- Коcинус – одна из тригонометрических функций. Значение косинуса определяется для угла или для числа (в этом случае используют числовую окружность).
- Аргумент и значение
- Косинус острого угла
- Косинус острого угла можно определить с помощью прямоугольного треугольника — он равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.
- Косинус острого угла больше (0) и меньше (1)
- Косинус числа
- Косинус числа можно определить с помощью числовой окружности – косинус числа равен абсциссе соответствующей точки на ней.
- Значение косинуса всегда лежит в пределах от (-1) до (1). При этом вычислен косинус может быть для абсолютно любого угла и числа.
- Косинус любого угла
- Косинус прямого угла равен нулю. Косинус тупого угла — отрицателен.
- Знаки косинуса по четвертям
- Связь с другими тригонометрическими функциями:
- Функция (y=cos)
- Геометрия. Урок 1. Тригонометрия
- Тригонометрия в прямоугольном треугольнике
- Тригонометрия: Тригонометрический круг
- Основное тригонометрическое тождество
- Тригонометрия: Таблица значений тригонометрических функций
- Тригонометрия: градусы и радианы
- Тригонометрия: Формулы приведения
- Тригонометрия: Теорема синусов
- Тригонометрия: Расширенная теорема синусов
- Тригонометрия: Теорема косинусов
- Примеры решений заданий из ОГЭ
- Тригонометрия: Тригонометрические уравнения
- Таблица косинусов
Коcинус – одна из тригонометрических функций. Значение косинуса определяется для угла или для числа (в этом случае используют числовую окружность).
Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ | Синус, Косинус, Тангенс, КотангенсСкачать
Аргумент и значение
Видео:ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать
Косинус острого угла
Косинус острого угла можно определить с помощью прямоугольного треугольника — он равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.
1) Пусть дан угол и нужно определить косинус этого угла.
2) Достроим на этом угле любой прямоугольный треугольник.
3) Измерив, нужные стороны, можем вычислить косинус.
Косинус острого угла больше (0) и меньше (1)
Если при решении задачи косинус острого угла получился больше 1 или отрицательным, то значит где-то в решении есть ошибка.
Видео:Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТСкачать
Косинус числа
Косинус числа можно определить с помощью числовой окружности – косинус числа равен абсциссе соответствующей точки на ней.
Числовая окружность позволяет определить косинус любого числа, но обычно находят косинус чисел как-то связанных с Пи : (frac) , (frac) , (-2π).
Например, для числа (frac) — косинус будет равен (frac<sqrt>) . А для числа (-) (frac) он будет равен (-) (frac<sqrt>) (приблизительно (-0,71)).
Косинус для других часто встречающихся в практике чисел смотри в тригонометрической таблице .
Значение косинуса всегда лежит в пределах от (-1) до (1). При этом вычислен косинус может быть для абсолютно любого угла и числа.
Видео:Отрицательный аргумент у тригонометрических функций [понять нельзя заучивать]Скачать
Косинус любого угла
Благодаря числовой окружности можно определять косинус не только острого угла, но и тупого, отрицательного, и даже большего, чем (360°) (полный оборот). Как это делать — проще один раз увидеть, чем (100) раз услышать, поэтому смотрите картинку.
Теперь пояснение: пусть нужно определить косинус угла КОА с градусной мерой в (150°). Совмещаем точку О с центром окружности, а сторону ОК – с осью (x). После этого откладываем (150°) против часовой стрелки. Тогда ордината точки А покажет нам косинус этого угла.
Если же нас интересует угол с градусной мерой, например, в (-60°) (угол КОВ), делаем также, но (60°) откладываем по часовой стрелке.
И, наконец, угол больше (360°) (угол КОС) — всё аналогично тупому, только пройдя по часовой стрелке полный оборот, отправляемся на второй круг и «добираем нехватку градусов». Конкретно в нашем случае угол (405°) отложен как (360° + 45°).
Несложно догадаться, что для откладывания угла, например, в (960°), надо сделать уже два оборота ((360°+360°+240°)), а для угла в (2640°) — целых семь.
Стоит запомнить, что:
Косинус прямого угла равен нулю. Косинус тупого угла — отрицателен.
Видео:Синус, косинус произвольного угла. 9 класс.Скачать
Знаки косинуса по четвертям
С помощью оси косинусов (то есть, оси абсцисс, выделенной на рисунке красным цветом) легко определить знаки косинусов по четвертям числовой (тригонометрической) окружности:
— там, где значения на оси от (0) до (1), косинус будет иметь знак плюс (I и IV четверти – зеленая область),
— там, где значения на оси от (0) до (-1), косинус будет иметь знак минус (II и III четверти – фиолетовая область).
Пример. Определите знак (cos 1).
Решение: Найдем (1) на тригонометрическом круге. Будем отталкиваться от того, что (π=3,14). Значит единица, примерно, в три раза ближе к нулю (точке «старта»).
Если провести перпендикуляр к оси косинусов, то станет очевидно, что (cos1) – положителен.
Ответ: плюс.
Видео:СИНУС И КОСИНУС ЛЮБЫХ УГЛОВ | ТригонометрияСкачать
Связь с другими тригонометрическими функциями:
— синусом того же угла (или числа): основным тригонометрическим тождеством (sin^2x+cos^2x=1)
— тангенсом того же угла (или числа): формулой (1+tg^2x=) (frac)
— котангенсом и синусом того же угла (или числа): формулой (ctgx=) (frac<cos>)
Другие наиболее часто применяемые формулы смотри здесь .
Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ — Arcsin, Arccos, Arctg, Arcсtg // Обратные тригонометрические функцииСкачать
Функция (y=cos)
Если отложить по оси (x) углы в радианах, а по оси (y) — соответствующие этим углам значения косинуса, мы получим следующий график:
График данной функции называется косинусоида и обладает следующими свойствами:
— область определения – любое значение икса: (D(cos )=R)
— область значений – от (-1) до (1) включительно: (E(cos )=[-1;1])
— четная: (cos(-x)=cos)
— периодическая с периодом (2π): (cos(x+2π)=cos)
— точки пересечения с осями координат:
ось абсцисс: (() (frac) (+πn),(;0)), где (n ϵ Z)
ось ординат: ((0;1))
— промежутки знакопостоянства:
функция положительна на интервалах: ((-) (frac) (+2πn;) (frac) (+2πn)), где (n ϵ Z)
функция отрицательна на интервалах: (() (frac) (+2πn;) (frac) (+2πn)), где (n ϵ Z)
— промежутки возрастания и убывания:
функция возрастает на интервалах: ((π+2πn;2π+2πn)), где (n ϵ Z)
функция убывает на интервалах: ((2πn;π+2πn)), где (n ϵ Z)
— максимумы и минимумы функции:
функция имеет максимальное значение (y=1) в точках (x=2πn), где (n ϵ Z)
функция имеет минимальное значение (y=-1) в точках (x=π+2πn), где (n ϵ Z).
Видео:Как видеть тангенс? Тангенс угла с помощью единичного круга.Скачать
Геометрия. Урок 1. Тригонометрия
Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Тригонометрия” на канале Ёжику Понятно.
Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!
Содержание страницы:
Видео:Знаки синуса, косинуса, тангенса ЛекцияСкачать
Тригонометрия в прямоугольном треугольнике
Рассмотрим прямоугольный треугольник. Для каждого из острых углов найдем прилежащий к нему катет и противолежащий.
Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе.
sin α = Противолежащий катет гипотенуза
Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе.
cos α = Прилежащий катет гипотенуза
Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему (или отношение синуса к косинусу).
tg α = Противолежащий катет Прилежащий катет
Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему (или отношение косинуса к синусу).
ctg α = Прилежащий катет Противолежащий катет
Рассмотрим прямоугольный треугольник A B C , угол C равен 90 °:
sin ∠ A = C B A B
cos ∠ A = A C A B
tg ∠ A = sin ∠ A cos ∠ A = C B A C
ctg ∠ A = cos ∠ A sin ∠ A = A C C B
sin ∠ B = A C A B
cos ∠ B = B C A B
tg ∠ B = sin ∠ B cos ∠ B = A C C B
ctg ∠ B = cos ∠ B sin ∠ B = C B A C
Видео:Как просто запомнить, что такое sin, cos, tg?! #косинус #синус #тангенс #математика #огэ #егэСкачать
Тригонометрия: Тригонометрический круг
Тригонометрия на окружности – это довольно интересная абстракция в математике. Если понять основной концепт так называемого “тригонометрического круга”, то вся тригонометрия будет вам подвластна. В описании к видео есть динамическая модель тригонометрического круга.
Тригонометрический круг – это окружность единичного радиуса с центром в начале координат.
Такая окружность пересекает ось х в точках ( − 1 ; 0 ) и ( 1 ; 0 ) , ось y в точках ( 0 ; − 1 ) и ( 0 ; 1 )
На данной окружности будет три шкалы отсчета – ось x , ось y и сама окружность, на которой мы будем откладывать углы.
Углы на тригонометрической окружности откладываются от точки с координатами ( 1 ; 0 ) , – то есть от положительного направления оси x , против часовой стрелки. Пусть эта точка будет называться S (от слова start). Отметим на окружности точку A . Рассмотрим ∠ S O A , обозначим его за α . Это центральный угол, его градусная мера равна дуге, на которую он опирается, то есть ∠ S O A = α = ∪ S A .
Давайте найдем синус и косинус этого угла. До этого синус и косинус мы искали в прямоугольном треугольнике, сейчас будем делать то же самое. Для этого опустим перпендикуляры из точки A на ось x (точка B ) и на ось игрек (точка C ) .
Отрезок O B является проекцией отрезка O A на ось x , отрезок O C является проекцией отрезка O A на ось y .
Рассмотрим прямоугольный треугольник A O B :
cos α = O B O A = O B 1 = O B
sin α = A B O A = A B 1 = A B
Поскольку O C A B – прямоугольник, A B = C O .
Итак, косинус угла – координата точки A по оси x (ось абсцисс), синус угла – координата точки A по оси y (ось ординат).
Давайте рассмотрим еще один случай, когда угол α – тупой, то есть больше 90 ° :
Опускаем из точки A перпендикуляры к осям x и y . Точка B в этом случае будет иметь отрицательную координату по оси x . Косинус тупого угла отрицательный .
Можно дальше крутить точку A по окружности, расположить ее в III или даже в IV четверти, но мы пока не будем этим заниматься, поскольку в курсе 9 класса рассматриваются углы от 0 ° до 180 ° . Поэтому мы будем использовать только ту часть окружности, которая лежит над осью x . (Если вас интересует тригонометрия на полной окружности, смотрите видео на канале). Отметим на этой окружности углы 0 ° , 30 ° , 45 ° , 60 ° , 90 ° , 120 ° , 135 ° , 150 ° , 180 ° . Из каждой точки на окружности, соответствующей углу, опустим перпендикуляры на ось x и на ось y .
Координата по оси x – косинус угла , координата по оси y – синус угла .
Ещё одно замечание.
Синус тупого угла – положительная величина, а косинус – отрицательная.
Тангенс – это отношение синуса к косинусу. При делении положительной величины на отрицательную результат отрицательный. Тангенс тупого угла отрицательный .
Котангенс – отношение косинуса к синусу. При делении отрицательной величины на положительную результат отрицательный. Котангенс тупого угла отрицательный .
Видео:Спидран: Как запомнить таблицу синусов и косинусов за 1 минуту? Евгений ДолжкевичСкачать
Основное тригонометрическое тождество
sin 2 α + cos 2 α = 1
Данное тождество – теорема Пифагора в прямоугольном треугольнике O A B :
A B 2 + O B 2 = O A 2
sin 2 α + cos 2 α = R 2
sin 2 α + cos 2 α = 1
Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ с нуля — Синус, косинус, тангенс и котангенс острого углаСкачать
Тригонометрия: Таблица значений тригонометрических функций
Видео:Знаки тригонометрических функций. 9 класс.Скачать
Тригонометрия: градусы и радианы
Как перевести градусы в радианы, а радианы в градусы? Как и когда возникла градусная мера угла? Что такое радианы и радианная мера угла? Ищите ответы в этом видео!
Видео:Профильный ЕГЭ 2024. Задача 1. Прямоугольный треугольник. 10 классСкачать
Тригонометрия: Формулы приведения
Тригонометрия на окружности имеет некоторые закономерности. Если внимательно рассмотреть данный рисунок,
можно заметить, что:
sin 180 ° = sin ( 180 ° − 0 ° ) = sin 0 °
sin 150 ° = sin ( 180 ° − 30 ° ) = sin 30 °
sin 135 ° = sin ( 180 ° − 45 ° ) = sin 45 °
sin 120 ° = sin ( 180 ° − 60 ° ) = sin 60 °
cos 180 ° = cos ( 180 ° − 0 ° ) = − cos 0 °
cos 150 ° = cos ( 180 ° − 30 ° ) = − cos 30 °
cos 135 ° = cos ( 180 ° − 45 ° ) = − cos 45 °
cos 120 ° = cos ( 180 ° − 60 ° ) = − cos 60 °
Рассмотрим тупой угол β :
Для произвольного тупого угла β = 180 ° − α всегда будут справедливы следующие равенства:
sin ( 180 ° − α ) = sin α
cos ( 180 ° − α ) = − cos α
tg ( 180 ° − α ) = − tg α
ctg ( 180 ° − α ) = − ctg α
Видео:Синус, косинус, тангенс ТУПОГО угла | Твой самый халявний балл на ОГЭ 2023!Скачать
Тригонометрия: Теорема синусов
В произвольном треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.
a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C
Видео:8 класс, 29 урок, Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольникаСкачать
Тригонометрия: Расширенная теорема синусов
Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной вокруг данного треугольника окружности.
a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R
Видео:ОГЭ по математике. В треугольнике АБС известно три стороны. Найди косинус угла. (Вар.8) √ 16Скачать
Тригонометрия: Теорема косинусов
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c ⋅ cos ∠ A
b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c ⋅ cos ∠ B
c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b ⋅ cos ∠ C
Видео:РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ😉 #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэСкачать
Примеры решений заданий из ОГЭ
Модуль геометрия: задания, связанные с тригонометрией.
Видео:Четность, нечетность тригонометрических функций. 9 класс.Скачать
Тригонометрия: Тригонометрические уравнения
Это тема 10-11 классов.
Из серии видео ниже вы узнаете, как решать простейшие тригонометрические уравнения, что такое обратные тригонометрические функции, зачем они нужны и как их использовать. Если вы поймёте эти базовые темы, то вскоре сможете без проблем решать любые тригонометрические уравнения любого уровня сложности!
Видео:Как проецировать скорости на оси в кинематике через Синус и Косинус?Скачать
Таблица косинусов
Значения косинуса графически могут быть отображены в виде тригонометрической окружности, на которой угол α образует с осью прямоугольный треугольник. Из этого треугольника, спроецировав точку пересечения угла α с окружностью на ось синуса или косинуса, можно получить его приближенное значение.
Также тригонометрическая окружность показывает знак синуса и косинуса для каждого раскрытия угла α . Поскольку угол начинает раскрываться с правой стороны по оси косинусов, то значения косинуса угла α от 0° до 90° — положительны, так находятся правее нулевой точки отсчета. Угол α от 90° до 270° дает отрицательные значения косинусу, так как точка пересечения его с окружностью расположена левее оси синуса, то есть нуля. Косинус углов от 270° до 360° вновь становится положительным. Точные значения косинусов всех углов от 0° до 360° можно узнать из таблицы косинусов, приведенной ниже.