Отношение подобных треугольников через косинус

У подобных фигур могут быть разные размеры, но всегда одинаковая форма. В случае треугольников они являются подобными, если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника. То есть все три отношения соответствующих сторон треугольника равны одному и тому же числу.

Например, если даны треугольники ABC и DEF, у которых AB/DE = BC/EF = CA/FD, то эти треугольники подобны.

Число, которому равно отношение сторон, называется коэффициентом подобия (k). Таким образом, можно записать отношения сторон подобных треугольников так:

AB = kDE, BC = kEF, CA = kFD

Подобие треугольников обозначается так: ∆ABC

Понятно, что все равные треугольники также являются и подобными. В этом случае коэффициент подобия равен единице.

У подобных треугольниках соответственно равны все три угла. То есть, если ∆ABC

∆DEF, то ∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F. Этот факт формулируется в виде теоремы: если даны два подобных треугольника, то углы одного будут соответственно равны углам другого.

Доказать эту теорему можно через теорему косинусов. Пусть даны два подобных треугольника ABC и DEF, у которых AB = kDE, BC = kEF, CA = kFD.

Теорема косинусов утверждает, что квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон за вычетом удвоенного произведения этих сторон, умноженному на косинус угла между ними. В данном случае, по отношению к стороне AB получим равенство:

AB 2 = BC 2 + CA 2 – 2BC · CA · cos C

Так как AB = kDE, BC = kEF, CA = kFD, то мы можем заменить в выражении теоремы косинусов стороны треугольника ABC соответствующими произведениями коэффициента подобия на стороны треугольника DEF:

(kDE) 2 = (kEF) 2 + (kFD) 2 – 2kEF · kFD · cos C
k 2 · DE 2 = k 2 · (EF 2 + FD 2 – 2EF · FD · cos C)
DE 2 = EF 2 + FD 2 – 2EF · FD · cos C

В полученном равенстве у нас присутствует угол C из треугольника ABC. Однако если бы мы применили теорему косинусов к треугольнику DEF, то получили бы такое равенство:

DE 2 = EF 2 + FD 2 – 2EF · FD · cos F

Отсюда следует, что косинусы углов C и F равны друг другу. Но если равны косинусы углов, то значит, равны и сами углы.

Аналогично через теорему косинусов доказывается, что ∠A = ∠D и ∠B = ∠E.

Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобные треугольники

Видео:Подобные треугольникиСкачать

Определение

Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного соответственно пропорциональны сторонам другого треугольника.

Коэффициентом подобия называют число k , равное отношению сходственных сторон подобных треугольников.

Сходственные (или соответственные) стороны подобных треугольников — стороны, лежащие напротив равных углов.

Видео:8 класс, 21 урок, Отношение площадей подобных треугольниковСкачать

Признаки подобия треугольников

I признак подобия треугольников

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

II признак подобия треугольников

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Видео:ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать

Свойства подобных треугольников

• Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
• Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
• Отношение длин соответствующих элементов подобных треугольников (в частности, длин биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров) равно коэффициенту подобия.

Видео:Отношение площадей подобных треугольниковСкачать

Примеры наиболее часто встречающихся подобных треугольников

1. Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному.

2. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны. Коэффициент подобия –

3. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному.

Здесь вы найдете подборку задач по теме «Подобные треугольники» .

Видео:Как ПОНЯТЬ ГЕОМЕТРИЮ за 5 минут — Подобие ТреугольниковСкачать

Подобные треугольники

Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ | Синус, Косинус, Тангенс, КотангенсСкачать

Определение

Как правило, два треугольника считаются подобными если они имеют одинаковую форму, даже если они различаются размерами, повернуты или даже перевернуты.

Математическое представление двух подобных треугольников A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ , показанных на рисунке, записывается следующим образом:

Два треугольника являются подобными если:

1. Каждый угол одного треугольника равен соответствующему углу другого треугольника:
∠A₁ = ∠A₂, ∠B₁ = ∠B₂ и∠C₁ = ∠C₂

2. Отношения сторон одного треугольника к соответствующим сторонам другого треугольника равны между собой:
$frac=frac=frac$

3. Отношения двух сторон одного треугольника к соответствующим сторонам другого треугольника равны между собой и при этом
углы между этими сторонами равны:
$frac=frac$ и $angle A_1 = angle A_2$
или
$frac=frac$ и $angle B_1 = angle B_2$
или
$frac=frac$ и $angle C_1 = angle C_2$

Не нужно путать подобные треугольники с равными треугольниками. У равных треугольников равны соответствующие длины сторон. Поэтому для равных треугольников:

Из этого следует что все равные треугольники являются подобными. Однако не все подобные треугольники являются равными.

Несмотря на то, что вышеприведенная запись показывает, что для выяснения, являются ли два треугольника подобными или нет, нам должны быть известны величины трех углов или длины трех сторон каждого треугольника, для решения задач с подобными треугольниками достаточно знать любые три величины из указанных выше для каждого треугольника. Эти величины могут составлять различные комбинации:

1) три угла каждого треугольника (длины сторон треугольников знать не нужно).

Или хотя бы 2 угла одного треугольника должны быть равны 2-м углам другого треугольника.
Так как если 2 угла равны, то третий угол также будет равным.(Величина третьего угла составляет 180 — угол1 — угол2)

2) длины сторон каждого треугольника (углы знать не нужно);

3) длины двух сторон и угол между ними.

Далее мы рассмотрим решение некоторых задач с подобными треугольниками. Сначала мы рассмотрим задачи, которые можно решить непосредственным использованием вышеуказанных правил, а затем обсудим некоторые практические задачи, которые решаются по методу подобных треугольников.

Видео:Подобие треугольников. Вся тема за 9 минут | ОГЭ по математике | Молодой РепетиторСкачать

Практические задачи с подобными треугольниками

Пример №1: Покажите, что два треугольника на рисунке внизу являются подобными.

Решение:
Так как длины сторон обоих треугольников известны, то здесь можно применить второе правило:

Пример №2: Покажите, что два данных треугольника являются подобными и определите длины сторон PQ и PR.

Решение:
∠A = ∠P и ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R(так как ∠C = 180 — ∠A — ∠B и ∠R = 180 — ∠P — ∠Q)

Из этого следует, что треугольники ΔABC и ΔPQR подобны. Следовательно:
$frac=frac=frac$

Пример №3: Определите длину AB в данном треугольнике.

Решение:

∠ABC = ∠ADE, ∠ACB = ∠AED и ∠A общий => треугольники ΔABC и ΔADE являются подобными.

$frac = frac = frac = frac = frac = frac Rightarrow 2times AB = AB + 4 Rightarrow AB = 4$

Пример №4:Определить длину AD (x) геометрической фигуры на рисунке.

Треугольники ΔABC и ΔCDE являются подобными так как AB || DE и у них общий верхний угол C.
Мы видим, что один треугольник является масштабированной версией другого. Однако нам нужно это доказать математически.

AB || DE, CD || AC и BC || EC
∠BAC = ∠EDC и ∠ABC = ∠DEC

Исходя из вышеизложенного и учитывая наличие общего угла C, мы можем утверждать, что треугольники ΔABC и ΔCDE подобны.

Следовательно:
$frac = frac = frac = frac Rightarrow CA = frac = 23.57$
x = AC — DC = 23.57 — 15 = 8.57

Практические примеры

Пример №5: На фабрике используется наклонная конвеерная лента для транспортировки продукции с уровня 1 на уровень 2, который выше уровня 1 на 3 метра, как показано на рисунке. Наклонный конвеер обслуживается с одного конца до уровня 1 и с другого конца до рабочего места, расположенного на расстоянии 8 метров от рабочей точки уровня 1.

Фабрика хочет модернизировать конвеер для доступа к новому уровню, который находится на расстоянии 9 метров над уровнем 1, и при этом сохранить угол наклона конвеера.

Определите расстояние, на котором нужно установить новый рабочий пункт для обеспечения работы конвеера на его новом конце на уровне 2. Также вычислите дополнительное расстояние, которое пройдет продукция при перемещении на новый уровень.

Решение:

Для начала давайте обозначим каждую точку пересечения определенной буквой, как показано на рисунке.

Исходя из рассуждений, приведенных выше в предыдущих примерах, мы можем сделать вывод о том, что треугольники ΔABC и ΔADE являются подобными. Следовательно,

$frac = frac = frac = frac Rightarrow AB = frac = 24 м$
x = AB — 8 = 24 — 8 = 16 м

Таким образом, новый пункт должен быть установлен на расстоянии 16 метров от уже существующего пункта.

А так как конструкция состоит из прямоугольных треугольников, мы можем вычислить расстояние перемещения продукции следующим образом:

Аналогично, $AC = sqrt = sqrt = 25.63 м$
что является расстоянием, которое проходит продукция в данный момент при попадании на существующий уровень.

y = AC — AE = 25.63 — 8.54 = 17.09 м
это дополнительное расстояние, которое должна пройти продукция для достижения нового уровня.

Пример №6: Стив хочет навестить своего приятеля, который недавно переехал в новый дом. Дорожная карта проезда к дому Стива и его приятеля вместе с известными Стиву расстояниями показана на рисунке. Помогите Стиву добраться к дому его приятеля наиболее коротким путем.

Решение:

Дорожную карту можно геометрически представить в следующем виде, как показано на рисунке.

Мы видим, что треугольники ΔABC и ΔCDE подобны, следовательно:
$frac = frac = frac$

В условии задачи сказано, что:

AB = 15 км, AC = 13.13 км, CD = 4.41 км и DE = 5 км

Используя эту информацию, мы можем вычислить следующие расстояния:

Стив может добраться к дому своего друга по следующим маршрутам:

A -> B -> C -> E -> G, суммарное расстояние равно 7.5+13.23+4.38+2.5=27.61 км

F -> B -> C -> D -> G, суммарное расстояние равно 7.5+13.23+4.41+2.5=27.64 км

F -> A -> C -> E -> G, суммарное расстояние равно 7.5+13.13+4.38+2.5=27.51 км

F -> A -> C -> D -> G, суммарное расстояние равно 7.5+13.13+4.41+2.5=27.54 км

Следовательно, маршрут №3 является наиболее коротким и может быть предложен Стиву.

Пример 7:
Триша хочет измерить высоту дома, но у нее нет нужных инструментов. Она заметила, что перед домом растет дерево и решила применить свою находчивость и знания геометрии, полученные в школе, для определения высоты здания. Она измерила расстояние от дерева до дома, результат составил 30 м. Затем она встала перед деревом и начала отходить назад, пока верхний край здания стал виден над верхушкой дерева. Триша отметила это место и измерила расстояние от него до дерева. Это расстояние составило 5 м.

Высота дерева равна 2.8 м, а высота уровня глаз Триши равна 1.6 м. Помогите Трише определить высоту здания.

Решение:

Геометрическое представление задачи показано на рисунке.

Сначала мы используем подобность треугольников ΔABC и ΔADE.

$frac = frac = frac = frac Rightarrow 2.8 times AC = 1.6 times (5 + AC) = 8 + 1.6 times AC$

$(2.8 — 1.6) times AC = 8 Rightarrow AC = frac = 6.67$

Затем мы можем использовать подобность треугольников ΔACB и ΔAFG или ΔADE и ΔAFG. Давайте выберем первый вариант.

💡 Видео

Подобие треугольников (ч.2) | Математика | TutorOnlineСкачать

Геометрия 8 класс : Отношение площадей подобных треугольниковСкачать

Когда и почему коэффициент подобия равен косинусу?Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№14 - Определение подобных треугольников. Отношение площадей подобных фигур.)Скачать

Как просто запомнить, что такое sin, cos, tg?! #косинус #синус #тангенс #математика #огэ #егэСкачать

Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языкуСкачать

Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.Скачать

Подобие треугольников и тригонометрические отношения (видео 35) | Подобие. Геометрия | МатематикаСкачать

Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТСкачать

ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ 8 класс ЗАДАЧИ коэффициент подобияСкачать

8 класс, 20 урок, Определение подобных треугольниковСкачать

60. Отношение площадей подобных треугольниковСкачать