Определение вписанной окружности центр вписанной окружности

Ключевые слова: окружность, описанная окружность, центр окружности, вписанная окружность, треугольник, четырехугольник, вневписанная окружность

Окружность называется вписанной в угол, если она лежит внутри угла и касается его сторон.

Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.

Окружность называется вписанной в выпуклый многоугольник, если она лежит внутри данного многоугольника и касается всех прямых, проходящих через его стороны.

Если в данный выпуклый многоугольник можно вписать окружность, то биссектрисы всех углов данного многоугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности.
Сам многоугольник в таком случае называется описанным около данной окружности.
Таким образом, в выпуклый многоугольник можно вписать не более одной окружности.

Для произвольного многоугольника невозможно вписать в него и описать около него окружность.
Для треуголь ника это всегда возможно.

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех трех его сторон, а её центр находится внутри окружности

• Центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис внутренних углов треугольника.
• В любой треугольник можно вписать окружность, и только одну.
• Радиус вписанной в треугольник окружности равен отношению площади треугольника и его полупериметра: $$r = frac

  $$ , где S — площадь треугольника, а $$p =frac$$ — полупериметр треугольника.

Серединным перпендикуляром называют прямую перпендикулярную отрезку и проходящую через его середину.

Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через три его вершины.

• Вокруг любого треугольника можно описать окружность, и только одну.
• В любом треугольнике сторона равна произведению диаметра описанной окружности и синуса противолежащего угла.
• Площадь треугольника равна отношению произведения длин всех его сторон к учетверенному радиусу окружности, описанной около этого треугольника: $$R =frac$$, где S — площадь треугольника.

• Центр вневписанной окружности лежит на пересечении биссектрис внешних углов, при вершинах касаемой стороны, и биссектрисы угла при третей вершине.

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник

• Радиус вписанной окружности находят по формулам: $$r = frac$$, и $$r = frac$$, где a и b катеты прямоугольного треугольника, а c гипотенуза прямоугольного треугольника.

Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

• Центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы.
• Радиус равен половине гипотенузы: $$R = frac$$.
• Радиус равен медиане, проведенной к гипотенузе: $$R = m_$$.

Четырехугольник, вписанный в окружность

• Четырехугольник можно вписать в окружность, если сумма противолежащих углов равна $$180^circ: alpha + beta + gamma +delta = 180^circ$$.
• Если четырехугольник вписан в окружность, то суммы противолежащих углов равны $$180^circ$$.
• Сумма произведений противолежащих сторон четырехугольника ABCD равна произведению диагоналей: $$ABcdot DC + AD cdot BC = BD cdot AC$$.
• Площадь: $$S = sqrt$$, где $$p = frac$$ — полупериметр четырехугольника.

Окружность, вписанная в ромб

• В любой ромб можно вписать окружность.
• Радиус r вписанной окружности: $$r = frac$$, где h — высота ромба или $$r = frac <d_cdot d_>$$, где a — сторона ромба, d₁ и d₂ — диагонали ромба.

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная окружность

Вписанная окружность — это окружность, которая вписана
в геометрическую фигуру и касается всех его сторон.

Окружность, точно можно вписать в такие геометрические фигуры, как:

• Треугольник
• Выпуклый, правильный многоугольник
• Квадрат
• Равнобедренная трапеция
• Ромб

В четырехугольник, можно вписать окружность,
только при условии, что суммы длин
противоположных сторон равны.

Во все вышеперечисленные фигуры
окружность, может быть вписана, только один раз.

Окружность невозможно вписать в прямоугольник
и параллелограмм, так как окружность не будет
соприкасаться со всеми сторонам этих фигур.

Геометрические фигуры, в которые вписана окружность,
называются описанными около окружности.

Описанный треугольник — это треугольник, который описан
около окружности и все три его стороны соприкасаются с окружностью.

Описанный четырехугольник — это четырехугольник, который описан
около окружности и все четыре его стороны соприкасаются с окружностью.

Свойства вписанной окружности

В треугольник

1. В любой треугольник может быть вписана окружность, причем только один раз.
2. Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис треугольника.
3. Вписанная окружность касается всех сторон треугольника.
4. Площадь треугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:

[ S = frac(a+b+c) cdot r = pr ]

p — полупериметр четырехугольника.
r — радиус вписанной окружности четырехугольника.

Примеры вписанной окружности

• Треугольник
  
• Четырехугольник
  
• Многоугольник
  

Примеры описанного четырехугольника:
равнобедренная трапеция, ромб, квадрат.

Примеры описанного треугольника:
равносторонний, равнобедренный,
прямоугольный треугольники.

Верные и неверные утверждения

1. Радиус вписанной окружности в треугольник и радиус вписанной
   в четырехугольник вычисляется по одной и той же формуле. Верное утверждение.
2. Любой параллелограмм можно вписать в окружность. Неверное утверждение.
3. В любой четырехугольник можно вписать окружность. Неверное утверждение.
4. В любой ромб можно вписать окружность. Верное утверждение.
5. Центр вписанной окружности треугольника это точка пересечения биссектрис. Верное утверждение.
6. Окружность вписанная в треугольник касается всех его сторон. Верное утверждение.
7. Угол вписанный в окружность равен соответствующему центральному
   углу опирающемуся на ту же дугу. Неверное утверждение.
8. Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник равен
   половине разности суммы катетов и гипотенузы. Верное утверждение.
9. Вписанные углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности равны. Неверное утверждение.
10. Вписанная окружность в треугольник имеет в общем
    три общие точки со всеми сторонами треугольника. Верное утверждение.

Окружность вписанная в угол

Окружность вписанная в угол — это окружность, которая
лежит внутри этого угла и касается его сторон.

Центр окружности, которая вписана в угол,
расположен на биссектрисе этого угла.

К центру окружности вписанной в угол, можно провести,
в общей сложности два перпендикуляра со смежных сторон.

Длина диаметра, радиуса, хорды, дуги вписанной окружности
измеряется в км, м, см, мм и других единицах измерения.

Видео:Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

Вписанная окружность

Что такое вписанная окружность?Какими свойствами она обладает?

Вписанная в выпуклый многоугольник окружность — это окружность, которая касается всех сторон этого многоугольника (то есть каждая из сторон многоугольника является для окружности касательной).

Центр вписанной окружности лежит внутри многоугольника.

Многоугольник, в который вписана окружность, называется описанным.

В выпуклый многоугольник можно вписать окружность, если биссектрисы всех его внутренних углов пересекаются в одной точке.

Центр вписанной в многоугольник окружности — точка пересечения его биссектрис.

Центр вписанной окружности равноудален от сторон многоугольника. Расстояние от центра до любой стороны равно радиусу вписанной окружности (По свойству касательной, сторона описанного многоугольника перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания).

По свойству касательных, проведённых из одной точки, любая вершина описанного многоугольника равноудалена от точек касания, лежащих на сторонах, выходящих из этой вершины.

Окружность с центром в точке O и радиусом r вписана в пятиугольник ABCDE.

ABCDE — описанный пятиугольник.

O — точка пересечения биссектрис ABCD, то есть ∠EAO=∠BAO, ∠ABO=∠CBO, ∠BCO=∠DCO, ∠CDO=∠EDO, ∠AEO=∠DEO.

Точка O равноудалена от точек касания. Расстояние от точки O до любой из сторон равно радиусу: OK=OL=ON=OM=OP=r.

Вершины ABCDE равноудалены от соответствующих точек касания:

AM=AN, BN=BL, CL=CK, DK=DP, EP=EM.

В любой треугольник можно вписать окружность. Центр вписанной в треугольник окружности называется инцентром.

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противолежащих сторон равны. В частности, в трапецию можно вписать окружность, если сумма её оснований равна сумме боковых сторон.

В любой правильный многоугольник можно вписать окружность. Около любого правильного многоугольника можно также описать окружность. Центр вписанной и описанной окружностей лежат в центре правильного многоугольника.

Для любого описанного многоугольника радиус вписанной окружности может быть найден по формуле

где S — площадь многоугольника, p — его полупериметр.

Кроме основной, существуют формулы для нахождения радиуса вписанной окружности в частных случаях (для правильных многоугольников, отдельных видов треугольников, трапеции, ромба и т.д.).

🎥 Видео

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

8 класс, 38 урок, Вписанная окружностьСкачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Радиус описанной окружностиСкачать

Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Центр вписанной окружности.Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)Скачать

Вписанная окружностьСкачать

Урок по теме ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬСкачать

Центр вписанной окружности #ShortsСкачать

ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСССкачать

ОПИСАННАЯ и ВПИСАННАЯ окружности. §21 геометрия 7 классСкачать

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

№203. Через центр О окружности, вписанной в треугольник ABC, проведена прямая ОK, перпендикулярнаяСкачать

Углы, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Центр описанной окружности.Скачать