Отношение периметров подобных треугольников доказательство

Что такое подобные треугольники?

Подобные треугольники определение

Подобные треугольники определение:

На рисунке изображены два подобных треугольника, у них углы соответственно равны, т.е. угол A равен углу A₁, угол B равен углу B₁, угол C равен углу C₁.

Сходственные стороны треугольников

Сходственные стороны треугольников пропорциональны:

здесь k называется коэффициентом подобия.

Отношение площадей подобных треугольников

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

Отношение периметров подобных треугольников

Отношение периметров подобных треугольников:

Докажем это утверждение. Пусть имеются два подобных треугольника ABC и A₁B₁C₁. По определению подобных треугольников их сходственные стороны пропорциональны:

Периметр треугольника ABC равен сумме длин его трёх сторон:

Сумма в скобках в правой части равенства представляет собой периметр треугольника A₁B₁C₁. Разделим обе части равенства на периметр A₁B₁ + B₁C₁ + A₁C₁. Получаем:

что и требовалось доказать. Итак, отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Для установления факта подобия двух треугольников используют признаки подобия треугольников:

Докажите, что отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Ваш ответ

решение вопроса

Похожие вопросы

• Все категории
• экономические 43,288
• гуманитарные 33,620
• юридические 17,900
• школьный раздел 607,127
• разное 16,830

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

Подобные треугольники

Определение

Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного соответственно пропорциональны сторонам другого треугольника.

Коэффициентом подобия называют число k , равное отношению сходственных сторон подобных треугольников.

Сходственные (или соответственные) стороны подобных треугольников — стороны, лежащие напротив равных углов.

Признаки подобия треугольников

I признак подобия треугольников

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

II признак подобия треугольников

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Свойства подобных треугольников

• Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
• Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
• Отношение длин соответствующих элементов подобных треугольников (в частности, длин биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров) равно коэффициенту подобия.

Примеры наиболее часто встречающихся подобных треугольников

1. Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному.

2. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны. Коэффициент подобия –

3. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному.

Здесь вы найдете подборку задач по теме «Подобные треугольники» .