В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AP и CQ.
а) Докажите, что угол PAC равен углу PQC.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если известно, что PQ = 8 и ∠ABC = 60°.
а) Углы APC и AQC — прямые, значит, точки A, Q, P и C лежат на одной окружности с диаметром AC, и, следовательно, равны и вписанные углы PAC и PQC этой окружности, опирающиеся на дугу PC, что и требовалось доказать.
б) Прямоугольные треугольники ABP и CBQ имеют общий угол ABC, следовательно, они подобны, откуда 
или 
но тогда и треугольники BAC и BPQ также подобны, причем коэффициент подобия равен 
откуда 
Тогда радиус R окружности, описанной около треугольника ABC равен 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, Содержание
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты ВВ1 и СС1. Докажите, что углы СС1В1 и СВВ1 равны.Ваш ответрешение вопросаПохожие вопросы
Популярное на сайте: Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах. Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте. Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так. Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью. Задание 16. Математика ЕГЭ. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AK и CM. В треугольнике MKC из вершины K проведена высота KH к стороне MC. В треугольнике KMA из вершины M проведена высота ME к стороне AK.Задание. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AK и CM. В треугольнике MKC из вершины K проведена высота KH к стороне MC. Аналогично в треугольнике KMA из вершины M проведена высота ME к стороне AK. а) Докажите, что прямая EH параллельна прямой AC. б) Найдите отношение EH к AC, если угол ABC = 45 0 .
Решение: а) Докажите, что прямая EH параллельна прямой AC. Так как, угол AKC = 90 0 , угол AMC = 90 0 , тогда отрезок AC виден из точек K и M под углом 90 0 . Поэтому точки A, M, K и C лежат на окружности (1), диаметром которой является отрезок AC (см. рис.1).
Аналогично, угол MEK = 90 0 , угол MHK = 90 0 , тогда отрезок MK виден из точек E и H под углом 90 0 . Поэтому точки M, E, H и K лежат на окружности (2), диаметром которой является отрезок MK (см. рис.2). Пусть угол KAC = α (см. рис. 3.)
Угол KAC — вписанный в окружность (1) угол, который опирается на дугу KC. Угол KMC — вписанный в окружность (1) угол, который опирается на дугу KC. Следовательно, угол KAC равен углу KMC. Т.е.
Угол KMC — это угол KMH. Угол KMH — вписанный в окружность (2) угол, который опирается на дугу KH. Угол KEH — вписанный в окружность (2) угол, который опирается на дугу KH. Следовательно, угол KMH равен углу KEH, т.е.
Угол KAC и угол KEH — соответственные углы при пересечении прямых EH и AC секущей AK. Тогда по признаку параллельности двух прямых , прямая EH параллельна прямой AC. б) Найдите отношение EH к AC, если угол ABC = 45 0 . Рассмотрим треугольник ΔOEH и треугольник ΔOAC (см. рис. 3.):
Тогда по первому признаку подобия треугольников, треугольник ΔOEH подобен треугольнику ΔOAC. Т.е. В прямоугольном треугольнике ΔMBC угол MBC равен 45 0 , тогда угол MCB = 45 0 . Рассмотрим треугольник ΔOKC – прямоугольный, угол OCK = углу MCB = 45 0 , пусть KC = a, тогда
Рассмотрим треугольник ΔKHC – прямоугольный, угол HCK = углу OCK = 45 0 , тогда |
рис. 1. 
рис. 2.
