 3 смежные, следовательно, Параллельные прямые внутри треугольника. Тогда Параллельные прямые внутри треугольника. Но они накрест лежащие. Поэтому в силу теоремы 14.1 Параллельные прямые внутри треугольника.

Теорема 14.3. Если соответственные углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.

Параллельные прямые внутри треугольника

Доказательство: На рисунке 209 прямая Параллельные прямые внутри треугольникаявляется секущей прямых Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольника, Параллельные прямые внутри треугольника. Докажем, что Параллельные прямые внутри треугольника.

Углы 1 и 3 равны как вертикальные. Следовательно, Параллельные прямые внутри треугольника. Но они накрест лежащие. Поэтому в силу теоремы 14.1 Параллельные прямые внутри треугольника. ▲

Параллельные прямые внутри треугольника

Пример №31

На рисунке 210 Параллельные прямые внутри треугольника, Параллельные прямые внутри треугольника. Докажите, что Параллельные прямые внутри треугольника.

Решение:

Рассмотрим Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольника. Параллельные прямые внутри треугольника, Параллельные прямые внутри треугольника— по условию. Параллельные прямые внутри треугольника— общая сторона. Значит, Параллельные прямые внутри треугольникапо двум сторонам и углу между ними. Тогда Параллельные прямые внутри треугольника. Кроме того, Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольника— накрест лежащие при прямых Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольникаи секущей Параллельные прямые внутри треугольника. Следовательно, Параллельные прямые внутри треугольника.

Пятый постулат Евклида

В качестве аксиом выбирают очевидные утверждения. Тогда почему бы, например, теоремы 1.1-5.1 не включить в список аксиом: ведь они тоже очевидны? Ответ на этот вопрос совершенно ясен: если какое-то утверждение можно доказать с помощью аксиом, то это утверждение — теорема, а не аксиома.

С этих позиций очень поучительна история, связанная с пятым постулатом Евклида (напомним, что в рассказе «Из истории геометрии» мы сформулировали первых четыре постулата).

Параллельные прямые внутри треугольника

V постулат. И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых, эти прямые пересекались с той стороны от секущей, с которой эта сумма меньше двух прямых углов (рис. 225).

Можно показать, что пятый постулат и сформулированная нами в п. 13 аксиома параллельности прямых равносильны, т. е. из постулата следует аксиома и наоборот — из аксиомы следует постулат.

Более 20 веков многие ученые пытались доказать пятый постулат (аксиому параллельности прямых), т. е. вывести его из других аксиом Евклида. Лишь в начале XIX века несколько матема- / тиков независимо друг от друга пришли ДР к выводу: утверждение, что через данную точку, не лежащую на данной, прямой, можно провести только одну прямую, парал- а + р 0 .

Доказательство: Рассмотрим произвольный треугольник Параллельные прямые внутри треугольника. Требуется доказать, что Параллельные прямые внутри треугольника.

Параллельные прямые внутри треугольника

Через вершину Параллельные прямые внутри треугольникапроведем прямую Параллельные прямые внутри треугольника, параллельную прямой Параллельные прямые внутри треугольника(рис. 245). Имеем: Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольникаравны как накрест лежащие при параллельных прямых Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольникаи секущей Параллельные прямые внутри треугольника. Аналогично доказываем, что Параллельные прямые внутри треугольника. Но углы 1, 2, 3 составляют развернутый угол с вершиной Параллельные прямые внутри треугольника. Следовательно, Параллельные прямые внутри треугольника.

Следствие. Среди углов треугольника хотя бы два угла острые.

Докажите эту теорему самостоятельно.

Определение. Внешним углом треугольника называют угол, смежный с углом этого треугольника.

Параллельные прямые внутри треугольника

На рисунке 246 углы 1, 2, 3 являются внешними углами треугольника Параллельные прямые внутри треугольника.

Теорема 16.2. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

Доказательство: На рисунке 246 Параллельные прямые внутри треугольника— внешний. Надо доказать, что Параллельные прямые внутри треугольника.

Очевидно, что Параллельные прямые внутри треугольника. Та как Параллельные прямые внутри треугольникаПараллельные прямые внутри треугольника, то Параллельные прямые внутри треугольника, отсюда Параллельные прямые внутри треугольника.

Следствие. Внешний угол треугольника больше каждого из углов треугольника, не смежных с ним.

Докажите эту теорему самостоятельно.

Вы уже знаете, что в треугольнике против равных сторон лежат равные углы, и наоборот, против равных углов лежат равные стороны (п. 9, 10). Это свойство дополняет следующая

Теорема 16.3. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и наоборот, против большего угла лежит большая сторона.

Параллельные прямые внутри треугольника

Доказательство: Рассмотрим треугольник Параллельные прямые внутри треугольника, у которого Параллельные прямые внутри треугольника. Надо доказать, что Параллельные прямые внутри треугольника(рис. 247).

Поскольку Параллельные прямые внутри треугольника, то на стороне Параллельные прямые внутри треугольниканайдется такая точка Параллельные прямые внутри треугольника, что Параллельные прямые внутри треугольника. Получили равнобедренный треугольник Параллельные прямые внутри треугольника, в котором Параллельные прямые внутри треугольника.

Так как Параллельные прямые внутри треугольника— внешний угол треугольника Параллельные прямые внутри треугольника, то Параллельные прямые внутри треугольника. Следующая «цепочка» доказывает первую часть теоремы:

Параллельные прямые внутри треугольника

Рассмотрим треугольник Параллельные прямые внутри треугольника, у которого Параллельные прямые внутри треугольника. Надо доказать, что Параллельные прямые внутри треугольника.

Параллельные прямые внутри треугольника

Поскольку Параллельные прямые внутри треугольника, то угол Параллельные прямые внутри треугольникаможно разделить на два угла Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольникатак, что Параллельные прямые внутри треугольника(рис. 248). Тогда Параллельные прямые внутри треугольника— равнобедренный с равными сторонами Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольника.

Используя неравенство треугольника, получим: Параллельные прямые внутри треугольника.

Пример №34

Медиана Параллельные прямые внутри треугольникатреугольника Параллельные прямые внутри треугольникаравна половине стороны Параллельные прямые внутри треугольника. Докажите, что Параллельные прямые внутри треугольника— прямоугольный.

Параллельные прямые внутри треугольника

Решение:

По условию Параллельные прямые внутри треугольника(рис. 249). Тогда в треугольнике Параллельные прямые внутри треугольника. Аналогично Параллельные прямые внутри треугольника, и в треугольнике Параллельные прямые внутри треугольника. В Параллельные прямые внутри треугольника: Параллельные прямые внутри треугольника. Учитывая, что Параллельные прямые внутри треугольникаПараллельные прямые внутри треугольника, имеем:

Параллельные прямые внутри треугольника.

Следовательно, Параллельные прямые внутри треугольника— прямоугольный.

Прямоугольный треугольник

На рисунке 255 изображен прямоугольный треугольник Параллельные прямые внутри треугольника, у которого Параллельные прямые внутри треугольника.

Сторону прямоугольного треугольника, противолежащую прямому углу, называют гипотенузой, а стороны, прилежащие к прямому углу, — катетами (рис. 255).

Параллельные прямые внутри треугольника

Для доказательства равенства двух треугольников находят их равные элементы. У любых двух прямоугольных треугольников такие элементы есть всегда — это прямые углы. Поэтому для прямоугольных треугольников можно сформулировать «персональные» признаки равенства.

Теорема17.1 (признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету). Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.

Параллельные прямые внутри треугольника

Доказательство: Рассмотрим треугольники Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольника, у которых Параллельные прямые внутри треугольника, Параллельные прямые внутри треугольника, Параллельные прямые внутри треугольника(рис. 256). Надо доказать, что Параллельные прямые внутри треугольника.

Расположим треугольники Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольникатак, чтобы вершина Параллельные прямые внутри треугольникасовместилась Параллельные прямые внутри треугольникавершиной Параллельные прямые внутри треугольникавершина Параллельные прямые внутри треугольника— с вершиной Параллельные прямые внутри треугольника, а точки Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольникалежали в разных полуплоскостях относительно прямой Параллельные прямые внутри треугольника(рис. 257).

Параллельные прямые внутри треугольника

Имеем: Параллельные прямые внутри треугольника. Значит, угол Параллельные прямые внутри треугольника— развернутый, и тогда точки Параллельные прямые внутри треугольникалежат на одной прямой. Получили равнобедренный треугольник Параллельные прямые внутри треугольникас боковыми сторонами Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольника, и высотой Параллельные прямые внутри треугольника(рис. 257). Тогда Параллельные прямые внутри треугольника— медиана этого треугольника, и Параллельные прямые внутри треугольника Параллельные прямые внутри треугольникаСледовательно, Параллельные прямые внутри треугольникапо третьему признаку равенства треугольников.

При решении задач удобно пользоваться и другими признаками равенства прямоугольных треугольников, непосредственно вытекающими из признаков равенства треугольников.

Признак равенства прямоугольных треугольников по двум к а т е т а м. Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.

Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и прилежащему острому углу. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны.

Очевидно, что если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то равны и два других острых угла. Воспользовавшись этим утверждением, список признаков равенства прямоугольных треугольников можно дополнить еще двумя признаками.

Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему острому углу. Если катет и противолежащий ему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему ему острому углу другого, то такие треугольники равны. Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.

Пример №35

Докажите равенство прямоугольных треугольников по острому углу и биссектрисе, проведенной из вершины этого угла.

Параллельные прямые внутри треугольника

Решение:

В треугольниках Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольника(рис. 258) Параллельные прямые внутри треугольника, Параллельные прямые внутри треугольникаотрезки Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольника— биссектрисы, Параллельные прямые внутри треугольника.

Так как Параллельные прямые внутри треугольника

Параллельные прямые внутри треугольника

то прямоугольные треугольники Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольникаравны по гипотенузе и острому углу. Тогда Параллельные прямые внутри треугольникаи прямоугольные треугольники Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольникаравны по катету и прилежащему острому углу.

Свойства прямоугольного треугольника

Теорема 18.1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

Доказательство: Каждый из катетов лежит против острого угла, а гипотенуза лежит против прямого угла. Прямой угол больше острого угла, следовательно, в силу теоремы 16.3 гипотенуза больше любого из катетов.

Следствие. Если из одной точки, не лежащей на прямой, к этой прямой проведены перпендикуляр и наклонная, то перпендикуляр меньше наклонной.

Параллельные прямые внутри треугольника

На рисунке 267 отрезок Параллельные прямые внутри треугольника— перпендикуляр, отрезок Параллельные прямые внутри треугольника— наклонная, Параллельные прямые внутри треугольника. Часто при решении задач используют результаты следующих двух задач.

Пример №36

Катет, лежащий против угла, величина которого равна 30°, равен половине гипотенузы.

Решение:

Рассмотрим треугольник Параллельные прямые внутри треугольника, в котором Параллельные прямые внутри треугольника, Параллельные прямые внутри треугольника. Надо доказать, что Параллельные прямые внутри треугольника.

Параллельные прямые внутри треугольника

На прямой Параллельные прямые внутри треугольникаотложим отрезок Параллельные прямые внутри треугольника, равный отрезку Параллельные прямые внутри треугольника(рис. 268). Тогда Параллельные прямые внутри треугольникапо двум катетам. Действительно, стороны Параллельные прямые внутри треугольникаи Параллельные прямые внутри треугольникаравны по построению, Параллельные прямые внутри треугольника— общая сторона этих треугольников и Параллельные прямые внутри треугольника. Тогда Параллельные прямые внутри треугольника. Отсюда Параллельные прямые внутри треугольника. Следовательно, Параллельные прямые внутри треугольникаи треугольник Параллельные прямые внутри треугольника— равносторонний. Значит,

Параллельные прямые внутри треугольника

Пример №37

Если катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.

Решение:

Рассмотрим треугольник Параллельные прямые внутри треугольника, в котором Параллельные прямые внутри треугольника, Параллельные прямые внутри треугольника. Надо доказать, что Параллельные прямые внутри треугольника. На прямой Параллельные прямые внутри треугольникаотложим отрезок Параллельные прямые внутри треугольника, равный отрезку Параллельные прямые внутри треугольника(рис. 268). Тогда Параллельные прямые внутри треугольника. Кроме того, отрезок Параллельные прямые внутри треугольникаявляется медианой и высотой треугольника Параллельные прямые внутри треугольника, следовательно, по признаку равнобедренного треугольника Параллельные прямые внутри треугольника. Теперь ясно, что Параллельные прямые внутри треугольникаи треугольник Параллельные прямые внутри треугольника— равносторонний. Так как отрезок Параллельные прямые внутри треугольника— биссектриса треугольника Параллельные прямые внутри треугольника, то Параллельные прямые внутри треугольника.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Решение треугольников
  • Треугольники и окружность
  • Площадь треугольника
  • Соотношения между сторонами и углами произвольного треугольника
  • Геометрические фигуры и их свойства
  • Основные фигуры геометрии и их расположение в пространстве
  • Пространственные фигуры — виды, изображения, свойства
  • Взаимное расположения прямых на плоскости

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

🎦 Видео

МЕРЗЛЯК 7 ГЕОМЕТРИЯ. СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ. ПАРАГРАФ-15Скачать

МЕРЗЛЯК 7 ГЕОМЕТРИЯ. СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ. ПАРАГРАФ-15

№194. Начертите треугольник. Через каждую вершину этого треугольника с помощью чертежногоСкачать

№194. Начертите треугольник. Через каждую вершину этого треугольника с помощью чертежного

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ. §13 геометрия 7 классСкачать

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ. §13 геометрия 7 класс

8 класс. ГеометрияСкачать

8 класс. Геометрия

7 класс, 28 урок, Аксиома параллельных прямыхСкачать

7 класс, 28 урок, Аксиома параллельных прямых

Кружок 4-7. Перечень 8-9. Начала планиметрии. Параллельные прямые, равенство треугольниковСкачать

Кружок 4-7. Перечень 8-9. Начала планиметрии. Параллельные прямые, равенство треугольников
Поделиться или сохранить к себе: