Параллельной проекцией прямой является прямая а проекцией отрезка отрезок доказательство (2 видео)

Содержание

Параллельной проекцией прямой является прямая а проекцией отрезка отрезок доказательство
§ 4. Параллельное и центральное проектирования
Свойства параллельного проектирования
💡 Видео

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельной проекцией прямой является прямая а проекцией отрезка отрезок доказательство

§ 12. Параллельное проектирование и его свойства.

В начале учебника на плоскости изображены некоторые фигуры, расположенные в пространстве. Эти изображения строились с целью придать наглядность тому, о чём шла речь в соответствующей теореме или задаче.

Однако изображения пространственных фигур на плоскости строятся по определённым правилам и в школьном курсе геометрии обычно осуществляются с помощью метода параллельного проектирования, сущность которого состоит в следующем.

В пространстве выбирается произвольная плоскость π Плоскость проекций в начертательной геометрии чаще всего обозначают π . , которую называют плоскостью проекций или плоскостью изображения , и прямая l , пересекающая эту плоскость (рис. 71, а ).

Пусть M ′ — произвольная точка пространства. Через эту точку проведём прямую p , параллельную l . Точка M пересечения прямой p с плоскостью π называется параллельной проекцией точки M ′ на плоскость π в направлении прямой l . Если M ′ — точка плоскости π , то M совпадает с M ′ .

При этом часто пользуются обозначением: M = П ( M ′ ).

Прямую l и все прямые пространства, параллельные ей, называют проектирующими прямыми ; они определяют направление проектирования. Всякая плоскость пространства, параллельная проектирующей прямой, называется проектирующей плоскостью .

Фигура, которую проектируют или изображают, называется оригиналом. Для построения проекции фигуры достаточно построить проекции всех точек этой фигуры или проекции точек фигуры, её определяющих. На рисунке 71, б треугольник ABC является параллельной проекцией треугольника A ′ B ′ C ′ на плоскость π в направлении прямой l .

Замечание. Наряду с параллельным проектированием рассматривается также центральное проектирование фигур на плоскость. В этом случае проектирующие прямые проходят через одну точку — центр проектирования , произвольно выбранную вне плоскости проекций (рис. 71, в ).

Параллельное и центральное проектирование можно наблюдать в реальном пространстве: тень, которую отбрасывает предмет в солнечный день, является параллельной проекцией этого предмета, так как солнечные лучи можно считать приближённо параллельными вследствие большого удаления Солнца от Земли. А изображение на экране кинотеатра фигуры, заснятой на киноплёнку, является центральной проекцией этой фигуры.

На рисунках 72, 73, 74 изображены в параллельной проекции соответственно квадрат, треугольник и каркас тетраэдра. По этим рисункам можно сделать предположение, что ни величина угла, ни длина отрезка при параллельном проектировании, вообще говоря, не сохраняются.

Рассмотрим некоторые свойства параллельного проектирования.

1. Все точки проектирующей прямой проектируются в одну точку — точку пересечения этой прямой с плоскостью проекций (рис. 75).

В дальнейшем мы будем рассматривать проекции прямых, не параллельных проектирующим прямым.

2. Проекция прямой есть прямая. Действительно, все прямые, проектирующие точки данной прямой m ′ (рис. 76), принадлежат некоторой проектирующей плоскости, которая пересекает плоскость проекций по некоторой прямой m — параллельной проекции прямой m ′ .

Причём, так как через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести лишь одну прямую, параллельную этой прямой (т. 6) (мы проводим прямые, параллельные прямой l ), то каждая точка прямой m ′ проектируется в единственную точку своей проекции — прямой m , и наоборот, каждая точка прямой m является проекцией единственной точки прямой m ′ .

Из доказательства этого свойства следует: три точки, лежащие на одной прямой, проектируются в три точки, также лежащие на одной прямой .

Также говорят, что три коллинеарные точки проектируются в три коллинеарные точки .

3. Две параллельные прямые проектируются либо в две параллельные прямые, либо в одну и ту же прямую. Действительно, если прямые a ′ и b ′ лежат в одной проектирующей плоскости, то они проектируются в одну и ту же прямую, а именно, в прямую, по которой эта проектирующая плоскость пересекает плоскость проекций.

Пусть теперь прямые a ′ и b ′ параллельны (рис. 77) и не лежат в одной проектирующей плоскости.

Обозначим через α и β плоскости, образованные прямыми, проектирующими точки прямых соответственно a ′ и b ′ . Прямые a и b , по которым плоскости α и β пересекают плоскость проекции, не могут пересекаться, так как если бы эти прямые имели общую точку M , то и прямые a ′ и b ′ по свойству 2 имели бы общую точку M ′ , что невозможно в силу параллельности прямых a ′ и b ′ . А так как прямые a и b лежат в одной плоскости (плоскости проекций) и не имеют общей точки, то они параллельны, т. е. параллельными проекциями параллельных прямых, не лежащих в одной проектирующей плоскости, являются параллельные прямые.

Заметим, что плоскости α и β , проектирующие параллельные прямые a ′ и b ′ , не лежащие в одной проектирующей плоскости, параллельны (в п. 9.1 показано, что параллельные плоскости существуют; о свойствах параллельных плоскостей речь пойдёт в следующей главе).

4. Проекции параллельных отрезков лежат либо на параллельных прямых, либо на одной прямой. Отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых, равно отношению длин проекций этих отрезков.

Если отрезки A ′ B ′ и B ′ C ′ лежат на одной прямой a ′ и проектируются на отрезки соответственно AB и BC прямой a (рис. 78), то по обобщённой теореме Фалеса в плоскости, определяемой прямыми a и a ′ , получаем A ′ B ′ : B ′ C ′ = AB : BC = m : n .

Пусть теперь отрезки A ′ B ′ и C ′ D ′ расположены соответственно на данных параллельных прямых a ′ и b ′ , не лежащих в одной проектирующей плоскости, и A ′ B ′ : C ′ D ′ = m : n ; AB и CD , a и b — соответственно их параллельные проекции на плоскость π (рис. 79).

Так как a ′ ‖ b ′ , то (по свойству 3) a ‖ b . Пусть E — такая точка прямой a , что четырёхугольник BCDE — параллелограмм. Тогда на прямой a ′ существует (единственная!) такая точка E ′ , что E ′ E ‖ DD ′ и A ′ B ′ : B ′ E ′ = AB : BE . А так как BC ‖ ED , то B ′ C ′ ‖ E ′ D ′ (по свойству 3), значит, B ′ C ′ D ′ E ′ — параллелограмм. Поэтому A ′ B ′ : C ′ D ′ = A ′ B ′ : B ′ E ′ = AB : BE = AB : CD , т. е. A ′ B ′ : C ′ D ′ = AB : CD = m : n .

Из этого свойства, очень важного для теории построений изображений пространственных фигур на плоскости, следует не менее важный вывод: если отрезок A ′ C ′ параллельно проектируется на отрезок AC и точка B ′ делит отрезок A ′ C ′ в отношении A ′ B ′ : B ′ C ′ = m : n , то точка B — проекция точки B ′ — делит отрезок AC в том же отношении m : n , т. е. AB : BC = A ′ B ′ : B ′ C ′ = m : n . В частности, середина отрезка A ′ C ′ параллельно проектируется в середину отрезка AC ( m : n = 1 : 1) (рис. 80).

Пусть M — внутренняя точка отрезка AB .

Определение. Число λ , равное отношению длин отрезков AM и MB , на которые точка M делит отрезок AB , называется простым отношением трёх точек A , B и M , лежащих на одной прямой, и обозначается ( AB ; M ), т. е. ( AB ; M ) = λ = AM : MB .

При этом точки A и B называются базисными , а точка M — делящей точкой.

Упорядоченность точек простого отношения необходима. Например, если AA 1 — медиана треугольника ABC , M — его центроид (точка пересечения медиан треугольника), то ( AA 1 ; M ) = AM : MA 1 = 2 : 1, но ( A 1 A ; M ) = A 1 M : MA = 1 : 2 (рис. 81). Поэтому, если AM ≠ MA 1 , то

( AA 1 ; M ) ≠ ( A 1 A ; M ).

Учитывая свойство 4 параллельного проектирования, можно сделать вывод: простое отношение трёх точек, лежащих на одной прямой, при параллельном проектировании сохраняется . В этом случае также говорят, что простое отношение трёх точек, лежащих на одной прямой, — инвариант параллельного проектирования .

Свойства фигуры, сохраняющиеся при параллельном проектировании, называются аффинными свойствами этой фигуры. Например, свойства прямых быть параллельными — аффинное свойство этих прямых; инвариантность простого отношения трёх точек одной прямой — аффинное свойство таких точек.

Подробнее о параллельном проектировании и изображениях фигур на плоскости читайте в конце учебника.

Определение. Проектирование в направлении прямой, перпендикулярной плоскости проекций, называется ортогональным.

Удобно пользоваться обозначением: M = П ( M ′ ).

Ортогональное проектирование является частным случаем параллельного и обладает всеми его свойствами. Однако, если при параллельном проектировании, не являющимся ортогональным, длина проекции отрезка может быть меньше, больше или равна длине самого отрезка, то при ортогональном проектировании длина проекции отрезка не больше, чем длина самого отрезка, и длины этих отрезков связаны соотношением: П ( AB ) = | AB |•cos ϕ , где ϕ — величина угла между прямой AB и плоскостью проекций α .

Задания для работы с интернет-ресурсами

1. Наберите в поисковой системе слова «Перпендикулярность прямой и плоскости», «Перпендикуляр и наклонная к плоскости», «Наклонная и её проекция на плоскость», «Теорема о трёх перпендикулярах». На изображениях куба, параллелепипеда найдите рёбра и диагонали, перпендикулярные граням и сечениям этих многогранников. Найдите видеоролики с лекциями опытных педагогов и геометров, в которых выражаются различные взгляды как на теорию, так и на решение задач по этим вопросам.

2. Наберите в поисковой системе слова «угол между наклонной и плоскостью». Поищите задачи ЕГЭ типа С-2, в которых используется нахождение угла между прямой и плоскостью, посмотрите, как они решаются, попробуйте решить их самостоятельно. Если вам удалось найти в Интернете тренинг по решению задач этой темы, то попытайтесь им воспользоваться. Однако решать такие задачи целесообразнее после изучения темы «Расстояния в пространстве». Скоро вы изучите эту тему.

3. Изображения фигур на плоскости и в живописи подчиняются определённым законам. Найдите в Интернете такие имена, как Филиппо Брунеллески (1377—1446), Леонардо да Винчи (1452—1519) и Альбрехт Дюрер (1471—1528). Вы увидите творчество этих великих художников. Однако существует направление, которое называется импоссибилизм (impossibility — невозможность) — изображение невозможных фигур, парадоксов. Представителем этого направления живописи является известный голландский художник Мауриц Эшер (1898—1972). Найдите статьи, посвящённые его творчеству, а главное, найдите сами репродукции картин, которые представляют большой интерес и с точки зрения геометрии.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

§ 4. Параллельное и центральное проектирования

4.1 Определение и основные свойства параллельного проектирования

Параллельным проектированием пользуются, например, при изображении на плоскости (скажем, на бумаге) фигур, расположенных в пространстве. Определяется оно так. Пусть даны плоскость а и пересекающая её прямая а. Возьмём в пространстве произвольную точку X. В том случае, когда точка X не лежит на прямой а, через X проводим прямую а’, параллельную прямой а (рис. 42). Прямая а’ пересекает плоскость а в некоторой точке X’.

Эта точка называется параллельной проекцией (на плоскость а) точки X при проектировании в направлении прямой а. Если же точка X лежит на прямой а, то её параллельной проекцией X’ называется точка, в которой а пересекает а.

О прямой а говорят, что она задаёт направление проектирования. При замене прямой а любой другой параллельной ей прямой направление проектирования не изменится (поскольку две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны).

Проекцией фигуры F называется фигура F’, состоящая из проекций всех точек фигуры F. Параллельную проекцию реальной фигуры представляет, например, её тень, падающая на плоскую поверхность при солнечном освещении, поскольку солнечные лучи можно считать параллельными (рис. 43). Перед вами картина И. И. Шишкина «Сосны, освещённые солнцем». Так, глядя на свою тень на земле, вы видите свою параллельную проекцию.

Выполняя параллельное проектирование, мы каждой точке фигуры F сопоставляли некоторую точку на плоскости а, т. е. выполняли некоторое преобразование фигуры F в фигуру F’. Напомним, что вообще преобразование некоторой фигуры F состоит в том, что каждой её точке X сопоставляется некоторая точка X’ (рис. 44). Все точки X’ образуют некоторую фигуру F’, и говорят, что фигура F преобразуется в фигуру F’. Говорят также, что точка X’ является образом точки Х, а фигура F’ — образом фигуры F для данного преобразования. Мы будем рассматривать различные преобразования фигур — проектирования, симметрии, движения, подобия.

Мы уже пользуемся параллельным проектированием при изображении пространственных фигур на плоскости и опираемся на его свойства для изображения отрезков и прямых, не параллельных направлению проектирования. Сформулируем и докажем их.

Свойство 1. Проекцией прямой является прямая, а проекцией отрезка — отрезок.

Свойство 2. Проекции параллельных прямых параллельны или совпадают.

Свойство 3. Отношение проекций отрезков, лежащих на одной прямой, равно отношению самих отрезков.

Доказательство. Пусть α — плоскость проекции и прямая а задаёт направление проектирования.

1. Рассмотрим какую-либо прямую Ь, не параллельную прямой а. Так как а можно заменить любой параллельной ей прямой, то можно считать, что а пересекает Ь. Тогда через прямые а и b проходит плоскость β. Она пересекает плоскость α по некоторой прямой b’. Прямая Ь’ и будет проекцией прямой b (рис. 45).

В самом деле, проекцией каждой точки X ∈ Ь будет некоторая точка X’ ∈ Ь’ и каждая точка Y’ ∈ b’ является проекцией некоторой точки Y ∈ b. Это так, поскольку все проектирующие прямые, пересекающие прямую b (прямую b’), находятся в плоскости β, а значит, пересекают прямую b'(прямую Ь).

Любой отрезок АВ, лежащий на прямой b, проектируется в отрезок А’В’ прямой Ь’ где А’ и В’ — проекции точек А и В. Действительно, проектирующая прямая а, проходящая через любую внутреннюю точку X отрезка АВ, идёт между проектирующими прямыми, проходящими через А и В. Поэтому и точка X’ лежит между А’ и В’, т. е. на отрезке А’В’. Когда X пробегает отрезок АВ, точка X’ пробегает отрезок А’В’.

2. Пусть теперь даны две параллельные прямые b и с. Возможны два случая,

а) Некоторая проектирующая прямая р||а пересекает и прямую b, и прямую с. Тогда эта прямая р лежит в плоскости β содержащей прямые b и с. В этом случае и все другие проектирующие прямые, которые лежат в плоскости β пересекают и b, и с, а потому проекцией этих прямых в направлении а на плоскость а является прямая пересечения плоскостей α и β.
б) Не существует проектирующих прямых, пересекающих одновременно и Ь, и с. В этом случае проекции прямых b и с на плоскость α — прямые Ь’ и с’ — не имеют общих точек, т. е. параллельны (рис. 46, а).

3. Рассмотрим два отрезка АВ и CD у лежащие на прямой Ь. Проекции А’В’ и C’D’ отрезков АВ и CD лежат на прямой b’ (рис. 46, б). Проектирующие прямые, проходящие через точки А, B, С, D, параллельны прямой а и, стало быть, параллельны друг другу. Кроме того, они все лежат в плоскости β. По известной теореме планиметрии параллельные прямые отсекают на двух прямых пропорциональные отрезки. Значит, АВ : CD = А’В’: C’D’.

Все три свойства доказаны.

4.2 Изображение разных фигур в параллельной проекции

Рисунки, иллюстрирующие предложения стереометрии и представляющие фигуры в пространстве, делают обычно в параллельной проекции. Точнее, за изображение фигуры принимается фигура, подобная какой-либо её параллельной проекции. Фигура, подобная параллельной проекции фигуры, очевидно, обладает теми же свойствами, которые доказаны в п. 4.1. Поэтому, делая рисунки, надо следить за тем, чтобы выполнялись эти свойства.

Рассмотрим изображения некоторых фигур. Случай, когда фигура лежит в плоскости, заполненной проектирующими прямыми, и, следовательно, проектируется в фигуру, лежащую на прямой, исключаем.

1. Треугольник. Каждый треугольник можно параллельно спроектировать так, что в проекции получится треугольник любого вида, т. е. подобный любому заданному треугольнику.

Действительно, пусть даны два треугольника АBС и А₁В₁С₁. Проведём через прямую АВ плоскость а, пересекающую плоскость треугольника АBС. На ней построим треугольник АBС’, подобный треугольнику АХВгС19 прилегающий к треугольнику АBС по стороне АВ (рис. 46, в). Тогда при проектировании на плоскость α параллельно прямой СС треугольник АБС спроектируется на треугольник ABC’ так, что его проекция будет подобна треугольнику А₁В₁С₁. В частности, всякий треугольник можно спроектировать так, чтобы получился равносторонний треугольник.

2. Параллелограмм. Изображением параллелограмма может служить любой параллелограмм. (Почему? Какая связь с изображением треугольника?)

3. Изображение плоской фигуры. Для изображения плоской фигуры можно поступить так. В данной фигуре выделяют какие-нибудь три точки, не лежащие на одной прямой, и строят треугольник с вершинами в этих точках; обозначим их А, В, С (рис. 47). Строят изображение треугольника ABC в виде произвольного треугольника А’В’С’. После того как построено это изображение, никакого произвола в изображении фигуры быть не может. Покажем это.

Пусть изображением треугольника ABC служит треугольник А’В’С’ (рис. 48). Пусть точка X лежит в плоскости ABC и луч СХ пересекает отрезок АВ во внутренней его точке D. Проекция точки D — точка D’ — лежит на отрезке А’В’ (откуда это следует?), и .

Следовательно, точку D’ на отрезке А’В’ можно построить на рисунке (как?). Далее проводим луч C’D’ и на нём отмечаем такую точку X’, что (объясните, как это сделать). Мы построили на рисунке проекцию данной точки X плоскости ABC. (Точка X может располагаться и по-иному относительно треугольника ABC, но и тогда построение будет аналогичным.)

4. Тетраэдр. Изображать тетраэдр можно любым по форме четырёхугольником с диагоналями. Эту трудную теорему доказали в середине XIX века два немецких геометра Карл Польке и Герман Шварц. Чаще всего тетраэдр рисуют так, как он изображён на рисунке 49, а (штриховой линией выделяется невидимое ребро). Но можно его изобразить и так, как на рисунке 49, б: это правильно, но менее наглядно.

5. Изображение пространственной фигуры. При изображении пространственной фигуры роль изображения тетраэдра аналогична роли изображения треугольника при изображении плоской фигуры. Изображая пространственную фигуру, в ней выделяют сначала четыре точки, не лежащие в одной плоскости, т. е. вершины некоторого тетраэдра, и строят его изображение. После того как построено изображение этого тетраэдра, никакого произвола в изображении точек данной фигуры быть не должно. Покажем это.

Пусть ABCD — выделенный тетраэдр, а A’B’C’D’ — его изображение. Возьмём точку X данной фигуры, и пусть луч СХ пересекает плоскость ABD в точке К внутри треугольника ABD (рис. 50). Изображение точки К — точка К’ лежит внутри треугольника A’B’D’ (откуда это следует?), причём она может быть построена (мы показали это в примере 3). Но тогда изображение X’ точки X лежит на луче С’К’ причём .

Точка X может располагаться по-иному относительно тетраэдра, но и тогда рассуждение будет аналогичным.

Вообще же, как вы уже поняли, глядя, например, на рисунок 29, далеко не каждому рисунку соответствует пространственная фигура, которую изображает данный рисунок. Завершим этот пункт тремя известными парадоксами, основанными на неверном изображении пространственных объектов (рис. 51—52).

Какие из правил изображения в них нарушены?

4.3 Центральное проектирование

В курсах геометрии для изображения на плоскости чертежа или рисунка пространственных фигур применяется параллельное проектирование. Но в живописи, архитектуре и при фотографировании используется другой вид проектирования на плоскость — центральное проектирование. Его свойства сложнее свойств параллельного проектирования, но оно даёт большую наглядность изображению.

Центральное проектирование на плоскость определяется так. В пространстве фиксируется некоторая точка О (центр проектирования) и плоскость α (плоскость проекций), не проходящая через О. Через любую точку X проводится прямая ОХ — проектирующая прямая.

Если прямая ОХ пересекает α, то точка X’ их пересечения называется центральной проекцией точки X на плоскость α из точки О (рис. 53).

Из данного определения следует, что не каждая точка пространства проектируется из центра О в некоторую точку плоскости α: если прямая ОХ параллельна α, то точки X’ нет (в то время как при параллельном проектировании все точки имеют проекции).

Центральное проектирование не сохраняет параллельности прямых (рис. 54; вспомните, что, когда мы смотрим вдаль на параллельные рельсы, нам кажется, что они пересекаются на линии горизонта).

Легко понять, что и отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой, не параллельной плоскости проекций, не сохраняется при центральном проектировании (рис. 55).

Примерами фигур, получающихся друг из друга при центральном проектировании, являются сечения одного конуса разными плоскостями (см. рис. 162, б, 164, а, 165, в, 167, 168).

Изображение пространственных фигур на плоскости с помощью центрального проектирования называется перспективой. Теория перспективы возникла из потребностей архитектуры и живописи. Некоторые законы перспективы были известны ещё древнегреческим геометрам: Аполлонию Пергскому (III в. до н.э.), Meнелаю (I в.), Паппу (III в.).

Теорией перспективы занимались крупнейшие художники эпохи Возрождения — Леонардо да Винчи (1452—1519) и Альбрехт Дюрер (1471—1528).

В дальнейшем теория перспективы развилась в один из разделов современной геометрии — проективную геометрию — учение о свойствах фигур, сохраняющихся при центральном проектировании.

Основы её заложил французский математик Жерар Дезарг (1591—1661). Он ввёл так называемые бесконечно удалённые элементы. Дезарг считал, что все параллельные друг другу прямые пересекаются в одной бесконечно удалённой точке, а все бесконечно удалённые точки одной плоскости лежат на одной бесконечно удалённой прямой.

Окончательно проективная геометрия оформилась как самостоятельная область геометрии в работах французского геометра Жана Виктора Понселе (1788—1867). (Ж.-В. Понселе был офицером наполеоновской армии и свой основной труд «Трактат о проективных свойствах фигур», вышедший в 1822 г., написал в 1813—1814 гг. в Саратове, находясь в русском плену.)

Видео:17 Средняя длина проекции отрезка на прямуюСкачать

Свойства параллельного проектирования

Свойство 1. Проекция прямой есть прямая, проекция отрезка — отрезок.

Свойство 2. Две параллельные прямые проектируются либо в две параллельные прямые, либо в одну и ту же прямую. Проекции параллельных отрезков лежат либо на параллельных прямых, либо на одной прямой.

Свойство 3. Длины проекций параллельных отрезков или отрезков лежащих на одной прямой, пропорциональны длинам этих отрезков

Доказательство свойства №3. Пусть АВ и СD — отрезки не параллельные направлению проектирования l ; А`, B`, C`, D` — проекции точек А, В, С, D соответственно на плоскость а в направлении l . Если А` B` и C` D` — один и тот же отрезок, то АВ = СD и доказываемое утверждение очевидно. Пусть А` B` и C`D`различны. Рассмотрим сначала случай, когда проектируемые отрезки лежат на одной прямой (рис. 10). Тогда их проекции лежат на линии пересечения плоскости а и плоскости, проходящей через прямую АВ параллельно направлению проектирования l. Применяя известную теорему о пропорциональных отрезках, получим, что АВ :CD = A` B` : C` D`.

Теперь рассмотрим случай, когда отрезки АВ и СD параллельны, а их проекции различны (рис. 11). Возьмём на продолжении отрезка СD за точку С точку Е такую, что СЕ = АВ. Так как (СЕ) ll (AB), но четырёхугольник АВЕС — параллелограмм в плоскости, проходящей через прямые АВ и СD ( по признаку параллелограмма), следовательно, (АС) ll (BE). Пусть Е` — проекция точки Е на плоскость а в направлении l. По свойству №2 (A` C`) ll (B` E`) и (A` B`) ll (C` E`) ( так как (АС) ll (BE) и (АВ) ll (CE)), но (A`B`) ll (C`D`), значит, Е` принадлежит (C`D`) и, так как A`B`E`C` — параллелограмм, А`B` = C`E`. Итак равенство АВ : СD = A`B` : C`D` равносильно равенству СЕ : ЕD = A`B` : C`D`, тем самым мы свели рассматриваемый случай к разработанному выше.

Свойство 4. При параллельном проектировании сохраняется отношения площадей двух любых фигур, если направление проектирования не параллельно плоскостям фигур.

Свойство 5. Любой треугольник можно рассматривать как параллельную проекцию данного треугольника с точностью до подобия.

Доказательство свойства 5: Докажем, что в общем случае треугольник любой формы может служить параллельной проекцией равностороннего треугольника.

Действительно, пусть дан произвольный треугольник ABC в плоскости р Построим на одной из его сторон. например, AC равносторонний треугольник AB1C так, чтобы точка B1 не принадлежала плоскости р. Обозначим через l прямую, проходящую через точки B1 и B. Тогда ясно, что треугольник ABC является параллельной проекцией треугольника AB1C на плоскость р в направлении прямой l.