Отношение площадей проекции и треугольника

Ортогональное проецирование — определение и вычисление с примерами решения

Ортогональное проецирование:

Параллельное проецирование, направление которого перпендикулярно плоскости проекции, называется ортогональным проецированием. Проекция фигуры, образующаяся при ортогональном проецировании, называется ортогональной проекцией, или просто проекцией этой фигуры.

Отношение площадей проекции и треугольника

Поскольку ортогональное проецирование является особым видом параллельного проецирования, то для него выполняются все свойства последнего. Ортогональной проекцией прямой Отношение площадей проекции и треугольника

Отметим, что прямые, перпендикулярные одной из параллельных плоскостей, перпендикулярны и остальным, поэтому ортогональное проецирование на одну из таких плоскостей будет ортогональным и на остальные плоскости. Очевидно, что ортогональные проекции фигуры на параллельные плоскости равны между собой.

Ортогональное проецирование также имеет только ему присущие свойства. Одно из них выражает теорема о площади ортогональной проекции многоугольника.

Площадь ортогональной проекции

Теорема 5

Площадь ортогональной проекции произвольного многоугольника на плоскость равна произведению площади самого многоугольника на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

Отношение площадей проекции и треугольника

Как пример многоугольника возьмем Отношение площадей проекции и треугольника(рис. 6.41). Проекцией Отношение площадей проекции и треугольникана плоскость Отношение площадей проекции и треугольникаявляется Отношение площадей проекции и треугольника. Проведем высоту Отношение площадей проекции и треугольникатреугольника Отношение площадей проекции и треугольника. По теореме
о трех перпендикулярах Отношение площадей проекции и треугольника— высота Отношение площадей проекции и треугольника. Угол Отношение площадей проекции и треугольника— угол между плоскостью Отношение площадей проекции и треугольникаи плоскостью проекции. Пусть Отношение площадей проекции и треугольника. Тогда

Отношение площадей проекции и треугольника

Учитывая, что Отношение площадей проекции и треугольникапрямоугольный Отношение площадей проекции и треугольника, имеем:Отношение площадей проекции и треугольника. Поэтому

Отношение площадей проекции и треугольника

Итак, Отношение площадей проекции и треугольника. Теорема доказана.

Чтобы доказать теорему для произвольного многоугольника, его разбивают на треугольники. Тогда для каждого треугольника и его проекции можно записать равенство

Отношение площадей проекции и треугольника

где Отношение площадей проекции и треугольникапоскольку угол между плоскостями этих треугольников и плоскостью их проекций будет один и тот же. Все эти равенства сложим почленно:

Отношение площадей проекции и треугольника

Получим в левой части равенства площадь проекции многоугольника, а в правой — площадь самого многоугольника, умноженную на косинус угла между их плоскостями. Отсюда

Отношение площадей проекции и треугольника

Т.е. и для этого случая теорема истинна.

Пример:

Ортогональной проекцией треугольника является треугольник со сторонами 13 см, 14 см и 15 см. Плоскость треугольника образует с плоскостью проекции угол 60°. Вычислите площадь данного треугольника.

Воспользуемся рисунком 6.41. Известно, что площадь проекции треугольника вычисляют по формуле:

Отношение площадей проекции и треугольника

где Отношение площадей проекции и треугольника— угол между плоскостью треугольника и плоскостью проекции.
По формуле Герона найдем площадь Отношение площадей проекции и треугольника:

Отношение площадей проекции и треугольника

где Отношение площадей проекции и треугольника— полупериметр треугольника, Отношение площадей проекции и треугольника— его стороны.
Отношение площадей проекции и треугольникаОтношение площадей проекции и треугольника
Тогда Отношение площадей проекции и треугольника

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Декартовы координаты на плоскости
  • Декартовы координаты в пространстве
  • Геометрические преобразования в геометрии
  • Планиметрия — формулы, определение и вычисление
  • Параллельность прямых и плоскостей
  • Перпендикулярность прямой и плоскости
  • Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости
  • Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:8 класс, 21 урок, Отношение площадей подобных треугольниковСкачать

8 класс, 21 урок, Отношение площадей подобных треугольников

Проекция многоугольника на плоскость

Площадь проекции многоугольника

Напомним, что углом между прямой и плоскостью называется угол между данной прямой и ее проекцией на плоскость (рис. 164).

Отношение площадей проекции и треугольника

Теорема. Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна площади проектируемого многоугольника, умноженной на косинус угла, образованного плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

Каждый многоугольник можно разбить на треугольники, сумма площадей которых равна площади многоугольника. Поэтому теорему достаточно доказать для треугольника.

Пусть (Delta)АВС проектируется на плоскость р. Рассмотрим два случая:

а) одна из сторон (Delta)АВС параллельна плоскости р;

б) ни одна из сторон (Delta)АВС не параллельна р.

Рассмотрим первый случай: пусть [АВ] || р.

Отношение площадей проекции и треугольника

Проведем через (АВ) плоскость р1 || р и спроектируем ортогонально (Delta)АВС на р1 и на р (рис. 165); получим (Delta)АВС1 и (Delta)А&#146В&#146С&#146.

По свойству проекции имеем (Delta)АВС1 (cong) (Delta) А&#146В&#146С&#146, и поэтому

Проведем [CD1] ⊥ [AB] и отрезок D1C1. Тогда [D1C1] ⊥ [AB], a (widehat<CD_C_>) = φ есть величина угла между плоскостью (Delta) АВС и плоскостью р1. Поэтому

и, следовательно, S(Delta)A&#146B&#146C&#146 = S(Delta)ABC cos φ.

Перейдем к рассмотрению второго случая. Проведем плоскость р1 || р через ту вершину (Delta)АВС, расстояние от которой до плоскости р наименьшее (пусть это будет вершина А).

Спроектируем (Delta)АВС на плоскости р1 и р (рис. 166); пусть его проекциями будут соответственно (Delta)АВ1С1 и (Delta)А&#146В&#146С&#146.

Отношение площадей проекции и треугольника

Пусть (ВС) ( cap ) p1 = D. Тогда

Задача. Через сторону основания правильной треугольной призмы проведена плоскость под углом φ = 30° к плоскости ее основания. Найти площадь образующегося сечения, если сторона основания призмы а = 6 см.

Отношение площадей проекции и треугольника

Изобразим сечение данной призмы (рис. 167). Так как призма правильная, то ее боковые ребра перпендикулярны плоскости основания. Значит, (Delta)АВС есть проекция (Delta)АDС, поэтому
$$ S_ = frac<S_> = frac $$
или
$$ S_ = frac<4cdotfrac> = 18 (см^2) $$

Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

ОРТОГОНАЛЬНАЯ ПРОЕКЦИЯ И ЕЁ СВОЙСТВА

Отношение площадей проекции и треугольникаРассмотрим плоскость p и пересекающую её прямую Отношение площадей проекции и треугольника. Пусть А — произвольная точка пространства. Через эту точку проведём прямую Отношение площадей проекции и треугольника, параллельную прямой Отношение площадей проекции и треугольника. Пусть Отношение площадей проекции и треугольника. Точка Отношение площадей проекции и треугольниканазывается проекцией точки А на плоскость p при параллельном проектировании по заданной прямой Отношение площадей проекции и треугольника.Плоскость p, на которую проектируются точки пространства называется плоскостью проекции.

p — плоскость проекции;

Отношение площадей проекции и треугольника— прямая проектирования; Отношение площадей проекции и треугольника;

Отношение площадей проекции и треугольника; Отношение площадей проекции и треугольника; Отношение площадей проекции и треугольника;

Отношение площадей проекции и треугольника.

Ортогональное проектирование является частным случаем параллельного проектирования. Ортогональное проектирование — это такое параллельное проектирование, при котором прямая проектирования перпендикулярна плоскости проекции.Ортогональное проектирование широко применяется в техническом черчении, где фигура проектируется на три плоскости — горизонтальную и две вертикальные.

Отношение площадей проекции и треугольникаОпределение: Ортогональной проекцией точки М на плоскость p называется основание М1 перпендикуляра ММ1, опущенного из точки М на плоскость p.

Обозначение: Отношение площадей проекции и треугольника, Отношение площадей проекции и треугольника, Отношение площадей проекции и треугольника.

Определение: Ортогональной проекцией фигуры F на плоскость p называется множество всех точек плоскости, являющихся ортогональными проекциями множества точек фигуры F на плоскость p.

Ортогональное проектирование, как частный случай параллельного проектирования, обладает теми же свойствами:

  1. Отношение площадей проекции и треугольникаПри проектировании точка пространства отображается в точку плоскости проекции.
  2. Каждая точка плоскости проекции отображается на себя.

Отношение площадей проекции и треугольника; Отношение площадей проекции и треугольника

  1. Отношение площадей проекции и треугольникаПроекция прямой, не параллельной прямой проектирования, есть прямая, а проекция прямой, параллельной прямой проектирования, есть точка точка пересечения проектируемой прямой и плоскости проекции.

p — плоскость проекции;

Отношение площадей проекции и треугольника— прямая проектирования; Отношение площадей проекции и треугольника;

1) Отношение площадей проекции и треугольника;

2) Отношение площадей проекции и треугольника, Отношение площадей проекции и треугольника.

  1. Проекции параллельных прямых параллельны.

Отношение площадей проекции и треугольника

Отношение площадей проекции и треугольника
Отношение площадей проекции и треугольника

  1. Отношение длин проекций двух параллельных отрезков равно отношению длин проектируемых отрезков.

Отношение площадей проекции и треугольника

  1. Какой фигурой может быть проекция:
a) прямой; b) плоскости;c) треугольника; d) окружности?
  1. Всегда ли проекции параллельных прямых суть параллельные прямые?
  2. На плоскости a даны две точки А и В. Отрезки Отношение площадей проекции и треугольникаи Отношение площадей проекции и треугольникаперпендикулярны к плоскости a . Найдите Отношение площадей проекции и треугольника, если Отношение площадей проекции и треугольника.
  3. Дан ромб с острым углом Отношение площадей проекции и треугольникаи сторонами 25 см. Через одну из сторон проведена плоскость. Длина проекции другой стороны на эту плоскость равна 20 см. Найдите длины проекций диагоналей.

ПЛОЩАДЬ ПРОЕКЦИИ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ

Теорема: Площадь проекции плоского многоугольника на некоторую плоскость равна площади проектируемого многоугольника, умноженной на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

1 этап: Проектируемая фигура – треугольник АВС, сторона которого АС лежит в плоскости проекции a (параллельна плоскости проекции a).

Отношение площадей проекции и треугольникаДано:

Отношение площадей проекции и треугольника; Отношение площадей проекции и треугольника;

Отношение площадей проекции и треугольника

Отношение площадей проекции и треугольника

1. Отношение площадей проекции и треугольника; Отношение площадей проекции и треугольника;

2. Отношение площадей проекции и треугольника; Отношение площадей проекции и треугольника; Отношение площадей проекции и треугольника; Отношение площадей проекции и треугольника;

3. Отношение площадей проекции и треугольника; Отношение площадей проекции и треугольника;

4. По теореме о трёх перпендикулярах Отношение площадей проекции и треугольника;

ВD – высота Отношение площадей проекции и треугольника; В1D – высота Отношение площадей проекции и треугольника;

5. Отношение площадей проекции и треугольника– линейный угол двугранного угла Отношение площадей проекции и треугольника;

Отношение площадей проекции и треугольника;

6. Отношение площадей проекции и треугольника; Отношение площадей проекции и треугольника; Отношение площадей проекции и треугольника; Отношение площадей проекции и треугольника;

7. Отношение площадей проекции и треугольника.

Отношение площадей проекции и треугольника2 этап: Проектируемая фигура – треугольник АВС, ни одна из сторон которого не лежит в плоскости проекции a и не параллельна ей.

Отношение площадей проекции и треугольника; Отношение площадей проекции и треугольника;

Отношение площадей проекции и треугольника

Отношение площадей проекции и треугольника

1. Отношение площадей проекции и треугольника; Отношение площадей проекции и треугольника;

2. Отношение площадей проекции и треугольника; Отношение площадей проекции и треугольника;

3. Отношение площадей проекции и треугольника;

4. Отношение площадей проекции и треугольника; Отношение площадей проекции и треугольника; Отношение площадей проекции и треугольника;

Отношение площадей проекции и треугольника(1 этап);

5. Отношение площадей проекции и треугольника; Отношение площадей проекции и треугольника; Отношение площадей проекции и треугольника;

Отношение площадей проекции и треугольника(1 этап);

Отношение площадей проекции и треугольника;

6. Отношение площадей проекции и треугольника;

Отношение площадей проекции и треугольника

Этап: Проектируемая фигура – произвольный многоугольник.

Многоугольник разбивается диагоналями, проведёнными из одной вершины, на конечное число треугольников, для каждого из которых теорема верна. Поэтому теорема будет верна и для суммы площадей всех треугольников, плоскости которых образуют один и тот же угол с плоскостью проекции.

Замечание: Доказанная теорема справедлива для любой плоской фигуры, ограниченной замкнутой кривой.

Отношение площадей проекции и треугольника

1. Найти площадь треугольника, плоскость которого наклонена к плоскости проекции под углом Отношение площадей проекции и треугольника, если проекция его – правильный треугольник со стороной а.

2. Найти площадь треугольника, плоскость которого наклонена к плоскости проекции под углом Отношение площадей проекции и треугольника, если проекция его – равнобедренный треугольник с боковой стороной 10 см и основанием 12 см.

3. Найти площадь треугольника, плоскость которого наклонена к плоскости проекции под углом Отношение площадей проекции и треугольника, если проекция его – треугольник со сторонами 9, 10 и 17 см.

4. Вычислить площадь трапеции, плоскость которой наклонена к плоскости проекции под углом Отношение площадей проекции и треугольника, если проекция её – равнобедренная трапеция, большее основание которой 44 см, боковая сторона 17 см и диагональ 39 см.

Отношение площадей проекции и треугольника

5. Вычислить площадь проекции правильного шестиугольника со стороной 8 см, плоскость которого наклонена к плоскости проекции под углом Отношение площадей проекции и треугольника.

6. Ромб со стороной 12 см и острым углом Отношение площадей проекции и треугольникаобразует с данной плоскостью угол Отношение площадей проекции и треугольника. Вычислить площадь проекции ромба на эту плоскость.

7. Ромб со стороной 20 см и диагональю 32 см образует с данной плоскостью угол Отношение площадей проекции и треугольника. Вычислить площадь проекции ромба на эту плоскость.

8. Проекция навеса на горизонтальную плоскость есть прямоугольник со сторонами Отношение площадей проекции и треугольникаи Отношение площадей проекции и треугольника. Найти площадь навеса, если боковые грани – равные прямоугольники, наклонённые к горизонтальной плоскости под углом Отношение площадей проекции и треугольника, а средняя часть навеса – квадрат, параллельный плоскости проекции.

11. Упражнения по теме «Прямые и плоскости в пространстве»:

Стороны треугольника равны 20 см, 65 см, 75 см. Из вершины большего угла треугольника проведён к его плоскости перпендикуляр, равный 60 см. Найти расстояние от концов перпендикуляра до большей стороны треугольника.

2. Из точки, отстоящей от плоскости на расстоянии Отношение площадей проекции и треугольникасм, проведены две наклонные, образующие с плоскостью углы, равные Отношение площадей проекции и треугольника, а между собой – прямой угол. Найти расстояние между точками пересечения наклонных с плоскостью.

3. Сторона правильного треугольника равна 12 см. Точка М выбрана так, что отрезки, соединяющие точку М со всеми вершинами треугольника, образуют с его плоскостью углы Отношение площадей проекции и треугольника. Найти расстояние от точки М до вершин и сторон треугольника.

4. Через сторону квадрата проведена плоскость под углом Отношение площадей проекции и треугольникак диагонали квадрата. Найти углы, под которыми наклонены к плоскости две стороны квадрата.

5. Катет равнобедренного прямоугольного треугольника наклонён к плоскости a, проходящей через гипотенузу, под углом Отношение площадей проекции и треугольника. Доказать, что угол между плоскостью a и плоскостью треугольника равен Отношение площадей проекции и треугольника.

6. Двугранный угол между плоскостями треугольников АВС и DВС равен Отношение площадей проекции и треугольника. Найти АD, если АВ = АС =5 см, ВС = 6 см, ВD = DС = Отношение площадей проекции и треугольникасм.

Контрольные вопросы по теме «Прямые и плоскости в пространстве»

1. Перечислить основные понятия стереометрии. Сформулировать аксиомы стереометрии.

2. Доказать следствия из аксиом.

3. Каково взаимное расположение двух прямых в пространстве? Дать определения пересекающихся, параллельных, скрещивающихся прямых.

4. Доказать признак скрещивающихся прямых.

5. Каково взаимное расположение прямой и плоскости? Дать определения пересекающихся, параллельных прямой и плоскости.

6. Доказать признак параллельности прямой и плоскости.

7. Каково взаимное расположение двух плоскостей?

8. Дать определение параллельных плоскостей. Доказать признак параллельности двух плоскостей. Сформулировать теоремы о параллельных плоскостях.

9. Дать определение угла между прямыми.

10. Доказать признак перпендикулярности прямой и плоскости.

11. Дать определения основания перпендикуляра, основания наклонной, проекции наклонной на плоскость. Сформулировать свойства перпендикуляра и наклонных, опущенных на плоскость из одной точки.

12. Дать определение угла между прямой и плоскостью.

13. Доказать теорему о трех перпендикулярах.

14. Дать определения двугранного угла, линейного угла двугранного угла.

15. Доказать признак перпендикулярности двух плоскостей.

16. Дать определение расстояния между двумя различными точками.

17. Дать определение расстояния от точки до прямой.

18. Дать определение расстояния от точки до плоскости.

19. Дать определение расстояния между прямой и параллельной ей плоскостью.

20. Дать определение расстояния между параллельными плоскостями.

21. Дать определение расстояния между скрещивающимися прямыми.

22. Дать определение ортогональной проекции точки на плоскость.

23. Дать определение ортогональной проекции фигуры на плоскость.

24. Сформулировать свойства проекций на плоскость.

25. Сформулировать и доказать теорему о площади проекции плоского многоугольника.

📸 Видео

Геометрия 8 класс : Отношение площадей подобных треугольниковСкачать

Геометрия 8 класс : Отношение площадей подобных треугольников

Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.Скачать

Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.

Свойства проекций катетов | Геометрия 8-9 классыСкачать

Свойства проекций катетов | Геометрия 8-9 классы

Отношение площадей подобных треугольников | Геометрия 7-9 класс #58 | ИнфоурокСкачать

Отношение площадей подобных треугольников | Геометрия 7-9 класс #58 | Инфоурок

Как ПОНЯТЬ ГЕОМЕТРИЮ за 5 минут — Подобие ТреугольниковСкачать

Как ПОНЯТЬ ГЕОМЕТРИЮ за 5 минут — Подобие Треугольников

Теорема о площади проекцииСкачать

Теорема о площади проекции

Геометрия 8. Урок 14 - Площадь треугольников. Формулы и задачи.Скачать

Геометрия 8. Урок 14 - Площадь треугольников. Формулы и задачи.

Урок 17. Площадь ортогональной проекции Задание 14 ЕГЭ по математике. Стереометрия с нуля.Скачать

Урок 17. Площадь ортогональной проекции Задание 14 ЕГЭ по математике. Стереометрия с нуля.

Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать

Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?

Подобие треугольников (ч.2) | Математика | TutorOnlineСкачать

Подобие треугольников (ч.2) | Математика | TutorOnline

Отношение площадейСкачать

Отношение площадей

СЕЧЕНИЯ. СТРАШНЫЙ УРОК | Математика | TutorOnlineСкачать

СЕЧЕНИЯ. СТРАШНЫЙ УРОК | Математика | TutorOnline

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | Математика

Отношение площадей подобных треугольниковСкачать

Отношение площадей подобных треугольников

Определение натуральной величины треугольника АВС методом замены плоскостей проекцииСкачать

Определение натуральной величины треугольника АВС методом замены плоскостей проекции

134 Равнобедренный прямоугольный треугольник, проекция которого подобна ему, но меньшей площадиСкачать

134 Равнобедренный прямоугольный треугольник, проекция которого подобна ему, но меньшей площади

Математика | Метрические соотношения в прямоугольном треугольникеСкачать

Математика | Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике

Способ замены (перемены) плоскостей проекции. Определение истинной величины отрезка и плоской фигурыСкачать

Способ замены (перемены) плоскостей проекции. Определение истинной величины отрезка и плоской фигуры
Поделиться или сохранить к себе: