Отношение катетов прямоугольного треугольника

Прямоугольные треугольники

Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол прямой (равен $90$ градусов).

Катетами называются две стороны треугольника, которые образуют прямой угол. Гипотенузой называется сторона, лежащая напротив прямого угла.

Некоторые свойства прямоугольного треугольника:

1. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90$ градусов.

2. Если в прямоугольном треугольнике один из острых углов равен $45$ градусов, то этот треугольник равнобедренный.

3. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $30$ градусов, равен половине гипотенузы. (Этот катет называется малым катетом.)

4. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $60$ градусов, равен малому катету этого треугольника, умноженному на $√3$.

5. В равнобедренном прямоугольном треугольнике гипотенуза равна катету, умноженному на $√2$

6. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, равна ее половине и радиусу описанной окружности $(R)$

7. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, делит треугольник на два равнобедренных треугольника, основаниями, которых являются катеты данного треугольника.

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$

Для острого угла $В$: $АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.

Для острого угла $А$: $ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.

1. Синусом $(sin)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

2. Косинусом $(cos)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

3. Тангенсом $(tg)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

4. Котангенсом $(ctg)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

В прямоугольном треугольнике $АВС$ для острого угла $В$:

5. В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.

6. Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.

7. Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения.

Значения тригонометрических функций некоторых углов:

$α$$30$$45$$60$
$sinα$$/$$/$$/$
$cosα$$/$$/$$/$
$tgα$$/$$1$$√3$
$ctgα$$√3$$1$$/$

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов

В треугольнике $АВС$ угол $С$ равен $90$ градусов, $АВ=10, АС=√$. Найдите косинус внешнего угла при вершине $В$.

Так как внешний угол $АВD$ при вершине $В$ и угол $АВС$ смежные, то

Косинусом $(cos)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Следовательно, для угла $АВС$:

Катет $ВС$ мы можем найти по теореме Пифагора:

Подставим найденное значение в формулу косинуса

В треугольнике $АВС$ угол $С$ равен $90$ градусов, $sin⁡A=/, AC=9$. Найдите $АВ$.

Распишем синус угла $А$ по определению:

Так как мы знаем длину катета $АС$ и он не участвует в записи синуса угла $А$, то можем $ВС$ и $АВ$ взять за части $4х$ и $5х$ соответственно.

Применим теорему Пифагора, чтобы отыскать $«х»$

Так как длина $АВ$ составляет пять частей, то $3∙5=15$

В прямоугольном треугольнике с прямым углом $С$ и высотой $СD$:

Квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению отрезков, на которые высота поделила гипотенузу.

В прямоугольном треугольнике : квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.

Произведение катетов прямоугольного треугольника равно произведению его гипотенузы на высоту, проведенную к гипотенузе.

Видео:№472. Площадь прямоугольного треугольника равна 168 см2. Найдите его катеты, если отношениеСкачать

№472. Площадь прямоугольного треугольника равна 168 см2. Найдите его катеты, если отношение

Все формулы прямоугольного треугольника — примеры расчетов

Отношение катетов прямоугольного треугольника

Видео:Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.Скачать

Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.

Формулы

Отношение катетов прямоугольного треугольника

1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 0 :

Отношение катетов прямоугольного треугольника

2. Синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

Отношение катетов прямоугольного треугольника

3. Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:

Отношение катетов прямоугольного треугольника

4. Тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету:

Отношение катетов прямоугольного треугольника

5. Котангенс острого угла равен отношению прилежащего катета к противолежащему катету:

Отношение катетов прямоугольного треугольника

6. Секанс острого угла равен отношению гипотенузы к прилежащему катету:

Отношение катетов прямоугольного треугольника

7. Косеканс острого угла равен отношению гипотенузы к противолежащему:

Отношение катетов прямоугольного треугольника

8. Катет, противолежащий углу, равен произведению гипотенузы на синус этого угла:

Отношение катетов прямоугольного треугольника

9. Катет, прилежащий углу, равен произведению гипотенузы на косинус этого угла:

Отношение катетов прямоугольного треугольника

10. Катет, противолежащий углу, равен произведению второго катета на тангенс угла:

Отношение катетов прямоугольного треугольника

Отношение катетов прямоугольного треугольника

11. Катет, прилежащий углу, равен произведению второго катета на котангенс угла:

Отношение катетов прямоугольного треугольника

Отношение катетов прямоугольного треугольника

12. Гипотенуза равна отношению катета к синусу противолежащего угла, и/или частному отношению катета и косинуса прилежащего угла (угла между ними):

Отношение катетов прямоугольного треугольника

13. Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Отношение катетов прямоугольного треугольника

Отношение катетов прямоугольного треугольника

Отношение катетов прямоугольного треугольника

14. Медианы, проведенные к катетам прямоугольного треугольника:

Отношение катетов прямоугольного треугольника

15. Медиана, проведенная к гипотенузе:

Отношение катетов прямоугольного треугольника

16. Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника:

Отношение катетов прямоугольного треугольника

Отношение катетов прямоугольного треугольника

17. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник:

Отношение катетов прямоугольного треугольника

18. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов треугольника:

Видео:Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnlineСкачать

Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnline

Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Отношение катетов прямоугольного треугольника

На данном уроке мы вспомним основные теоретические факты о прямоугольном треугольнике, рассмотрим связи между его сторонами и углами, вспомним формулы, связывающие тригонометрические функции острого угла.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Основы геометрии»

🎦 Видео

Свойства прямоугольного треугольника. 7 класс.Скачать

Свойства прямоугольного треугольника. 7 класс.

Катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4. Найдите высоту, проведённую к гипотенузеСкачать

Катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе

Теорема Пифагора для чайников)))Скачать

Теорема Пифагора для чайников)))

Катеты и гипотенузаСкачать

Катеты и гипотенуза

Найдите площадь прямоугольного треугольника, если сумма его катетов равна 15, а гипотенуза равна 13Скачать

Найдите площадь прямоугольного треугольника, если сумма его катетов равна 15, а гипотенуза равна 13

7 кл г. Теорема: «катет лежавший напротив угла в 30 градусов равен половине гипотенузы»Скачать

7 кл г. Теорема: «катет лежавший напротив угла в 30 градусов равен половине гипотенузы»

№485. Найдите катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла 60°, если гипотенуза равна с.Скачать

№485. Найдите катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла 60°, если гипотенуза равна с.

№597. Катеты прямоугольного треугольника равны а и b. Выразите через а и b гипотенузуСкачать

№597. Катеты прямоугольного треугольника равны а и b. Выразите через а и b гипотенузу

Нахождение стороны прямоугольного треугольникаСкачать

Нахождение стороны прямоугольного треугольника

Лайфхак нахождения катета в прямоугольном треугольникеСкачать

Лайфхак нахождения катета в прямоугольном треугольнике

22 Отношение суммы катетов к гипотенузеСкачать

22 Отношение суммы катетов к гипотенузе

КАТЕТЫ И ВЫСОТА В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #Shorts #геометрияСкачать

КАТЕТЫ И ВЫСОТА В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #Shorts #геометрия

Как найти гипотенузу в прямоугольном треугольнике, минуя теорему Пифагора?Скачать

Как найти гипотенузу в прямоугольном треугольнике, минуя теорему Пифагора?

Нахождение катета прямоугольного треугольникаСкачать

Нахождение катета прямоугольного треугольника

Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТСкачать

Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТ

Геометрия 7 класс (Урок№25 - Прямоугольные треугольники.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№25 - Прямоугольные треугольники.)

Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике. 1 часть. 9 класс.Скачать

Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике. 1 часть. 9 класс.
Поделиться или сохранить к себе: