Определите косинус меньшего угла треугольника

Косинус меньшего угла треугольника
Содержание
  1. Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника
  2. Калькулятор и таблица для вычисления синуса и косинуса.
  3. Калькулятор для вычисления синуса и косинуса
  4. Синус острого угла прямоугольного треугольника.
  5. Косинус острого угла прямоугольного треугольника.
  6. Теорема косинусов и синусов
  7. Формулировка и доказательство теоремы косинусов
  8. Формулировка теоремы для каждой из сторон треугольника
  9. Косинусы углов треугольника
  10. Определение угла с помощью косинуса
  11. Рассмотрение пределов изменения cos α и sin α
  12. Примеры решения задач
  13. Найдите косинус меньшего угла треугольника, стороны которого 2 см 3 см 4смА)3 / 7 Б)3 / 8 В)5 / 8 Г)7 / 8 Д)5 / 7С объяснением?
  14. Стороны треугольника соответственно равны 4 см, 7 см и 9 см?
  15. Стороны треугольника соответственно равны 4 см, 7 см и 9 см?
  16. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 15 см а катеты 9 см 12 см Найдите а)косинус большего острого угла б)сумму косинусов острых углов?
  17. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 15 см, а катеты 9см и 12 см?
  18. Стороны треугольника соответственно равны 6 см, 9 см и 10 см?
  19. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 15 см, а катеты — 9 см и 12 см?
  20. ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТАоснование равнобедренного треугольника равно 6 см, а боковая сторона 5 см?
  21. Найдите косинус наименьшего угла треугольника, стороны которого равны 40 см, 70 см, 95 см?
  22. Длины сторон треугольника равны 3, 5, 6?
  23. Стороны прямоугольника равны 3 см и 4 см Найдите косинусы углов которыми образует диагональ со сторонами прямоугольника?
  24. Калькулятор и таблица для вычисления синуса и косинуса.
  25. Калькулятор для вычисления синуса и косинуса
  26. Синус острого угла прямоугольного треугольника.
  27. Косинус острого угла прямоугольного треугольника.

Видео:8 класс, 29 урок, Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольникаСкачать

8 класс, 29 урок, Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Изучение тригонометрии мы начнем с прямоугольного треугольника. Определим, что такое синус и косинус, а также тангенс и котангенс острого угла. Это основы тригонометрии.

Напомним, что прямой угол — это угол, равный 90 градусов. Другими словами, половина развернутого угла.

Острый угол — меньший 90 градусов.

Тупой угол — больший 90 градусов. Применительно к такому углу «тупой» — не оскорбление, а математический термин 🙂

Определите косинус меньшего угла треугольника

Нарисуем прямоугольный треугольник. Прямой угол обычно обозначается . Обратим внимание, что сторона, лежащая напротив угла, обозначается той же буквой, только маленькой. Так, сторона, лежащая напротив угла A, обозначается .

Угол обозначается соответствующей греческой буквой .

Определите косинус меньшего угла треугольника

Гипотенуза прямоугольного треугольника — это сторона, лежащая напротив прямого угла.

Катеты — стороны, лежащие напротив острых углов.

Катет , лежащий напротив угла , называется противолежащим (по отношению к углу ). Другой катет , который лежит на одной из сторон угла , называется прилежащим.

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к гипотенузе:

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему:

Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу):

Обратите внимание на основные соотношения для синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые приведены ниже. Они пригодятся нам при решении задач.

Определите косинус меньшего угла треугольника

Давайте докажем некоторые из них.

  1. Сумма углов любого треугольника равна . Значит, сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равнa .
  2. С одной стороны, как отношение противолежащего катета к гипотенузе. С другой стороны, , поскольку для угла катет а будет прилежащим.Получаем, что . Иными словами, .
  3. Возьмем теорему Пифагора: . Поделим обе части на : Мы получили основное тригонометрическое тождество.
  4. Поделив обе части основного тригонометрического тождества на , получим: Это значит, что если нам дан тангенс острого угла , то мы сразу можем найти его косинус. Аналогично,

Хорошо, мы дали определения и записали формулы. А для чего все-таки нужны синус, косинус, тангенс и котангенс?

Мы знаем, что сумма углов любого треугольника равна .

Знаем соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Это теорема Пифагора: .

Получается, что зная два угла в треугольнике, можно найти третий. Зная две стороны в прямоугольном треугольнике, можно найти третью. Значит, для углов — свое соотношение, для сторон — свое. А что делать, если в прямоугольном треугольнике известен один угол (кроме прямого) и одна сторона, а найти надо другие стороны?

Определите косинус меньшего угла треугольника

С этим и столкнулись люди в прошлом, составляя карты местности и звездного неба. Ведь не всегда можно непосредственно измерить все стороны треугольника.

Синус, косинус и тангенс — их еще называют тригонометрическими функциями угла — дают соотношения между сторонами и углами треугольника. Зная угол, можно найти все его тригонометрические функции по специальным таблицам. А зная синусы, косинусы и тангенсы углов треугольника и одну из его сторон, можно найти остальные.

Мы тоже нарисуем таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса для «хороших» углов от до .

0
0
0
0
0

Обратите внимание на два красных прочерка в таблице. При соответствующих значениях углов тангенс и котангенс не существуют.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Разберем несколько задач по тригонометрии из Банка заданий ФИПИ.

1. В треугольнике угол равен , . Найдите .

Задача решается за четыре секунды.

2 . В треугольнике угол равен , , . Найдите .

Определите косинус меньшего угла треугольника

Найдем по теореме Пифагора.

Часто в задачах встречаются треугольники с углами и или с углами и . Основные соотношения для них запоминайте наизусть!

Определите косинус меньшего угла треугольника

Для треугольника с углами и катет, лежащий напротив угла в , равен половине гипотенузы.

Треугольник с углами и — равнобедренный. В нем гипотенуза в раз больше катета.

Мы рассмотрели задачи на решение прямоугольных треугольников — то есть на нахождение неизвестных сторон или углов. Но это не всё! В вариантах ЕГЭ по математике множество задач, где фигурирует синус, косинус, тангенс или котангенс внешнего угла треугольника. Об этом — в следующей статье.

Видео:ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать

ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | Математика

Калькулятор и таблица для вычисления синуса и косинуса.

С помощью онлайн калькулятора вы сможете вычислить синус и косинус с точностью от одного до шестнадцати знаков после запятой. Чтобы вычислить синус и косинус, просто введите ваши данные.
Так же можно воспользоватся таблицей Брадиса синуса(sin) и косинуса(cos) от 0° до 360°.

Определите косинус меньшего угла треугольника

Калькулятор для вычисления синуса и косинуса

Цифр после запятой

Видео:Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТСкачать

Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТ

Синус острого угла прямоугольного треугольника.

Определите косинус меньшего угла треугольника

Sin (α) острого угла прямоугольного треугольника — это отношение противолежащего катета(BC) к гипотенузе(AВ).
Пимер:
α = 40°; BC = 4,5см; AB = 7см.
sin (40°) = 4,5 7 = 0,6428

Видео:Теорема косинусов. Решить задачи. Найти сторону по двум сторонам и углу. Найти угол по сторонам.Скачать

Теорема косинусов. Решить задачи. Найти сторону по двум сторонам и углу. Найти угол по сторонам.

Косинус острого угла прямоугольного треугольника.

Определите косинус меньшего угла треугольника

Cos (α) острого угла прямоугольного треугольника — это отношение прилежащего катета(AC) к гипотенузе(AB).
Пимер:
α = 40°; AC = 6,98см; AB = 9см.
cos (40°) = 6,98 9 = 0,776

Видео:Как просто запомнить, что такое sin, cos, tg?! #косинус #синус #тангенс #математика #огэ #егэСкачать

Как просто запомнить, что такое sin, cos, tg?! #косинус #синус #тангенс #математика #огэ #егэ

Теорема косинусов и синусов

Определите косинус меньшего угла треугольника

О чем эта статья:

Видео:9 класс, 15 урок, Решение треугольниковСкачать

9 класс, 15 урок, Решение треугольников

Формулировка и доказательство теоремы косинусов

Для начала вспомним теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Формула Теоремы Пифагора:

a 2 > + b 2 > = c 2 >, где a, b — катеты, с — гипотенуза.

Определите косинус меньшего угла треугольника

Теорема косинусов звучит так: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Формула теоремы косинусов:

a 2 = b 2 + c 2 — 2bc cos α

Определите косинус меньшего угла треугольника

В доказательстве теоремы косинусов используем формулу длины отрезка в координатах. Рассмотрим данную формулу:

Определите косинус меньшего угла треугольника

В доказательстве теоремы косинусов BC — это сторона треугольника АВС, которая обозначена буквой а. Введем удобную систему координат и найдем координаты нужных нам точек. У точки В координаты (с; 0).
Координаты точки С — (b cos α; b sin α) при α ∈ (0° ; 180°).

BC 2 = a 2 = (b cos α — c) 2 + b 2 sin 2 α = b 2 cos 2 α + b 2 sin 2 α — 2bc cos α + c 2 = b 2 (cos 2 α + sin 2 α) — 2bc cos α + c 2

cos 2 α + sin 2 α = 1основное тригонометрическое тождество.

Что и требовалось доказать.

Совет: чтобы быстрее разобраться в сложной теме, запишитесь на онлайн-курсы по математике для детей и подростков.

С помощью теоремы косинусов можно найти косинус угла треугольника:


Определите косинус меньшего угла треугольника

  • Когда b 2 + c 2 — a 2 > 0, угол α будет острым.
  • Когда b 2 + c 2 — a 2 = 0, угол α будет прямым.
  • Когда b 2 + c 2 — a 2

Сформулируем еще одно доказательство теоремы косинусов.

Пусть нам дан треугольник ABC, в котором из вершины C на сторону AB опустили высоту CD. Это значит:

  • AD = b × cos α,
  • DB = c – b × cos α.

Определите косинус меньшего угла треугольника

Запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC:

  • h 2 = b 2 — (b × cos α) 2
  • h 2 = a 2 — (c – b × cos α) 2

Приравниваем правые части уравнений:

  • b 2 — (b × cos α) 2 = a 2 — (c — b × cos α) 2
  • a 2 = b 2 + c 2 — 2bc × cos α

Если один из углов при основании тупой (высота упирается в продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному выше.

Определим стороны b и c:

  • b 2 = a 2 + c 2 — 2ac × cos β;
  • c 2 = a 2 + b 2 — 2ab × cos γ.

Видео:Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | МатематикаСкачать

Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | Математика

Формулировка теоремы для каждой из сторон треугольника

Теорема косинусов справедлива для всех сторон треугольника, то есть:

a 2 = b 2 + c 2 — 2bc cos α

b 2 = c 2 + a 2 — 2ca cos β

c 2 = a 2 + b 2 — 2ab cos γ

Определите косинус меньшего угла треугольника

Теорема косинусов может быть использована для любого вида треугольника.

Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ | Синус, Косинус, Тангенс, КотангенсСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ | Синус, Косинус, Тангенс, Котангенс

Косинусы углов треугольника

Теорема косинусов позволяет найти как косинус, так и угол треугольника. Найдём косинусы углов:

Определите косинус меньшего угла треугольника

Определите косинус меньшего угла треугольника

Определите косинус меньшего угла треугольника

Определите косинус меньшего угла треугольника

Определите косинус меньшего угла треугольника

Видео:7 класс, 31 урок, Теорема о сумме углов треугольникаСкачать

7 класс, 31 урок, Теорема о сумме углов треугольника

Определение угла с помощью косинуса

А теперь обратим внимание на углы.

Как мы уже знаем, косинус угла из промежутка (0°; 180°) определяет угол (в отличие от его синуса).

Пусть нам дана единичная полуокружность. Если нам задан cos α, то нам задана точка на верхней полуокружности и задан угол α. Следовательно, cos α однозначно определяет точку М(cos α; sin α), и однозначно определяется угол ∠AOM.

Определите косинус меньшего угла треугольника

Видео:Как найти значения синуса и косинуса, НЕ запоминая!Скачать

Как найти значения синуса и косинуса, НЕ запоминая!

Рассмотрение пределов изменения cos α и sin α

Рассмотрим пределы изменения синуса и косинуса α. Вспомним, что если α — угол треугольника, то он лежит в пределах от 0° до 180°.

Предел изменения косинуса: -1 0, то α ∈ (0°;90°)
Если cos α

Видео:Как запомнить значения синусов и косинусов?! #математика #синус #косинус #геометрия #егэ #shortsСкачать

Как запомнить значения синусов и косинусов?! #математика #синус #косинус #геометрия #егэ #shorts

Примеры решения задач

При помощи теоремы косинусов можно решать задачки по геометрии. Рассмотрим интересные случаи.

Пример 1. Дан треугольник АВС. Найти длину СМ.

∠C = 90°, АВ = 9, ВС = 3, AM/MB = 1/2, где М — точка на гипотенузе АВ.

Определите косинус меньшего угла треугольника

    Так как АМ + МВ = 9, а AM/MB = 1/2, то АМ = 3, МВ = 6.
    Из треугольника АВС найдем cos B:

Определите косинус меньшего угла треугольника

Из треугольника СМВ по теореме косинусов найдём СМ:
Определите косинус меньшего угла треугольника

Определите косинус меньшего угла треугольника

Определите косинус меньшего угла треугольника

Пример 2. Дан треугольник АВС, в котором a2+ b22 + b 2 2 , то cos C 2 = a 2 + b 2 , то ∠C = 90°.

Определите косинус меньшего угла треугольника

  • Если c 2 2 + b 2 , то ∠C — острый.

Видео:КОСИНУС НА ПАЛЬЦАХ 🖐 #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэСкачать

КОСИНУС НА ПАЛЬЦАХ 🖐 #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэ

Найдите косинус меньшего угла треугольника, стороны которого 2 см 3 см 4смА)3 / 7 Б)3 / 8 В)5 / 8 Г)7 / 8 Д)5 / 7С объяснением?

Геометрия | 10 — 11 классы

Найдите косинус меньшего угла треугольника, стороны которого 2 см 3 см 4см

А)3 / 7 Б)3 / 8 В)5 / 8 Г)7 / 8 Д)5 / 7

Определите косинус меньшего угла треугольника

Напротив меньшей стороны лежит меньший угол.

То есть надо найти косинус угла напротив стороны, равной 2.

Обозначим этот угол угломα.

Теорема косинусов : a² = b² + c² — 2bc * cosα

2² = 3² + 4² — 2 * 3 * 4 * cosα

4 = 9 + 16 — 24cosα

4 = 25 — 24cosα — 21 = — 24cosα

cosα = 21 / 24 = 7 / 8

Определите косинус меньшего угла треугольника

Видео:Что такое синус, косинус и тангенс угла в прямоугольном треугольнике. Часть 1Скачать

Что такое синус, косинус и тангенс угла в прямоугольном треугольнике. Часть 1

Стороны треугольника соответственно равны 4 см, 7 см и 9 см?

Стороны треугольника соответственно равны 4 см, 7 см и 9 см.

Найди косинус большего угла треугольника.

Определите косинус меньшего угла треугольника

Видео:№1048. Найдите косинусы углов треугольника с вершинами А (2; 8),Скачать

№1048. Найдите косинусы углов треугольника с вершинами А (2; 8),

Стороны треугольника соответственно равны 4 см, 7 см и 9 см?

Стороны треугольника соответственно равны 4 см, 7 см и 9 см.

Найди косинус большего угла треугольника.

До сотых округлить.

Определите косинус меньшего угла треугольника

Видео:ОГЭ по математике. В треугольнике АБС известно три стороны. Найди косинус угла. (Вар.8) √ 16Скачать

ОГЭ по математике. В треугольнике АБС известно три стороны. Найди косинус угла. (Вар.8) √ 16

В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 15 см а катеты 9 см 12 см Найдите а)косинус большего острого угла б)сумму косинусов острых углов?

В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 15 см а катеты 9 см 12 см Найдите а)косинус большего острого угла б)сумму косинусов острых углов.

Определите косинус меньшего угла треугольника

Видео:Определение синуса, косинуса и тангенса для любых углов от 0° до 180°. Геометрия 8-9 класс.Скачать

Определение синуса, косинуса и тангенса для любых углов от 0° до 180°. Геометрия 8-9 класс.

В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 15 см, а катеты 9см и 12 см?

В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 15 см, а катеты 9см и 12 см.

Найдите : а)косинус большего острого угла ; б)сумму косинусов острых углов.

Определите косинус меньшего угла треугольника

Видео:ОГЭ 2020 задание 16Скачать

ОГЭ 2020 задание 16

Стороны треугольника соответственно равны 6 см, 9 см и 10 см?

Стороны треугольника соответственно равны 6 см, 9 см и 10 см.

Найди косинус большего угла треугольника.

Определите косинус меньшего угла треугольника

Видео:Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnline

В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 15 см, а катеты — 9 см и 12 см?

В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 15 см, а катеты — 9 см и 12 см.

Найдите : а) косинус большого острого угла ; б) сумму косинусов острых углов.

Определите косинус меньшего угла треугольника

Видео:№256. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего из катетовСкачать

№256. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего из катетов

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТАоснование равнобедренного треугольника равно 6 см, а боковая сторона 5 см?

основание равнобедренного треугольника равно 6 см, а боковая сторона 5 см.

Найдите синус и косинус угла при основании треугольника.

Определите косинус меньшего угла треугольника

Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

Найдите косинус наименьшего угла треугольника, стороны которого равны 40 см, 70 см, 95 см?

Найдите косинус наименьшего угла треугольника, стороны которого равны 40 см, 70 см, 95 см.

Определите косинус меньшего угла треугольника

Длины сторон треугольника равны 3, 5, 6?

Длины сторон треугольника равны 3, 5, 6.

Найдите косинус наименьшего угла треугольника.

Определите косинус меньшего угла треугольника

Стороны прямоугольника равны 3 см и 4 см Найдите косинусы углов которыми образует диагональ со сторонами прямоугольника?

Стороны прямоугольника равны 3 см и 4 см Найдите косинусы углов которыми образует диагональ со сторонами прямоугольника.

Вы перешли к вопросу Найдите косинус меньшего угла треугольника, стороны которого 2 см 3 см 4смА)3 / 7 Б)3 / 8 В)5 / 8 Г)7 / 8 Д)5 / 7С объяснением?. Он относится к категории Геометрия, для 10 — 11 классов. Здесь размещен ответ по заданным параметрам. Если этот вариант ответа не полностью вас удовлетворяет, то с помощью автоматического умного поиска можно найти другие вопросы по этой же теме, в категории Геометрия. В случае если ответы на похожие вопросы не раскрывают в полном объеме необходимую информацию, то воспользуйтесь кнопкой в верхней части сайта и сформулируйте свой вопрос иначе. Также на этой странице вы сможете ознакомиться с вариантами ответов пользователей.

Калькулятор и таблица для вычисления синуса и косинуса.

С помощью онлайн калькулятора вы сможете вычислить синус и косинус с точностью от одного до шестнадцати знаков после запятой. Чтобы вычислить синус и косинус, просто введите ваши данные.
Так же можно воспользоватся таблицей Брадиса синуса(sin) и косинуса(cos) от 0° до 360°.

Определите косинус меньшего угла треугольника

Калькулятор для вычисления синуса и косинуса

Цифр после запятой

Синус острого угла прямоугольного треугольника.

Определите косинус меньшего угла треугольника

Sin (α) острого угла прямоугольного треугольника — это отношение противолежащего катета(BC) к гипотенузе(AВ).
Пимер:
α = 40°; BC = 4,5см; AB = 7см.
sin (40°) = 4,5 7 = 0,6428

Косинус острого угла прямоугольного треугольника.

Определите косинус меньшего угла треугольника

Cos (α) острого угла прямоугольного треугольника — это отношение прилежащего катета(AC) к гипотенузе(AB).
Пимер:
α = 40°; AC = 6,98см; AB = 9см.
cos (40°) = 6,98 9 = 0,776

Поделиться или сохранить к себе: