Ортотреугольник отсекает треугольники подобные данному

Ортотреугольник отсекает треугольники, подобные данному

Теорема о высоте прямоугольного треугольника

Если высота в прямоугольном треугольнике ABC длиной Ортотреугольник отсекает треугольники подобные данному, проведённая из вершины прямого угла, делит гипотенузу длиной Ортотреугольник отсекает треугольники подобные данномуна отрезки Ортотреугольник отсекает треугольники подобные данномуи Ортотреугольник отсекает треугольники подобные данному, соответствующие катетам Ортотреугольник отсекает треугольники подобные данномуи Ортотреугольник отсекает треугольники подобные данному, то верны следующие равенства:

· Ортотреугольник отсекает треугольники подобные данному

· Ортотреугольник отсекает треугольники подобные данному; Ортотреугольник отсекает треугольники подобные данному

· Ортотреугольник отсекает треугольники подобные данному

Свойства оснований высот треугольника

· Основания высот образуют так называемый ортотреугольник, обладающий собственными свойствами.

· Описанная около ортотреугольника окружность — окружность Эйлера. На этой окружности также лежат три середины сторон треугольника и три середины трёх отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами треугольника.

Другая формулировка последнего свойства:

· Теорема Эйлера для окружности девяти точек.

Основания трёх высот произвольного треугольника, середины трёх его сторон (основания его внутренних медиан) и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, все лежат на одной окружности (на окружности девяти точек).

· Теорема. В любом треугольнике отрезок, соединяющий основания двух высот треугольника, отсекает треугольник подобный данному.

· Теорема. В треугольнике отрезок, соединяющий основания двух высот треугольника, лежащие на двух сторонах, антипараллелен третьей стороне, с которой он не имеет общих точек. Через два его конца, а также через две вершины третьей упомянутой стороны всегда можно провести окружность.

Другие свойства высот треугольника

· Если треугольник разносторонний (неравносторонний), то его внутренняя биссектриса, проведённая из любой вершины, лежит между внутренними медианой и высотой, проведёнными из той же вершины.

· Высота треугольника изогонально сопряжена диаметру (радиусу) описанной окружности, проведенному из той же самой вершины.

· В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники.

· В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному.

Свойства минимальной из высот треугольника

Минимальная из высот треугольника обладает многими экстремальными свойствами. Например:

· Минимальная ортогональная проекция треугольника на прямые, лежащие в плоскости треугольника, имеет длину, равную наименьшей из его высот.

· Минимальный прямолинейный разрез в плоскости, через который можно протащить несгибаемую треугольную пластину, должен иметь длину, равную наименьшей из высот этой пластины.

· При непрерывном движении двух точек по периметру треугольника друг навстречу другу, максимальное расстояние между ними за время движения от первой встречи до второй, не может быть меньше длины наименьшей из высот треугольника.

· Минимальная высота в треугольнике всегда проходит внутри этого треугольника.

Основные соотношения

· Ортотреугольник отсекает треугольники подобные данному

· Ортотреугольник отсекает треугольники подобные данномугде Ортотреугольник отсекает треугольники подобные данному— площадь треугольника, Ортотреугольник отсекает треугольники подобные данному— длина стороны треугольника, на которую опущена высота.

· Ортотреугольник отсекает треугольники подобные данномугде Ортотреугольник отсекает треугольники подобные данному— произведение боковых сторон, Ортотреугольник отсекает треугольники подобные данномурадиус описанной окружности

· Ортотреугольник отсекает треугольники подобные данному

· Ортотреугольник отсекает треугольники подобные данному,

где Ортотреугольник отсекает треугольники подобные данному— радиус вписанной окружности.

Ортотреугольник отсекает треугольники подобные данномугде Ортотреугольник отсекает треугольники подобные данному— площадь треугольника.

Ортотреугольник отсекает треугольники подобные данному

где Ортотреугольник отсекает треугольники подобные данному— сторона треугольника, к которой опускается высота Ортотреугольник отсекает треугольники подобные данному.

· Высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание:

Ортотреугольник отсекает треугольники подобные данному

где Ортотреугольник отсекает треугольники подобные данному— основание.

· Ортотреугольник отсекает треугольники подобные данному— высота в равностороннем треугольнике.

Медианы и высоты в равностороннем треугольнике

Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника. А в равносторонних треугольниках медианы и высоты — одно и то же.

Ортотреугольник отсекает треугольники подобные данному

Рассмотрим произвольный треугольник ABC. Обозначим буквой O точку пересечения его медиан AA1 и BB1 и проведем среднюю линию A1B1 этого треугольника Медианы треугольника пересекаются в одной точке Отрезок A1B1 параллелен стороне AB, поэтому углы 1 и 2, а также углы 3 и 4 равны как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых AB и A1B1 секущими AA1 и BB1. Следовательно, треугольники AOB и A1OB1 подобны по двум углам, и, значит их стороны пропорциональны: AOA1O=BOB1O=ABA1B1 . Но AB=2⋅A1B1, поэтому AO=2⋅A1O и BO=2⋅B1O. Таким образом, точка O пересечения медиан AA1 и BB1 делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Аналогично доказывается, что точка пересечения медиан BB1 и CC1 делит каждую из них в отношении 2:1 считая от вершины, и, следовательно, совпадает с точкой O. Итак, все три медианы треугольника ABC пересекаются в точке O и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины.

Ортотреугольник отсекает треугольники подобные данному

Представим что в вершинах угла m₁=1, тогда в точках A₁,B₁,C₁, m₂=2, так как они являются серединами сторон. И тут можно заметить, что отрезки AA₁,BB₁,CC₁, которые пересекаются в одной точке и похожи на рычаги с точкой опоры О, где AO-l₁, a OA₁-l₂(плечи). И по физической формуле F₁/F₂=l₁/l₂, где F=m*g, где g-const, и она соответственно сокращается, получается m₁/m₂=l₁/l₂ т.е. ½=1/2.

Ортотреугольник

· Три вы­со­ты тре­уголь­ни­ка пе­ре­се­ка­ют­ся в одной точке, эта точка носит на­зва­ние ор­то­цен­тра

· Две смежные стороны ортотреугольника образуют равные углы с соответствующей стороной исходного треугольника

· Высоты треугольника являются биссектрисами ортотреугольника

· Ортотреугольник-это треугольник с наименьшим периметром, который можно вписать в данный треугольник (задача Фаньяно)

· Периметр ортотреугольника равен удвоенному произведению высоты треугольника на синус угла из которого он исходит.

· Если точки A1, B1 и C1 на сторонах соответственно BC, AC и AB остроугольного треугольника ABC таковы, что

Ортотреугольник отсекает треугольники подобные данному, Ортотреугольник отсекает треугольники подобные данномуи Ортотреугольник отсекает треугольники подобные данному,

то Ортотреугольник отсекает треугольники подобные данному— ортотреугольник треугольника ABC.

Ортотреугольник отсекает треугольники, подобные данному

Ортотреугольник отсекает треугольники подобные данному

Теорема о свойстве биссектрис ортотреугольника

Ортотреугольник отсекает треугольники подобные данному

Ортотреугольник отсекает треугольники подобные данномуB₁C₁C=∟B₁BC=∟CAA₁=∟CC₁A

Видео:№16 из ЕГЭ2022 и олимпиады. Красивое доказательство свойства ортоцентра остроугольного треугольникаСкачать

№16 из ЕГЭ2022 и олимпиады. Красивое доказательство свойства ортоцентра остроугольного треугольника

Презентация на тему: Ортотреугольник и его свойства

Муниципальное общеобразовательное учреждение«Лицей № 230» Ортотреугольники его свойства Работу выполнилаученица 9 «А» класса МОУ «Лицей» № 230Волкова Екатерина Евгеньевна.Руководитель:Редкина Елена Ивановна г.Заречный, Пензенская область2008 г.

Италия, начало XVIII века Инженер и математик Фаньяно Дей Тоски (1682—1766) Задача: вписать в данный остроугольный треугольник ABC треугольник наименьшего периметра так, чтобы на каждой стороне треугольника ABC лежала одна вершина треугольника. Существует единственный вписанный треугольник наименьшего периметра — ортотреугольник.

Цель данной работы:описание дополнительных геометрических свойств треугольника. Задачи:1) выяснить, что такое ортотреугольник;2) изучить его свойства;3) рассмотреть возможное применение этих свойств к решению задач.

Свойства ортотреугольника Ортотреугольник отсекает треугольники, подобные данному.Две смежные стороны ортотреугольника образуют равные углы с соответствующей стороной исходного треугольника.3. Высоты треугольника являются биссектрисами ортотреугольника. 4. Ортотреугольник – это треугольник с наименьшим периметром, который можно вписать в этот треугольник .5. Периметр ортотреугольника равен удвоенному произведению высоты треугольника на синус угла, из которого она исходит.

2.1 Теорема о подобии треугольников Ортотреугольник отсекает треугольники, подобные данному.

2.2 Теорема о свойстве биссектрис ортотреугольника

2.3 Теорема Фаньяно Среди всех треугольников, вписанных в данный остроугольный треугольник, наименьший периметр имеет ортотреугольник.

2.4 Физический смысл и механическая модель задачи Фаньяно

2.5 Периметр ортотреугольника

Задача 1. Пусть и – высоты треугольника АВС. Докажите, что треугольник подобен треугольнику АВС. Чему равен коэффициент подобия?

Задача 3. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АD, ВЕ и СF.Докажите, что pR=Pr, где p-периметр треугольника EDF, Р – периметр треугольника АВС.

Задача 5. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC = 4 и боковой стороной AB = 8 проведены высоты . Найти периметр треугольника и длину высоты .

Видео:№16 ЕГЭ 2023 по математике. Свойство ортоцентра за 5 минут. Четко и без водыСкачать

№16 ЕГЭ 2023 по математике. Свойство ортоцентра за 5 минут. Четко и без воды

Ортотреугольник отсекает треугольники подобные данному

Предметом нашего исследования являются ортоцентрические треугольники и их свойства.

Цель – изучение свойств ортоцентрических треугольников и исследование путей их использования для решения задач.

1) выяснить, что такое ортотреугольник;

2) изучить и проанализировать свойства ортотреугольников;

3) рассмотреть возможное применение

этих свойств для решения задач.

4) подвести итоги.

Во время выполнения поставленных задач нами был использован описательный метод исследования, изучение и обобщение.

Практическая значимость: результаты проведенного исследования могут стать опорой для решения олимпиадных задач, задач ЕГЭ и ОГЭ с использованием свойств отроцентрических треугольников.

Глава 1. Исторические сведения и свойства

§ 1. Что такое ортоцентрический треугольник?

Ортотреуго́льник (ортоцентрический треугольник) — это треугольник ΔA1B1C1, вершины которого являются основаниями высот треугольника ∆ABC. Для ортотреуго́льника (для ортоцентрического треугольника) ΔA1B1C1 сам треугольник ∆ABC является треугольником трёх внешних биссектрис. То есть отрезки AB, BC и CA являются тремя внешними биссектрисами треугольника ΔA1B1C1.

§ 2. Исторические сведения

В начале 18 века итальянский инженер и математик Фаньяно дей Тоски поставил перед собой такую задачу: вписать в остроугольный треугольник АВС треугольник наименьшего периметра так, чтобы на каждой из сторон данного треугольника лежала одна вершина вписанного. Аналитическое решение этой задачи было опубликовано в 1755 году. Было доказано, что существует единственный треугольник наименьшего периметра KMN, его вершина K – основание высоты CK. Искомым треугольником всегда будет ортотреугольник KMN.

§ 3.Свойства ортотреугольников

1.Теорема о подобии треугольников. Ортотреугольник отсекает треугольники, подобные данному.

В остроугольном треугольнике проведены высоты , . Найдем углы треугольника , если , а .

Прямоугольные треугольники и имеют общий угол при вершине С, они подобны, поэтому .

Из этого равенства следует, что в треугольниках и стороны, прилежащие к общему углу при вершине С, пропорциональны. Следовательно, по второму признаку подобия треугольников подобен . В подобных треугольниках против соответственных сторон лежат равные углы, поэтому угол , .

Аналогично можно доказать подобие треугольников и ; и , если провести высоту CC1. При этом , и .

Как следствие данной теоремы, верно следующее утверждение:

Две смежные стороны ортотреугольника образуют равные углы с соответствующей стороной исходного треугольника.

Среди всех треугольников, вписанных в данный треугольник, только ортотреугольник обладает указанным свойством.

І. Ортоцентрический треугольник H1H2H3 В остроугольном треугольнике ABC соединим отрезками основания высот H1,H2,H3 (рис. 1). Получим

треугольник H1H2H3. Рассмотрим некоторые свойства этого треугольника, которые используют при решении задач.

Свойство 1. Стороны ортоцентрического треугольника H1H2H3 антипараллельны сторонам треугольника ABC.

Доказательство. Обозначим точку H — точку пересечения высот треугольника ABC (ортоцентр). Опишем окружность около четырёхугольника AH2HH3. Тогда ∠AH2H3 = ∠AHH3 = ∠ABC, значит, сторона H2H3 антипараллельна стороне BC. Аналогично доказывается антипараллельность двух других сторон треугольника

Свойство 2. Высоты треугольника ABC являются биссектрисами внутренних углов треугольника H1H2H3.

Свойство 3. Отрезок OA перпендикулярен отрезку H2H3.

Доказательство. Действительно, если описать окружность около треугольника H1H2H3, дуги, на которые опираются углы ∠H2H1A и ∠AH1H3, равны, а значит, OA⊥H2H3 (рис. 2).

Свойство 4. Вершины треугольника ABC являются центрами вневписанных окружностей ортоцентрического треугольника H1H2H3 (рис. 3).

Доказательство. Поскольку отрезок AH2 перпендикулярен биссектрисе H2B, а AH3⊥CH3, то пересечение отрезков AH2 и AH3, — точка A есть центр вневписанной окружности, касающейся стороны H2H3.

Свойство 5. Имеет место формула pH = hasinA, где pH — полупериметр треугольника H1H2H3, ha — высота AH1.

Доказательство. Из точки A опустим перпендикуляр AF на прямую H1H3 (рис.3). Поскольку∠H1AF = ∠H3H1B (углы с взаимно перпендикулярными сторонами), то ∠HAF = ∠A и H1F = hasinA (из треугольника H A1 F), или pH = hasinA.

Свойство 6. Имеет место формула S = RpH, где S — площадь треугольника ABC, R — радиус окружности, описанной около треугольника ABC.

Доказательство. Действительно, поскольку pH = hasinA, то

pH= sinA, и S = RpH(a — длина стороны BC).

Свойство 7. Окружность Леонарда Эйлера.

Доказательство. Опишем окружность около треугольника H1H2H3. Докажем, что окружности (обозначим её γe), кроме точек H1, H2, H3, принадлежат середины отрезков AH, BH, CH (их называют точками Эйлера и обозначают E1, E2, E3), ещё три точки M1, M2, M3 — середины сторон BC, AC, AB. Начнём с точек Эйлера. Заметим, что доказательство нестандартно (рис. 4).

Поскольку прямая H H1 (рис. 4) принадлежит биссектрисе угла ∠H2H1H3, то точка её пересечения с окружностью γe, описанной

около треугольника H1H2H3, будет серединой дуги H2H3, то есть точкой W1 треугольника H1H2H3, а точка A — центром вневписанной

окружности (свойство 4).

По теореме Мансиона ( IW1 = W1Ia = W1B = W1C): AE1 = E1H. Значит, точка совпадает с серединой отрезка IW1 для треугольника H1H2H3 с точкой E1. Поскольку точки B и C также центры вневписанных окружностей, то утверждение относительно середин отрезков AH, BH и CH доказано. Докажем, что середины AC, BC и AB (точки M1, M2, M3) принадлежат окружности γe.

Воспользуемся свойством вневписанных окружностей с центрами Ib и Ic. Пусть W1 A — точка, диаметрально противоположная точке W1. Тогда W1 A — середина отрезка IbIc. Пусть окружность γe пересекает сторону BC в точке X (рис. 4). Поскольку ∠E1H1X1 = 90°, то точки X и E1 диаметрально противоположны, а поскольку точка E1 есть точкой W1 окружности, то точка X совпадает с серединой отрезка BC (точки B и C — центры вневписанных окружностей). Теорема об окружности Эйлера для треугольника ABC доказана новым способом.

ІІ. Ортоудвоенный треугольник

Высоты AH1, BH2, CH3 продолжим до пересечения с описанной окружностью (рис. 5).

Получим треугольник N1N2N3, который назовём ортоудвоенным. Поскольку HH1 = H1N1, HH2 = H2N2, HH3 = H3N3, то этот треугольник гомотетичен треугольнику H1H2H3 с центром гомотетии — серединой отрезка OE ( E — центр окружности Эйлера) и коэффициентом гомотетии k =

Свойство 1. Вершины треугольника ABC делят дуги N2N3, N3N1, N1N2 пополам.

Доказательство. Действительно, ∠ N2N1A = ∠ N3N1A.

Свойство 2. Высоты треугольника ABC принадлежат биссектрисам внутренних углов треугольника N1N2N3.

Доказательство. Действительно, это следует из свойства 1.

Свойство 3. Радиус OA перпендикулярен отрезкам N2N3 и H2H3.

Доказательство. Действительно, это следует из свойства 1.

Свойство 4. Точка, симметричная ортоцентру H относительно середины M1 отрезка BC принадлежит окружности, описанной около треугольника

Доказательство. Проведём диаметр AA1 (рис.6) и найдём точку X, гомотетичную точке A1. Поскольку A1X = XH, то отрезок OX — средняя линия треугольника

AA1H. Значит, он параллелен AH и равен

AH, то есть OX = OM1 и точка X совпадает с точкой M1 — серединой отрезка BC.

Свойство 5. Прямая Эйлера. Центроид M треугольника ABC принадлежит отрезку OH.

Доказательство. Проведём отрезок AM1 (рис. 6). Он пересечёт OH в точке Y. Поскольку то M1M : AM = 1 : 2, а значит, точка Y совпадает с точкой M1.

Окружность девяти точек

Около треугольника H1H2H3 опишем окружность γe. Её центр делит пополам отрезок OH (точка E). Середины отрезков AH, BH, CH (точки E1, E2, E3) гомотетичны точкам A, B и C и принадлежат окружности γe.

Докажем, что точки M1, M2, M3 принадлежат окружности γe.

Доказательство. Действительно, точки A1 и H симметричны относительно точки B. Кроме того, точки A1 и M1 гомотетичны, а значит, точка M1 принадлежит окружности γe.

ІІІ. Ортоцентрический треугольник Q1Q2Q3

Опишем окружность около треугольника ABC и построим точки W1,W2, W3 (середины дуг BC, AC, AB) (рис. 7).

Точку пересечения хорд W2W3 и AW1 обозначим Q1. Аналогично получим точки Q1 и Q3. По теореме «листа трилистника» имеем: IW1 = W1C. Поскольку ∪ AW2 = ∪ W2C, то

а значит, треугольник Q1Q2Q3 — ортоцентрический треугольник треугольника W1W2W3. В равнобедренном треугольнике IW1C IQ3 = Q3C. Аналогично, IQ1 = Q1A, следовательно, стороны треугольника Q1Q2Q3 вдвое меньше соответственных сторон треугольника ABC. Поэтому (применяем формулу S = RpH ) площадь треугольника W1W2W3 . (1°)

Поскольку окружность, описанная около треугольника Q1Q2Q3, есть окружность Эйлера треугольника W1W2W3, то девять точек принадлежат одной окружности: середины отрезков W1W3, W2W3, W1W2, IW1, IW2, IW3, IA, IB, IC.

ІV. Ортоцентрический треугольник ABC Рассмотрим треугольник, вершины которого — центры вневписанных окружностей Ia, Ib, Ic (рис.8).

Ортоцентрическим треугольником этого

треугольника будет треугольник ABC, так как

каждая из его вершин есть пересечение внутренней и внешней биссектрис. Поскольку радиус окружности, описанной около треугольника ABC будет R, то радиус окружности, описанной около треугольника IaIbIc будет 2R, а площадь SIaIbIc=2R⋅p.

Поскольку окружность, описанная около треугольника ABC, является окружностью Эйлера треугольника IaIbIc, то девять точек принадлежат одной окружности: вершины треугольника ABC, точки W1, W2, W3, середины

V. Треугольник, подобный ортоцентрическому треугольнику H1H2H3

Через вершины A, B и C проведём касательные к окружности, описанной около треугольника ABC. Получим треугольник T1T2T3 (рис. 9).

тангенциальным) вычисляют по формуле:

ST=R⋅pT, где R — радиус окружности, вписанной в треугольник T1T2T3.

Глава 2. Применение.

§ 1 Применение свойств ортотреугольника для решения задач

Задача 1.

Пусть и – высоты треугольника АВС. Докажите, что треугольник подобен треугольнику АВС. Чему равен коэффициент подобия?

подобен треугольнику АВС по теореме 1. Коэффициент подобия . В прямоугольных треугольниках и , . Значит, .

Следствием данной задачи будет следующее утверждение: каждая сторона ортотреугольника равна произведению противолежащей стороны на косинус противолежащего угла исходного треугольника.

Задача 2.

Треугольник АВС остроугольный, и угол ВАС равен α. На стороне ВС как на диаметре построена полуокружность, пересекающая стороны АВ и АС в точках Р и Q соответственно. Найдите отношение площадей треугольников АВС и APQ.

Поскольку и — высоты треугольника , треугольник подобен с коэффициентом подобия , поэтому

Задача 3

В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АD, ВЕ и СF. Докажите, что pR=Pr, где p-периметр треугольника EDF, Р – периметр треугольника АВС.

Решение(без применения свойств):

1. Т.к. и согласно задаче 1 , то . ,

Пусть О – центр описанной окружности , R – ее радиус. Тогда Т.к. по т. синусов , то после подстановки, получаем .

Аналогично и , т.е. . Поскольку и , то , что и требовалось доказать.

Решение(без применения свойств):

По свойству 6 . , тогда , что и требовалось доказать.

Задача 4

Треугольник АВС остроугольный, и . Определите углы высотного треугольника.

1. Строим высоты , , .

Задача 5.

Т.к. — равнобедренный, то — высота, медиана, биссектриса ;.

4. Т.к. подобен , то; .

5. ||, а это значит, что подобен .

7. По т. Пифагора .

Задача 6

В равнобедренном треугольнике ABC(AB = BC)проведены высоты AA1,

Т.к. подобен , то и (1)

по гипотенузе и острому углу, т.к рассматриваемые треугольники прямоугольные, .

Т.к. и , отсекая пропорциональные отрезки, то ||.

Известно, что , , поэтому, подставив данные в (1), получим ,

Глава 3. Анкетирование учащихся

Всем ученикам 10 и 11 классов я задала по 4 вопроса:

Знаете ли вы об ортоцентрических треугольниках?

Применяли ли вы свойства ортоцентрических треугольников при решении задач?

Как вы считаете, можно ли облегчить решение задач, используя эти свойства?

Хотели бы вы научиться решать задачи на применение свойств ортоцентрических треугольников?

Подсчитав ответы «да», я получила следующие результаты:

🎬 Видео

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

8 класс, 21 урок, Отношение площадей подобных треугольниковСкачать

8 класс, 21 урок, Отношение площадей подобных треугольников

Задача на подобие треугольников. А ты сможешь решить? | TutorOnline | МатематикаСкачать

Задача на подобие треугольников. А ты сможешь решить? | TutorOnline | Математика

8 класс, 20 урок, Определение подобных треугольниковСкачать

8 класс, 20 урок, Определение подобных треугольников

#207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая ЭйлераСкачать

#207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая Эйлера

Как ПОНЯТЬ ГЕОМЕТРИЮ за 5 минут — Подобие ТреугольниковСкачать

Как ПОНЯТЬ ГЕОМЕТРИЮ за 5 минут — Подобие Треугольников

Свойства ортоцентраСкачать

Свойства ортоцентра

Геометрия 8 класс (Урок№5 - Теорема Фалеса)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№5 - Теорема Фалеса)

Подобие треугольников (ч.2) | Математика | TutorOnlineСкачать

Подобие треугольников (ч.2) | Математика | TutorOnline

Отношение площадей подобных треугольниковСкачать

Отношение площадей подобных треугольников

✓ Красивый факт про ортоцентр | Осторожно, спойлер! | Борис ТрушинСкачать

✓ Красивый факт про ортоцентр | Осторожно, спойлер! | Борис Трушин

8 класс, 19 урок, Пропорциональные отрезкиСкачать

8 класс, 19 урок, Пропорциональные отрезки

Геометрия 8 класс (Урок№14 - Определение подобных треугольников. Отношение площадей подобных фигур.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№14 - Определение подобных треугольников. Отношение площадей подобных фигур.)

Геометрия 8 класс : Отношение площадей подобных треугольниковСкачать

Геометрия 8 класс : Отношение площадей подобных треугольников

Геометрия 8 класс Определение подобных треугольниковСкачать

Геометрия 8 класс Определение подобных треугольников

видеоурок "Определение подобных треугольников"Скачать

видеоурок "Определение подобных треугольников"

Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.Скачать

Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.

Решение в 2 хода! ПРИВЕТ ОТ ЭЙЛЕРА!Скачать

Решение в 2 хода! ПРИВЕТ ОТ ЭЙЛЕРА!
Поделиться или сохранить к себе: