- 1. Как найти неизвестную сторону треугольника
- 2. Как узнать сторону прямоугольного треугольника
- 3. Формулы сторон равнобедренного треугольника
- 4. Найти длину высоты треугольника
- Остроугольный треугольник — виды, свойства и признаки
- Виды, признаки и свойства остроугольных треугольников
- Равносторонний треугольник
- Разносторонний треугольник
- Равнобедренный остроугольный треугольник
- Равнобедренный тупоугольный треугольник
- Формулы треугольника
- Виды треугольников
- Свойства треугольника, применимые к любому треугольнику:
- Признаки равенства треугольников
- Подобные треугольники
- Площадь треугольника
- Стороны треугольника
- Высота треугольника
- Биссектрисы в треугольнике
- Медиана в треугольнике
- Описанная окружность
- Вписанная окружность
- 🔥 Видео
Видео:7 класс, 32 урок, Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольникиСкачать
1. Как найти неизвестную сторону треугольника
Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.
a , b , c — стороны произвольного треугольника
α , β , γ — противоположные углы
Формула длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), ( a ):
* Внимательно , при подстановке в формулу, для тупого угла ( α >90), cos α принимает отрицательное значение
Формула длины через сторону и два угла (по теореме синусов), ( a):
Видео:Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.Скачать
2. Как узнать сторону прямоугольного треугольника
Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы
a , b — катеты
c — гипотенуза
α , β — острые углы
Формулы для катета, ( a ):
Формулы для катета, ( b ):
Формулы для гипотенузы, ( c ):
Формулы сторон по теореме Пифагора, ( a , b ):
Видео:Найдите третью сторону треугольникаСкачать
3. Формулы сторон равнобедренного треугольника
Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы
b — сторона (основание)
a — равные стороны
α — углы при основании
β — угол образованный равными сторонами
Формулы длины стороны (основания), (b ):
Формулы длины равных сторон , (a):
Видео:Найдите сторону треугольника на рисункеСкачать
4. Найти длину высоты треугольника
Высота— перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом).
Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется — ортоцентр.
H — высота треугольника
a — сторона, основание
b, c — стороны
β , γ — углы при основании
p — полупериметр, p=(a+b+c)/2
R — радиус описанной окружности
S — площадь треугольника
Формула длины высоты через стороны, ( H ):
Формула длины высоты через сторону и угол, ( H ):
Формула длины высоты через сторону и площадь, ( H ):
Формула длины высоты через стороны и радиус, ( H ):
Видео:9 класс, 15 урок, Решение треугольниковСкачать
Остроугольный треугольник — виды, свойства и признаки
Одна из центральных тем на уроках геометрии – остроугольный треугольник, составная часть своих более сложных аналогов и иных тригонометрических форм.
Азы изучения точной науки начинаются с рассмотрения уникальной комбинации из трех сторон и острых углов.
Видео:Нахождение стороны прямоугольного треугольникаСкачать
Виды, признаки и свойства остроугольных треугольников
Трехсторонние фигуры разделяются на множество подвидов и категорий.
Общая классификация по наибольшему углу делит их на 3 группы:
Они располагают как общими для формы с тремя сторонами характеристиками, так и специфическими признаками.
3 угла, сумма которых равна 180°, (величина каждого меньше 90°) и 3 стороны;
сумма длин любых двух сторон больше оставшейся третьей.
Свойства остроугольной фигуры определяются вспомогательными геометрическими линиями, всегда находящимися внутри него:
1. Биссектрисы, делящие углы пополам, являются центром, вокруг которого можно нарисовать вписанную окружность.
2. Высоты пересекаются в одной точке, образуя ортоцентр.
3. Медианы в точке пересечения пролегают в пропорции 2:1 (2 трети до центра и 1 треть после).
Уникальные особенности зависят от разновидностей фигуры.
Видео:Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnlineСкачать
Равносторонний треугольник
«Идеальный» правильный треугольник, облегчающий решение задач. Определение, форма и свойства данной геометрической формы исходят из названия — все углы равны 60°, а стороны равны друг другу.
Полное равенство придает и другую особенность: медианы, биссектрисы и высоты полностью совпадают.
Видео:Теорема косинусов. Решить задачи. Найти сторону по двум сторонам и углу. Найти угол по сторонам.Скачать
Разносторонний треугольник
Наиболее часто встречаемый на чертежах в геометрии вариант, один из самых трудноразрешимых видов. Разносторонними бывают и прямоугольные, и тупоугольные фигуры.
Уникальных отличий не имеет, только общие:
все параметры имеют разные значения;
совпадений между вспомогательными линиями нет.
Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать
Равнобедренный остроугольный треугольник
Здесь при основании (стороне, не равной остальным) находятся равные друг другу 2 стороны и 2 угла. Выглядит как вытянутый в одну сторону равносторонний треугольник.
проведенная к основанию линия – и биссектриса, и высота, и медиана;
вспомогательные линии из крайних точек при основании совпадают.
Видео:32. Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольникиСкачать
Равнобедренный тупоугольный треугольник
Пусть он и называется равнобедренным, но из-за наличия угла более 90° не является остроугольным и является представителем другой группы.
Начертить его сложнее (рисунок следует начинать с основания и 2 острых углов и уже после создавать тупой), но процесс решения и изучения прост.
Отличие у него одно – точка пересечения двух высот, проведенных от углов при основании, выходит за периметр треугольника. Чтобы ее обозначить, необходимо нарисовать «продолжения» равнобедренных линий. Все остальные свойства совпадают.
В ключевых и фундаментальных разделах математики именно треугольник является основой для доказательства многих теорем и помощью в решении множества задач. Твердое знание его свойств откроет путь к успехам в расчетах, вычислениях, оформлении чертежей и фото в проектных работах.
Видео:Построение высоты в треугольникеСкачать
Формулы треугольника
Для расчёта всех основных параметров треугольника воспользуйтесь калькулятором.
Виды треугольников
Остроугольный треугольник — это треугольник, в котором все три угла острые, т.е. меньше 90°. Прямоугольный треугольник — это треугольник, содержащий прямой угол.
Две стороны, образующие прямой угол, называются катетами (АС и АВ), а сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой (ВС).
Тупоугольный треугольник — это треугольник, содержащий тупой угол, т.е. один из его углов лежит в пределах между 90° и 180°.(по числу равных сторон) Равносторонний (правильный) треугольник — это треугольник, у которого все стороны и все углы равны (каждый угол равен 60°). Равнобедренный тругольник — это треугольник, у которого два угла и две стороны равны. Разносторонний треугольник — это треугольник, в котором все углы, а значит и все стороны попарно различны.
Свойства треугольника, применимые к любому треугольнику:
- Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.
- Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот. (В частности, все углы в равностороннем треугольнике равны.)
- Сумма углов треугольника равна 180° (Из двух последних свойств следует, что каждый угол в равностороннем треугольнике равен 60°).
- Продолжая одну из сторон треугольника (AВ), получаем внешний угол Θ.
- Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности:
- $$ AB BC — CA $$
- $$ BC AB — CA $$
- $$ CA AB — BC $$
Признаки равенства треугольников
Где: | AB,BC,AC – стороны треугольника |
h – высота треугольника | |
α, β, γ– углы треугольника | |
P – полупериметр | |
AC – основание треугольника |
Площадь произвольного треугольника
Площадь треугольника по формуле Герона
Площадь треугольника по углу и двум сторонам
$$ S = * AB * AC * sin(α) $$ $$ S = * AB * BC * sin(β) $$ $$ S = * AC * BC * sin(γ) $$
Площадь треугольника по двум углам и стороне
Площадь прямоугольного треугольника по катетам
Где: | AB,AC – катеты треугольника |
$$ S = * AB * AC $$
Площадь равнобедренного треугольника
Где: | AB,BC – равные стороны треугольника |
AC – основание треугольника |
$$ S = * sqrt $$
Площадь равностороннего треугольника
Где: | AB,BC,AC – равные стороны треугольника |
h – высота треугольника |
$$ S = <sqrtover 4> * AB^2 $$ $$ S = <h^2 over sqrt> $$
Стороны треугольника
Где: | AB,BC,AC – стороны треугольника |
h – высота треугольника | |
α, β, γ– углы треугольника | |
P – полупериметр | |
AC – основание треугольника |
Сторона треугольника по двум сторонам и углу
Сторона треугольника по стороне и двум углам
Сторона прямоугольного треугольника
Где: | AB,AC – катеты треугольника |
BC – гипотенуза треугольника |
$$ AC = BC * cos(β) = BC * sin(α) = AB * tg(α) $$ $$ AB = BC * cos(α) = BC * sin(β) = AC * tg(β) $$ $$ BC = = $$ $$ BC = = $$
Сторона прямоугольного треугольника по теореме Пифагора.
Сторона равнобедренного треугольника
Где: | AB,BC – равные стороны треугольника |
AC – основание треугольника |
$$ AC = 2 * AB * sin() = AB * sqrt $$ $$ AC = 2 * AB * cos(α) $$ $$ AB = = <AC over sqrt> $$ $$ AB = $$
Высота треугольника
Высота – это перпендикуляр, выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне или её продолжению для треугольника с тупым углом. Высоты треугольника пересекаются в одной точке
Где: | AB,BC,AC – стороны треугольника |
h – высота треугольника | |
P – полупериметр $$ P = $$ | |
α, β, γ – углы треугольника | |
R — радиус описанной окружности | |
S — площадь треугольника |
Высота на сторону АС, hAC
Высота на сторону AB, hAB
Высота на сторону BC, hBC
Формула длины высоты через сторону и угол
Высота на сторону АС, hAC
$$ h_ = AB * sin(α) = BC * sin(γ) $$
Высота на сторону AB, hAB
$$ h_ = BC * sin(β) = AC * sin(α) $$
Высота на сторону BC, hBC
$$ h_ = AC * sin(γ) = AB * sin(β) $$
Формула длины высоты через сторону и площадь
Высота на сторону АС, hAC
Высота на сторону AB, hAB
Высота на сторону BC, hBC
Формула длины высоты через стороны и радиус
Высота на сторону АС, hAC
Высота на сторону AB, hAB
Высота на сторону BC, hBC
Формулы высоты из прямого угла в прямоугольном треугольнике
В прямоугольном треугольнике катеты, являются высотами. Ортоцентр — точка пересечения высот, совпадает с вершиной прямого угла.
Где: | AB,AC – катеты треугольника |
BC – гипотенуза треугольника | |
BD, DC – отрезки полученные от деления гипотенузы, высотой | |
α, β– углы треугольника |
Формула длины высоты через гипотенузу и острые углы
$$ h = BC * sin(α) * cos(α) = BC * sin(β) * cos(β) $$
Формула длины высоты через катет и угол
$$ h = AB * sin(α) = AC * sin(β) $$
Формула длины высоты через составные отрезки гипотенузы
Биссектрисы в треугольнике
Биссектриса – это отрезок, который делит угол пополам из которого выходит. Точка пересечения всех трех биссектрис треугольника совпадает с центром вписанной окружности.
Где: | AB,BC,AC – стороны треугольника |
AA1,BB1,CC1 — биссектрисы в треугольнике | |
α, β, γ– углы треугольника | |
P – полупериметр $$ P = $$ |
Длина биссектрисы через две стороны и угол
Длина биссектрисы через полупериметр и стороны
Длина биссектрисы через три стороны
Длина биссектрисы через стороны и отрезки, на которые делит биссектриса
Формула длины биссектрис в прямоугольном треугольнике
Где: | AB,AC – катеты треугольника |
BC – гипотенуза треугольника | |
β, γ– острые углы треугольника |
Длина биссектрисы из прямого угла, через катеты.
Длина биссектрисы из прямого угла, через гипотенузу и угол
Длина биссектрисы через катет и угол
Длина биссектрисы через катет и гипотенузу
Длина биссектрисы равнобедренного треугольника
Где: | AB,BC – равные стороны треугольника |
AC – основание треугольника | |
α – равные углы при основании треугольника | |
β – угол образованный равными сторонами треугольника |
Длина биссектрисы через стороны и угол, равнобедренного треугольника
$$ BB_1 = AB * sin(α) = * tg(α) = AB * cos() $$ $$ BB_1 = AB * sqrt <over 2> $$
Длина биссектрисы через стороны, равнобедренного треугольника
Длина биссектрисы равностороннего треугольника
Где: | AB,BC,AC – равные стороны треугольника |
$$ BB_1 = <AB * sqrtover 2> $$
Медиана в треугольнике
Медиана – это отрезок, который выходит из вершины и делит противоположную сторону пополам. Медиана делит треугольник на два равных по площади треугольника.
Где: | AB,BC,AC – стороны треугольника |
AA1,BB1,CC1 — медианы в треугольнике | |
α, β, γ– углы треугольника |
Длина медианы через три стороны
Длина медианы через две стороны и угол между ними
Длина медианы в прямоугольном треугольнике, выходящая из прямого угла.
Где: | AB,AC – катеты треугольника |
BC – гипотенуза треугольника | |
AA1,BB1,CC1 — медианы в треугольнике | |
β, γ– острые углы треугольника |
Длина медианы в прямоугольном треугольнике, выходящая из прямого угла, равна радиусу описанной окружности, а середина гипотенузы является центром описанной окружности
Длина медианы через катеты
Длина медианы через катет и острый угол
Описанная окружность
Радиус описанной окружности произвольного треугольника по сторонам
Где: | AB,BC,AC – стороны треугольника |
P – полупериметр $$ P = $$ | |
R — радиус описанной окружности |
$$ R = <AB * BC * CA over 4 * sqrt
> $$
Радиус описанной окружности равностороннего треугольника по стороне или высоте
Где: | AB,BC,AC – равные стороны треугольника |
h – высота треугольника | |
R — радиус описанной окружности |
$$ R = <AB over sqrt> $$ $$ R = $$
Радиус описанной окружности равнобедренного треугольника по сторонам
Где: | AB,BC – равные стороны треугольника |
AC – основание треугольника | |
h – высота треугольника | |
R — радиус описанной окружности |
$$ R = <AB^2 over sqrt> $$
Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника по катетам
Где: | AB,AC – катеты треугольника |
BC – гипотенуза треугольника | |
R — радиус описанной окружности |
$$ R = * sqrt = $$
Длина окружности, L
Площадь окружности, S
Вписанная окружность
Радиус вписанной окружности произвольного треугольника по сторонам
Где: | AB,BC,AC – стороны треугольника |
P – полупериметр $$ P = $$ | |
R — радиус вписанной окружности |
$$ R = sqrt <
over P> $$
Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник
Где: | AB,BC,AC – равные стороны треугольника |
R — радиус вписанной окружности |
$$ R = <AB over 2 * sqrt> $$
Радиус вписанной окружности равнобедренного треугольник
Где: | AB,BC – равные стороны треугольника |
AC – основание треугольника | |
R — радиус вписанной окружности | |
h – высота треугольника | |
α – угол при основании треугольника |
$$ R = * sqrt <> $$ $$ R = AB * = AB * cos(α) * tan() $$ $$ R = * = * tan() $$ $$ R = <AC * h over AC + sqrt> $$ $$ R = <h * sqrtover AB + sqrt> $$
Радиус вписанной окружности в прямоугольном треугольнике
🔥 Видео
Известна биссектриса равностороннего треугольника. Найти сторону этого треугольника. ОГЭ №16Скачать
Геометрия 7 класс (Урок№9 - Треугольник.)Скачать
Найдите сторону треугольника, если другие его стороны равны 1 и 5Скачать
7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать
Периметр треугольника. Как найти периметр треугольника?Скачать
Построение медианы в треугольникеСкачать
Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.Скачать
Уравнения стороны треугольника и медианыСкачать
Треугольники: остро-, тупо- и прямоугольныеСкачать