Ортотреугольник отсекает треугольники подобные данному (6 видео)

Ортотреугольник отсекает треугольники, подобные данному

Теорема о высоте прямоугольного треугольника

Если высота в прямоугольном треугольнике ABC длиной , проведённая из вершины прямого угла, делит гипотенузу длиной на отрезки и , соответствующие катетам и , то верны следующие равенства:

· ;

Свойства оснований высот треугольника

· Основания высот образуют так называемый ортотреугольник, обладающий собственными свойствами.

· Описанная около ортотреугольника окружность — окружность Эйлера. На этой окружности также лежат три середины сторон треугольника и три середины трёх отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами треугольника.

Другая формулировка последнего свойства:

· Теорема Эйлера для окружности девяти точек.

Основания трёх высот произвольного треугольника, середины трёх его сторон (основания его внутренних медиан) и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, все лежат на одной окружности (на окружности девяти точек).

· Теорема. В любом треугольнике отрезок, соединяющий основания двух высот треугольника, отсекает треугольник подобный данному.

· Теорема. В треугольнике отрезок, соединяющий основания двух высот треугольника, лежащие на двух сторонах, антипараллелен третьей стороне, с которой он не имеет общих точек. Через два его конца, а также через две вершины третьей упомянутой стороны всегда можно провести окружность.

Другие свойства высот треугольника

· Если треугольник разносторонний (неравносторонний), то его внутренняя биссектриса, проведённая из любой вершины, лежит между внутренними медианой и высотой, проведёнными из той же вершины.

· Высота треугольника изогонально сопряжена диаметру (радиусу) описанной окружности, проведенному из той же самой вершины.

· В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники.

· В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному.

Свойства минимальной из высот треугольника

Минимальная из высот треугольника обладает многими экстремальными свойствами. Например:

· Минимальная ортогональная проекция треугольника на прямые, лежащие в плоскости треугольника, имеет длину, равную наименьшей из его высот.

· Минимальный прямолинейный разрез в плоскости, через который можно протащить несгибаемую треугольную пластину, должен иметь длину, равную наименьшей из высот этой пластины.

· При непрерывном движении двух точек по периметру треугольника друг навстречу другу, максимальное расстояние между ними за время движения от первой встречи до второй, не может быть меньше длины наименьшей из высот треугольника.

· Минимальная высота в треугольнике всегда проходит внутри этого треугольника.

Основные соотношения

· где — площадь треугольника, — длина стороны треугольника, на которую опущена высота.

· где — произведение боковых сторон, радиус описанной окружности

· ,

где — радиус вписанной окружности.

где — площадь треугольника.

где — сторона треугольника, к которой опускается высота .

· Высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание:

где — основание.

· — высота в равностороннем треугольнике.

Медианы и высоты в равностороннем треугольнике

Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника. А в равносторонних треугольниках медианы и высоты — одно и то же.

Рассмотрим произвольный треугольник ABC. Обозначим буквой O точку пересечения его медиан AA1 и BB1 и проведем среднюю линию A1B1 этого треугольника Медианы треугольника пересекаются в одной точке Отрезок A1B1 параллелен стороне AB, поэтому углы 1 и 2, а также углы 3 и 4 равны как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых AB и A1B1 секущими AA1 и BB1. Следовательно, треугольники AOB и A1OB1 подобны по двум углам, и, значит их стороны пропорциональны: AOA1O=BOB1O=ABA1B1 . Но AB=2⋅A1B1, поэтому AO=2⋅A1O и BO=2⋅B1O. Таким образом, точка O пересечения медиан AA1 и BB1 делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Аналогично доказывается, что точка пересечения медиан BB1 и CC1 делит каждую из них в отношении 2:1 считая от вершины, и, следовательно, совпадает с точкой O. Итак, все три медианы треугольника ABC пересекаются в точке O и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины.

Представим что в вершинах угла m₁=1, тогда в точках A₁,B₁,C₁, m₂=2, так как они являются серединами сторон. И тут можно заметить, что отрезки AA₁,BB₁,CC₁, которые пересекаются в одной точке и похожи на рычаги с точкой опоры О, где AO-l₁, a OA₁-l₂(плечи). И по физической формуле F₁/F₂=l₁/l₂, где F=m*g, где g-const, и она соответственно сокращается, получается m₁/m₂=l₁/l₂ т.е. ½=1/2.

Ортотреугольник

· Три высоты треугольника пересекаются в одной точке, эта точка носит название ортоцентра

· Две смежные стороны ортотреугольника образуют равные углы с соответствующей стороной исходного треугольника

· Высоты треугольника являются биссектрисами ортотреугольника

· Ортотреугольник-это треугольник с наименьшим периметром, который можно вписать в данный треугольник (задача Фаньяно)

· Периметр ортотреугольника равен удвоенному произведению высоты треугольника на синус угла из которого он исходит.

· Если точки A₁, B₁ и C₁ на сторонах соответственно BC, AC и AB остроугольного треугольника ABC таковы, что

, и ,

то — ортотреугольник треугольника ABC.

Ортотреугольник отсекает треугольники, подобные данному

Теорема о свойстве биссектрис ортотреугольника

∟B₁C₁C=∟B₁BC=∟CAA₁=∟CC₁A

Видео:№16 из ЕГЭ2022 и олимпиады. Красивое доказательство свойства ортоцентра остроугольного треугольникаСкачать

Презентация на тему: Ортотреугольник и его свойства

Муниципальное общеобразовательное учреждение«Лицей № 230» Ортотреугольники его свойства Работу выполнилаученица 9 «А» класса МОУ «Лицей» № 230Волкова Екатерина Евгеньевна.Руководитель:Редкина Елена Ивановна г.Заречный, Пензенская область2008 г.

Италия, начало XVIII века Инженер и математик Фаньяно Дей Тоски (1682—1766) Задача: вписать в данный остроугольный треугольник ABC треугольник наименьшего периметра так, чтобы на каждой стороне треугольника ABC лежала одна вершина треугольника. Существует единственный вписанный треугольник наименьшего периметра — ортотреугольник.

Цель данной работы:описание дополнительных геометрических свойств треугольника. Задачи:1) выяснить, что такое ортотреугольник;2) изучить его свойства;3) рассмотреть возможное применение этих свойств к решению задач.

Свойства ортотреугольника Ортотреугольник отсекает треугольники, подобные данному.Две смежные стороны ортотреугольника образуют равные углы с соответствующей стороной исходного треугольника.3. Высоты треугольника являются биссектрисами ортотреугольника. 4. Ортотреугольник – это треугольник с наименьшим периметром, который можно вписать в этот треугольник .5. Периметр ортотреугольника равен удвоенному произведению высоты треугольника на синус угла, из которого она исходит.

2.1 Теорема о подобии треугольников Ортотреугольник отсекает треугольники, подобные данному.

2.2 Теорема о свойстве биссектрис ортотреугольника

2.3 Теорема Фаньяно Среди всех треугольников, вписанных в данный остроугольный треугольник, наименьший периметр имеет ортотреугольник.

2.4 Физический смысл и механическая модель задачи Фаньяно

2.5 Периметр ортотреугольника

Задача 1. Пусть и – высоты треугольника АВС. Докажите, что треугольник подобен треугольнику АВС. Чему равен коэффициент подобия?

Задача 3. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АD, ВЕ и СF.Докажите, что pR=Pr, где p-периметр треугольника EDF, Р – периметр треугольника АВС.

Задача 5. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC = 4 и боковой стороной AB = 8 проведены высоты . Найти периметр треугольника и длину высоты .

Видео:№16 ЕГЭ 2023 по математике. Свойство ортоцентра за 5 минут. Четко и без водыСкачать

Ортотреугольник отсекает треугольники подобные данному

Предметом нашего исследования являются ортоцентрические треугольники и их свойства.

Цель – изучение свойств ортоцентрических треугольников и исследование путей их использования для решения задач.

1) выяснить, что такое ортотреугольник;

2) изучить и проанализировать свойства ортотреугольников;

3) рассмотреть возможное применение

этих свойств для решения задач.

4) подвести итоги.

Во время выполнения поставленных задач нами был использован описательный метод исследования, изучение и обобщение.

Практическая значимость: результаты проведенного исследования могут стать опорой для решения олимпиадных задач, задач ЕГЭ и ОГЭ с использованием свойств отроцентрических треугольников.

Глава 1. Исторические сведения и свойства

§ 1. Что такое ортоцентрический треугольник?

Ортотреуго́льник (ортоцентрический треугольник) — это треугольник ΔA_1B1C₁, вершины которого являются основаниями высот треугольника ∆ABC. Для ортотреуго́льника (для ортоцентрического треугольника) ΔA_1B1C₁ сам треугольник ∆ABC является треугольником трёх внешних биссектрис. То есть отрезки AB, BC и CA являются тремя внешними биссектрисами треугольника ΔA_1B1C₁.

§ 2. Исторические сведения

В начале 18 века итальянский инженер и математик Фаньяно дей Тоски поставил перед собой такую задачу: вписать в остроугольный треугольник АВС треугольник наименьшего периметра так, чтобы на каждой из сторон данного треугольника лежала одна вершина вписанного. Аналитическое решение этой задачи было опубликовано в 1755 году. Было доказано, что существует единственный треугольник наименьшего периметра KMN, его вершина K – основание высоты CK. Искомым треугольником всегда будет ортотреугольник KMN.

§ 3.Свойства ортотреугольников

1.Теорема о подобии треугольников. Ортотреугольник отсекает треугольники, подобные данному.

В остроугольном треугольнике проведены высоты , . Найдем углы треугольника , если , а .

Прямоугольные треугольники и имеют общий угол при вершине С, они подобны, поэтому .

Из этого равенства следует, что в треугольниках и стороны, прилежащие к общему углу при вершине С, пропорциональны. Следовательно, по второму признаку подобия треугольников подобен . В подобных треугольниках против соответственных сторон лежат равные углы, поэтому угол , .

Аналогично можно доказать подобие треугольников и ; и , если провести высоту CC₁. При этом , и .

Как следствие данной теоремы, верно следующее утверждение:

Две смежные стороны ортотреугольника образуют равные углы с соответствующей стороной исходного треугольника.

Среди всех треугольников, вписанных в данный треугольник, только ортотреугольник обладает указанным свойством.

І. Ортоцентрический треугольник H₁H₂H₃ В остроугольном треугольнике ABC соединим отрезками основания высот H₁,H₂,H₃ (рис. 1). Получим

треугольник H₁H₂H₃. Рассмотрим некоторые свойства этого треугольника, которые используют при решении задач.

Свойство 1. Стороны ортоцентрического треугольника H₁H₂H₃ антипараллельны сторонам треугольника ABC.

Доказательство. Обозначим точку H — точку пересечения высот треугольника ABC (ортоцентр). Опишем окружность около четырёхугольника AH₂HH₃. Тогда ∠AH₂H₃ = ∠AHH₃ = ∠ABC, значит, сторона H₂H₃ антипараллельна стороне BC. Аналогично доказывается антипараллельность двух других сторон треугольника

Свойство 2. Высоты треугольника ABC являются биссектрисами внутренних углов треугольника H₁H₂H₃.

Свойство 3. Отрезок OA перпендикулярен отрезку H₂H₃.

Доказательство. Действительно, если описать окружность около треугольника H₁H₂H₃, дуги, на которые опираются углы ∠H₂H₁A и ∠AH₁H₃, равны, а значит, OA⊥H₂H₃ (рис. 2).

Свойство 4. Вершины треугольника ABC являются центрами вневписанных окружностей ортоцентрического треугольника H₁H₂H₃ (рис. 3).

Доказательство. Поскольку отрезок AH₂ перпендикулярен биссектрисе H₂B, а AH₃⊥CH_3, то пересечение отрезков AH₂ и AH₃, — точка A есть центр вневписанной окружности, касающейся стороны H₂H₃.

Свойство 5. Имеет место формула p_H = h_asinA, где p_H — полупериметр треугольника H₁H₂H₃, h_a — высота AH₁.

Доказательство. Из точки A опустим перпендикуляр AF на прямую H₁H₃ (рис.3). Поскольку∠H₁AF = ∠H₃H₁B (углы с взаимно перпендикулярными сторонами), то ∠HAF = ∠A и H₁F = h_asinA (из треугольника H A1 F), или p_H = h_asinA.

Свойство 6. Имеет место формула S = Rp_H, где S — площадь треугольника ABC, R — радиус окружности, описанной около треугольника ABC.

Доказательство. Действительно, поскольку p_H = h_asinA, то

p_H= sinA, и S = Rp_H(a — длина стороны BC).

Свойство 7. Окружность Леонарда Эйлера.

Доказательство. Опишем окружность около треугольника H₁H₂H₃. Докажем, что окружности (обозначим её γ_e), кроме точек H₁, H₂, H₃, принадлежат середины отрезков AH, BH, CH (их называют точками Эйлера и обозначают E₁, E₂, E₃), ещё три точки M₁, M₂, M₃ — середины сторон BC, AC, AB. Начнём с точек Эйлера. Заметим, что доказательство нестандартно (рис. 4).

Поскольку прямая H H1 (рис. 4) принадлежит биссектрисе угла ∠H₂H₁H₃, то точка её пересечения с окружностью γ_e, описанной

около треугольника H₁H₂H₃, будет серединой дуги H₂H₃, то есть точкой W₁ треугольника H₁H₂H₃, а точка A — центром вневписанной

окружности (свойство 4).

По теореме Мансиона ( IW₁ = W₁I_a = W₁B = W₁C): AE₁ = E₁H. Значит, точка совпадает с серединой отрезка IW₁ для треугольника H₁H₂H₃ с точкой E₁. Поскольку точки B и C также центры вневписанных окружностей, то утверждение относительно середин отрезков AH, BH и CH доказано. Докажем, что середины AC, BC и AB (точки M₁, M₂, M₃) принадлежат окружности γ_e.

Воспользуемся свойством вневписанных окружностей с центрами Ib и I_c. Пусть W₁ A — точка, диаметрально противоположная точке W₁. Тогда W₁ A — середина отрезка IbI_c. Пусть окружность γ_e пересекает сторону BC в точке X (рис. 4). Поскольку ∠E₁H₁X₁ = 90°, то точки X и E₁ диаметрально противоположны, а поскольку точка E₁ есть точкой W₁ окружности, то точка X совпадает с серединой отрезка BC (точки B и C — центры вневписанных окружностей). Теорема об окружности Эйлера для треугольника ABC доказана новым способом.

ІІ. Ортоудвоенный треугольник

Высоты AH₁, BH₂, CH₃ продолжим до пересечения с описанной окружностью (рис. 5).

Получим треугольник N_1N2N3, который назовём ортоудвоенным. Поскольку HH₁ = H_1N1, HH₂ = H_2N2, HH₃ = H_3N3, то этот треугольник гомотетичен треугольнику H₁H₂H₃ с центром гомотетии — серединой отрезка OE ( E — центр окружности Эйлера) и коэффициентом гомотетии k =

Свойство 1. Вершины треугольника ABC делят дуги N_2N3, N_3N1, N_1N2 пополам.

Доказательство. Действительно, ∠ N_2N1A = ∠ N_3N1A.

Свойство 2. Высоты треугольника ABC принадлежат биссектрисам внутренних углов треугольника N_1N2N3.

Доказательство. Действительно, это следует из свойства 1.

Свойство 3. Радиус OA перпендикулярен отрезкам N_2N3 и H₂H₃.

Доказательство. Действительно, это следует из свойства 1.

Свойство 4. Точка, симметричная ортоцентру H относительно середины M₁ отрезка BC принадлежит окружности, описанной около треугольника

Доказательство. Проведём диаметр AA₁ (рис.6) и найдём точку X, гомотетичную точке A₁. Поскольку A₁X = XH, то отрезок OX — средняя линия треугольника

AA₁H. Значит, он параллелен AH и равен

AH, то есть OX = OM₁ и точка X совпадает с точкой M₁ — серединой отрезка BC.

Свойство 5. Прямая Эйлера. Центроид M треугольника ABC принадлежит отрезку OH.

Доказательство. Проведём отрезок AM₁ (рис. 6). Он пересечёт OH в точке Y. Поскольку то M₁M : AM = 1 : 2, а значит, точка Y совпадает с точкой M₁.

Окружность девяти точек

Около треугольника H₁H₂H₃ опишем окружность γ_e. Её центр делит пополам отрезок OH (точка E). Середины отрезков AH, BH, CH (точки E₁, E₂, E₃) гомотетичны точкам A, B и C и принадлежат окружности γ_e.

Докажем, что точки M₁, M₂, M₃ принадлежат окружности γ_e.

Доказательство. Действительно, точки A₁ и H симметричны относительно точки B. Кроме того, точки A₁ и M₁ гомотетичны, а значит, точка M₁ принадлежит окружности γ_e.

ІІІ. Ортоцентрический треугольник Q₁Q₂Q₃

Опишем окружность около треугольника ABC и построим точки W₁,W₂, W₃ (середины дуг BC, AC, AB) (рис. 7).

Точку пересечения хорд W₂W₃ и AW₁ обозначим Q₁. Аналогично получим точки Q₁ и Q₃. По теореме «листа трилистника» имеем: IW₁ = W₁C. Поскольку ∪ AW₂ = ∪ W₂C, то

а значит, треугольник Q₁Q₂Q₃ — ортоцентрический треугольник треугольника W₁W₂W₃. В равнобедренном треугольнике IW₁C IQ₃ = Q₃C. Аналогично, IQ₁ = Q₁A, следовательно, стороны треугольника Q₁Q₂Q₃ вдвое меньше соответственных сторон треугольника ABC. Поэтому (применяем формулу S = Rp_H ) площадь треугольника W₁W₂W₃ . (1°)

Поскольку окружность, описанная около треугольника Q₁Q₂Q₃, есть окружность Эйлера треугольника W₁W₂W₃, то девять точек принадлежат одной окружности: середины отрезков W₁W₃, W₂W₃, W₁W₂, IW₁, IW₂, IW₃, IA, IB, IC.

ІV. Ортоцентрический треугольник ABC Рассмотрим треугольник, вершины которого — центры вневписанных окружностей I_a, Ib, I_c (рис.8).

Ортоцентрическим треугольником этого

треугольника будет треугольник ABC, так как

каждая из его вершин есть пересечение внутренней и внешней биссектрис. Поскольку радиус окружности, описанной около треугольника ABC будет R, то радиус окружности, описанной около треугольника I_aIbI_c будет 2R, а площадь S_IaIbIc=2R⋅p.

Поскольку окружность, описанная около треугольника ABC, является окружностью Эйлера треугольника I_aIbI_c, то девять точек принадлежат одной окружности: вершины треугольника ABC, точки W₁, W₂, W₃, середины

V. Треугольник, подобный ортоцентрическому треугольнику H₁H₂H₃

Через вершины A, B и C проведём касательные к окружности, описанной около треугольника ABC. Получим треугольник T₁T₂T₃ (рис. 9).

тангенциальным) вычисляют по формуле:

S_T=R⋅p_T, где R — радиус окружности, вписанной в треугольник T₁T₂T₃.

Глава 2. Применение.

§ 1 Применение свойств ортотреугольника для решения задач

Задача 1.

Пусть и – высоты треугольника АВС. Докажите, что треугольник подобен треугольнику АВС. Чему равен коэффициент подобия?

подобен треугольнику АВС по теореме 1. Коэффициент подобия . В прямоугольных треугольниках и , . Значит, .

Следствием данной задачи будет следующее утверждение: каждая сторона ортотреугольника равна произведению противолежащей стороны на косинус противолежащего угла исходного треугольника.

Задача 2.

Треугольник АВС остроугольный, и угол ВАС равен α. На стороне ВС как на диаметре построена полуокружность, пересекающая стороны АВ и АС в точках Р и Q соответственно. Найдите отношение площадей треугольников АВС и APQ.

Поскольку и — высоты треугольника , треугольник подобен с коэффициентом подобия , поэтому

Задача 3

В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АD, ВЕ и СF. Докажите, что pR=Pr, где p-периметр треугольника EDF, Р – периметр треугольника АВС.

Решение(без применения свойств):

1. Т.к. и согласно задаче 1 , то . ,

Пусть О – центр описанной окружности , R – ее радиус. Тогда Т.к. по т. синусов , то после подстановки, получаем .

Аналогично и , т.е. . Поскольку и , то , что и требовалось доказать.

Решение(без применения свойств):

По свойству 6 . , тогда , что и требовалось доказать.

Задача 4

Треугольник АВС остроугольный, и . Определите углы высотного треугольника.

1. Строим высоты , , .