Ордината точки м числовой единичной окружности называется

sin α = y —
ордината точки P_α
cos α = x —
абсцисса точки P_α

1. Определение тригонометрических функций
Через единичную окружность (R = 1)	Через произвольную окружность (R — радиус окружности)	Через прямоугольный треугольник (для острых углов)

tg α = y/x = sin α / cos α

ctg α = x/y = cos α / sin α

2. Тригонометрические функции числового аргумента

sin (числа α) = sin (угла в α радиан)

cos (числа α) = cos (угла в α радиан)

tg (числа α) = tg (угла в α радиан)

ctg (числа α) = ctg (угла в α радиан)

3. Линии тангенсов и котангенсов

tg α = y_A —
ордината соответствующей точки линии тангенсов

СВ — линия котангенсов (СВ || Oх)
ctg α = x_B —
абсцисса соответствующей точки линии котангенсов

Объяснение и обоснование

1. Определение тригонометрических функций. Из курса геометрии вам известно определение тригонометрических функций острого угла в прямоугольном треугольнике. Напомним их.

Синусом острого угла α в прямоугольном треугольнике называется отношение длины противолежащего катета к длине гипотенузы: sin α = a / c (рис. 61).

Косинусом острого угла α в прямоугольном треугольнике называется отношение длины прилежащего катета к длине гипотенузы: cos α = b / c.

Тангенсом острого угла α в прямоугольном треугольнике называется отношение длины противолежащего катета к длине прилежащего: tg α = a / b.

Котангенсом острого угла α в прямоугольном треугольнике называется отношение длины прилежащего катета к длине противолежащего: ctg α = b / a.

В курсе геометрии было обосновано, что синус и косинус острого угла зависят только от величины угла и не зависят от длин сторон треугольника и его расположения, то есть синус и косинус (а таким образом, и тангенс, и котангенс) являются функциями величины угла, которые называются тригонометрическими функциями.

Для сокращения формулировок мы будем использовать термин «тригонометрическая функция угла», понимая, что рассматривается «тригонометрическая функция величины угла» (при этом величина угла может быть выражена как в радианах, так и в градусах).

Также в курсе геометрии с использованием окружности с центром в начале координат было введено определение тригонометрических функций для углов от 0° до 180°. Эти определения можно применить для нахождения тригонометрических функций любых углов. Напомним их (но теперь будем рассматривать любые углы α от –∞ до +∞).

Возьмем окружность радиуса R с центром в начале координат. Обозначим точку окружности на положительной полуоси абсцисс через P₀ (рис. 62). Необходимые нам углы будем образовывать поворотом радиуса OP₀ около точки O. Пусть в результате поворота на угол α около точки O радиус OP₀ займет положение OP_α (говорят, что при повороте на угол α радиус OP₀ переходит в радиус OP_α, а точка P₀ переходит в точку P_α). Напомним, что при α > 0 радиус OP₀ поворачивается против часовой стрелки, а при α * . Удобно взять R = 1, что позволит несколько упростить приведенные определения тригонометрических функций.

* Это следует из того, что две концентрические окружности гомотетичны (центр гомотетии — точка О, а коэффициент гомотетии k — отношение радиусов этих окружностей), тогда и точки Pα на этих окружностях также будут гомотетичны. Таким образом, при переходе от одной окружности к другой в определениях тригонометрических функций числитель и знаменатель соответствующей дроби умножаются на k, а значение дроби не изменяется.

Окружность радиуса 1 с центром в начале координат будем называть единичной окружностью.

Пусть при повороте на угол α точка P₀ (1; 0) переходит в точку P_α (x; y)
(то есть при повороте на угол α радиус OP₀ переходит в радиус OP_α) (рис. 63).

Синусом угла α называется ордината точки P_α (x; y) единичной окружности:

Косинусом угла α называется абсцисса точки P_α (x; y) единичной окружности:

Тангенсом угла α называется отношение ординаты точки P_α (x; y) единичной окружности к ее абсциссе, то есть отношение sin α / cos α.

Таким образом, tg α = sin α / cos α (где cos α ≠ 0).

Заметим, что при cos α = 0 значение функции tg α не определено, а значение функции ctg α не определено при sin α = 0.

Пример

Пользуясь этими определениями, найдем синус, косинус, тангенс и котангенс угла 2π / 3 радиан.

♦ Рассмотрим единичную окружность (рис. 64). При повороте на угол 2π / 3 радиус OP₀ переходит в радиус OP_2π/3 (а точка P₀ переходит в точку P_2π/3). Координаты точки P_2π/3 можно найти, используя свойства прямоугольного треугольника OAP_2π/3 (с углами 60° и 30° и гипотенузой 1): x = — OA=−1/2; y = AP_2π/3 = √3/2. Тогда: sin 2π/3 = y = √3/2; cos 2π/3 = x = -1/2; tg 2π/3 = sin 2π/3 / cos 2π/3 = — √3; ctg 2π/3 = — 1/√3.◊

Аналогично находятся значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов, градусные и радианные меры которых указаны в верхней строке таблицы 19 (с. 156).

Укажем, что таким образом можно найти тригонометрические функции только некоторых углов. Тригонометрические функции произвольного угла обычно находят с помощью калькулятора или таблиц.

2. Тригонометрические функции числового аргумента. Введенные определения позволяют рассматривать не только тригонометрические функции углов, но и тригонометрические функции числовых аргументов, если рассматривать тригонометрические функции числа α как соответствующие тригонометрические функции угла в α радиан. То есть:

синус числа α — это синус угла в α радиан;
косинус числа α — это косинус угла в α радиан.

Например: sin π/6 = sin (π/6 радиан) = sin 30° = 1/2 (см. также пункт 2 табл. 7).

α	градусы	0 º	30 º	45 º	60 º	90 º	180 º	270 º	360 º
	радианы	0	π/6	π/4	π/3	π/2	π	3π/2	2π
sin α		0	1/2	√2/2	√3/2	1	0	-1	0
cos α		1	√3/2	√2/2	1/2	0	-1	0	1
tg α		0	√3/3	1	√3	—	0	—	0
ctg α		—	√3	1	√3/3	0	—	0	—

3. Линии тангенсов и котангенсов. Для решения некоторых задач полезно иметь представление о линиях тангенсов и котангенсов.

♦ Проведем через точку P₀ единичной окружности прямую AP₀, параллельную оси Oy (рис. 65). Эта прямая называется линией тангенсов.
Пусть α — произвольное число (или угол), для которого cos α ≠ 0. Тогда точка P_α не лежит на оси Oy и прямая OP_α пересекает линию тангенсов в точке A. Поскольку прямая OP_α проходит через начало координат, то ее уравнение имеет вид y = kx. Но эта прямая проходит через точку P_α с координатами (cos α; sin α), значит, координаты точки P_α удовлетворяют уравнению прямой y = kx, то есть sin α = k cos α. Отсюда k = sin α / cos α = tg α. Следовательно, прямая OP_α имеет уравнение

y = (tg α) x. Прямая AP₀ имеет уравнение x = 1. Чтобы найти ординату точки A, достаточно в уравнение прямой OP_α подставить x = 1. Получаем y_A = tg α. Таким образом,

тангенс угла (числа) α — это ордината соответствующей точки на линии тангенсов.◊

Аналогично вводится и понятие линии котангенсов: это прямая CB (рис. 66), которая проходит через точку C (0; 1) единичной окружности параллельно оси Ox.

Если α — произвольное число (или угол), для которого sin α ≠ 0 (то есть точка P_α не лежит на оси Ox), то прямая OP_α пересекает линию котангенсов в некоторой точке B (x_B; 1).

Аналогично вышеизложенному обосновывается, что x_B = ctg α, таким образом,

котангенс угла (числа) α — это абсцисса соответствующей точки на линии котангенсов.

Вопросы для контроля

1. Сформулируйте определения тригонометрических функций острого угла в прямоугольном треугольнике.

2. Сформулируйте определения тригонометрических функций произвольного угла:
а) используя окружность радиуса R с центром в начале координат;
б) используя единичную окружность.

3. Что имеют в виду, когда говорят о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе числа α?

Упражнения

1°. Постройте на единичной окружности точку Pα, в которую переходит точка P₀ (1; 0) единичной окружности при повороте на угол α. В какой координатной четверти находится точка P_α в заданиях 3–6?
1) α = 3π; 2) α = –4π; 3) α=7π/6;

4) α=−3π/4; 5) α=4π/3; 6) α=7π/4.

2. Найдите значение sin α, cos α, tg α, ctg α (если они существуют) при:
1) α = 3π; 2) α = –4π; 3) α=−π/2;

4) α=5π/2; 5*) α=−5π/6; 6*) α=3π/4.

3°. Пользуясь определением синуса и косинуса, с помощью единичной окружности укажите знаки sin α и cos α, если:
1) α=6π/5; 2) α=−π/6; 3) α=5π/6;

4*. Пользуясь линией тангенсов, укажите знак tg α, если:
1) α=4π/3; 2) α=−3π/4; 3) α=11π/6;

5*. Пользуясь линией котангенсов, укажите знак сtg α, если:
1) α=−4π/3; 2) α=3π/4; 3) α=−11π/6;

Конспект лекций (раздаточный материал) по учебной дисциплине «Математика: Алгебра» по теме » Тригонометрические формулы» (часть 1)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Коммуникативный педагогический тренинг: способы взаимодействия с разными категориями учащихся

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ Конспект декций Тригонометрические формулы ч.1.docx

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«ВОЛЖСКИЙ ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ, ПЕДАГОГИКИ И ПРАВА»

Волжский социально-педагогический колледж

Математика: Алгебра (10-11кл., 1 курс СПО)

Конспект лекций (раздаточный материал) по разделу

«Тригонометрические формулы» (часть 1)

Автор: Бондаренко Людмила Валентиновна

Место работы: Волжский социально-педагогический колледж – структурное подразделение ВИЭПП

С оответствия между точками числовой прямой и точками окружности.

Пусть вертикальная прямая касается в точке Р окружности с центром О ра диуса 1 . Будем считать эту прямую числовой осью с началом в точке Р , а положительным направле нием на прямой направление вверх .

За единицу длины на числовой оси возь мем радиус окружности . Отметим на прямой несколько точек: ±1, ±3, ± π , где π 3,14 — иррациональ ное число . Вообразив эту прямую в ви де нерастяжимой нити , закрепленной на окружности в точке Р , будем мыс ленно наматывать ее на окружность. При этом точки числовой прямой с ко ординатами, например , 1, , — 1, — 2 перейдут соответственно в точки окружности М ₁ М ₂ , М ₃ , М ₄ , такие, что длина дуги PM ₁ , равна 1 , длина дуги РМ ₂ равна и т. д.

Таким образом, каждой точке прямой ставится в соответствие некоторая точка окружности.

Рассмотрим окружность радиуса R и отметим на ней дугу РМ длины R и угол РОМ.

Центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности, называется углом в один радиан и обозначается 1 рад.

Найдем градусную меру угла в 1 радиан . Так как дуга длиной π R (полуокружность) стягивает центральный угол в 180° , то дуга длиной R стягивает угол в π раз меньший , т.е. 1 рад = 0 ; Так как π 3,14 , то 1 рад57,3°.

Если угол содержит α градусов , то его радианная мера равна α 0 = · α рад.

Применение радианной меры удобно для вычисления длины окружности , а также длины дуги .

Обычно при обозначении меры угла в радианах наименование « рад » опускают.

Поворот точки единичной окружности вокруг начала координат.

Покажем теперь, как можно установить соответ ствие между действительными числами и

Рассмотрим на координатной плоскости окруж ность радиуса 1 с центром в начале координат . Ее называют единичной окружностью ( тригонометрической окружностью ). Введем понятие поворота точки единичной окружности вокруг начала координат на угол α рад, где α — любое действительное число.

За положительное направление на единичной окружности принимают направление вращения против часовой стрелки.

За отрицательное направление на единичной окружности принимают направление вращение по часовой стрелке.

1 . Пусть α > 0 . Предположим, что точка, двига ясь по единичной окружности от точки Р (1;0) против часовой стрелки , прошла путь длиной α . Конечную точку пути обозначим М . B этом случае будем говорить, что точка М полу чена из точки Р поворотом вокруг начала коор динат на угол α рад .

2 . . Пусть α . В этом случае поворот на угол α рад означает, что движение совершалось по ча совой стрелке и точка прошла путь длиной | α |. Поворот на 0 рад означает, что точка остается месте .

Посмотрите таблицу поворотов на некоторые углы, выраженные в

* каждому действительному числу а соответствует единственная точка единичной окружности, получаемая поворотом точки Р(1;0) на угол α рад;

* одной и той же точке М единичной окружности соответствует бесконечное множество действительных чисел α + 2π k , где k — целое число , задающих поворот точки Р (1;0) в точку М .

Задача 1. Найти координаты точки, полученной поворотом точки Р ( 1;0 ) на угол: 1) 7π ; 2) — . Решение. 1).Так как 7π = π + 2π · 3 , то при повороте на 7π получается та же самая точка, что и при повороте на π , т.е. получается точка с координатами ( -1;0 ).

2).Так как — = — — 2π , то при повороте на — получается та же самая точка, что и при повороте на — , т.е. получается точка с координатами ( 0; -1 ).

Задача 2. Записать все углы, на которые нужно повернуть точку ( 1;0 ), чтобы получить точку М ; 〕 . Решение . Из прямоугольного АОМ следует, что угол АОМ равен , т.е. один из возможных углов поворота равен . Следовательно, все углы, на которые нужно повернуть точку ( 1;0 ), чтобы получить точку ; 〕 , выражаются так: + 2π k , где k — любое целое число (т.е. k = 0; 1; 2;… ).

Определение синуса, косинуса и тангенса угла

В курсе геометрии были введены определения синуса, косинуса и тангенса угла , выраженного в градусах. Вспомним эти определения :

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе. sin A= a /b; sin C= c /b.

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе: cos A= c /b; cos C= a /b.

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему: tg A= a /c; tg C= c /a.

В тригонометрии рассматриваются произвольные углы. Как определить синус, косинус в этом случае? Рассмотрим единичную окружность, т.е. окружность с центром в начале координат и радиусом, равным 1.

Каждой точке на единичной окружности соответствует угол α , координата х и координата y .

Определение 1. Синусом угла α называется ордината точки, полученной поворотом точки (1; 0) вокруг начала координат на угол α (обозначается sin α ), т.е. sin α = у

Определение 2 . Косинусом угла α называется абсцисса точки, полученной поворотом точки (1; 0) вокруг начала координат на угол α (обозначается cos α ), т.е. cos α = х

Итак, косинус и синус — координаты точки на единичной окружности , соответствующей данному углу . Косинус — абсцисса (x), синус — ордината (y). В этих определениях угол α может выражаться как в градусах , так и в радианах .

Например , при повороте точки ( 1; 0 ) на угол , т. е. угол 90°, получается точка ( 0; 1 ). Ордината точки ( 0; 1 ) равна 1 , поэтому sin = sin 90° = 1 ; абсцисса этой точки равна 0 , поэтому cos = cos 90° = 0

Задача 3. Решить уравнение sin х = 0. Решение. Решить уравнение sin х = 0 — это значит найти все углы, синус которых равен нулю . Ординату равную нулю имеют две точки единичной окружности ( 1;0 ) и ( -1;0 ) (Рис. 1). Эти точки получаются из точки ( 1;0 ) поворотом на углы 0 , π, 2π, 3π и т.д., а также на углы — π, -2π, -3π и т.д. Следовательно sin х = 0 при х = π k , где k — любое целое числ о. Ответ можно записать х = π k , k Z .

Задача 4 . Решить уравнение cos х = 0. Решение. Абсциссу равную нулю имеют две точки единичной окружности ( 0;1 ) и ( 0;-1 ) (Рис. 3). Эти точки получаются из точки ( 1;0 ) поворотом на углы , π, + 2π и т.д., а также на углы π, — 2π и т.д. Т.е. на углы π k , k

Знаки синуса и косинуса и тангенса

Пусть точка ( 1; 0 ) движется по единичной окружности против часовой стрелки .

* Для точек , расположенных во второй четверти , ординаты положительны , а абсциссы отрицательны . Следовательно, sin α > 0 , cos α 0 , если α π .

При дальнейшем движении точки по окружности знаки синуса и косинуса определяются тем , в какой четверти окажется точка .

Если точка ( 1; 0 ) движется по часовой стрелке , то знаки синуса и косинуса также определяются тем , в какой четверти окажется точка .

Знаки тангенса. По определению

Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла

Выясним зависимость между синусом и косинусом .

Пусть точка М(х; у) единичной окружности получена поворотом точки ( 1; 0 ) на угол α .Тогда по определению синуса и косинуса х = cos α , у = sin α .

Точка М принадлежит единичной окружности , поэтому ее координаты (х; у) удовлетворяют уравнению единичной окружности х 2 + у 2 = 1 . Следовательно,

Равенство ( 1 ) выполняется при любых значениях α и называется основным тригонометрическим тождеством.

Из равенства (1) можно sin α выразить через cos α и cos α через sin α :

В этих формулах знак перед корнем определяется знаком выражения, стоящего в левой части формулы, т.е. от того, в какой четверти расположен угол.

Поэтому в формуле ( 3 ) перед корнем нужно поставить знак «+» :

Выясним теперь зависимость между тангенсом и котангенсом . По определению тангенса и котангенса .

Из равенства ( 4 ) можно выразить tg α через ctg α и наоборот:

Т.к. α π , то cos α 0 . Поэтому

Следовательно

Используя основное тригонометрическое тождеств о и определение тангенса , найдем зависимость между тангенсом и косинусом.

Получим равенство , откуда

Тангенс во второй четверти отрицателен, поэтому tg α = — .

Задача 6 . Вычислить cos α , если tg α = 3 и π α . Решение . Из формулы ( 7 ) находим Так как π α , то cos α 0 , и поэтому cos α = —

Задача 1. Доказать, что при α πk , k Z , справедливо равенство

Решение. По определению ctg α = , поэтому

Равенство ( 1 ) справедливо для всех допустимых значений входящих в него букв ( т.е. таких, при которых его левая и правая части имеют смысл,) называют тождеством, а задачи на доказательство таких равенств называют задачами на доказательство тождеств .

Задача 3 . Доказать тождество Решение . Чтобы доказать это тождество, покажем, что разность между его левой и правой частями равна нулю:

При решении задач 1—3 использовались следующие способы доказательства тождеств :

преобразование правой части к левой; преобразование левой части к правой; установление того, что разность между правой и левой частями равна нулю. Иногда удобно доказательство тождества провести преобразованием его левой и правой частей к одному и тому же выражению.

Задача 4. Доказать тождество Решение .

Тождество доказано , так как его левая и правая части равны cos 2 α — sin 2 α .

Задача 5. Упростить выражение Решение

Решение задач по теме « Тригонометрические тождества»

Используя определение тангенса, имеем

Таким образом, tg ( — α ) = — tg α . ( 3 )

Можно показать, что если α πk , k Z то ctg ( -α ) = — ctg α . Формулы ( 1 ) — ( 3 ) позволяют сводить вычисление значений синуса , косинуса и тангенса отрицательных углов к вычислению их значений для положительных углов.

Например :

sin 45 0 sin 30 0 = · — · =

sin 45 0 sin 30 0 = · + · =

Задача 3. Доказать формулы

При α = по формуле ( 2 ) получаем т.е. ( 4 )

Заменив в этой формуле β на α, получим Полагая в формуле ( 4 ) β = – α, имеем

Используя формулы ( 1 ) – ( 4 ), выведем формулы сложения для синуса :

Заменяя в формуле ( 5 ) β на – β, получаем

Задача 5. Вычислить Решение.

Для получения формулы тангенса суммы и тангенса разности достаточно применить основное тригонометрическое тождество и разделить числитель и знаменатель полученной дроби на cos α cos β , где cos α ≠ 0 и cos β ≠ 0. ( 7 )

Синус это х или у в окружности

Математика – это очень просто, даже проще, чем мы можем себе представить. Сложной математику делают сами математики.

Страницы

среда, 7 ноября 2012 г.

Тригонометрический круг синус и косинус

Тригонометрический круг представляет значения тригонометрических функций синус (sin) и косинус (cos) в виде координат точек единичной окружности при различных значениях угла альфа в градусах и радианах.

Поскольку я сам вечно путаюсь при переводе координат точек окружности в синусы и косинусы, для простоты все значения косинусов (cos) для углов от 0 до 360 градусов (от 0 пи до 2 пи) подчеркнуты зеленой черточкой. Даже при распечатке этого рисунка тригонометрического круга на черно-белом принтере все значения косинуса будут подчеркнуты, а значения синуса будут без подчеркивания. Если вам интересно, то можете посмотреть отдельные тригонометрические круги для синуса и косинуса.

Напротив указанных углов на окружности расположены точки, а в круглых скобках указаны координаты этих точек. Первой записана координата Х (косинус)

Давайте проведем обзорную экскурсию по этому уголку математического зоопарка. Прежде всего, нужно отметить, что здесь присутствует декартова система координат – одна черная горизонтальная линия с буковкой Х возле стрелочки, вторая – вертикальная линия с буковкой У. На оси Х, которую еще называют ось абсцисс (это умное слово математики придумали специально, что бы запутать блондинок) живут косинусы – cos. На оси У, которую называют ось ординат (еще одно умное слово, которое в устах блондинки может стать убийственным оружием), живут синусы – sin. Если посмотреть на семейную жизнь этих тригонометрических функций, то не трудно заметить, что синусы всегда на кухне у плиты по вертикали, а косинусы – на диване перед телевизором по горизонтали.

В этой системе координат нарисована окружность радиусом, равным единице. Центр окружности находится в начале системы координат – там, где в центе рисунка пересекаются оси абсцисс (ось Х) и ординат (ось У).

Из центра окружности проведены тоненькие черточки, которые показывают углы 30, 45, 60, 120, 135, 150, 210, 225, 240, 300, 315, 330 градусов. В радианной мере углов это пи деленное на 6, пи на 4, пи на 3, 2 пи на 3, 3 пи на 4, 5 пи на 6, 7 пи на 6, 5 пи на 4, 4 пи на 3, 3 пи на 2, 5 пи на 3, 7 пи на 4, 11 пи деленное на 6. С осями координат совпадают такие значения углов: 0, 90, 180, 270 градусов или 0 пи, пи деленное на 2, пи, 3 пи деленное на 2. Пользуясь картинкой, очень просто переводить углы из градусов в радианы и из радиан в градусы. Одинаковые значения в разных системах измерения углов написаны на одной линии, изображающей этот угол.

Линии углов заканчиваются точками на единичной окружности. Возле каждой точки, в круглых скобках, записаны координаты этой точки. Первой записана координата Х, которая соответствует косинусу угла, образовавшего эту точку. Второй записана координата У этой точки, что соответствует значению синуса угла. По картинке довольно легко находить синус и косинус заданного угла и наоборот, по заданному значению синуса или косинуса, можно легко найти значение угла. Главное, не перепутать синус с косинусом.

Обращаю особое внимание на тот факт, что если вы по значению синуса или косинуса ищите угол, обязательно нужно дописывать период угла. Математики очень трепетно относятся к этому аппендициту тригонометрических функций и при его отсутствии могут влепить двойку за, казалось бы, правильный ответ. Что такое период при нахождении угла по значению тригонометрической функции? Это такая штучка, которая придумана математиками специально для того, чтобы запутываться самим и запутывать других. Особенно блондинок. Но об этом мы поговорим как-нибудь в другой раз.

Всё, что собрано в кучку на рисунке тригонометрического круга синуса и косинуса, можно внимательно рассмотреть на отдельных картинках с портретами синуса 0, 30, 45 градусов (ссылки на отдельные странички я буду добавлять по мере увеличения фотогалереи синусов и косинусов).

Синусы и косинусы круг – здесь картинка во всей своей тригонометрической красе.

Угол 120 градусов в радианах – равен 2/3 пи или 2 пи деленное на 3, на картинке очень красиво нарисовано.

Значения синусов косинусов углов в радианах – на картинке есть такие, надеюсь, именно те углы, которые вы ищете.

Значение косинуса угла в 45 градусов – равно корню из двух деленному на два, можете проверить по рисунку.

Тригонометрическая окружность – я не совсем уверен, что представленная на картинке окружность является тригонометрической, но что-то от тригонометрии в этой окружности определенно есть, например, синусы и косинусы на окружности – вылитая тригонометрия.

Тригонометрический круг рисунок – есть здесь такой. Правда, не самый красивый рисунок, можно нарисовать гораздо красивее и понятнее. Мне минус в репутацию – почему я до сих пор не нарисовал его для блондинок? Представляете ситуацию в картинной галерее будущего: экскурсовод объясняет группе школьников «Перед вами всемирно известное полотно «Тригонометрическая мадонна с единичным отрезком на руках» – картина гениального художника эпохи Раннего Математического Возрождения . » Дальше она называет имя этого самого художника (или художницы). Это имя может быть вашим!

Круг синусов и косинусов – именно такой круг совершенно случайно оказался здесь на картинке.

Угол 9 градусов сколько это в пи – в пи это 1/20 или пи/20.
Решение: для перевода градусов в пи радиан, нужно имеющиеся у нас градусы разделить на 180 градусов (это 1 пи радиан). У нас получается 9/180 = 1/20

Ответ: 9 градусов = 1/20 пи.

Синус это вверх или в сторону – синус – это вверх, в сторону – это косинус.

Комментарии к этой статье запрещены. Из-за огромного их количества мои ответы на ваши вопросы о тригонометрическом круге уже не публикуются. Вопросы можете задавать в комментариях к другим страницам. Постараюсь решить проблему за счет удаления части комментариев, тем самым освобожу место для новых.

Тригонометрия – раздел математической науки, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование в геометрии. Развитие тригонометрии началось еще во времена античной Греции. Во времена средневековья важный вклад в развитие этой науки внесли ученые Ближнего Востока и Индии.

Данная статья посвящена базовым понятиям и дефинициям тригонометрии. В ней рассмотрены определения основных тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Разъяснен и проиллюстрирован их смысл в контексте геометрии.

Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определения

Изначально определения тригонометрических функций, аргументом которых является угол, выражались через соотношения сторон прямоугольного треугольника.

Определения тригонометрических функций

Синус угла ( sin α ) – отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.

Косинус угла ( cos α ) – отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс угла ( t g α ) – отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенс угла ( c t g α ) – отношение прилежащего катета к противолежащему.

Данные определения даны для острого угла прямоугольного треугольника!

В треугольнике ABC с прямым углом С синус угла А равен отношению катета BC к гипотенузе AB.

Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса позволяют вычислять значения этих функций по известным длинам сторон треугольника.

Область значений синуса и косинуса: от -1 до 1. Иными словами синус и косинус принимают значения от -1 до 1. Область значений тангенса и котангенса – вся числовая прямая, то есть эти функции могут принимать любые значения.

Угол поворота

Определения, данные выше, относятся к острым углам. В тригонометрии вводится понятие угла поворота, величина которого, в отличие от острого угла, не ограничена рамками от 0 до 90 градусов.Угол поворота в градусах или радианах выражается любым действительным числом от – ∞ до + ∞ .

В данном контексте можно дать определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла произвольной величины. Представим единичную окружность с центром в начале декартовой системы координат.

Начальная точка A с координатами ( 1 , 0 ) поворачивается вокруг центра единичной окружности на некоторый угол α и переходит в точку A 1 . Определение дается через координаты точки A 1 ( x , y ).

Синус (sin) угла поворота

Синус угла поворота α – это ордината точки A 1 ( x , y ). sin α = y

Косинус угла поворота α – это абсцисса точки A 1 ( x , y ). cos α = х

Тангенс угла поворота α – это отношение ординаты точки A 1 ( x , y ) к ее абсциссе. t g α = y x

Котангенс угла поворота α – это отношение абсциссы точки A 1 ( x , y ) к ее ординате. c t g α = x y

Синус и косинус определены для любого угла поворота. Это логично, ведь абсциссу и ординату точки после поворота можно определить при любом угле. Иначе обстоит дело с тангенсом и котангенсом. Тангенс не определен, когда точка после поворота переходит в точку с нулевой абсциссой ( 0 , 1 ) и ( 0 , – 1 ). В таких случаях выражение для тангенса t g α = y x просто не имеет смысла, так как в нем присутствует деление на ноль. Аналогично ситуация с котангенсом. Отличием состоит в том, что котангенс не определен в тех случаях, когда в ноль обращается ордината точки.

Синус и косинус определены для любых углов α .

Тангенс определен для всех углов, кроме α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π 2 + π · k , k ∈ Z )

Котангенс определен для всех углов, кроме α = 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π · k , k ∈ Z )

При решении практических примеров не говорят «синус угла поворота α «. Слова «угол поворота» просто опускают, подразумевая, что из контекста и так понятно, о чем идет речь.

Числа

Как быть с определением синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа, а не угла поворота?

Синус, косинус, тангенс, котангенс числа

Синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом числа t называется число, которое соответственно равно синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу в t радиан.

Например, синус числа 10 π равен синусу угла поворота величиной 10 π рад.

Существует и другой подход к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа. Рассмотрим его подробнее.

Любому действительному числу t ставится в соответствие точка на единичной окружности с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Синус, косинус, тангенс и котангенс определяются через координаты этой точки.

Начальная точка на окружности – точка A c координатами ( 1 , 0 ).

Положительному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t .

Отрицательному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t .

Теперь, когда связь числа и точки на окружности установлена, переходим к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Синус (sin) числа t

Синус числа t – ордината точки единичной окружности, соответствующей числу t. sin t = y

Косинус числа t – абсцисса точки единичной окружности, соответствующей числу t. cos t = x

Тангенс числа t – отношение ординаты к абсциссе точки единичной окружности, соответствующей числу t. t g t = y x = sin t cos t

Последние определения находятся в соответствии и не противоречат определению, данному в начале это пункта. Точка на окружности, соответствующая числу t, совпадает с точкой, в которую переходит начальная точка после поворота на угол t радиан.

Тригонометрические функции углового и числового аргумента

Каждому значению угла α соответствует определенное значение синуса и косинуса этого угла. Также, как всем углам α , отличным от α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π 2 + π · k , k ∈ Z ) соответствует определенное значение тангенса. Котангенс, как сказано выше, определен для всех α , кроме α = 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π · k , k ∈ Z ).

Можно сказать, что sin α , cos α , t g α , c t g α – это функции угла альфа, или функции углового аргумента.

Аналогично можно говорить о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе, как о функциях числового аргумента. Каждому действительному числу t соответствует определенное значение синуса или косинуса числа t. Всем числам, отличным от π 2 + π · k , k ∈ Z соответствует значение тангенса. Котангенс, аналогично, определен для всех чисел, кроме π · k , k ∈ Z.

Основные функции тригонометрии

Синус, косинус, тангенс и котангенс – основные тригонометрические функции.

Из контекста обычно понятно, с каким аргументом тригонометрической функции (угловой аргумент или числовой аргумент) мы имеем дело.

Связь определений sin, cos, tg и ctg из геометрии и тригонометрии

Вернемся к данным в самом начале определениям и углу альфа, лежащему в пределах от 0 до 90 градусов. Тригонометрические определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса полностью согласуются с геометрическими определениями, данными с помощью соотношений сторон прямоугольного треугольника. Покажем это.

Возьмем единичную окружность с центром в прямоугольной декартовой системе координат. Повернем начальную точку A ( 1 , 0 ) на угол величиной до 90 градусов и проведем из полученной точки A 1 ( x , y ) перпендикуляр к оси абсцисс. В полученном прямоугольном треугольнике угол A 1 O H равен углу поворота α , длина катета O H равна абсциссе точки A 1 ( x , y ) . Длина катета, противолежащего углу, равна ординате точки A 1 ( x , y ) , а длина гипотенузы равна единице, так как она является радиусом единичной окружности.

В соответствии с определением из геометрии, синус угла α равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.

sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

Значит, определение синуса острого угла в прямоугольном треугольнике через соотношение сторон эквивалентно определению синуса угла поворота α , при альфа лежащем в пределах от 0 до 90 градусов.

Аналогично соответствие определений можно показать для косинуса, тангенса и котангенса.

Геометрическое определение синуса и косинуса

α – угол, выраженный в радианах.

Свойства синуса и косинуса

Принятые обозначения

( sin^2 x equiv (sin x)^2; ) ( quad sin^3 x equiv (sin x)^3; ) ( quad sin^n x equiv (sin x)^n ) ( sin^ x equiv arcsin x ) ( (sin x )^ equiv dfrac1 equiv cosec x ) .

( cos^2 x equiv (cos x)^2; ) ( quad cos^3 x equiv (cos x)^3; ) ( quad cos^n x equiv (cos x)^n ) ( cos^ x equiv arccos x ) ( (cos x )^ equiv dfrac1 equiv sec x ) .

Периодичность

Функции y = sin x и y = cos x периодичны с периодом 2π.

( sin(x + 2pi) = sin x; quad ) ( cos(x + 2pi) = cos x )

Четность

Функция синус – нечетная. Функция косинус – четная.

( sin( -x ) = – sin x; quad ) ( cos( -x ) = cos x )

Области определения и значений, экстремумы, возрастание, убывание

Основные свойства синуса и косинуса представлены в таблице (n – целое).

( small -dfrac 2 + 2pi n ) ( small ( small dfrac 2 + 2pi n )	( small -pi + 2pi n ) ( small ( small 2pi n )
Убывание	( small dfrac 2 + 2pi n ) ( small ( small dfrac 2 + 2pi n )	( small 2pi n ) ( small ( pi + small 2pi n )
Максимумы, ( small x = ) ( small dfrac 2 + 2pi n )	( small x = 2pi n )
Минимумы, ( small x = ) ( small -dfrac 2 + 2pi n )	( small x = ) ( small pi + 2pi n )
Нули, ( small x = pi n )	( small x = dfrac 2 + pi n )
Точки пересечения с осью ординат, x = 0	y = 0	y = 1

Основные формулы, содержащие синус и косинус

Сумма квадратов

( sin^2 x + cos^2 x = 1 )

Формулы синуса и косинуса суммы и разности

( sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y )
( sin(x – y) = sin x cos y – cos x sin y )
( cos(x + y) = cos x cos y – sin x sin y )
( cos(x – y) = cos x cos y + sin x sin y )

( sin( 2x ) = 2 sin x cos x )
( cos( 2x ) = cos^2 x – sin^2 x = ) ( 2 cos^2 x – 1 = 1 – 2 sin^2 x )
( cosleft( dfrac

2 – x
ight) = sin x ) ; ( sinleft( dfrac

2 – x
ight) = cos x )
( cos( x + pi ) = – cos x ) ; ( sin( x + pi ) = – sin x )

Формулы произведения синусов и косинусов

( sin x cos y = ) ( dfrac12 sin( x – y ) + sin( x + y ) )
( sin x sin y = ) ( dfrac12 cos( x – y ) – cos( x + y ) )
( cos x cos y = ) ( dfrac12 cos( x – y ) + cos( x + y ) )

( sin x cos y = dfrac12 sin 2x )
( sin^2 x = dfrac12 1 – cos 2x )
( cos^2 x = dfrac12 1 + cos 2x )

Формулы суммы и разности

( sin x + sin y = 2 , sin dfrac2 , cos dfrac2 )
( sin x – sin y = 2 , sin dfrac2 , cos dfrac2 )
( cos x + cos y = 2 , cos dfrac2 , cos dfrac2 )
( cos x – cos y = 2 , sin dfrac2 , sin dfrac2 )

Выражение синуса через косинус

Далее мы полагаем, что ( n ) – целое число.

Выражение косинуса через синус

Выражение через тангенс

Таблица синусов и косинусов, тангенсов и котангенсов

В данной таблице представлены значения синусов и косинусов при некоторых значениях аргумента.
[ img style=»max-w ]

Выражения через комплексные переменные

Формула Эйлера

( e^ = cos z + i sin z )

Выражения через гиперболические функции

( sin iz = i sh z ) ( cos iz = ch z )
( sh iz = i sin z ) ( ch iz = cos z )

Производные

( ( sin x )’ = cos x ) ( ( cos x )’ = – sin x ) . Вывод формул > > >

Производные n-го порядка:
( left( sin x
ight)^ = sinleft( x + ndfrac

2
ight) ) ( left( cos x
ight)^ = cosleft( x + ndfrac

Интегралы

( int sin x , dx = – cos x + C ) ( int cos x , dx = sin x + C )
См. также раздел Таблица неопределенных интегралов >>>

Разложения в ряды

Секанс, косеканс

( sec x = dfrac1 ; ) ( cosec x = dfrac1 )

Обратные функции

Обратными функциями к синусу и косинусу являются арксинус и арккосинус, соответственно.

Арксинус, arcsin

( y = arcsin x ) ( left )
( sin( arcsin x ) = x ) ( )
( arcsin( sin x ) = x ) ( left )

Арккосинус, arccos

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Тригонометрическое определение

С помощью формул, указанных выше, можно найти синус и косинус острого угла. Но нужно научиться вычислять синус и косинус угла произвольной величины. Прямоугольный треугольник не даёт такой возможности (тупого угла, например, в нём быть не может); следовательно, нужно более общее определение синуса и косинуса, содержащее указанные формулы как частный случай.

На помощь приходит тригонометрическая окружность. Пусть дан некоторый угол; ему отвечает одноимённая точка на тригонометрической окружности.

Рис. 2. Тригонометрическое определение синуса и косинуса

Косинус угла – это абсцисса точки. Синус угла – это ордината точки.

На рис. 2 угол взят острым, и легко понять, что данное определение совпадает с общим геометрическим определением. В самом деле, мы видим прямоугольный треугольник с единичной гипотенузой O и острым углом. Прилежащий катет этого треугольника есть cos (сравните с рис. 1) и одновременно абсцисса точки ; противолежащий катет есть sin (как на рис. 1) и одновременно ордината точки.

Но теперь мы уже не стеснены первой четвертью и получаем возможность распространить данное определение на любой угол . На рис. 3 показано, что такое синус и косинус угла во второй, третьей и четвёртой четвертях.

Рис. 3. Синус и косинус во II, III и IV четвертях

Табличные значения синуса и косинуса

Абсцисса точки 0 равна 1 , ордината точки 0 равна 0 . Следовательно,