Описать окружность около остроугольного и тупоугольного треугольников

Окружность, описанная около треугольника.
Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов
Описать окружность около остроугольного и тупоугольного треугольниковСерединный перпендикуляр к отрезку
Описать окружность около остроугольного и тупоугольного треугольниковОкружность описанная около треугольника
Описать окружность около остроугольного и тупоугольного треугольниковСвойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
Описать окружность около остроугольного и тупоугольного треугольниковДоказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Описать окружность около остроугольного и тупоугольного треугольников

Видео:Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

Построить описанную окружность (Задача 1)

Серединный перпендикуляр к отрезку

Определение 1 . Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).

Описать окружность около остроугольного и тупоугольного треугольников

Теорема 1 . Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку AB (рис.2), и докажем, что треугольники ADC и BDC равны.

Описать окружность около остроугольного и тупоугольного треугольников

Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты AC и BC равны, а катет DC является общим. Из равенства треугольников ADC и BDC вытекает равенство отрезков AD и DB . Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью предположим, что некоторая точка E находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок EA пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой D .

Описать окружность около остроугольного и тупоугольного треугольников

Докажем, что отрезок AE длиннее отрезка EB . Действительно,

Описать окружность около остроугольного и тупоугольного треугольников

Описать окружность около остроугольного и тупоугольного треугольников

Таким образом, в случае, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.

Описать окружность около остроугольного и тупоугольного треугольников

Теперь рассмотрим случай, когда точки E и A лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4). Докажем, что отрезок EB длиннее отрезка AE . Действительно,

Описать окружность около остроугольного и тупоугольного треугольников

Описать окружность около остроугольного и тупоугольного треугольников

Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Окружность, описанная около треугольника

Определение 2 . Окружностью, описанной около треугольника , называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником .

Описать окружность около остроугольного и тупоугольного треугольников

Видео:№711. Начертите три треугольника: тупоугольный, прямоугольный и равносторонний. ДляСкачать

№711. Начертите три треугольника: тупоугольный, прямоугольный и равносторонний. Для

Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Описать окружность около остроугольного и тупоугольного треугольников,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

Описать окружность около остроугольного и тупоугольного треугольников

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

ФигураРисунокСвойство
Серединные перпендикуляры
к сторонам треугольника
Описать окружность около остроугольного и тупоугольного треугольниковВсе серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
Посмотреть доказательство
Окружность, описанная около треугольникаОписать окружность около остроугольного и тупоугольного треугольниковОколо любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиЦентр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиОписать окружность около остроугольного и тупоугольного треугольниковЦентром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиОписать окружность около остроугольного и тупоугольного треугольниковЦентр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.
Теорема синусовОписать окружность около остроугольного и тупоугольного треугольников
Площадь треугольникаОписать окружность около остроугольного и тупоугольного треугольников
Радиус описанной окружностиОписать окружность около остроугольного и тупоугольного треугольников
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника
Описать окружность около остроугольного и тупоугольного треугольников

Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Окружность, описанная около треугольникаОписать окружность около остроугольного и тупоугольного треугольников

Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиОписать окружность около остроугольного и тупоугольного треугольников

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиОписать окружность около остроугольного и тупоугольного треугольников

Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиОписать окружность около остроугольного и тупоугольного треугольников

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.

Теорема синусовОписать окружность около остроугольного и тупоугольного треугольников

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Описать окружность около остроугольного и тупоугольного треугольников,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Площадь треугольникаОписать окружность около остроугольного и тупоугольного треугольников

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Радиус описанной окружностиОписать окружность около остроугольного и тупоугольного треугольников

Для любого треугольника справедливо равенство:

Описать окружность около остроугольного и тупоугольного треугольников

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Видео:№705. Около прямоугольного треугольника ABC с прямым углом С описана окружность. Найдите радиусСкачать

№705. Около прямоугольного треугольника ABC с прямым углом С описана окружность. Найдите радиус

Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Теорема 3 . Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 6).

Описать окружность около остроугольного и тупоугольного треугольников

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.

Следствие . Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Доказательство . Рассмотрим точку O , в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABC (рис. 6).

При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:

из которого вытекает, что окружность с центром в точке O и радиусами OA , OB , OC проходит через все три вершины треугольника ABC , что и требовалось доказать.

Теорема 4 (теорема синусов) . Для любого треугольника (рис. 7)

Описать окружность около остроугольного и тупоугольного треугольников

Описать окружность около остроугольного и тупоугольного треугольников.

Доказательство . Докажем сначала, что длина хорды окружности радиуса R хорды окружности радиуса R , на которую опирается вписанный угол величины φ , вычисляется по формуле:

l = 2Rsin φ .(1)

Рассмотрим сначала случай, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром окружности (рис.8).

Описать окружность около остроугольного и тупоугольного треугольников

Поскольку все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то для произвольного вписанного угла всегда найдется равный ему вписанный угол, у которого одна из сторон является диаметром окружности.

Формула (1) доказана.

Из формулы (1) для вписанного треугольника ABC получаем (рис.7):

Видео:№701. Начертите три треугольника: остроугольный, прямоугольный и тупоугольный. В каждыйСкачать

№701. Начертите три треугольника: остроугольный, прямоугольный и тупоугольный. В каждый

Окружность, описанная около треугольника

Видео:Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника, окружностьСкачать

Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника,  окружность

Определение окружности, описанной около треугольника

Определение 1. Окружностью, описанной около треугольника называется окружность, проходящей через все три вершины треугольника (Рис.1).

Описать окружность около остроугольного и тупоугольного треугольников

При этом треугольник называется треугольником вписанным в окружность .

Видео:Окружность, описанная около треугольника. Как найти центр и радиус. Геометрия 7-8 классСкачать

Окружность, описанная около треугольника. Как найти центр и радиус. Геометрия 7-8 класс

Теорема об окружности, описанной около треугольника

Теорема 1. Около любого треугольника можно описать окружность.

Описать окружность около остроугольного и тупоугольного треугольников

Доказательство. Пусть задан произвольный треугольник ABC (Рис.2). Обозначим точкой O точку пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Проведем отрезки OA, OB и OC. Поскольку точка O равноудалена от точек A, B и C, то OA=OB=OC. Тогда окружность с центром O и радиусом OA проходит через все три вершины треугольника ABC и, следовательно, является окружностью, описанной около треугольника ABC.Описать окружность около остроугольного и тупоугольного треугольников

Из теоремы 1 следует, что центром описанной около треугольника окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Замечание 1. Около любого треугольника можно описать только одну окружность.

Доказательство. Допустим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой из этих окружностей равноудален от вершин треугольника и совпадает с точкой O пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника. Радиус этих окружностей равен расстоянию от точки O до вершин треугольника. Поэтому эти окружности совпадают.Описать окружность около остроугольного и тупоугольного треугольников

Видео:Точка O центр окружности описанной около остроугольного треугольникаСкачать

Точка O центр окружности описанной около остроугольного треугольника

Окружность, описанная около треугольника

Что такое окружность, описанная около треугольника? Что является центром этой окружности? Как расположение центра описанной окружности зависит от вида треугольника?

Окружность называется описанной около треугольника, если все вершины треугольника лежат на окружности.

При этом треугольник называется вписанным в окружность .

Описать окружность около остроугольного и тупоугольного треугольников

Расстояние от любой вершины треугольника до центра описанной окружности равно радиусу этой окружности.

Окружность можно описать около любого треугольника.

Центром описанной около треугольника окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника (то есть отрезков, перпендикулярных к сторонам треугольника и проходящих через середины этих сторон).

Описать окружность около остроугольного и тупоугольного треугольников

Центр окружности, описанной около остроугольного треугольника, лежит внутри треугольника.

Описать окружность около остроугольного и тупоугольного треугольников

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы.

Описать окружность около остроугольного и тупоугольного треугольников

Центр окружности, описанной около тупоугольного треугольника, лежит вне треугольника (напротив тупого угла, за большей стороной).

📺 Видео

№704. Окружность с центром О описана около прямоугольного треугольника, а) ДокажитеСкачать

№704. Окружность с центром О описана около прямоугольного треугольника, а) Докажите

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать

найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен 4. Найдите гипотенузу.Скачать

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен 4. Найдите гипотенузу.

Треугольник и окружность #shortsСкачать

Треугольник и окружность #shorts

ОКРУЖНОСТЬ ОПИСАННАЯ ОКОЛО ТРЕУГОЛЬНИКА радиус 8 классСкачать

ОКРУЖНОСТЬ ОПИСАННАЯ ОКОЛО ТРЕУГОЛЬНИКА радиус 8 класс

ТЕОРИЯ: ОКРУЖНОСТЬ ОПИСАННАЯ ОКОЛО ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА (Кратко)Скачать

ТЕОРИЯ: ОКРУЖНОСТЬ ОПИСАННАЯ ОКОЛО ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА (Кратко)

ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать

ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | Математика

8 класс, 39 урок, Описанная окружностьСкачать

8 класс, 39 урок, Описанная окружность

Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).Скачать

Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).

Окружность и треугольникСкачать

Окружность и треугольник

Геометрия Найдите диаметр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, если один из егоСкачать

Геометрия Найдите диаметр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, если один из его
Поделиться или сохранить к себе: