Отношение высоты треугольника к радиусу вписанной окружности

Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Отношение высоты треугольника к радиусу вписанной окружностиСуществование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Отношение высоты треугольника к радиусу вписанной окружностиФормулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
Отношение высоты треугольника к радиусу вписанной окружностиВывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Видео:Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.

Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Определение 1 . Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.

Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла) . Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

Отношение высоты треугольника к радиусу вписанной окружности

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на биссектрисе угла BAC , и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

Отношение высоты треугольника к радиусу вписанной окружности

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

Отношение высоты треугольника к радиусу вписанной окружности

что и требовалось доказать.

Определение 2 . Окружность называют окружностью, вписанной в угол , если она касается касается сторон этого угла.

Теорема 3 . Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.

Доказательство . Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC , а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

Отношение высоты треугольника к радиусу вписанной окружности

Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности ), а гипотенуза AD – общая. Следовательно

что и требовалось доказать.

Замечание . Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных , проведенных к окружности из одной точки, равны.

Определение 3 . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

Теорема 4 . В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).

Отношение высоты треугольника к радиусу вписанной окружности

Опустим из точки O перпендикуляры OD , OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC . Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать

Определение 4 . Окружностью, вписанной в треугольник , называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности .

Отношение высоты треугольника к радиусу вписанной окружности

Следствие . В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности , удобно представить в виде следующей таблицы.

Отношение высоты треугольника к радиусу вписанной окружности

a, b, c – стороны треугольника,
S – площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

Отношение высоты треугольника к радиусу вписанной окружности.

Отношение высоты треугольника к радиусу вписанной окружности

Отношение высоты треугольника к радиусу вписанной окружности

Отношение высоты треугольника к радиусу вписанной окружности

a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Отношение высоты треугольника к радиусу вписанной окружности

ФигураРисунокФормулаОбозначения
Произвольный треугольникОтношение высоты треугольника к радиусу вписанной окружности
Равнобедренный треугольникОтношение высоты треугольника к радиусу вписанной окружности
Равносторонний треугольникОтношение высоты треугольника к радиусу вписанной окружности
Прямоугольный треугольникОтношение высоты треугольника к радиусу вписанной окружности

Отношение высоты треугольника к радиусу вписанной окружности

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Отношение высоты треугольника к радиусу вписанной окружности.

Отношение высоты треугольника к радиусу вписанной окружности

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Отношение высоты треугольника к радиусу вписанной окружности.

Отношение высоты треугольника к радиусу вписанной окружности

Отношение высоты треугольника к радиусу вписанной окружности

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Отношение высоты треугольника к радиусу вписанной окружности

Произвольный треугольник
Отношение высоты треугольника к радиусу вписанной окружности
Равнобедренный треугольник
Отношение высоты треугольника к радиусу вписанной окружности
Равносторонний треугольник
Отношение высоты треугольника к радиусу вписанной окружности
Прямоугольный треугольник
Отношение высоты треугольника к радиусу вписанной окружности
Произвольный треугольник
Отношение высоты треугольника к радиусу вписанной окружности

Отношение высоты треугольника к радиусу вписанной окружности

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Отношение высоты треугольника к радиусу вписанной окружности.

Отношение высоты треугольника к радиусу вписанной окружности

Отношение высоты треугольника к радиусу вписанной окружности

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Отношение высоты треугольника к радиусу вписанной окружности.

Равнобедренный треугольникОтношение высоты треугольника к радиусу вписанной окружности

Отношение высоты треугольника к радиусу вписанной окружности

Равносторонний треугольникОтношение высоты треугольника к радиусу вписанной окружности

Отношение высоты треугольника к радиусу вписанной окружности

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Прямоугольный треугольникОтношение высоты треугольника к радиусу вписанной окружности

Отношение высоты треугольника к радиусу вписанной окружности

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Теорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство

Отношение высоты треугольника к радиусу вписанной окружности

где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, Отношение высоты треугольника к радиусу вписанной окружности– полупериметр (рис. 6).

Отношение высоты треугольника к радиусу вписанной окружности

Отношение высоты треугольника к радиусу вписанной окружности

с помощью формулы Герона получаем:

Отношение высоты треугольника к радиусу вписанной окружности

Отношение высоты треугольника к радиусу вписанной окружности

Отношение высоты треугольника к радиусу вписанной окружности

что и требовалось.

Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

Отношение высоты треугольника к радиусу вписанной окружности

где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).

Отношение высоты треугольника к радиусу вписанной окружности

Отношение высоты треугольника к радиусу вписанной окружности

Отношение высоты треугольника к радиусу вписанной окружности

то, в случае равнобедренного треугольника, когда

Отношение высоты треугольника к радиусу вписанной окружности

Отношение высоты треугольника к радиусу вписанной окружности

Отношение высоты треугольника к радиусу вписанной окружности

Отношение высоты треугольника к радиусу вписанной окружности

Отношение высоты треугольника к радиусу вписанной окружности

Отношение высоты треугольника к радиусу вписанной окружности

что и требовалось.

Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

Отношение высоты треугольника к радиусу вписанной окружности

где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).

Отношение высоты треугольника к радиусу вписанной окружности

Отношение высоты треугольника к радиусу вписанной окружности

то, в случае равностороннего треугольника, когда

Отношение высоты треугольника к радиусу вписанной окружности

Отношение высоты треугольника к радиусу вписанной окружности

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

Отношение высоты треугольника к радиусу вписанной окружности

Отношение высоты треугольника к радиусу вписанной окружности

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Отношение высоты треугольника к радиусу вписанной окружности

Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником прямоугольником , у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат квадрат . Следовательно,

В силу теоремы 3 справедливы равенства

Отношение высоты треугольника к радиусу вписанной окружности

Отношение высоты треугольника к радиусу вписанной окружности

Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

Отношение высоты треугольника к радиусу вписанной окружности

Отношение высоты треугольника к радиусу вписанной окружности

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Треугольник вписанный в окружность

Отношение высоты треугольника к радиусу вписанной окружности

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Определение

Треугольник, вписанный в окружность — это треугольник, который
находится внутри окружности и соприкасается с ней всеми тремя вершинами.

На рисунке 1 изображена окружность, описанная около
треугольника
и окружность, вписанная в треугольник.

ВD = FC = AE — диаметры описанной около треугольника окружности.

O — центр вписанной в треугольник окружности.

Отношение высоты треугольника к радиусу вписанной окружности

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Формулы

Радиус вписанной окружности в треугольник

r — радиус вписанной окружности.

  1. Радиус вписанной окружности в треугольник,
    если известна площадь и все стороны:

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны площадь и периметр:

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны полупериметр и все стороны:

Радиус описанной окружности около треугольника

R — радиус описанной окружности.

  1. Радиус описанной окружности около треугольника,
    если известна одна из сторон и синус противолежащего стороне угла:

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и площадь:

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и полупериметр:

Площадь треугольника

S — площадь треугольника.

  1. Площадь треугольника вписанного в окружность,
    если известен полупериметр и радиус вписанной окружности:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен полупериметр:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен высота и основание:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известна сторона и два прилежащих к ней угла:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и синус угла между ними:

[ S = fracab cdot sin angle C ]

Периметр треугольника

P — периметр треугольника.

  1. Периметр треугольника вписанного в окружность,
    если известны все стороны:

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известна площадь и радиус вписанной окружности:

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и угол между ними:

Сторона треугольника

a — сторона треугольника.

  1. Сторона треугольника вписанного в окружность,
    если известны две стороны и косинус угла между ними:

Сторона треугольника вписанного в
окружность, если известна сторона и два угла:

Средняя линия треугольника

l — средняя линия треугольника.

  1. Средняя линия треугольника вписанного
    в окружность, если известно основание:

Средняя линия треугольника вписанного в окружность,
если известныдве стороны, ни одна из них не является
основанием, и косинус угламежду ними:

Высота треугольника

h — высота треугольника.

  1. Высота треугольника вписанного в окружность,
    если известна площадь и основание:

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен сторона и синус угла прилежащего
к этой стороне, и находящегося напротив высоты:

[ h = b cdot sin alpha ]

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен радиус описанной окружности и
две стороны, ни одна из которых не является основанием:

Видео:№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружностиСкачать

№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружности

Свойства

  • Центр вписанной в треугольник окружности
    находится на пересечении биссектрис.
  • В треугольник, вписанный в окружность,
    можно вписать окружность, причем только одну.
  • Для треугольника, вписанного в окружность,
    справедлива Теорема Синусов, Теорема Косинусов
    и Теорема Пифагора.
  • Центр описанной около треугольника окружности
    находится на пересечении серединных перпендикуляров.
  • Все вершины треугольника, вписанного
    в окружность, лежат на окружности.
  • Сумма всех углов треугольника — 180 градусов.
  • Площадь треугольника вокруг которого описана окружность, и
    треугольника, в который вписана окружность, можно найти по
    формуле Герона.

Видео:Пара фактов про окружность | Ботай со мной #067 | Борис Трушин |Скачать

Пара фактов про окружность | Ботай со мной #067 | Борис Трушин |

Доказательство

Около любого треугольника, можно
описать окружность притом только одну.

Отношение высоты треугольника к радиусу вписанной окружности

окружность и треугольник,
которые изображены на рисунке 2.

окружность описана
около треугольника.

  1. Проведем серединные
    перпендикуляры — HO, FO, EO.
  2. O — точка пересечения серединных
    перпендикуляров равноудалена от
    всех вершин треугольника.
  3. Центр окружности — точка пересечения
    серединных перпендикуляров — около
    треугольника описана окружность — O,
    от центра окружности к вершинам можно
    провести равные отрезки — радиусы — OB, OA, OC.

окружность описана около треугольника,
что и требовалось доказать.

Подводя итог, можно сказать, что треугольник,
вписанный в окружность
— это треугольник,
в котором все серединные перпендикуляры
пересекаются в одной точке, и эта точка
равноудалена от всех вершин треугольника.

Видео:Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.

Свойства высоты равностороннего треугольника

В данной публикации мы рассмотрим основные свойства высоты в равностороннем (правильном) треугольнике. Также разберем пример решения задачи по этой теме.

Примечание: треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны.

Видео:15 Соотношение между высотами и радиусами вписанной и вневписанных окружностейСкачать

15 Соотношение между высотами и радиусами вписанной и вневписанных окружностей

Свойства высоты в равностороннем треугольнике

Свойство 1

Любая высота в равностороннем треугольнике одновременно является и биссектрисой, и медианой, и серединным перпендикуляром.

Отношение высоты треугольника к радиусу вписанной окружности

  • BD – высота, опущенная на сторону AC;
  • BD – медиана, которая делит сторону AC пополам, т.е. AD = DC;
  • BD – биссектриса угла ABC, т.е. ∠ABD = ∠CBD;
  • BD – серединный перпендикуляр, проведенный к AC.

Свойство 2

Все три высоты в равностороннем треугольнике имеют одинаковую длину.

Отношение высоты треугольника к радиусу вписанной окружности

Свойство 3

Высоты в равностороннем треугольнике в ортоцентре (точке пересечения) делятся в отношении 2:1, считая от вершины, из которой они проведены.

Отношение высоты треугольника к радиусу вписанной окружности

Свойство 4

Ортоцентр равностороннего треугольника является центром вписанной и описанной окружностей.

Отношение высоты треугольника к радиусу вписанной окружности

  • R – радиус описанной окружности;
  • r – радиус вписанной окружности;
  • R = 2r (следует из Свойства 3).

Свойство 5

Высота в равностороннем треугольнике делит его на два равных по площади (равновеликих) прямоугольных треугольника.

Отношение высоты треугольника к радиусу вписанной окружности

Три высоты в равностороннем треугольнике делят его на 6 равных по площади прямоугольных треугольников.

Свойство 6

Зная длину стороны равностороннего треугольника его высоту можно вычислить по формуле:

Отношение высоты треугольника к радиусу вписанной окружности

a – сторона треугольника.

Видео:Задача 6 №27934 ЕГЭ по математике. Урок 148Скачать

Задача 6 №27934 ЕГЭ по математике. Урок 148

Пример задачи

Радиус окружности, описанной вокруг равностороннего треугольника, равняется 7 см. Найдите сторону этого треугольника.

Решение
Как мы знаем из Свойств 3 и 4, радиус описанной окружности составляет 2/3 от высоты равностороннего треугольника (h). Следовательно, h = 7 ∶ 2 ⋅ 3 = 10,5 см.

Теперь остается вычислить длину стороны треугольника (выражение выведено из формулы в Свойстве 6):

🎥 Видео

2062 найдите радиус окружности вписанной в правильный треугольник высота которого 132Скачать

2062 найдите радиус окружности вписанной в правильный треугольник высота которого 132

Окружность вписана в равносторонний треугольник, найти радиусСкачать

Окружность вписана в равносторонний треугольник, найти радиус

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Формула радиуса вписанной окружности треугольника. Геометрия 9 классСкачать

Формула радиуса вписанной окружности треугольника. Геометрия 9 класс

ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэСкачать

ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэ

Математика за минуту: Объяснение формулы радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник.Скачать

Математика за минуту: Объяснение формулы радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник.

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Формулы для радиуса окружности #shortsСкачать

Формулы для радиуса окружности #shorts

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен 3. Найдите высоту треугольникаСкачать

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен 3. Найдите высоту треугольника
Поделиться или сохранить к себе: