Основания высот треугольника координаты

Решить треугольник Онлайн по координатам

1) длины и уравнения сторон, медиан, средних линий, высот, серединных перпендикуляров, биссектрис;

2) система линейных неравенств, определяющих треугольник;

2) уравнения прямых, проходящих через вершины параллельно противолежащим сторонам;

3) внутренние углы по теореме косинусов;

4) площадь треугольника;

5) точка пересечения медиан (центроид) и точки пересечения медиан со сторонами;

10) параметры вписанной и описанной окружностей и их уравнения.

Внимание! Этот сервис не работает в браузере IE (Internet Explorer).

Запишите координаты вершин треугольника и нажмите кнопку.

A ( ; ), B ( ; ), C ( ; )

Примечание: дробные числа записывайте
через точку, а не запятую.

Округлять до -го знака после запятой.

Видео:Вычисляем высоту через координаты вершин 1Скачать

Вычисляем высоту через координаты вершин  1

Уравнение высоты треугольника

Как составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин?

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.

Следовательно, для составления уравнения высоты треугольника нужно:

  1. Найти уравнение стороны треугольника.
  2. Составить уравнение прямой, перпендикулярной этой стороне и проходящей через противолежащую вершину треугольника.

Дано: ΔABC, A(-7;2), B(5;-3), C(1;8).

Написать уравнения высот треугольника.

1) Составим уравнение стороны BC треугольника ABC.

Прямая y=kx+b проходит через точки B(5;-3), C(1;8), значит, координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой. Подставив координаты B и C в уравнение прямой, составляем систему уравнений и решаем её:

Основания высот треугольника координаты

Таким образом, уравнение прямой BC —

Основания высот треугольника координаты

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной BC,

Основания высот треугольника координаты

Значит, уравнение высоты, проведённой к стороне BC, имеет вид

Основания высот треугольника координаты

Поскольку эта прямая проходит через точку A(-7;2), подставляем координаты точки в уравнение и находим b:

Основания высот треугольника координаты

Итак, уравнение высоты, проведённой к стороне BC:

Основания высот треугольника координаты

2) Составим уравнение стороны AB треугольника ABC. A(-7;2), B(5;-3):

Основания высот треугольника координаты

Уравнение прямой AB:

Основания высот треугольника координаты

Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой

Основания высот треугольника координаты

Значит уравнение перпендикулярной AB прямой имеет вид y=2,5x+b. Подставляем в это уравнение координаты точки C(1;8): 8=2,5·1+b, откуда b=5,5.
Получили уравнение высоты, проведённой из точки C к стороне BC: y=2,5x+5,5.
3) Составим уравнение стороны AC треугольника ABC. A(-7;2), C(1;8):

Основания высот треугольника координаты

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной AC,

Основания высот треугольника координаты

Таким образом, уравнение перпендикулярной AC прямой имеет вид

Основания высот треугольника координаты

Подставив в него координаты точки B(5;-3), найдём b:

Основания высот треугольника координаты

Итак, уравнение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B:

Видео:Вычисление медианы, высоты и угла по координатам вершинСкачать

Вычисление медианы, высоты и угла по координатам вершин

Высота треугольника. Задача Фаньяно

Основания высот треугольника координатыВысота треугольника. Свойство высоты прямоугольного треугольника
Основания высот треугольника координатыРасположение высот у треугольников различных типов
Основания высот треугольника координатыОртоцентр треугольника
Основания высот треугольника координатыРасположение ортоцентров у треугольников различных типов
Основания высот треугольника координатыОртоцентрический треугольник
Основания высот треугольника координатыЗадача Фаньяно

Видео:Уравнения стороны треугольника и медианыСкачать

Уравнения стороны треугольника и медианы

Высота треугольника. Свойство высоты прямоугольного треугольника

Определение 1 . Высотой треугольника называют перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противолежащую сторону треугольника. Основанием высоты называют основание этого перпендикуляра (рис.1).

Основания высот треугольника координаты

На рисунке 1 изображена высота BD , проведённая из вершины B треугольника ABC . Точка D – основание высоты.

Для высоты прямоугольного треугольника, проведённой из вершины прямого угла, справедливо следующее утверждение.

Утверждение . Длина высоты прямоугольного треугольника, опущенной на гипотенузу, является средним геометрическим между длинами отрезков, на которые основание высоты делит гипотенузу (рис.2).

Основания высот треугольника координаты

Доказательство . Углы треугольников BCD и ACD (рис.2) удовлетворяют соотношениям

Основания высот треугольника координаты

Основания высот треугольника координаты

Основания высот треугольника координаты

Основания высот треугольника координаты

Таким образом, длина отрезка CD является средним геометрическим между длинами отрезков BD и AD , что и требовалось доказать.

Высоты можно провести из каждой вершины треугольника, однако у треугольников различных типов высоты располагаются по-разному, как показано в следующей таблице.

Видео:№973. Даны координаты вершин треугольника ABC: А (4; 6), В (-4; 0), С (-1; -4). Напишите уравнениеСкачать

№973. Даны координаты вершин треугольника ABC: А (4; 6), В (-4; 0), С (-1; -4). Напишите уравнение

Расположение высот у треугольников различных типов

ФигураРисунокОписание
Остроугольный треугольникОснования высот треугольника координатыВсе высоты остроугольного треугольника лежат внутри треугольника.
Основания высот треугольника координаты
Основания высот треугольника координаты
Прямоугольный треугольникОснования высот треугольника координатыВысоты прямоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, совпадают с катетами треугольника. Высота, проведённая из вершины прямого угла, лежит внутри треугольника
Основания высот треугольника координаты
Основания высот треугольника координаты
Тупоугольный треугольникОснования высот треугольника координатыВысоты тупоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, лежат вне треугольника. Высота, проведённая из вершины тупого угла, лежит внутри треугольника
Основания высот треугольника координаты
Основания высот треугольника координаты
Остроугольный треугольник
Основания высот треугольника координатыОснования высот треугольника координатыОснования высот треугольника координаты
Все высоты остроугольного треугольника лежат внутри треугольника.
Прямоугольный треугольник
Основания высот треугольника координатыОснования высот треугольника координатыОснования высот треугольника координаты
Высоты прямоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, совпадают с катетами треугольника. Высота, проведённая из вершины прямого угла, лежит внутри треугольника
Тупоугольный треугольник
Основания высот треугольника координатыОснования высот треугольника координатыОснования высот треугольника координаты
Высоты тупоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, лежат вне треугольника. Высота, проведённая из вершины тупого угла, лежит внутри треугольника

Основания высот треугольника координаты

Основания высот треугольника координаты

Основания высот треугольника координаты

Все высоты остроугольного треугольника лежат внутри треугольника.

Основания высот треугольника координаты

Основания высот треугольника координаты

Основания высот треугольника координаты

Высоты прямоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, совпадают с катетами треугольника. Высота, проведённая из вершины прямого угла, лежит внутри треугольника

Основания высот треугольника координаты

Основания высот треугольника координаты

Основания высот треугольника координаты

Основания высот треугольника координаты

Основания высот треугольника координаты

Основания высот треугольника координаты

Высоты тупоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, лежат вне треугольника. Высота, проведённая из вершины тупого угла, лежит внутри треугольника

Видео:найти уравнение высоты треугольникаСкачать

найти уравнение высоты треугольника

Ортоцентр треугольника

Теорема 1 . Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим произвольный треугольник ABC и проведём через каждую из его вершин прямую, параллельную противолежащей стороне (рис.3).

Основания высот треугольника координаты

Основания высот треугольника координаты

Обозначим точки пересечения этих прямых символами A1 , B1 и C1 , как показано на рисунке 3.

Следовательно, точка B является серединой стороны C1A1 .

Следовательно, точка A является серединой стороны C1B1 .

Следовательно, точка C является серединой стороны B1A1 .

