Отрезок соединяющий центр окружности и середину хорды

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке
Отрезок соединяющий центр окружности и середину хордыОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Отрезок соединяющий центр окружности и середину хордыСвойства хорд и дуг окружности
Отрезок соединяющий центр окружности и середину хордыТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Отрезок соединяющий центр окружности и середину хордыДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Отрезок соединяющий центр окружности и середину хордыТеорема о бабочке

Отрезок соединяющий центр окружности и середину хорды

Видео:Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать

Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 класс

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьОтрезок соединяющий центр окружности и середину хорды
КругОтрезок соединяющий центр окружности и середину хорды
РадиусОтрезок соединяющий центр окружности и середину хорды
ХордаОтрезок соединяющий центр окружности и середину хорды
ДиаметрОтрезок соединяющий центр окружности и середину хорды
КасательнаяОтрезок соединяющий центр окружности и середину хорды
СекущаяОтрезок соединяющий центр окружности и середину хорды
Окружность
Отрезок соединяющий центр окружности и середину хорды

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругОтрезок соединяющий центр окружности и середину хорды

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусОтрезок соединяющий центр окружности и середину хорды

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаОтрезок соединяющий центр окружности и середину хорды

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрОтрезок соединяющий центр окружности и середину хорды

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяОтрезок соединяющий центр окружности и середину хорды

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяОтрезок соединяющий центр окружности и середину хорды

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:Радиус и диаметрСкачать

Радиус и диаметр

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеОтрезок соединяющий центр окружности и середину хордыДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыОтрезок соединяющий центр окружности и середину хордыЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныОтрезок соединяющий центр окружности и середину хордыБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиОтрезок соединяющий центр окружности и середину хордыУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыОтрезок соединяющий центр окружности и середину хордыДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Отрезок соединяющий центр окружности и середину хорды

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыОтрезок соединяющий центр окружности и середину хорды

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыОтрезок соединяющий центр окружности и середину хорды

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиОтрезок соединяющий центр окружности и середину хорды

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныОтрезок соединяющий центр окружности и середину хорды

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиОтрезок соединяющий центр окружности и середину хорды

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыОтрезок соединяющий центр окружности и середину хорды

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:№145. Отрезок МК — диаметр окружности с центром О, а МР и РК — равные хорды этой окружностиСкачать

№145. Отрезок МК — диаметр окружности с центром О, а МР и РК — равные хорды этой окружности

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Отрезок соединяющий центр окружности и середину хорды

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Отрезок соединяющий центр окружности и середину хорды

Отрезок соединяющий центр окружности и середину хорды

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыОтрезок соединяющий центр окружности и середину хорды
Касательные, проведённые к окружности из одной точкиОтрезок соединяющий центр окружности и середину хорды
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиОтрезок соединяющий центр окружности и середину хорды
Секущие, проведённые из одной точки вне кругаОтрезок соединяющий центр окружности и середину хорды

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Отрезок соединяющий центр окружности и середину хорды

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Отрезок соединяющий центр окружности и середину хорды

Отрезок соединяющий центр окружности и середину хорды

Пересекающиеся хорды
Отрезок соединяющий центр окружности и середину хорды
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Отрезок соединяющий центр окружности и середину хорды
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Отрезок соединяющий центр окружности и середину хорды
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Отрезок соединяющий центр окружности и середину хорды
Пересекающиеся хорды
Отрезок соединяющий центр окружности и середину хорды

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Отрезок соединяющий центр окружности и середину хорды

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Отрезок соединяющий центр окружности и середину хорды

Отрезок соединяющий центр окружности и середину хорды

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Отрезок соединяющий центр окружности и середину хорды

Отрезок соединяющий центр окружности и середину хорды

Отрезок соединяющий центр окружности и середину хорды

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Отрезок соединяющий центр окружности и середину хорды

Отрезок соединяющий центр окружности и середину хорды

Отрезок соединяющий центр окружности и середину хорды

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Отрезок соединяющий центр окружности и середину хорды

Отрезок соединяющий центр окружности и середину хорды

Тогда справедливо равенство

Отрезок соединяющий центр окружности и середину хорды

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Отрезок соединяющий центр окружности и середину хорды

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Отрезок соединяющий центр окружности и середину хорды

Отрезок соединяющий центр окружности и середину хорды

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Отрезок соединяющий центр окружности и середину хорды

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Отрезок соединяющий центр окружности и середину хорды

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Отрезок соединяющий центр окружности и середину хорды

Отрезок соединяющий центр окружности и середину хорды

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Отрезок соединяющий центр окружности и середину хорды

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Отрезок соединяющий центр окружности и середину хорды

Отрезок соединяющий центр окружности и середину хорды

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Отрезок соединяющий центр окружности и середину хорды

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:№144. Отрезки АВ и CD — диаметры окружности. Докажите, что: а) хорды BD и АС равны; б) хорды AD и ВССкачать

№144. Отрезки АВ и CD — диаметры окружности. Докажите, что: а) хорды BD и АС равны; б) хорды AD и ВС

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Отрезок соединяющий центр окружности и середину хорды

Отрезок соединяющий центр окружности и середину хорды

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Отрезок соединяющий центр окружности и середину хорды

Отрезок соединяющий центр окружности и середину хорды

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Отрезок соединяющий центр окружности и середину хорды

Отрезок соединяющий центр окружности и середину хорды

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Отрезок соединяющий центр окружности и середину хорды

Отрезок соединяющий центр окружности и середину хорды

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Отрезок соединяющий центр окружности и середину хорды

Отрезок соединяющий центр окружности и середину хорды

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Отрезок соединяющий центр окружности и середину хорды

Отрезок соединяющий центр окружности и середину хорды

Отрезок соединяющий центр окружности и середину хорды

Отрезок соединяющий центр окружности и середину хорды

Отрезок соединяющий центр окружности и середину хорды

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Отрезок соединяющий центр окружности и середину хорды

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

Теорема о серединном перпендикуляре к хорде

Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности.

Отрезок соединяющий центр окружности и середину хорды

Серединный перпендикуляр к отрезку АВ – это множество точек, равноудаленных от точек А и В. Другими словами, все точки, равноудаленные от А и В, лежат на серединном перпендикуляре к АВ. С другой стороны, если точки А и В лежат на окружности с центром О, то АО = ВО. Это значит, что точка О лежит на серединном перпендикуляре к АВ.

Видео:Окружность, касательная, секущая и хорда | МатематикаСкачать

Окружность, касательная, секущая и хорда | Математика

Это полезно

В нашей статье вы найдете всю необходимую теорию для решения задания №9 ЕГЭ по теме «Графики функций». Это задание появилось в 2022 году в вариантах ЕГЭ Профильного уровня.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Геометрия. 7 класс

Конспект урока

Окружность. Задачи на построение

Перечень рассматриваемых вопросов:

  • Геометрическое место точек, примеры ГМТ.
  • Изображение на рисунке окружности и ее элементов.
  • Решение задач на построение.
  • Выполнение построений прямого угла, отрезка, угла равного данному, биссектрисы угла, перпендикулярных прямых, середины отрезка с помощью циркуля и линейки.

Радиус окружности – отрезок соединяющий центр окружности с какой-либо точкой окружности.

Окружность – это геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

Хорда – отрезок, соединяющий две точки окружности.

Диаметр – хорда, проходящая через центр окружности.

  1. Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.
  1. Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
  2. Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
  3. Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
  4. Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
  5. Иченская М.А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9 классы. // Иченская М.А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Ранее мы узнали некоторые геометрические фигуры, например, угол, отрезок, треугольник, научились их строить и измерять. Сегодня мы введём определение ещё одной фигуры – окружности, рассмотрим её элементы и выполним построения геометрических фигур с помощью циркуля и линейки.

Для начала дадим определение геометрической фигуры, называемой окружностью.

Окружность – это геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

Отрезок соединяющий центр окружности и середину хорды

Но можно использовать и другое определение окружности.

Окружность ‑ это геометрическое место точек, удалённых на одно и то же расстояние от точки, называемой центром окружности. Это расстояние называют радиусом окружности. В нашем случае точки О.

При этом стоит пояснить, что геометрическое место точек – это фигура речи, употребляемая в математике для определения геометрической фигуры, как множества всех точек, обладающих некоторым свойством.

Вспомним элементы окружности.

Радиус окружности – отрезок соединяющий центр окружности с какой-либо точкой окружности.

Отрезок соединяющий центр окружности и середину хорды

По определению окружности все её радиусы имеют одну и ту же длину. OM = OA

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой.

Отрезок соединяющий центр окружности и середину хорды

Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.

Отрезок соединяющий центр окружности и середину хорды

O – середина диаметра.

Любые две точки окружности делят её на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности.

Отрезок соединяющий центр окружности и середину хорды

AMB, ALB – дуги окружности.

Построим окружность радиусом 3 см. Для этого поставим точку О. Возьмём циркуль и выставим с помощью линейки расстояние между ножками циркуля, равное 3 см. Поставим иголочку циркуля в точку О и построим окружность, вращая ножку циркуля с грифелем вокруг этой точки. Грифель описывает замкнутую кривую линию, которую называют окружностью.

Часть плоскости, которая лежит внутри окружности, вместе с самой окружностью, называют кругом, т. е. окружность ‑ граница круга.

Отрезок соединяющий центр окружности и середину хорды

Итак, мы можем с помощью циркуля строить окружность, но с его помощью можно построить и угол равный данному. Для построения воспользуемся ещё и линейкой.

Отрезок соединяющий центр окружности и середину хорды

Построить: EOМ = A.

1. Окр. (A; r), r – произвольный радиус.

2. Окр. (A; r) ∩ AB = B.

3. Окр. (A; r) ∩ AС = С.

Отрезок соединяющий центр окружности и середину хорды

4. Окр. (O; r) ∩ OM = D.

5. Окр. (D; BС) ∩ Окр. (O; r) = E

Отрезок соединяющий центр окружности и середину хорды

6. OЕ, ЕОD = BAC (из равенства ∆ОЕD и ∆ABC). EOM – искомый.

Теперь выполним построение биссектрисы угла.

Отрезок соединяющий центр окружности и середину хорды

Построить: AE – биссектриса CAB.

  1. Окр. (A; r), r – произвольный радиус.

Отрезок соединяющий центр окружности и середину хорды

  1. Окр. (A; r) ∩ AB = B.
  2. Окр. (A; r) ∩ AC = C.
  3. Окр. (C; CB) ∩ Окр. (B; CB) = E.
  4. AE – искомая биссектриса BAC, т. к. ABE =CBE (из равенства ∆ACE и ∆ABE).

Рассмотрим ещё одно построение с помощью циркуля и линейки. Построим середину отрезка АВ.

Отрезок соединяющий центр окружности и середину хорды

Для этого построим две окружности с центрами на концах отрезка , т. е. в точках А и В. Окружности пересекутся в точках Р и Q. Проведём прямую через точки Р и Q. Прямая РQ пересечёт прямую АВ в точке О, которая и будет являться искомой серединой отрезка АВ. Докажем это. Для этого рассмотрим ∆APQ и ∆BPQ. Они равны по трём сторонам, следовательно, ∠1 = ∠2, поэтому РО– биссектриса равнобедренного ∆АВР, а соответственно РО ещё и медиана. Следовательно, точка О – середина отрезка АВ.

Отрезок соединяющий центр окружности и середину хорды

Разбор заданий тренировочного модуля.

№ 1. АВ и СК – диаметры окружности, с центром в точке О. По какому признаку равенства треугольников равны треугольники АОС и ОКВ?

Отрезок соединяющий центр окружности и середину хорды

Так как О – центр окружности, то точка О делит диаметры пополам, следовательно отрезки АО, ОВ, ОС, ОК равны. ∠СОА = ∠КОВ (как вертикальные). Поэтому треугольники АОС и ОКВ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Ответ: 1 признак равенства треугольников.

№ 2. На рисунке O – центр окружности, АВ – диаметр окружности. Отрезки АD и ВС, перпендикулярны к отрезку АВ. АВ = 8 см, ОС = 5 см, СВ = 3 см. Чему равен периметр ∆AOD?

Отрезок соединяющий центр окружности и середину хорды

Периметр треугольника AOD равен сумме сторон АО, AD, DO. Найдём эти стороны.

По условию O – центр окружности, то она делит диаметр пополам, следовательно отрезок АО равен отрезку ОВ, т. е. АО = АВ:2 = 8 см :2 = 4 см.

По условию отрезки АD и ВС, перпендикулярны к отрезку АВ, следовательно ∠СВО = ∠ОАD = 90°, ∠АОD = ∠СОВ (как вертикальные). Поэтому ∆АОD = ∆СОВ (по 2 признаку равенства треугольников). Следовательно, AD = СВ = 3 см, DO = ОС = 5 см.

Р∆AOD = АО + AD + DO = 4 см + 3 см + 5 см = 12 см.

📹 Видео

Окружность. 7 класс.Скачать

Окружность. 7 класс.

Окружность круг хорда диаметр радиус дуга сектор сегментСкачать

Окружность   круг   хорда   диаметр   радиус   дуга   сектор   сегмент

ЕГЭ. Задачи на окружность. ХордаСкачать

ЕГЭ. Задачи на окружность. Хорда

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.

Радиус Хорда ДиаметрСкачать

Радиус Хорда Диаметр

Демо ОГЭ по математике. Задание 17. Хорда окружности.Скачать

Демо ОГЭ по математике. Задание 17. Хорда окружности.

Задача на нахождение длины хорды окружностиСкачать

Задача на нахождение длины хорды окружности

Окружность и круг, 6 классСкачать

Окружность и круг, 6 класс

Окружность. Круг. 5 класс.Скачать

Окружность. Круг. 5 класс.

56 Хорды и диаметры (104, 105)Скачать

56 Хорды и диаметры (104, 105)

Определение центра дуги окружности, построение окружности по 3 точкамСкачать

Определение центра дуги окружности, построение окружности по 3 точкам

Геометрия Задача найти центр круга /math and magicСкачать

Геометрия Задача найти центр круга /math and magic
Поделиться или сохранить к себе: