Кулачковый механизм с треугольником рело (2 видео)

Одна из самых экстремальных фигур на плоскости: треугольник Рёло (5 фото + 2 видео)

Чтобы построить треугольник Рёло понадобится циркуль. Установили, провели окружность. Потом нужно поставить циркуль на любую точку и проводите еще одну окружность. Затем ставите циркуль на одну из точек пересечения окружностей и проводите третью. Вот что должно получиться.

Главное свойство треугольника Рёло — это фигура постоянной ширины, наряду, к примеру, с окружностью. Нужно знать понятие опорных прямых, чтобы понять, что такое постоянная ширина.

Опорная прямая — это та прямая, что содержит точку фигуры, но не разделяющая никакие две точки на ней. На рисунке выше проведены три пары опорных прямых, расстояние между которыми равно постоянной ширине треугольника Рёло.
Треугольник Рёло имеет минимальную площадь из всех фигур постоянной ширины, а окружность максимальную.

А есть еще другое экстремальное свойство треугольника Рёло: все его углы при вершинах так же минимальны среди всех фигур с постоянной шириной:

А есть еще такие треугольники и с большим количеством углов. Проходя через точку а все опорные прямые, которых бесконечность, образуют т.н. пучок, угол между крайними положениями которого равен углу при вершине треугольника Рёло — 120 градусов. И меньше на плоскости быть никак не может.

Но вот какое самое поражающее свойство треугольника Рёло — это то, что он может вписаться в квадрат с равной стороной!

Треугольник Рёло почти полностью повторяет контур квадрата и это позволяет на его основе делать, к примеру, сверла, которые вырезают близкие к квадратам отверстия.

«Круглое тащим, квадратное катаем» — этот очень распространенный армейский принцип точно не подойдет к треугольнику Рёло. Даже несмотря на углы, колеса такой формы даже на небольших скоростях заменят обычные круглые.

Ну и кроме всего этого треугольник Рёло используется в кулачковых механизмах паровых двигателей, так как может преобразовывать вращательное движение в возвратно-поступательное.

В специальном роторном двигателе Венкеля треугольник позволяет выполнить сразу три цикла сгорания топлива в один такт.

Содержание

Реферат «Замечательный треугольник Рёло»
7. Единственная фигура постоянной ширины, имеющая углы, равные в точности 120° – это треугольник Рёло. Через каждую вершину треугольника Рёло, в отличие от остальных его граничных точек, проходит не одна опорная прямая, а бесконечное множество опорных прямых. Пересекаясь в вершине, они образуют «пучок». Угол между крайними прямыми этого «пучка» называется углом при вершине. Для фигур постоянной ширины угол при вершинах не может быть меньше 120°. Фигура, имеющая наименьший угол – это треугольник Рёло.
3. Грейферный механизм – это ещё одно применение треугольника Рёло в механике. Он осуществляющий покадровое перемещение плёнки в кинопроекторах. Двигатели дают равномерное вращение оси, а чтобы на экране было чёткое изображение, плёнку мимо объектива надо протянуть на один кадр, дать ей постоять, потом опять резко протянуть, и так 18 раз в секунду. Именно эту задачу решает грейферный механизм. Он основан на треугольнике Рело, вписанном в квадрат, и двойном параллелограмме, который не даёт квадрату наклоняться в стороны. Действительно, так как длины противоположных сторон равны, то среднее звено при всех движениях остаётся параллельным основанию, а сторона квадрата – всегда параллельной среднему звену. Чем ближе ось крепления к вершине треугольника Рело, тем более близкую к квадрату фигуру описывает зубчик грейфера.
📽️ Видео

Реферат «Замечательный треугольник Рёло»

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 35

с углублённым изучением немецкого языка»

«Замечательный треугольник Рёло»

Видео:#АвиловАлексей - Кулачковый механизм! (Легко и просто | AvMedia)Скачать

обучающийся 8 класса

§1. Первые сведения о треугольнике Рело.

§2. Замечательные математические свойства треугольника Рёло.

§3. Практическое значение треугольника Рёло.

Список использованной литературы

” Весь смысл жизни заключается в
бесконечном завоевании неизвестного;
в вечном усилии познать больше”.

На одном из сайтов в интернете я увидел криволинейную фигуру, похожую на треугольник, вращающуюся внутри квадрата с закругленными углами (рис.1). Эта фигура касалась всех сторон квадрата, а ее центр двигался по некоторой кривой, похожей на окружность, находящейся внутри квадрата (рис.2).

Эта картинка меня заинтересовала, и я решил узнать, что представляет собой эта криволинейная фигура, где ее можно встретить. Мои поиски увенчались успехом, прочитав в интернете и в литературе различные материалы, я узнал, что эта фигура называется треугольником Рёло, она обладает интересными свойствами и является фигурой постоянной ширины. Об удивительных математических свойствах треугольника Рёло, о первых сведениях о нем, применении его на практике я и хотел бы рассказать в своем реферате.

§1. Первые сведения о треугольнике Рело.

Рассмотрим правильный треугольник (с равными сторонами). На каждой стороне построим дугу окружности, радиусом, равным длине стороны (рис.3).

Полученная кривая (рис.4) называется «треугольник Рёло». По мнению историков, название это «непростой» простой фигуре дал немецкий механик Франц Рёло (Reuleaux Franz, 1829–1905). Он впервые (1875) чётко сформулировал и изложил основные вопросы структуры и кинематики механизмов; разрабатал проблему эстетичности технических объектов.

Интересно, что эта замечательная фигура встречалась в XVIII веке в работах великого математика Леонарда Эйлера (1707-1783), который продемонстрировал возможность её создания из трех окружностей.

Еще раньше исследователи «увидели» треугольник Рёло в рукописях гениального Леонардо Да Винчи (XVвек). Манускрипты A и B этого естествоиспытателя, с изображением этой «простой» фигуры, хранятся в Мадридском кодексе и в Институте Франции (рис.5).

Примерно в 1514 году Леонардо да Винчи создал одну из первых в своём роде карт мира. Поверхность земного шара на ней была разделена экватором и двумя меридианами (угол между плоскостями этих меридианов равен 90°) на восемь сферических треугольников, которые были показаны на плоскости карты треугольниками Рёло, собранными по четыре вокруг полюсов (рис.6).

Однако еще в XIII веке создатели церкви Богоматери в Брюгге использовали треугольник Рёло в качестве формы для некоторых окон (рис.7, рис.8).

Таким образом, трудно сказать, когда впервые появились знания об этой удивительной геометрической фигуре.

Видео:Галилео. Эксперимент. Треугольники Рёло 📐 Reuleaux triangleСкачать

§2. Замечательные математические свойства треугольника Рёло.

1. Ширина выпуклой кривой.

Круг имеет постоянную ширину: его можно катить рукой по столу, не опуская и не поднимая руки. Оказывается, тем же свойством обладает и треугольник Рёло.

Шириной выпуклой кривой в данном направлении называют расстояние между парой параллельных опорных прямых кривой, перпендикулярных этому направлению. Опорные прямые касаются кривой с разных сторон (рис.9). Если ширина кривой постоянная во всех направлениях, то кривую называют кривой постоянной ширины. Окружность – это кривая постоянной ширины, равной её диаметру.

1. Треугольник Рёло является простейшей после круга фигурой постоянной ширины. То есть, если к треугольнику Рёло провести пару параллельных опорных прямых, то независимо от выбранного направления расстояние между ними будет постоянным. Это расстояние называется шириной треугольника Рёло (рис.10). Треугольник Рёло постоянно касается обеих прямых. Действительно, одна точка касания всегда расположена в одном из «углов» треугольника Рело, а другая – на противоположной дуге окружности. Отрезок, соединяющий точки касания двух параллельных опорных прямых к треугольнику Рёло, перпендикулярен к этим опорным прямым. Таким образом, с каждой из своих опорных (параллельных) прямых треугольник Рёло имеет лишь по одной общей точке, расстояние между двумя любыми точками треугольника Рёло не может превышать его ширины. Через любую точку границы треугольника Рёло проходит по крайней мере одна опорная прямая.

Значит, ширина всегда равна радиусу окружностей, т. е. длине стороны изначального правильного треугольника. В житейском смысле постоянная ширина кривой означает, что если сделать катки с таким профилем, то книжка будет катиться по ним, не шелохнувшись (рис. 11). Однако колесо с таким профилем сделать нельзя, так как его центр описывает сложную линию при качении фигуры по прямой (рис. 12).

Теорема Барбье. Все кривые постоянной ширины d имеют одинаковую длину, равную рd.

Это означает, что если окружность и треугольник Рёло имеют одну и ту же постоянную ширину, то длина окружности равна периметру треугольника Рёло.

2. Окружность и треугольник Рёло выделяются из всего набора кривых данной ширины своими экстремальными свойствами.

Окружность ограничивает максимальную площадь, а треугольник Рело – минимальную в классе кривых данной ширины. Это утверждение носит название теоремы Бляшке – Лебега (по фамилиям немецкого геометра Вильгельма Бляшке, опубликовавшего теорему в 1915 году, и французского математика Анри Лебега, который сформулировал её в 1914 году.

Чтобы найти площадь треугольника Рёло, можно сложить площадь внутреннего равностороннего треугольника и площадь трёх оставшихся одинаковых круговых сегментов, опирающихся на угол в 60°.

+ 3,

= , где a – сторона равностороннего треугольника, а

Так как в равностороннем треугольнике все углы равны 60, то площадь сектора равна площади круга радиуса, равного стороне равностороннего треугольника.

= = ,

+ 3 +

= ) = ) =

)

Фигура, обладающая противоположным экстремальным свойством – круг. Среди всех фигур данной постоянной ширины его площадь (

максимальна. Площадь соответствующего треугольника Рёло меньше на ≈10,27 %. Известно, что в этих пределах лежат площади всех остальных фигур данной постоянной ширины.

4. Периметр треугольника Рёло равен

Радиус окружности, вписанной в треугольник Рёло (рис. 13), равен

радиус окружности, описанной около треугольника Рёло (рис. 13), равен

5. Треугольник Рёло обладает осевой симметрией. Он имеет три оси симметрии, каждая из которых проходит через вершину треугольника и середину противоположной.

Видео:Машинка с колесами из треугольника Рело.Скачать

6. Треугольник Рёло, как и любую другую фигуру постоянной ширины, можно вписать в квадрат (рис.1 рис.2) и вращать внутри квадрата так, чтобы он касался всех сторон квадрата.

7. Единственная фигура постоянной ширины, имеющая углы, равные в точности 120° – это треугольник Рёло. Через каждую вершину треугольника Рёло, в отличие от остальных его граничных точек, проходит не одна опорная прямая, а бесконечное множество опорных прямых. Пересекаясь в вершине, они образуют «пучок». Угол между крайними прямыми этого «пучка» называется углом при вершине. Для фигур постоянной ширины угол при вершинах не может быть меньше 120°. Фигура, имеющая наименьший угол – это треугольник Рёло.

§2. Практическое значение треугольника Рёло.

Треугольник Рело находит применение во многих механических устройствах, используется и в автомобильных двигателях, в грейферном механизме в кинопроекторах, применяется в кулачковых механизмах швейных машин зигзагообразной строчки. В качестве кулачка треугольник Рёло использовали немецкие часовые мастера. Треугольник Рёло – распространённая форма плектра (медиатора): тонкой пластинки, предназначенной для приведения в состояние колебания струн щипковых музыкальных инструментов. Форма треугольника Рёло используется и в архитектурных целях.

1. Свёрло Уаттса. Если двигать центр треугольника Рёло по некой траектории, то его вершины вычертят почти квадрат, а сам он заметёт всю площадь внутри полученной фигуры.

Границы полученной фигуры, за исключением небольших кусочков по углам, будут строго прямыми. Площадь незаметённых уголочков составляет всего около 2% от площади всего квадрата. И если продолжить отрезки, тем самым добавив уголочки, то получится в точности квадрат. Теперь, если сделать сверло в виде треугольника Рёло, то можно будет сверлить квадратные отверстия с немного скругленными уголками, но абсолютно прямыми сторонами! Осталось сделать такое сверло. Вернее, само-то сверло сделать несложно, нужно только чтобы оно напоминало в сечении треугольник Рёло, а режущие кромки совпадали с его вершинами. Трудность заключается в том, что траектория центра сверла должна состоять из четырёх дуг эллипсов. Визуально эта кривая очень похожа на окружность и даже математически близка к ней (рис.15), но всё же это не есть окружность. А все эксцентрики (круг, посаженный на круг другого радиуса со смещённым центром), используемые в технике, дают движение строго по окружности.

В 1914 году английский инженер Гарри Джеймс Уаттс придумывает, как устроить такое сверление. На поверхность он накладывает направляющий шаблон с прорезью в виде квадрата, в котором ходит сверло, вставленное в патрон со «свободно плавающим в нём сверлом». Патент на такой патрон был выдан фирме, начавший изготовление свёрл Уаттса в 1916 году. Сверло Уаттса представляет собой просто-напросто треугольник Рёло, в котором прорезаны углубления для отвода стружки и заточены ржущие кромки.

Можно воспользоваться другой известной конструкцией. Прикрепить сверло жёстко к треугольнику Рёло (рис.15), помещённому в квадратную направляющую рамку. Сама рамка фиксируется на дрели. Осталось теперь передать вращение патрона дрели треугольнику Рёло (рис.16).

Помогает решить эту техническую проблему конструкция, которую мы видим под днищем проезжавших по улице грузовых автомобилей – карданный вал. Эта передача получила своё название в честь Джероламо Кардано (1501 – 1576).

2 . Треугольник Рело используется и в автомобильных двигателях.

На рисунке 17 изображен автомобиль «Мазда RX-7». В отличие от большинства серийных машин в ней (а также в модели RX-8) стоит роторный двигатель Ванкеля. Как же он устроен внутри? Внутри примерно цилиндрической камеры по сложной траектории движется трёхгранный ротор-поршень – треугольник Рело (рис.18). Он вращается так, что три его вершины находятся в постоянном контакте с внутренней стенкой корпуса, образуя три замкнутых объёма, или камеры сгорания. Фактически каждая из трёх боковых поверхностей ротора действует как поршень. Когда вспрыскивается синяя бензиновая смесь, из-за движения ротора она сжимается, поджигается и крутит ротор. Роторный двигатель лишён некоторых недостатков поршневого аналога – здесь вращение передается сразу на ось и не нужно использовать коленвал, он значительно компактней и легче, поэтому, при установке его на автомашину, центр тяжести оказывается значительно ниже, а устойчивость автомобиля – выше. В традиционном четырёхтактном поршневом двигателе один и тот же цилиндр используется для разных процессов – впуска, сжатия, сгорания и впуска. Но роторный двигатель позволят осуществлять каждый из этих процессов в разных частях корпуса. Каждый процесс как бы происходит в отдельном цилиндре.

В середине 60-го роторный двигатель был впервые смонтирован на серийную малолитражку NSU Prince. После доводки конструкции, осенью 1963 года, свет увидела первая серийная машина с двигателем Ванкеля — NSU Prince Spyder.

3. Грейферный механизм – это ещё одно применение треугольника Рёло в механике. Он осуществляющий покадровое перемещение плёнки в кинопроекторах. Двигатели дают равномерное вращение оси, а чтобы на экране было чёткое изображение, плёнку мимо объектива надо протянуть на один кадр, дать ей постоять, потом опять резко протянуть, и так 18 раз в секунду. Именно эту задачу решает грейферный механизм. Он основан на треугольнике Рело, вписанном в квадрат, и двойном параллелограмме, который не даёт квадрату наклоняться в стороны. Действительно, так как длины противоположных сторон равны, то среднее звено при всех движениях остаётся параллельным основанию, а сторона квадрата – всегда параллельной среднему звену. Чем ближе ось крепления к вершине треугольника Рело, тем более близкую к квадрату фигуру описывает зубчик грейфера.

Рассмотрим в качестве примера грейфер проектора «Луч-2», основанный на треугольнике Рёло, который вписан в рамку-квадрат и закреплён на двойном параллелограмме. Вращаясь вокруг вала привода, треугольник двигает рамку с расположенным на ней зубом (рис. 19). Зуб входит в перфорацию киноплёнки, протаскивает её на один кадр вниз и выходит обратно, поднимаясь затем к началу цикла (рис. 20).

Его траектория тем ближе к квадрату, чем ближе к вершине треугольника закреплён вал (идеально квадратная траектория позволила бы проецировать кадр в течение ѕ цикла)

Существует и другая конструкция грейфера, также основанная на треугольнике Рёло. Как и в первом случае, рамка этого грейфера совершает возвратно-поступательное движение, однако её двигает не один, а два кулачка, работа которых синхронизирована с помощью зубчатой передачи.

4. Треугольник Рёло применяется в кулачковых механизмах. Так в начале XIX века он использовался в кулачковых механизмах некоторых паровых двигателей. В этих механизмах вращательное движение кривошипа поворачивает треугольник Рёло, прикреплённый к толкателю передаточными рычагами, что заставляет толкатель совершать возвратно-поступательное движение. По терминологии Рёло, это соединение образует «высшую» кинематическую пару, поскольку контакт звеньев происходит по линии, а не по поверхности. В подобных кулачковых механизмах толкатель при достижении крайнего правого или левого положения остаётся некоторое конечное время неподвижен.

Треугольник Рёло используется в механизмах швейных машин зигзагообразной строчки (рис.22).

Видео:Фигуры постоянной ширины | Лекции по математике – математик Николай Андреев | НаучпопСкачать

В качестве кулачка треугольник Рёло использовали немецкие часовые мастера в механизме наручных часов A. Lange & Sцhne «Lange 31» (рис.23, рис. 24).

5. В форме треугольника Рёло изготавливают крышки для люков. Благодаря постоянной ширине они не могут провалиться в люк. В Сан – Франциско для системы рекуперирования воды корпуса люков имеют форму треугольника Рёло, но их крышки имеют форму равносторонних треугольников (рис.25).

6. Треугольник Рёло – распространённая форма плектра (медиатора): тонкой пластинки, предназначенной для приведения в состояние колебания струн щипковых музыкальных инструментов.

7. Форма треугольника Рёло используется и в архитектурных целях. Конструкция из двух его дуг образует характерную для готического стиля стрельчатую арку (рис. 28, рис.30, рис.31), однако целиком треугольник Рёло встречается в готических сооружениях довольно редко (рис.7).

Рис. 27 Рис. 28 Рис. 29

Как орнамент треугольник Рело использовался при изготовлении решеток (рис.29). Стрельчатые арки использовались при изготовлении витражей, являющихся визитной карточкой романского стиля архитектуре (рис.27).

Элементы готического стиля используются в интерьерах комнат и при изготовлении мебели (рис.32, рис. 33).

Чаще треугольник Рёло используют в архитектуре, не принадлежащей к готическому стилю. Например, построенная в 2006 году в Кёльне 103-метровая башня под названием «Кёльнский треугольник» (рис.34) в сечении представляет собой именно эту фигуру.

Таким образом, можно сделать вывод, что треугольник Рёло нашел широкое применение на практике. Его свойства, как характеристики простой фигуры, находится в постоянном теоретическом и практическом изучении.

8. В научной фантастике авторы также используют удивительные свойства треугольника Рёло. Так в рассказе Пола Андерсона «Треугольное колесо» (рис.35) экипаж землян совершил аварийную посадку на планете, население которой не использовало круглые колеса, так как всё круглое находилось под религиозным запретом. В сотнях километров от места посадки предыдущая земная экспедиция оставила склад с запасными частями, но перенести оттуда необходимый для корабля двухтонный атомный генератор без каких-либо механизмов было невозможно. В итоге землянам удалось соблюсти табу и перевезти генератор, используя катки с сечением в виде треугольника Рёло.

Один из таких катков (рис.36) представлен в качестве экспоната в немецком техническом музее (рис.37), основанном в 1982 и открытом в Берлине в 1983 году. Современное название музей получил в 1996 году.

Рис.35 Рис.36 Рис. 37

9. Интересно, что и художники говорят о треугольнике Рёло. Например, швейцарский художник Иоганнес Иттен (1888 — 1967) – теоретик нового искусства и педагог, получил всемирную известность благодаря сформированному им учебному форкурсу, который лёг в основу преподавания многих современных начальных художественных учебных заведений.

И. Иттен утверждал, что слово и звук, форма и её цвет – носители некой сущности. Так же как звук, окрашивая слово, заставляет его сиять – цвет словно наделяет форму душой. Форма обладает своей «этико-эстетической» выразительной ценностью.

В живописном произведении выразительные свойства цвета и формы имеют согласованное воздействие. Трем основным, первичным цветам: красному, жёлтому и синему, в пределе соответствуют три основных, первичных формы: квадрат, треугольник и круг.

Квадрат – символ материи, тяжести и строгого ограничения; статичность — основное качество этой фигуры. Все формы, в которых преобладают горизонтали и вертикали ассоциируются с квадратом. В древнем Китае храмы планировались по принципу четырёхугольника. Квадрату соответствует непрозрачный цвет материи, тяжести – красный.

Видео:8. ТММ. Кулачковые механизмыСкачать

Треугольник символизирует мысль, выражает активность, излучает свет во все стороны; формы, строящиеся на диагоналях – ромбы, трапеции, зигзаги и их производные, дающие динамику и даже агрессивность; невесомости этой фигуры соответствует светло-жёлтый цвет.

Круг – символ погружённого в себя духа, духа вечного движения; геометрическое место точки, движущейся на постоянном расстоянии от определённого центра; вызывает ощущение отдыха, ослабления напряжения и постоянного ровного движения — в противоположность напряжению, сообщаемому квадратом. Астрологический символ солнца – круг с точкой в центре. Все формы извилистого характера овал, дуги, параболы восходят к кругу; непрерывному движению круга соответствует прозрачно-синий цвет.

Зелёный цвет является «производным»: результатом смешения прозрачно-синего и светло-желтого, а поскольку им соответствуют круг и правильный треугольник, именно фигура, называемая И. Иттеном сферическим треугольником, – треугольник Рёло, и соответствует зелёному.

Таким образом, можно сделать вывод, что треугольник Рёло нашел широкое применение на практике, основанное на его свойствах, которые как характеристики простой фигуры, находятся в постоянном теоретическом и практическом изучении.

В своей работе я рассказал об удивительной геометрической фигуре – треугольнике Рёло. Как оказалось, первые сведения о нем появились еще XIII веке. В ХV веке он встречается в работах Леонардо да Винчи. Однако до сих пор не известно, кто первый нарисовал эту фигуру. Интересными свойствами обладает треугольник Рело: он является фигурой постоянной ширины, имеет периметр, равный длине окружности той же постоянной ширины, имеет три оси симметрии, ограничивает минимальную площадь в классе кривых данной ширины, его, как и любую другую фигуру постоянной ширины, можно вписать в квадрат и вращать внутри квадрата так, чтобы он касался всех сторон квадрата.

Свойства треугольника Рёло позволяют использовать его в различных областях науки и техники: сверло Уаттса, роторный двигатель Ванкеля, грейферный и кулачковый механизмы, медиатор и др.

Оказалось, что необычная форма треугольника Рёло используется в архитектуре, в готическом и романском стилях. О треугольнике говорят художники и используют в своих произведениях писатели – фантасты.

Для меня было важным понять, что математические знания, получаемые нами на уроках и кажущиеся такими далекими от реальной жизни оказываются необычайно востребованными и очень значимыми и, я думаю, как много интересного мне еще предстоит узнать при изучении математики.

1. , , Новые встречи с геометрией. // – М., Наука, 2001. – 223 с.

2. , Треугольник в задачах//. – Киев, Лебедь, 1994. – 104 с.

3. ривые постоянной ширины // Числа и фигуры. Опыты математического мышления / Пер. с нем. . – М.: Физматгиз, 1962. – С. 195–211. – 263 с. – («Библиотека математического кружка», выпуск 10).

4. Постоянной ширины кривая // Математическая энциклопедия / Гл. ред. . – М.: Советская энциклопедия, 1984. – Т. 4. – С. 519. – 608 с.

5. атематический калейдоскоп. — М.: Наука,1981.

7. , Фигуры постоянной ширины // Выпуклые фигуры. – М.–Л.: ГТТИ, 1951. – С. 90–105.

8. Круглый треугольник Рело // www. etudes. ru