Основания высот треугольника координаты

Основания высот треугольника координаты

и в силу теоремы о серединных перпендикулярах пересекаются в одной точке.

Теорема 1 доказана.

Определение 2 . Точку пересечения высот треугольника (или их продолжений) называют ортоцентром треугольника.

У треугольников различных типов ортоцентры располагаются по-разному, как показано в следующей таблице.

Видео:8 класс, 37 урок, Теорема о пересечении высот треугольникаСкачать

8 класс, 37 урок, Теорема о пересечении высот треугольника

Расположение ортоцентров у треугольников различных типов

Ортоцентр остроугольного треугольника лежит внутри треугольника.

Ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла

Основания высот треугольника координаты

Основания высот треугольника координаты

Ортоцентр тупоугольного треугольника лежит вне треугольника.
В ортоцентре тупоугольного треугольника пересекаются не высоты, а продолжения высот треугольника.

Основания высот треугольника координаты

Ортоцентр остроугольного треугольника лежит внутри треугольника.

Основания высот треугольника координаты

Ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла

Основания высот треугольника координаты

Основания высот треугольника координаты

Ортоцентр тупоугольного треугольника лежит вне треугольника.
В ортоцентре тупоугольного треугольника пересекаются не высоты, а продолжения высот треугольника.

Видео:Метод координат. Как найти медиану треугольника, если известны координаты его вершин?Скачать

Метод координат. Как найти медиану треугольника, если известны координаты его вершин?

Ортоцентрический треугольник

Решим следующую задачу.

Задача . В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AD и BE (рис.5). Доказать, что треугольник DCE подобен треугольнику ABC .

Основания высот треугольника координаты

Решение . Рассмотрим треугольники ADC и BEC . Эти треугольники подобны в силу признака подобия прямоугольных треугольников с равными острыми углами (угол C общий). Следовательно, справедливо равенство

Основания высот треугольника координаты

Это равенство, а также наличие общего угла C позволяют на основании признака подобия треугольников заключить, что и треугольники DCE и ABC подобны. Решение задачи завершено.

Основания высот треугольника координаты

Основания высот треугольника координаты

Определение 3 . Ортоцентрическим треугольником (ортотреугольником) называют треугольник, вершинами которого служат основания высот исходного треугольника (рис 6).

Основания высот треугольника координаты

Из определения 3 и следствия 1 вытекает следствие 2.

Следствие 2 . Пусть FDE – ортоцентрический треугольник с вершинами в основаниях высот остроугольного треугольника ABC (рис 7).

Основания высот треугольника координаты

Тогда справедливы равенства

Основания высот треугольника координаты

Основания высот треугольника координаты

Из следствия 2 вытекает теорема 2.

Теорема 2 . Высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами углов его ортоцентрического треугольника (рис.7).

Доказательство . Воспользовавшись следствием 2, получаем:

Основания высот треугольника координаты

Основания высот треугольника координаты

что и требовалось доказать.

Видео:№942. Найдите медиану AM треугольника ABC, вершины которого имеют координаты: А(0; 1), В(1; -4)Скачать

№942. Найдите медиану AM треугольника ABC, вершины которого имеют координаты: А(0; 1), В(1; -4)

Задача Фаньяно

Задача Фаньяно . Рассматриваются всевозможные треугольники DEF , вершины D, E и F которых лежат на сторонах BC, AC и AB остроугольного треугольника ABC соответственно. Доказать, что из всех треугольников DEF наименьшим периметром обладает ортоцентрический треугольник треугольника ABC .

Решение . Пусть DEF – один из рассматриваемых треугольников. Обозначим символом D1 точку, симметричную точке D относительно прямой AC , и обозначим символом D2 точку, симметричную точке D относительно прямой AB (рис.8).

Основания высот треугольника координаты

Поскольку отрезок прямой – кратчайшее расстояние между двумя точками, то периметр треугольника DEF оказывается не меньшим, чем длина отрезка D1D2 . Отсюда вытекает, что при фиксированной точке D наименьшим периметром обладает такой треугольник DEF , вершины F и E которого являются точками пересечения прямой D1D2 с прямыми AB и AC соответственно. Периметр этого треугольника равен длине отрезка D1D2 (рис.9).

Основания высот треугольника координаты

Заметим также, что выполнено равенство

Кроме того, выполнено равенство

Основания высот треугольника координаты

Основания высот треугольника координаты

Основания высот треугольника координаты

Отсюда вытекает, что длина отрезка D1D2 будет наименьшей тогда, когда длина отрезка AD будет наименьшей, т.е. в том случае, когда отрезок AD является высотой треугольника ABC . Другими словами, наименьшим периметром обладает такой треугольник DEF , у которого вершина D является основанием высоты треугольника ABC , проведённой из вершины A , а вершины E и F построены по описанной выше схеме. Таким образом, среди всевозможных треугольников DEF треугольник с наименьшим периметром является единственным.

Если обозначить длину высоты, проведённой из вершины A , длину стороны AB и радиус описанной около треугольника ABC окружности буквами h, c и R соответственно, то, воспользовавшись теоремой синусов, получим:

Основания высот треугольника координаты

Основания высот треугольника координаты

Основания высот треугольника координаты

Следовательно, наименьший периметр рассматриваемых треугольников DEF равен

Основания высот треугольника координаты

Теперь докажем, что ортоцентрический треугольник и является треугольником с наименьшим периметром. Для этого воспользуемся следующей леммой.

Лемма . Пусть DEF – ортоцентрический треугольник треугольника ABC (рис.10).

Основания высот треугольника координаты

В этом случае отрезок D1D2 проходит через точки F и E .

Доказательство . Заметим, что в силу следствия 2 выполняются равенства:

Основания высот треугольника координаты

Основания высот треугольника координаты

Кроме того, в силу равенства треугольников DFK и KFD2 , а также в силу равенства треугольников DEL и LED1 выполняются равенства:

Основания высот треугольника координаты

Основания высот треугольника координаты

Основания высот треугольника координаты

Основания высот треугольника координаты

откуда вытекает, что углы AEF и D1EL , а также AFE и D2FK являются вертикальными углами. Это означает, что точки D1 , F, E , D2 лежат на одной прямой. Лемма доказана.

Доказательство леммы и завершает решение задачи Фаньяно.

🎥 Видео

Высоты треугольника.Скачать

Высоты треугольника.

Определение натуральной величины треугольника АВС методом замены плоскостей проекцииСкачать

Определение натуральной величины треугольника АВС методом замены плоскостей проекции

Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать

Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторов

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Уравнение прямой и треугольник. Задача про высотуСкачать

Уравнение прямой и треугольник. Задача про высоту

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

КАК НАЙТИ ВЫСОТУ ТРЕУГОЛЬНИКА? ЕГЭ и ОГЭ #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэ #треугольникСкачать

КАК НАЙТИ ВЫСОТУ ТРЕУГОЛЬНИКА? ЕГЭ и ОГЭ #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэ #треугольник

№492. Найдите высоты треугольника со сторонами 10 см, 10 см и 12 см.Скачать

№492. Найдите высоты треугольника со сторонами 10 см, 10 см и 12 см.

Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)Скачать

Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)

Даны вершины пирамиды A, B, C, D. Найдите объём пирамиды и высоту, опущенную на грань ACDСкачать

Даны вершины пирамиды A, B, C, D. Найдите объём пирамиды и высоту, опущенную на грань ACD

Аналитическая геометрия на плоскости. Решение задачСкачать

Аналитическая геометрия на плоскости. Решение задач

№955. Высота треугольника, равная 10 см, делит основание на два отрезка, равные 10 см и 4 см.НайдитеСкачать

№955. Высота треугольника, равная 10 см, делит основание на два отрезка, равные 10 см и 4 см.Найдите
Поделиться или сохранить к себе:
ФигураРисунокОписание
Остроугольный треугольникОснования высот треугольника координаты
Прямоугольный треугольникОснования высот треугольника координаты