Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов
Серединный перпендикуляр к отрезку |
Окружность описанная около треугольника |
Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов |
Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности |
- Серединный перпендикуляр к отрезку
- Окружность, описанная около треугольника
- Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
- Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности
- 7 класс вписанная и описанная окружности план-конспект урока по геометрии (7 класс) по теме
- Скачать:
- Предварительный просмотр:
- Окружность, описанная около треугольника 7 класс
- «Снятие эмоционального напряжения у детей и подростков с помощью арт-практик и психологических упражнений»
- Дистанционное обучение как современный формат преподавания
- Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
- Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
- Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
- Материал подходит для УМК
- Дистанционные курсы для педагогов
- Другие материалы
- Вам будут интересны эти курсы:
- Оставьте свой комментарий
- Автор материала
- Дистанционные курсы для педагогов
- Подарочные сертификаты
- 💡 Видео
Видео:Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать
Серединный перпендикуляр к отрезку
Определение 1 . Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).
Теорема 1 . Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.
Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку AB (рис.2), и докажем, что треугольники ADC и BDC равны.
Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты AC и BC равны, а катет DC является общим. Из равенства треугольников ADC и BDC вытекает равенство отрезков AD и DB . Теорема 1 доказана.
Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.
Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью предположим, что некоторая точка E находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок EA пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой D .
Докажем, что отрезок AE длиннее отрезка EB . Действительно,
Таким образом, в случае, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.
Теперь рассмотрим случай, когда точки E и A лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4). Докажем, что отрезок EB длиннее отрезка AE . Действительно,
Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2
Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать
Окружность, описанная около треугольника
Определение 2 . Окружностью, описанной около треугольника , называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником .
Видео:Описанная и вписанная окружности треугольника - 7 класс геометрияСкачать
Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
Фигура | Рисунок | Свойство | ||||||
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника | Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке. Посмотреть доказательство | |||||||
Окружность, описанная около треугольника | Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника. Посмотреть доказательство | |||||||
Центр описанной около остроугольного треугольника окружности | Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника. | |||||||
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности | Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы. Посмотреть доказательство | |||||||
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности | Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника. | |||||||
Теорема синусов | ||||||||
Площадь треугольника | ||||||||
Радиус описанной окружности |
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника |
Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.
Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.
Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.
Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):
,
где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.
Для любого треугольника справедливо равенство:
где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.
Для любого треугольника справедливо равенство:
где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.
Видео:7 класс. Окружность, описанная около треугольникаСкачать
Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности
Теорема 3 . Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
Доказательство . Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 6).
Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:
Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:
Следовательно, справедливо равенство:
откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.
Следствие . Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.
Доказательство . Рассмотрим точку O , в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABC (рис. 6).
При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:
из которого вытекает, что окружность с центром в точке O и радиусами OA , OB , OC проходит через все три вершины треугольника ABC , что и требовалось доказать.
Теорема 4 (теорема синусов) . Для любого треугольника (рис. 7)
.
Доказательство . Докажем сначала, что длина хорды окружности радиуса R хорды окружности радиуса R , на которую опирается вписанный угол величины φ , вычисляется по формуле:
l = 2Rsin φ . | (1) |
Рассмотрим сначала случай, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром окружности (рис.8).
Поскольку все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то для произвольного вписанного угла всегда найдется равный ему вписанный угол, у которого одна из сторон является диаметром окружности.
Формула (1) доказана.
Из формулы (1) для вписанного треугольника ABC получаем (рис.7):
Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать
7 класс вписанная и описанная окружности
план-конспект урока по геометрии (7 класс) по теме
Класс: 7 (По учебнику Геометрия 7 кл, Мерзляк А. Г.)
Тема урока: Описанная и вписанная окружности около треугольника
Видео:ОКРУЖНОСТЬ, ОПИСАННАЯ ОКОЛО ТРЕУГОЛЬНИКА. Видеоурок | ГЕОМЕТРИЯ 7 классСкачать
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
7_klass_vpisannaya_i_opisannaya.docx | 154.91 КБ |
7_klass_vpisannaya_i_opisannaya.ppt | 669.5 КБ |
Видео:Геометрия. 7 класс. Окружности, описанная около треугольника и окружность, вписанная в треугольникСкачать
Предварительный просмотр:
Тема урока: Описанная и вписанная окружности около треугольника
Тип урока: изучение нового учебного материала.
Предметные — познакомить учащихся с понятиями вписанной и описанной окружностей треугольника и их свойствами.
Личностные — формировать интерес к изучению темы и желание применять приобретённые знания и умения.
Метапредметные — формировать умение использовать приобретённые знания в практической деятельности.
( Проверка домашнего задания, наличия учебников и тетрадей. Урок проводится с помощью презентации ).
Устный опрос . 1) Что такое окружность?
2) Дайте определение треугольника?
3) Что такое перпендикуляр?
4) Что такое серединный перпендикуляр?
5) Что такое касательная?
6) Что такое биссектриса треугольника?
III. Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности .
IV. Изучение нового материала.
Определение: Окружность называют описанной около треугольника, если она проходит через все вершины этого треугольника.
Говорят также, что треугольник вписан в окружность.
Теорема 21.1 Около любого треугольника можно описать окружность.
Практическая работа. Построить произвольный треугольник АВС. Провести серединные перпендикуляры m и n и k к сторонам АВ, АС и ВС соответственно. Что можно сказать о взаимном расположении серединных перпендикуляров?
Следствие 1. Три серединных перпендикуляра сторон треугольника пересекаются в одной точке.
Обозначить точку пересечения буквой О. Т. к. точка О принадлежит серединному перпендикуляру m, то ОА=ОВ. Поскольку точка О принадлежит серединному перпендикуляру n, то ОА=ОС. Значит ОА=ОС=ОВ, т. е. тоска О равноудалена от всех вершин треугольника.
Около треугольника можно описать только одну окружность, т. к. серединные перпендикуляры имеют только одну точку пересечения.
Провести окружность с центром в точку О. Что можно сказать о взаимном расположении треугольника и окружности?.
Следствие 2. Центр окружности, описанной около треугольника, – это точка пересечения серединных перпендикуляров его сторон.
Определение: Окружность называют вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.
В этом случае также говорят, что треугольник описан около окружности.
Точка О (рис. 301) — центр вписанной окружности треугольника АВС, отрезки ОМ, ON, OP — радиусы, проведённые в точки касания,
ОМ AB, ON ВС, OP AC. Поскольку ОМ = ON=OP, то центр вписанной окружности треугольника равноудалён от всех его сторон.
Теорема 21.2 В любой треугольник можно вписать окружность.
Практическая работа . Построить произвольный треугольник АВС. Провести биссектрисы углов А и В., Обозначить точку их пересечения буквой О. Т. к. точка О принадлежит биссектрисе угла А, то она равноудалена от сторон АВ и АС.(теорема 19.2). Аналогично, так как точка О принадлежит биссектрисе угла В, то она равноудалена от сторон ВА и ВС. Следовательно, точка О равноудалена от всех сторон треугольника.
Заметим, что в треугольник можно вписать только одну окружность.
Это следует из того, что биссектрисы углов А и В (см. рис. 302) пересекаются только в одной точке. Следовательно, существует только одна точка,
равноудалённая от сторон треугольника.
Следствие 1. Биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной
точке.
Следствие 2.Центр окружности, вписанной в треугольник, — это точка
пересечения его биссектрис.
V. Первичное закрепление нового материала.
- Какая окружность называется описанной около треугольника?
- Какой треугольник называют вписанным в окружность?
- Около какого треугольника можно описать окружность?
- Какая точка является центром окружности, описанной около треугольника?
- Какую окружность называют вписанной в треугольник?
- Какой треугольник называют описанным около окружности?
- В какой треугольник можно вписать окружность?
- Какая точка является центром окружности, вписанной в треугольник?
( дать качественную оценку работы класса и отдельных учащихся).
Видео:Окружность, описанная около треугольника. Как найти центр и радиус. Геометрия 7-8 классСкачать
Окружность, описанная около треугольника 7 класс
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Видео:Окружность. 7 класс.Скачать
«Снятие эмоционального напряжения
у детей и подростков с помощью арт-практик
и психологических упражнений»
Сертификат и скидка на обучение каждому участнику
Урок № 57 Тема: Окружность, описанная около треугольника Дата _______
сформировать у учеников знания о понятии окружности, описанной около треугольника, научить находить центр окружности, описанной около треугольника;
способствовать развитию познавательного интереса, умения работать с инструментами, литературой;
воспитывать интерес к геометрии, общую культуру поведения.
Цель: создать условия для формирования знаний, организовать работу по усвоению понятия окружности, описанной около треугольника.
Оборудование, наглядные пособия: циркуль, линейка, доска, учебник, CD — диск.
Тип урока: урок изучения нового материала.
Методы: репродуктивные, объяснительно-иллюстрационные.
Проверка домашней работы
Актуализация учебного процесса (фронтальный опрос)
Формирование новых знаний
Определение. Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.
Теорема. Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения перпендикуляров к сторонам треугольника, проведенных через середины этих сторон.
Доказательство. Пусть ABC-данный треугольник и О-центр описанной около него окружности. Треугольник АОС равнобедренный; у него стороны ОА и ОС равны как радиусы. Медиана OD этого треугольника одновременно является его высотой. Поэтому центр окружности лежит на прямой, перпендикулярной стороне АС и проходящей через ее середину. Точно так же доказывается, что центр окружности лежит на перпендикулярах к двум другим сторонам треугольника.
Замечание. Прямую, проходящую через середину отрезка перпендикулярно к нему, называют серединным перпендикуляром.
Первичное закрепление изученного материала. Решение задач
Какие углы образует хорда АВ, равная радиусу окружности, с касательной в точке А?
Подведение итогов урока. Задание на дом
Глава III, § 1.2, №(стр. 66-68) (А.Н. Шыныбеков Геометрия-7)
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
- Сейчас обучается 942 человека из 79 регионов
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
- Сейчас обучается 316 человек из 68 регионов
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
- Сейчас обучается 691 человек из 75 регионов
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
5 488 721 материал в базе
Материал подходит для УМК
«Геометрия», Погорелов А.В.
39. Окружность, описанная около треугольника
Видео:ОПИСАННАЯ и ВПИСАННАЯ окружности. §21 геометрия 7 классСкачать
Дистанционные курсы для педагогов
Другие материалы
- 28.10.2018
- 269
- 28.10.2018
- 419
- 28.10.2018
- 681
- 24.10.2018
- 2451
- 24.10.2018
- 258
- 24.10.2018
- 403
- 24.10.2018
- 420
- 24.10.2018
- 221
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Добавить в избранное
- 29.10.2018 1665 —> —> —> —>
- DOCX 310.5 кбайт —> —>
- Оцените материал:
Настоящий материал опубликован пользователем Малюков Андрей Николаевич. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Автор материала
- На сайте: 6 лет и 6 месяцев
- Подписчики: 1
- Всего просмотров: 24905
- Всего материалов: 17
Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов
Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать
Дистанционные курсы
для педагогов
548 курсов от 690 рублей
Выбрать курс со скидкой
Выдаём документы
установленного образца!
Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки
Время чтения: 11 минут
Более 800 вузов проведут прием через суперсервис
Время чтения: 1 минута
В Роспотребнадзоре заявили о широком распространении COVID-19 среди детей
Время чтения: 1 минута
Свободное движение повышает креативность
Время чтения: 1 минута
В России утвердили новые правила аккредитации образовательных учреждений
Время чтения: 1 минута
Минпросвещения России запускает конкурс для учителей физкультуры
Время чтения: 2 минуты
В Петербурге дали рекомендации по переводу школьников на дистант
Время чтения: 3 минуты
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
💡 Видео
7 класс. Геометрия. Окружность вписанная в треугольник и окружность описанная около треугольника #11Скачать
Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать
Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).Скачать
Геометрия. 7 класс. Окружности, описанные около треугольника и вписанные в него /29.04.2021/Скачать
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ПО ТЕМЕ «ОКРУЖНОСТЬ, ОПИСАННАЯ ОКОЛО ТРЕУГОЛЬНИКА». Задачи | ГЕОМЕТРИЯ 7 классСкачать
Описанная и вписанная окружности около треугольника. Геометрия 7классСкачать
Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | МатематикаСкачать
7 класс; Геометрия; Построение окружности, описанной около треугольникаСкачать
Вписанная и описанная окружности треугольника, 7 классСкачать