Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Вписанные и описанные окружности в треугольниках и четырехугольниках

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Работу выполнил ученик 9 «Б» класса

МОУ СОШ № 21 Свистов Иван

Руководитель: учитель математики МОУ СОШ № 21

2. Теоретическая часть:

2.1. Вписанная окружность

2.2. Описанная окружность

2.3. Взаимное расположение прямой и окружности

2.3. Площади фигур

2.5. Свойства прямоугольного треугольника

3. Практическая часть:

3.1. Задачи с окружностью, описанной около треугольника

3.2. Задачи с окружностью, вписанной в треугольник

3.3. Задачи с окружностью, описанной около четырехугольника

3.4. Задачи с окружностью, вписанной в треугольник

Тема «Вписанные и описанные окружности в треугольниках и четырехугольниках» является одной из самых сложных в курсе геометрии. На уроках ей уделяется очень мало времени.

Геометрические задачи этой темы включаются во вторую часть экзаменационной работы ЕГЭ за курс средней школы.

Для успешного выполнения этих заданий необходимы твердые знания основных геометрических фактов и некоторый опыт в решении геометрических задач.

Углубить знания по теме «Вписанная и описанная окружности в треугольниках и четырехугольниках»

Систематизировать знания по этой теме

Подготовиться к решению задач повышенной сложности ЕГЭ

Описанная окружность треугольника и четырехугольникаОпределение: если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник – описанным около этой окружности.

Теорема: в любой треугольник можно вписать окружность, и притом только одну.

Центр окружности, вписанной в треугольник, находится на пересечении биссектрис треугольника.

Свойство: в любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

Признак: если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Описанная окружность треугольника и четырехугольникаОпределение: если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник – вписанным в эту окружность.

Теорема: около любого треугольника можно описать окружность, и притом только одну.

Центр окружности, описанной около треугольника, находится на пересечении серединных перпендикуляров.

Свойство: в любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180˚.

Признак: если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180˚, то около него можно описать окружность.

Описанная окружность треугольника и четырехугольникаВзаимное расположение прямой и окружности:

AB – касательная, если OH = r

AB ┴ OH (OH – радиус, проведенный в точку касания H)

Описанная окружность треугольника и четырехугольникаСвойство отрезков касательных, проведенных из одной точки:

Описанная окружность треугольника и четырехугольникаПлощадь параллелограмма

· Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту:

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

· Площадь параллелограмма равна произведению двух соседних его сторон ​на синус угла между ними:

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

ü Описанная окружность треугольника и четырехугольникаПлощадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними:

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

ü Описанная окружность треугольника и четырехугольникаПлощадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту:

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

ü Описанная окружность треугольника и четырехугольникаПлощадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

ü Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.

ü Описанная окружность треугольника и четырехугольникаЕсли угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы:

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Описанная окружность треугольника и четырехугольникаПлощадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту:

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Теорема: отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Описанная окружность треугольника и четырехугольникаВысота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой:

Описанная окружность треугольника и четырехугольникаОписанная окружность треугольника и четырехугольника

Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы:

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Теорема: сумма углов треугольника равна 180°

Основное тригонометрическое тождество: sin2 A + cos2 A = 1

Описанная окружность треугольника и четырехугольникаТеорема косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними: a2 = b2 + c2 – 2bc ∙ cos A

Свойство хорд: если две хорды окружности, AB и CD пересекаются в точке M, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: AM ∙ MB = CM ∙ MD.

Описанная окружность треугольника и четырехугольникаТеорема Пифагора:

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: c2 = a2 + b2

Описанная окружность треугольника и четырехугольникаМедиана (от лат. mediana — средняя), отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.

Описанная окружность треугольника и четырехугольникаЗадача 1: Около равнобедренного треугольника с основанием AC и углом при основании 75˚ описана окружность с центром O. Найдите ее радиус, если площадь треугольника BOC равна 16.

Дано: ∆ ABC – равнобедренный, AC – основание, ﮮ ACB = 75˚,

площадь ∆ BOC равна 16

Найти: радиус описанной окружности

1. Проведем медианы AF, CE, BH

2. ∆ ABC – равнобедренный, BH – медиана, следовательно, BH – высота, а значит ∆ HBC – прямоугольный

3. ﮮ HBC = 90˚ — ﮮ ACB, ﮮ HBC = 90˚ — 75˚ = 15˚

4. BO = OC = R, следовательно, ∆ BOC – равнобедренный, значит ﮮHBC = ﮮECB = 15˚

5. ﮮ COB = 180˚ — (ﮮ HBC + ﮮECB), ﮮ COB = 180˚ — (15˚ + 15˚) = 150˚

6. S = Описанная окружность треугольника и четырехугольника∙ BO ∙ OC ∙ sin ﮮ BOC (теорема о площади треугольника), SBOC = Описанная окружность треугольника и четырехугольника∙ R ∙ R ∙ sin 150˚ = Описанная окружность треугольника и четырехугольника∙ R ∙ R ∙ Описанная окружность треугольника и четырехугольника= Описанная окружность треугольника и четырехугольника∙ R2 ; Описанная окружность треугольника и четырехугольника∙ R2 = 16; R2 = 16 : Описанная окружность треугольника и четырехугольника= 64; R = Описанная окружность треугольника и четырехугольника= 8

Задача 2: треугольник BMP с углом B, равным 45˚, вписан в окружность радиуса 6. Найдите длину медианы BK, если BK пересекает окружность в точке C и CK = 3.

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

1. ﮮ MOP = 2 ﮮMBP

ﮮ MOP = 2 ∙ 45˚ = 90˚, следовательно, ∆ MOP – прямоугольный

2. MP2 = OM2 + OP2

MP2 = 62 + 62 = 36 + 36 = 36 ∙ 2

MP = Описанная окружность треугольника и четырехугольника

3. MK = KP = 0,5 ∙ MP

MK = KP = 0,5 ∙ Описанная окружность треугольника и четырехугольника= Описанная окружность треугольника и четырехугольника

4. MK ∙ KP = BK ∙ KC

Описанная окружность треугольника и четырехугольника= BK ∙ 3

Задача 3: остроугольный равнобедренный треугольник BCD с основанием CD, равным 16, вписан в окружность с центром O и радиусом 10. Найдите площадь треугольника BOC.

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

1. ∆ BCD – равнобедренный, CD = 16, следовательно, DH = HC = 8

2. ∆ DOH – прямоугольный

По теореме Пифагора:

OH2 = 100 – 64 = 36

3. BH = BO + OH = 10 + 6 =16

4. По теореме Пифагора:

BC2 = 162 + 82 = 256 + 64 = 320

BC = Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

6. SBHC = Описанная окружность треугольника и четырехугольника

7. Описанная окружность треугольника и четырехугольника

8. SBOC = 2 ∙ SBOK = 2 ∙ 20 = 40

Описанная окружность треугольника и четырехугольникаЗадача 4: радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен 2 м, а радиус описанной окружности равен 5 м. Найдите больший катет треугольника.

2. Пусть AM = AK = x, MC = CL = y

Описанная окружность треугольника и четырехугольникаПо теореме Пифагора:

Описанная окружность треугольника и четырехугольника(x + 2)2 + (y + 2)2 = (x + y)2

(x + 2)2 + (10 – x + 2)2 = (x + 10 – x)2

(x + 2)2 + (12 – x)2 = 100

x2 + 4x + 4 +144 – 24x + x2 = 100

2×2 – 20x + 148 = 100

2×2 – 20x + 48 = 0

Описанная окружность треугольника и четырехугольникаОписанная окружность треугольника и четырехугольникаx = 6 x = 4

3. Так как нужно найти больший катет, то берем y = 6

Задача 5: окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, касается его боковых сторон в точках K и A. Точка K делит сторону этого треугольника на отрезки 15 и 10, считая от основания. Найдите длину отрезка KA.

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Дано: ∆ BCD – равнобедренный, K є BC, A є DC, BK = 15, KC = 10

1. CD = CB = BK + KC, CD = CB = 15 + 10 = 25

2. CK = CA = 10 (отрезки касательных, проведенные из одной точки), CB = CD, следовательно AD = CD – CA, AD = 25 – 10 = 15

3. BE = BK = 15, DE = DA = 15 (отрезки касательных, проведенные из одной точки), следовательно BD = 15 + 15 = 30

∆ CBD (ﮮC – общий, CK : CB = CA : CD), следовательно KA : BD = CA : CD, KA : 30 = 10 : 25, KA = 10 ∙ 30 : 25 = 12

Задача 6: периметр прямоугольного треугольника равен 72 м, а радиус вписанной в него окружности – 6 м. Найдите диаметр описанной окружности.

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Дано: ∆ ABC – прямоугольный, P = 72 м, r = 6 м

1. DO = OF = OE = r = 6 м, следовательно AD = AF = 6 м

2. FC = EC, BD = BE (отрезки касательных, проведенные из одной точки)

3. Пусть BD = x, FC = y, тогда AB = x + 6, AC = y + 6, BC = x + y

4. По теореме Пифагора AB2 + AC2 = BC2

5. Описанная окружность треугольника и четырехугольникаP = AB + BC + AC, P = x + 6 + x + y + y + 6 = 2x + 2y + 12

6. 2x + 2y + 12 = 72

Описанная окружность треугольника и четырехугольника(x + 6)2 + (y + 6)2 = (x + y)2

x2 + 12x + 36 + y2 + 12y + 36 = x2 + 2xy + y2

Описанная окружность треугольника и четырехугольникаx + y = 30

12x – 2xy + 12y + 72 = 0 I: 2

Описанная окружность треугольника и четырехугольникаy = 30 – x

6x – xy + 6y + 36 = 0

6x – x(30 – x) + 6(30 – x) + 36 = 0

6x – 30x + x2 + 180 – 6x + 36 = 0

x2 – 30x + 216 = 0

D = (-30)2 – 4 ∙ 1 ∙ 216 = 900 – 864 = 36

x1 = Описанная окружность треугольника и четырехугольника= Описанная окружность треугольника и четырехугольника= 18, x2 = Описанная окружность треугольника и четырехугольника= Описанная окружность треугольника и четырехугольника= 12

Описанная окружность треугольника и четырехугольникаОписанная окружность треугольника и четырехугольникаy = 30 – x

BC = 18 + 12 = 30 (м)

Ответ: 30 м – диаметр описанной окружности

Задача 7: в равнобедренной трапеции основания 21 и 9 сантиметров, высота – 8 сантиметров. Найти радиус описанной окружности.

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

1. Проведем серединные перпендикуляры к основаниям Н и К, тогда центр окружности О лежит на прямой НК.

2. АО=ОВ=R. Точка О делит отрезок НК на две части: пусть НО = х, тогда ОК = 8 – х.

3. АО2 = АК2 + КО2; ОВ2 = ВН2 + НО2;

так как ОА2=ОВ2, получим:

АК2 + КО2 = ВН2 + НО2

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Ответ: OB = 10,625

Описанная окружность треугольника и четырехугольникаЗадача 8: в ромб вписана окружность радиуса R. Найти площадь ромба, если его большая диагональ в 4 раза больше радиуса вписанной окружности.

Дано: ромб, радиус вписанной окружности – R, BD Описанная окружность треугольника и четырехугольникаr в 4 раза

Найти: Описанная окружность треугольника и четырехугольника

1. Пусть OE = R, BD = 4OE = 4R

2. Описанная окружность треугольника и четырехугольника

3. Описанная окружность треугольника и четырехугольника

4. Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Ответ:Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Описанная окружность треугольника и четырехугольникаЗадача 9: найдите площадь равнобедренной трапеции, описанной около окружности с радиусом 4, если известно, что боковая сторона трапеции равна 10.

Дано: ABCD – равнобедренная трапеция, r = 4, AB = 10

Найти: Описанная окружность треугольника и четырехугольника

1. AB = CD = 10 по условию

2. AB + CD = AD + BC по свойству вписанной окружности

3. AD + BC = 10 + 10 = 20

4. FE = 2r = 2 · 4 = 8

5. Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Ответ:Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Задача 10: внутри правильного треугольника со стороной a расположены три равные окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника и двух других окружностей. Найти площадь части треугольника, расположенной вне этих окружностей.

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

1. Пусть AB = BC = AC = a.

2. Обозначим O1E = O1K = ED = r, тогда AD = AE + ED = AE + r = Описанная окружность треугольника и четырехугольника.

3. AO1 – биссектриса угла A, следовательно, ﮮ O1AE = 30˚ и в прямоугольном ∆AO1E имеем AO1 = 2O1E = 2r и AE =Описанная окружность треугольника и четырехугольника=Описанная окружность треугольника и четырехугольника=Описанная окружность треугольника и четырехугольника. Тогда AE + r = =Описанная окружность треугольника и четырехугольника= Описанная окружность треугольника и четырехугольника, откуда Описанная окружность треугольника и четырехугольника.

4. Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Ответ: Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Описанная окружность треугольника и четырехугольникаЗадача 11: вся дуга окружности радиуса R разделена на 4 большие и 4 малые части, которые чередуются одна за другой. Большая часть в два раза длиннее малой. Определить площадь восьмиугольника, вершинами которого являются точки деления дуги окружности.

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

1. Пусть ﮮAOB = 2x, ﮮBOC = x, тогда по условию 8x + 4x = 360°, x = 30°, 2x = 60°, ﮮAOB = 60°, ﮮBOC = 30°

2. Описанная окружность треугольника и четырехугольника

3. Описанная окружность треугольника и четырехугольника

4. Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Ответ: Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Описанная окружность треугольника и четырехугольникаЗадача 12: стороны треугольника равны 12 м, 16 м и 20 м. Найдите го высоту, проведенную из вершины большего угла.

1. 202 = 122 + 162

400 = 400 верно, следовательно, ∆ АВС – прямоугольный (по теореме, обратной теореме Пифагора)

2. Описанная окружность треугольника и четырехугольника

3. Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Задача 13: в прямоугольный треугольник вписан квадрат, имеющий с ним общий угол. Найдите площадь квадрата, если катеты треугольника равны 10 м и 15 м.

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Дано: ∆ ABC – прямоугольный, AC = 15, CB = 10

Найти: Описанная окружность треугольника и четырехугольника

∆ ACB (ﮮ A – общий, ﮮ ADE = ﮮ ACB = 90°)

2. Пусть DE = DC = X, тогда AD = 15 – X

3. Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

15 · X = 150 – 10 · X

4. S кв. = 6 · 6 = 36

Описанная окружность треугольника и четырехугольникаЗадача 14: основания трапеции равны 10 м и 31 м, а боковые стороны – 20 м и 13 м. Найдите высоту трапеции.

2. Пусть BH = CK = x, AH=y, тогда KD = 21 – y

3. По теореме Пифагора:

Описанная окружность треугольника и четырехугольникаx2 + y2 = 132

Описанная окружность треугольника и четырехугольникаx2 + (21 – y)2 = 202

x2 + 441 – 42y + y2 = 400

4. По теореме Пифагора:

В процессе работы я расширил знания по теме «Вписанные и описанные окружности в треугольниках и четырехугольниках», научился решать задачи, казавшиеся ранее недоступными, систематизировал знания по этой теме, и закрепил методы решения этих задач на практике.

Так как геометрические задачи этой темы включаются во вторую часть экзаменационной работы ЕГЭ за курс средней школы, то в дальнейшем мне будет намного легче справиться с ними на ЕГЭ.

1. «Единый государственный экзамен 2006. Математика. Учебно-тренировочные материалы для подготовки учащихся/ Рособрнадзор, ИСОП – М.: Интеллект-Центр, 2006»

2. «Решение основных конкурсных задач по математике сборника под редакцией »

3. , , «Геометрия, 7 – 9: учебник для общеобразовательных учреждений»

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Описанная окружность

Окружность описанная около многоугольника — это окружность, на которой лежат все вершины многоугольника. Вписанный в окружность многоугольник — это многоугольник, все вершины которого лежат на окружности. На рисунке 1 четырехугольник АВСD вписан в окружность с центром О, а четырехугольник АЕСD не является вписанным в эту окружность, так как вершина Е не лежит на окружности.

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Теорема

Около любого треугольника можно описать окружность.

Доказательство

Дано: произвольный Описанная окружность треугольника и четырехугольникаАВС.

Доказать: около Описанная окружность треугольника и четырехугольникаАВС можно описать окружность.

Доказательство:

1. Проведем серединные перпендикуляры к сторонам Описанная окружность треугольника и четырехугольникаАВС, которые пересекутся в точке О (по свойству серединных перпендикуляров треугольника). Соединим точку О с точками А, В и С (Рис. 2).

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Точка О равноудалена от вершин Описанная окружность треугольника и четырехугольникаАВС (по теореме о серединном перпендикуляре), поэтому ОА = ОВ = ОС. Следовательно, окружность с центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника, значит, является описанной около Описанная окружность треугольника и четырехугольникаАВС. Теорема доказана.

Замечание 1

Около треугольника можно описать только одну окружность.

Доказательство

Предположим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой из них равноудален от его вершин и поэтому совпадает с точкой О пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до вершин треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают, т.е. около треугольника можно описать только одну окружность. Что и требовалось доказать.

Замечание 2

Около четырехугольника не всегда можно описать окружность.

Доказательство

Рассмотрим, например, ромб, не являющийся квадратом. Такой ромб можно «поместить» в окружность так, что две его вершины будут лежать на этой окружности (Рис. 3), но нельзя «поместить» ромб в окружность так, чтобы все его вершины лежали на окружности, т.к. диаметр окружности, равный одной из диагоналей ромба, будет больше (меньше) второй диагонали, т.е. нельзя описать окружность. Что и требовалось доказать.

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Если же около четырехугольника можно описать окружность, то его углы обладают следующим замечательным свойством:

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 0 .

Доказательство

Рассмотрим четырехугольник АВСD, вписанный в окружность (Рис. 4).

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Углы В и Dвписанные, тогда по теореме о вписанном угле: Описанная окружность треугольника и четырехугольникаВ = Описанная окружность треугольника и четырехугольникаОписанная окружность треугольника и четырехугольникаАDС, Описанная окружность треугольника и четырехугольникаD = Описанная окружность треугольника и четырехугольникаОписанная окружность треугольника и четырехугольникаАВС, откуда следует Описанная окружность треугольника и четырехугольникаВ + Описанная окружность треугольника и четырехугольникаD = Описанная окружность треугольника и четырехугольникаОписанная окружность треугольника и четырехугольникаАDС + Описанная окружность треугольника и четырехугольникаОписанная окружность треугольника и четырехугольникаАВС = Описанная окружность треугольника и четырехугольника(Описанная окружность треугольника и четырехугольникаАDС + Описанная окружность треугольника и четырехугольникаАВС). Дуги АDС и АВС вместе составляют окружность, градусная мера которой равна 360 0 , т.е. Описанная окружность треугольника и четырехугольникаАDС + Описанная окружность треугольника и четырехугольникаАВС = 360 0 , тогда Описанная окружность треугольника и четырехугольникаВ + Описанная окружность треугольника и четырехугольникаD = Описанная окружность треугольника и четырехугольникаОписанная окружность треугольника и четырехугольника360 0 = 180 0 . Что и требовалось доказать.

Верно и обратное утверждение:

Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180 0 , то около него можно описать окружность.

Доказательство

Дано: четырехугольник АВСD, Описанная окружность треугольника и четырехугольникаBАD + Описанная окружность треугольника и четырехугольникаBСD = 180 0 .

Доказать: около АВСD можно описать окружность.

Доказательство:

Проведем окружность через три вершины четырехугольника: А, В и D (Рис. 5), — и докажем, что она проходит также через вершину С, т.е. является описанной около четырехугольника АВСD.

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Предположим, что это не так. Тогда вершина С лежит либо внутри круга, либо вне его.

Рассмотрим первый случай, когда точка С лежит внутри круга (Рис. 6).

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Описанная окружность треугольника и четырехугольникаВСDвнешний угол Описанная окружность треугольника и четырехугольникаСFD, следовательно, Описанная окружность треугольника и четырехугольникаBСD = Описанная окружность треугольника и четырехугольникаВFD + Описанная окружность треугольника и четырехугольникаFDE. (1)

Углы ВFD и FDEвписанные. По теореме о вписанном угле Описанная окружность треугольника и четырехугольникаВFD = Описанная окружность треугольника и четырехугольникаОписанная окружность треугольника и четырехугольникаВАD и Описанная окружность треугольника и четырехугольникаFDE = Описанная окружность треугольника и четырехугольникаОписанная окружность треугольника и четырехугольникаЕF, тогда, подставляя данные равенства в (1), получим: Описанная окружность треугольника и четырехугольникаBСD = Описанная окружность треугольника и четырехугольникаОписанная окружность треугольника и четырехугольникаВАD + Описанная окружность треугольника и четырехугольникаОписанная окружность треугольника и четырехугольникаЕF = Описанная окружность треугольника и четырехугольника(Описанная окружность треугольника и четырехугольникаВАD + Описанная окружность треугольника и четырехугольникаЕF), следовательно, Описанная окружность треугольника и четырехугольникаВСDОписанная окружность треугольника и четырехугольникаОписанная окружность треугольника и четырехугольникаОписанная окружность треугольника и четырехугольникаВАD.

Описанная окружность треугольника и четырехугольникаBАD вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Описанная окружность треугольника и четырехугольникаBАD = Описанная окружность треугольника и четырехугольникаОписанная окружность треугольника и четырехугольникаВЕD, тогда Описанная окружность треугольника и четырехугольникаBАD + Описанная окружность треугольника и четырехугольникаBСDОписанная окружность треугольника и четырехугольникаОписанная окружность треугольника и четырехугольника(Описанная окружность треугольника и четырехугольникаВЕD + Описанная окружность треугольника и четырехугольникаВАD).

Дуги ВЕD и ВАD вместе составляют окружность, градусная мера которой равна 360 0 , т.е. Описанная окружность треугольника и четырехугольникаВЕD + Описанная окружность треугольника и четырехугольникаВАD = 360 0 , тогда Описанная окружность треугольника и четырехугольникаBАD + Описанная окружность треугольника и четырехугольникаBСDОписанная окружность треугольника и четырехугольникаОписанная окружность треугольника и четырехугольникаОписанная окружность треугольника и четырехугольника360 0 = 180 0 .

Итак, мы получили, что Описанная окружность треугольника и четырехугольникаBАD + Описанная окружность треугольника и четырехугольникаBСDОписанная окружность треугольника и четырехугольника180 0 . Но это противоречит условию Описанная окружность треугольника и четырехугольникаBАD + Описанная окружность треугольника и четырехугольникаBСD =180 0 , и, значит, наше предположение ошибочно, т.е. точка С лежит на окружности, значит, около четырехугольника АВСD можно описать окружность.

Рассмотрим второй случай, когда точка С лежит вне круга (Рис. 7).

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

По теореме о сумме углов треугольника в Описанная окружность треугольника и четырехугольникаВСF: Описанная окружность треугольника и четырехугольникаС + Описанная окружность треугольника и четырехугольникаВ + Описанная окружность треугольника и четырехугольникаF = 180 0 , откуда Описанная окружность треугольника и четырехугольникаС = 180 0 — ( Описанная окружность треугольника и четырехугольникаВ + Описанная окружность треугольника и четырехугольникаF). (2)

Описанная окружность треугольника и четырехугольникаВ вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Описанная окружность треугольника и четырехугольникаВ = Описанная окружность треугольника и четырехугольникаОписанная окружность треугольника и четырехугольникаЕF. (3)

Описанная окружность треугольника и четырехугольникаF и Описанная окружность треугольника и четырехугольникаВFD смежные, поэтому Описанная окружность треугольника и четырехугольникаF + Описанная окружность треугольника и четырехугольникаВFD = 180 0 , откуда Описанная окружность треугольника и четырехугольникаF = 180 0 — Описанная окружность треугольника и четырехугольникаВFD = 180 0 — Описанная окружность треугольника и четырехугольникаОписанная окружность треугольника и четырехугольникаВАD. (4)

Подставим (3) и (4) в (2), получим:

Описанная окружность треугольника и четырехугольникаС = 180 0 — (Описанная окружность треугольника и четырехугольникаОписанная окружность треугольника и четырехугольникаЕF + 180 0 — Описанная окружность треугольника и четырехугольникаОписанная окружность треугольника и четырехугольникаВАD) = 180 0 — Описанная окружность треугольника и четырехугольникаОписанная окружность треугольника и четырехугольникаЕF — 180 0 + Описанная окружность треугольника и четырехугольникаОписанная окружность треугольника и четырехугольникаВАD = Описанная окружность треугольника и четырехугольника(Описанная окружность треугольника и четырехугольникаВАDОписанная окружность треугольника и четырехугольникаЕF), следовательно, Описанная окружность треугольника и четырехугольникаСОписанная окружность треугольника и четырехугольникаОписанная окружность треугольника и четырехугольникаОписанная окружность треугольника и четырехугольникаВАD.

Описанная окружность треугольника и четырехугольникаА вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Описанная окружность треугольника и четырехугольникаА = Описанная окружность треугольника и четырехугольникаОписанная окружность треугольника и четырехугольникаВЕD, тогда Описанная окружность треугольника и четырехугольникаА + Описанная окружность треугольника и четырехугольникаСОписанная окружность треугольника и четырехугольникаОписанная окружность треугольника и четырехугольника(Описанная окружность треугольника и четырехугольникаВЕD + Описанная окружность треугольника и четырехугольникаВАD). Но это противоречит условию Описанная окружность треугольника и четырехугольникаА + Описанная окружность треугольника и четырехугольникаС =180 0 , и, значит, наше предположение ошибочно, т.е. точка С лежит на окружности, значит, около четырехугольника АВСD можно описать окружность. Что и требовалось доказать.

Примечание:

Окружность всегда можно описать:

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Описанные и вписанные окружности — формулы, свойства и определение с примерами решения

Содержание:

Окружность, которая касается стороны треугольника и продолжений двух других его сторон, называется вневписанной окружностью треугольника. На рисунке 146 изображен треугольник АВС и три его вневписанные окружности с центрами Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Вневписанные окружности обладают рядом интересных свойств:

1. Центры вписанной и вневписанной окружностей лежат на биссектрисе соответствующего внутреннего угла треугольника.

2. Описанная окружность треугольника и четырехугольникагде Описанная окружность треугольника и четырехугольника— радиус вписанной окружности треугольника,

3. Описанная окружность треугольника и четырехугольникагде R — радиус описанной окружности Описанная окружность треугольника и четырехугольника
Попробуйте доказать некоторые из этих свойств.

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Найдем радиус Описанная окружность треугольника и четырехугольникавневписанной окружности треугольника АВС со сторонами а, b и с (рис. 147). Для этого проведем радиусы Описанная окружность треугольника и четырехугольникаПо свойству касательной Описанная окружность треугольника и четырехугольникаИз подо­бия прямоугольных треугольников АОЕ и Описанная окружность треугольника и четырехугольника(по острому углу) следуетОписанная окружность треугольника и четырехугольникаТак как Описанная окружность треугольника и четырехугольникато Описанная окружность треугольника и четырехугольникаоткуда Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Пример:

Вычислим, используя данную формулу, радиус вневписанной окружности прямоугольного треугольника с катетами 3 и 4, которая касается гипотенузы: Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

Описанная и вписанная окружности треугольника

Определение. Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

На рисунке 90 изображена окружность с ради­усом R и центром Описанная окружность треугольника и четырехугольникаописанная около треугольни ка АВС.

Так как ОА = ОВ = ОС = R, то центр описанной окружности равноудален от вершин треугольника.

Вместо слов «окружность, описанная около треугольника АВС», также говорят «окружность, описанная вокруг треугольника АВС», или «описанная окружность треугольника АВС».

Теорема (об окружности, описанной около треугольника).
Около любого треугольника можно описать окружность, причем только одну, ее центр находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Рассмотрим произвольный треугольник АВС (рис. 91). Пусть О — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Проведем отрезки ОА, ОВ и ОС. По свойству серединного перпендикуляра ОА = ОС, ОС = ОВ. Так как точка О равноудалена от всех вершин треугольника АВС, то окружность с центром в точке О и радиусом ОА проходит через все вершины треугольника АВС, т. е. является его описанной окружностью. Единственность описанной окружности докажите самостоятельно.

Замечание. Так как все три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, то для нахождения центра описанной окружности достаточно построить точку пересечения любых двух из них.

Определение. Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

На рисунке 92 изображена окружность с цент­ром О и радиусом Описанная окружность треугольника и четырехугольникавписанная в треугольник АВС; К, М и N — точки ее касания со сторонами треугольника АВС.
Так как Описанная окружность треугольника и четырехугольникаи по свойству касательной к окружности Описанная окружность треугольника и четырехугольника Описанная окружность треугольника и четырехугольникато центр вписанной окружности равно­удален от сторон треугольника.

Вместо слов «окружность, вписанная в треугольник АВС», также говорят «вписанная окружность треугольника АВС».

Теорема (об окружности, вписанной в треугольник).
В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну, ее центр находится в точке пересечения биссектрис треугольника.

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Рассмотрим произвольный треугольник АВС (рис. 93). Пусть О — точка пересечения его биссектрис. Проведем из точки О перпендикуляры ОК, ОМ и ON соответственно к сторонам АВ, ВС и АС. По свойству биссектрисы угла ОК = ON, ON = ОМ. Окружность с центром в точке О и радиусом ОК будет проходить через точки К, М и N и касаться сторон АВ, ВС и АС в указанных точках по признаку касательной.

Следовательно, эта окружность является вписанной в треугольник АВС. Единственность вписанной окружности докажите самостоятельно.

Замечание. Так как все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, то для нахождения центра вписанной окружности достаточно построить точ­ку пересечения любых двух из них.

Теорема. Площадь треугольника можно найти по формуле Описанная окружность треугольника и четырехугольникагде Описанная окружность треугольника и четырехугольника— полупериметр треугольника, Описанная окружность треугольника и четырехугольника— радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Пусть дан треугольник АВС со сторонами Описанная окружность треугольника и четырехугольника— центр его вписанной окружности (рис. 94). Соединим отрезками точ­ку О с вершинами А, В и С. Треугольник АВС разобьется на три треугольника: Описанная окружность треугольника и четырехугольникаРадиусы Описанная окружность треугольника и четырехугольникапроведенные в точки касания, будут высотами этих тре­угольников. Площадь треугольника АВС равна сумме площадей указанных треугольников:

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Следствие:

Радиус окружности, вписанной в треугольник, можно найти по формуле

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Одной из важнейших задач данной темы является задача нахождения радиуса описанной и радиуса вписанной окружностей данного треугольника.

Пример:

Найти радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника АВС, у которого АВ = ВС = 26 см, высота ВК = 24 см
(рис. 95).

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Решение:

Способ 1 (метод подобия). Центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Проведем серединные перпендикуляры к сторонам АС и ВС, которые пересекутся в точке О — центре описанной окружности. Так как в равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой, то ВК — серединный перпендикуляр к стороне АС. Пусть МО — серединный перпендикуляр к стороне ВС. Тогда ВМ = 13 см, ВО = R -— иско­мый радиус. Поскольку Описанная окружность треугольника и четырехугольника(как прямо­угольные с общим острым углом СВК), то , Описанная окружность треугольника и четырехугольника
Описанная окружность треугольника и четырехугольникаоткуда Описанная окружность треугольника и четырехугольника
Способ 2 (тригонометрический метод). Из Описанная окружность треугольника и четырехугольника(см. рис. 95) Описанная окружность треугольника и четырехугольникаиз Описанная окружность треугольника и четырехугольникаоткуда Описанная окружность треугольника и четырехугольникаДальнейшее решение совпадает с приведенным в способе 1.

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Способ 3* (среднее пропорциональное). Продлим высоту ВК до пересечения с описанной окружностью в точке D (рис. 96). Так как центр описанной окружности равнобедренного треугольника лежит на прямой ВК (см. способ 1), то BD = 2R — диаметр данной окружности. В прямоугольном треугольнике BCD Описанная окружность треугольника и четырехугольникакак вписанный, опирающийся на диаметр) катет ВС есть среднее пропорциональное меж­ду гипотенузой BD и проекцией ВК катета ВС на гипотенузу. Поэтому Описанная окружность треугольника и четырехугольникаоткуда Описанная окружность треугольника и четырехугольника
Ответ: Описанная окружность треугольника и четырехугольникасм.
Замечание. Из решения ключевой задачи 1 следует свойство: «Центр окружно­сти, описанной около равнобедренного треугольника, лежит на его высоте, про­веденной к основанию, или на ее продолжении».

Верно и обратное утверждение: «Если центр окружности, описанной около треугольника, лежит на высоте треугольника или на ее продолжении, то этот треугольник равнобедренный».
Обратное утверждение докажите самостоятельно.

Полезно запомнить!
Если в ключевой задаче 1 боковую сторону обозначить Описанная окружность треугольника и четырехугольникаа высоту, проведенную к основанию, — Описанная окружность треугольника и четырехугольникато получится пропорция Описанная окружность треугольника и четырехугольника.
Отсюда следует удобная формула для нахождения радиуса окруж­ности, описанной около равнобедренного треугольника:

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Пример:

Найти радиус окружности, вписанной в равнобедренный тре­угольник АВС, у которого АВ = ВС = 10 см, АС = 12 см.

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Решение:

Способ 1 (метод подобия). Центр вписанной окружности находится в точке пересечения биссектрис треугольника. Проведем в треугольнике АВС биссектрисы из вершин В и С, которые пересекутся в точке О — центре вписанной окружности (рис. 97). Биссектриса ВМ, проведенная к основанию равнобедренного треугольника АВС, будет его высотой и медианой, луч СО — биссектриса угла С, Описанная окружность треугольника и четырехугольника— искомый радиус вписанной окружности. Так как AM = МС = 6 см, то из Описанная окружность треугольника и четырехугольникапо теореме Пифагора Описанная окружность треугольника и четырехугольника(см), откуда Описанная окружность треугольника и четырехугольника(см). Проведем радиус ОК в точку касания окружности со стороной Описанная окружность треугольника и четырехугольника. Из подобия прямоугольных треугольников ВКО и ВМС ( Описанная окружность треугольника и четырехугольника— общий) следует:Описанная окружность треугольника и четырехугольника. Тогда Описанная окружность треугольника и четырехугольникаОписанная окружность треугольника и четырехугольника(см).
Способ 2 (тригонометрический метод). Из Описанная окружность треугольника и четырехугольника(см. рис. 97) Описанная окружность треугольника и четырехугольника, из Описанная окружность треугольника и четырехугольника Описанная окружность треугольника и четырехугольникаоткуда Описанная окружность треугольника и четырехугольника. Дальнейшее решение совпадает с приведенным в способе 1.

Способ 3 (свойство биссектрисы треугольника). СО — биссектриса Описанная окружность треугольника и четырехугольника. Известно, что биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам. Поэтому Описанная окружность треугольника и четырехугольника‘ откуда Описанная окружность треугольника и четырехугольника= 3 (см).

Способ 4 (формула Описанная окружность треугольника и четырехугольника). Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Описанная окружность треугольника и четырехугольникаИз формулы площади треугольника Описанная окружность треугольника и четырехугольникаследует: Описанная окружность треугольника и четырехугольника
Ответ: 3 см.

Замечание. Из решения ключевой задачи 2 следует свойство: «Центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, лежит на его высоте, проведенной к основанию».

Верно и обратное утверждение: «Если центр окружности, вписанной в тре­угольник, лежит на высоте треугольника, то этот треугольник равнобедренный».

Обратное утверждение докажите самостоятельно.

Пример:

Дан равносторонний треугольник со стороной а. Найти радиус R его описанной окружности и радиус Описанная окружность треугольника и четырехугольникаего вписанной окружности.

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Решение:

Способ 1 (тригонометрический метод).Так как в равностороннем треугольнике биссектрисы являются и высотами, и медианами, то его биссектрисы лежат на серединных перпендикулярах к сторонам треугольника. Поэтому в равностороннем треугольнике центры описанной и вписанной окружностей совпадают.

Рассмотрим равносторонний треугольник АВС со стороной а, у которого высоты AM и ВК пересекаются в точке О — центре описанной и вписанной окружностей (рис. 98). Тогда ОА = OB = R — радиусы описанной, Описанная окружность треугольника и четырехугольника— радиусы вписанной окружности. Так как AM — бис­сектриса и Описанная окружность треугольника и четырехугольникаПоскольку ВК — высота и медиана, то Описанная окружность треугольника и четырехугольникаИз Описанная окружность треугольника и четырехугольника, откуда Описанная окружность треугольника и четырехугольника.
В Описанная окружность треугольника и четырехугольникакатет ОК лежит против угла в 30°, поэтому Описанная окружность треугольника и четырехугольника, Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Способ 2 (свойство медиан). Поскольку AM и ВК — медианы треугольника АВС (см. рис. 98), то по свойству медиан Описанная окружность треугольника и четырехугольникаВысоту равностороннего треугольника можно найти по формуле Описанная окружность треугольника и четырехугольника. Откуда

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Ответ: Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Полезно запомнить!

Поскольку радиус описанной окружности равностороннего треугольника Описанная окружность треугольника и четырехугольникато Описанная окружность треугольника и четырехугольникаЗначит, сторона равностороннего
треугольника в Описанная окружность треугольника и четырехугольникараз больше радиуса его описанной окружности.
Чтобы найти радиус R описанной окружности равностороннего треугольника, нужно сторону Описанная окружность треугольника и четырехугольникаразделить на Описанная окружность треугольника и четырехугольника, а чтобы найти его сторону а, нужно радиус R умножить на Описанная окружность треугольника и четырехугольника. Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Прямоугольный треугольник и его описанная и вписанная окружности

Теорема. Центр окружности, описанной около прямоугольного тре­угольника, лежит на середине гипотенузы, а ее радиус равен половине гипотенузы, т. е. Описанная окружность треугольника и четырехугольникагде с — гипотенуза.

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Проведем в прямоугольном треугольнике АВС медиану СО к гипотенузе АВ (рис. 111). Так как медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы, то ОС = ОА = ОВ.
Тогда середина гипотенузы — точка О — равноудалена от точек А, В и С и поэтому является центром описанной окружности треугольника АВС. Радиус этой окружности Описанная окружность треугольника и четырехугольникагде с — гипотенуза.
Теорема доказана.

Замечание. Также можно доказать, что серединные перпендикуляры к катетам прямоугольного треугольника пересекаются на середине гипотенузы.

Отметим, что у остроугольного треугольника центр описанной окружности лежит внутри треугольника (рис. 112, а), у тупоугольного — вне треугольника (рис. 112, б), у прямоугольного — на середине гипотенузы (рис. 112, в). Обоснуйте первые два утверждения самостоятельно.

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Теорема. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, можно найти по формуле Описанная окружность треугольника и четырехугольника, где Описанная окружность треугольника и четырехугольника— искомый радиус, Описанная окружность треугольника и четырехугольникаи Описанная окружность треугольника и четырехугольника— катеты, Описанная окружность треугольника и четырехугольника— гипотенуза треугольника.

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Рассмотрим прямоугольный треуголь­ник АВС с катетами Описанная окружность треугольника и четырехугольникаи гипотенузой Описанная окружность треугольника и четырехугольника. Пусть вписанная в треугольник окружность с центром О и радиусом Описанная окружность треугольника и четырехугольникакасается сторон треугольника в точках М, N и К (рис. 113).
Проведем радиусы в точки касания и получим: Описанная окружность треугольника и четырехугольника Описанная окружность треугольника и четырехугольникаЧетырехугольник CMON — квадрат, так как у него все углы прямые и Описанная окружность треугольника и четырехугольника. Тогда Описанная окружность треугольника и четырехугольника Описанная окружность треугольника и четырехугольникаТак как отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны между собой, то Описанная окружность треугольника и четырехугольникаНо Описанная окружность треугольника и четырехугольника, т. е. Описанная окружность треугольника и четырехугольника, откуда Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Следствие: Описанная окружность треугольника и четырехугольника где р — полупериметр треугольника.

Преобразуем формулу радиуса вписанной окружности:

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Формула Описанная окружность треугольника и четырехугольникав сочетании с формулами Описанная окружность треугольника и четырехугольникаи Описанная окружность треугольника и четырехугольникадает возможность решать многие задачи, связанные с прямоугольным треугольником, алгебраическим методом.

Пример. Дан прямоугольный треугольник, Описанная окружность треугольника и четырехугольникаНайти Описанная окружность треугольника и четырехугольника.

Решение:

Так как Описанная окружность треугольника и четырехугольникато Описанная окружность треугольника и четырехугольника
Из формулы Описанная окружность треугольника и четырехугольникаследует Описанная окружность треугольника и четырехугольника. По теореме Виета (обратной) Описанная окружность треугольника и четырехугольника— посторонний корень.
Ответ: Описанная окружность треугольника и четырехугольника= 2.

Пример:

Найти радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, у которого один из катетов равен 6, а радиус вписанной окружности равен 2.

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Решение:

Способ 1 (геометрический). Пусть в треугольнике АВС, где Описанная окружность треугольника и четырехугольника— радиус вписанной окружности (рис. 114). Проведем из центра О вписанной окружности перпендикуляры ОК, ОМ и ON к сторонам треугольника, которые будут радиусами вписанной окружности. Так как Описанная окружность треугольника и четырехугольника— квадрат, то Описанная окружность треугольника и четырехугольника
По свойству касательных Описанная окружность треугольника и четырехугольника
Тогда Описанная окружность треугольника и четырехугольникаПо теореме Пифагора

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Следовательно, Описанная окружность треугольника и четырехугольника
Радиус описанной окружности Описанная окружность треугольника и четырехугольника
Способ 2 (алгебраический). Подставив в формулу Описанная окружность треугольника и четырехугольниказначения Описанная окружность треугольника и четырехугольникаполучим Описанная окружность треугольника и четырехугольникаПо теореме Пифагора Описанная окружность треугольника и четырехугольника, т. е. Описанная окружность треугольника и четырехугольникаТогда Описанная окружность треугольника и четырехугольника
Ответ: 5.

Пример:

Гипотенуза прямоугольного треугольника Описанная окружность треугольника и четырехугольникарадиус вписанной в него окружности Описанная окружность треугольника и четырехугольникаНайти площадь треугольника.

Решение:

Способ 1 (геометрический). Пусть в Описанная окружность треугольника и четырехугольникагипотенуза АВ — = с = 18,0 — центр вписанной окружности, ОК, ОМ, ON — ее радиусы, проведенные в точки касания (рис. 115). Так как Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Описанная окружность треугольника и четырехугольника, то CMON — квадрат co стороной, равной радиусу Описанная окружность треугольника и четырехугольникавписанной окружности, Описанная окружность треугольника и четырехугольника— высота Описанная окружность треугольника и четырехугольника. Поскольку отрезки касательных, проведенных из одной точки к окруж­ности, равны между собой, то АК = AM, ВК = BN.
Отсюда Описанная окружность треугольника и четырехугольникапо катету и гипотенузе.
Площадь Описанная окружность треугольника и четырехугольникаравна сумме удвоенной площади Описанная окружность треугольника и четырехугольникаи площади квадрата CMON, т. е.

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Способ 2 (алгебраический). Из формулы Описанная окружность треугольника и четырехугольникаследует Описанная окружность треугольника и четырехугольникаОписанная окружность треугольника и четырехугольникаВозведем части равенства в квадрат: Описанная окружность треугольника и четырехугольника Описанная окружность треугольника и четырехугольникаТак как Описанная окружность треугольника и четырехугольникаи Описанная окружность треугольника и четырехугольникаОписанная окружность треугольника и четырехугольника

Способ 3 (алгебраический). Из формулы Описанная окружность треугольника и четырехугольникаследует, что Описанная окружность треугольника и четырехугольникаИз формулы Описанная окружность треугольника и четырехугольникаследует, что Описанная окружность треугольника и четырехугольника
Ответ: 40.

Реальная геометрия:

Есть два листа ДСП (древесно-стружечной плиты). Один из них имеет форму равностороннего треугольника со сторо­ной 1 м, другой — форму прямоугольного равнобедренного треугольника с катетами, равными 1 м (рис. 120). Из каждого листа необходимо вырезать по одному кругу наибольшего диаметра. Определите, из какого листа будет вырезан круг большего диаметра и каким в этом случае будет процент отходов, если известно, что площадь круга можно найти по формуле Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Видео:Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.

Вписанные и описанные четырехугольники

Определение. Окружность называется описанной около многоуголь­ника, если она проходит через все его вершины. При этом многоугольник называется вписанным в окружность.

Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон. При этом много угольник называется описанным около окружности.
Пятиугольник ABCDE (рис. 121, а) является вписанным в окружность а четырехугольник MNPK (рис. 121, б) — описанным около окружности.

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Центр описанной окружности многоугольника находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам, а центр вписанной — в точке пересечения биссектрис его углов.
Обоснуйте эти утверждения самостоятельно.

Теорема (свойство вписанного четырехугольника).
Сумма противоположных углов четырехугольника, вписанного в окружность, равна 180°.

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Пусть ABCD — четырехугольник, вписанный в окружность (рис. 122). Его углы А, В, С и D являются вписанными в окружность. Так как вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, то Описанная окружность треугольника и четырехугольникаДуги BCD и BAD дополняют друг друга до окружности, и поэтому сумма их градусных мер равна 360°. Отсюда Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Описанная окружность треугольника и четырехугольникаАналогично доказывается, что Описанная окружность треугольника и четырехугольника180°. Теорема доказана.

Теорема (признак вписанного четырехугольника).
Если сумма противоположных углов четырехугольника равна Описанная окружность треугольника и четырехугольникато около него можно описать окружность.

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Рассмотрим четырехугольник ABCD, у которого Описанная окружность треугольника и четырехугольника(рис. 123). Через вершины А, В и D проведем окружность (около любого треугольника можно описать окружность). Если бы вершина С не лежала на данной окружности, а находилась вне ее в положении Описанная окружность треугольника и четырехугольникаили внутри нее в положении Описанная окружность треугольника и четырехугольникато в первом случае угол С был бы меньше, а во втором — больше поло­вины градусной меры дуги BAD (по свойству угла между секущими и угла между пересекающимися хордами).
Тогда сумма Описанная окружность треугольника и четырехугольникане была бы равна 180°. Следовательно, вершина С лежит на данной окружности. Теорема доказана.

Замечание. Так как сумма углов четырехугольника равна 360°, то для того что­бы около четырехугольника можно было описать окружность, достаточно, чтобы сумма любой пары его противоположных углов была равна 180°.

Следствия.

1. Около параллелограмма можно описать окружность, только если этот параллелограмм — прямоугольник (рис. 124, а). Центр этой окружности лежит в точке пересечения диагоналей прямоугольника.

2. Около ромба можно описать окружность, только если этот ромб — квадрат (рис. 124, б).

3. Около трапеции можно описать окружность, только если она равнобедренная (рис. 124, в).

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Докажите эти следствия самостоятельно.

Теорема (свойство описанного четырехугольника ).
Суммы противоположных сторон описанного четырехугольника равны между собой.

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Пусть ABCD — описанный четырех­угольник, М, N, Р и К — точки касания его сторон с окружностью (рис. 125). Так как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны меж­ду собой, то AM = АК = а, ВМ = BN = b, СР = CN = с, DP = DK = d. Тогда

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

откуда AD + ВС = AB + CD.
Теорема доказана.

Следствие:

Периметр описанного четырехугольника равен удвоенной сумме длин любой пары его противоположных сторон:

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Теорема (признак описанного четырехугольника).
Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Пусть для выпуклого четырехугольника ABCD справедливо, что

Описанная окружность треугольника и четырехугольника(1)
Проведем окружность, которая касается прямых AD, АВ и ВС (рис. 126). Такая окружность существует, ее центр находится в точке пересечения биссектрис углов А и В. Если окружность не касается стороны CD, то либо прямая CD не имеет с окружностью общих точек, либо является секущей. Рассмотрим первый случай. Проведем отрезок Описанная окружность треугольника и четырехугольникакоторый касается окружности. По свойству описанного четырехугольника

Описанная окружность треугольника и четырехугольника(2)

Отняв почленно от равенства (1) равенство (2), получим Описанная окружность треугольника и четырехугольника Описанная окружность треугольника и четырехугольникачто противоречит неравенству треугольника.
Рассмотрев случай, когда прямая DC — секущая, также придем к противоре­чию (сделайте это самостоятельно). Следовательно, данная окружность касается стороны CD и в четырехугольник ABCD можно вписать окружность. Теорема доказана.

Следствия.

1. В параллелограмм можно вписать окружность, только если этот параллелограмм — ромб. Центр этой окружности лежит в точке пересечения диагоналей ромба, а ее диаметр равен высоте ромба (рис. 127, а).

2. В прямоугольник можно вписать окружность, только если этот прямоугольник — квадрат (рис. 127, б).

3. Диаметр окружности, вписанной в трапецию, равен ее высоте (рис. 127, в).
Докажите эти следствия самостоятельно.

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Для описанного многоугольника справедлива формула Описанная окружность треугольника и четырехугольника, где S — его площадь, р — полупериметр, Описанная окружность треугольника и четырехугольника— радиус вписанной окружности.

Доказательство аналогично приведенному в § 8 для треугольника. Выполните его самостоятельно, используя рисунок 128.

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Пример:

Найти радиус окружности, вписанной в ромб с периметром 24 см и острым углом, равным 45°.

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Решение:

Способ 1 (решение прямоугольного треугольника). Пусть ABCD — ромб (рис. 129), О — центр вписанной в ромб окружности. Известно, что высота ВК ромба равна диаметру EF вписанной окружности, т. е. Описанная окружность треугольника и четырехугольникаТак как у ромба все стороны равны , то Описанная окружность треугольника и четырехугольника(см).
Из прямоугольного треугольника АВК находим. что Описанная окружность треугольника и четырехугольникаоткуда Описанная окружность треугольника и четырехугольникаИскомый радиус вписанной окружности Описанная окружность треугольника и четырехугольника(см).
Способ 2 (метод площадей). Ромб — параллелограмм. По формуле площади параллелограмма Описанная окружность треугольника и четырехугольниканайдем площадь данного ромба: Описанная окружность треугольника и четырехугольникаС другой стороны , площадь ромба можно найти по формуле площади описанного многоугольника Описанная окружность треугольника и четырехугольникаПоскольку Описанная окружность треугольника и четырехугольника(см), то Описанная окружность треугольника и четырехугольникаОтсюда Описанная окружность треугольника и четырехугольника Описанная окружность треугольника и четырехугольника(см).

Ответ: Описанная окружность треугольника и четырехугольникасм.

Пример:

Окружность, вписанная в прямоугольную трапецию ABCD, где Описанная окружность треугольника и четырехугольникаделит точкой касания большую боковую сторону CD на отрезки СК = 1, KD = 4. Найти площадь трапеции (рис. 130).
Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Решение:

Способ 1. Площадь трапеции находится по формуле Описанная окружность треугольника и четырехугольникаНеобходимо найти сумму оснований и высоту трапеции. Проведем высоту Описанная окружность треугольника и четырехугольникатрапеции, проходящую через центр О вписанной окружности. По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, CF = СК = 1, DH = DK = 4. Проведем вы­соту СМ. Так как HFCM — прямоугольник (все углы прямые), то НМ = FC = 1, MD = 3. В прямо­угольном треугольнике CMD по теореме Пифагора Описанная окружность треугольника и четырехугольникаТогда Описанная окружность треугольника и четырехугольникаПо свойству описанного четырехугольника Описанная окружность треугольника и четырехугольникаОтсюда Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Способ 2*. Центр О вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов Описанная окружность треугольника и четырехугольникаи Описанная окружность треугольника и четырехугольникаТак как Описанная окружность треугольника и четырехугольникакак внутренние односторонние углы при Описанная окружность треугольника и четырехугольникаи секущей CD, то Описанная окружность треугольника и четырехугольника(рис. 131). Тогда Описанная окружность треугольника и четырехугольника— прямоугольный, радиус Описанная окружность треугольника и четырехугольникаявляется его высотой, проведенной к гипотенузе CD. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, — есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу. Поэто­му Описанная окружность треугольника и четырехугольникаили Описанная окружность треугольника и четырехугольникаВысота Описанная окружность треугольника и четырехугольникаописанной трапеции равна диаметру вписанной окружности, откуда Описанная окружность треугольника и четырехугольникаТак как по свой­ству описанного четырехугольника Описанная окружность треугольника и четырехугольникато Описанная окружность треугольника и четырехугольникаОписанная окружность треугольника и четырехугольника
Ответ: 18.
Замечание. Полезно запомнить свойство: «Боковая сторона описанной трапеции видна из центра вписанной окружности под углом 90°».

Пример:

Внутри острого угла А взята точка М, из которой опущены перпендикуляры МВ и МС на стороны угла А, Описанная окружность треугольника и четырехугольника Описанная окружность треугольника и четырехугольникаНайти величину угла ВАС (рис. 132, а).
Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Решение:

Так как в четырехугольнике АВМС сумма углов В и С равна 180°, то около него можно описать окружность. Проведем в ней хорду AM (рис. 132, б). Поскольку Описанная окружность треугольника и четырехугольникакак вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу МС, то Описанная окружность треугольника и четырехугольникаи прямоугольный треугольник АМС является равнобедренным, Описанная окружность треугольника и четырехугольникаВ прямоугольном треугольнике ABM Описанная окружность треугольника и четырехугольникаоткуда Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Окружность, вписанная в треугольник

Пример:

Окружность вписана в треугольник АВС со сторонами ВС = а, АС = Ь, АВ = с. Вывести формулу для нахождения длин отрезков, на которые точки касания окружности со сторонами делят каждую сторону треугольника.

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Решение:

Пусть К, М и N — точки касания вписанной окружности соответственно со сторонами АС, АВ и ВС треугольника АВС (рис. 140). Известно, что отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны между собой.
Тогда, если Описанная окружность треугольника и четырехугольникато Описанная окружность треугольника и четырехугольника Описанная окружность треугольника и четырехугольникаТак как АВ = AM + МВ, то Описанная окружность треугольника и четырехугольникаоткуда Описанная окружность треугольника и четырехугольникат. е. Описанная окружность треугольника и четырехугольника. После преобразований получим: Описанная окружность треугольника и четырехугольникаАналогично: Описанная окружность треугольника и четырехугольникаОписанная окружность треугольника и четырехугольникаОписанная окружность треугольника и четырехугольника
Ответ: Описанная окружность треугольника и четырехугольникаОписанная окружность треугольника и четырехугольникаОписанная окружность треугольника и четырехугольника

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Замечание. Если Описанная окружность треугольника и четырехугольника(рис. 141), то Описанная окружность треугольника и четырехугольника Описанная окружность треугольника и четырехугольника(см. c. 69). Формула радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, Описанная окружность треугольника и четырехугольника— частный случай результата задачи 1.

Описанная трапеция

Пример:

Найти площадь описанной равнобедренной трапеции с основа­ниями а и Ь.

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Решение:

Площадь трапеции можно найти по формуле Описанная окружность треугольника и четырехугольникаПусть в трапеции ABCD основания Описанная окружность треугольника и четырехугольника— боковые стороны, Описанная окружность треугольника и четырехугольника— высота (рис. 142). По свойству описанного четырехугольника АВ + CD = AD + ВС, откуда Описанная окружность треугольника и четырехугольника. Известно, что в равнобедренной трапеции Описанная окружность треугольника и четырехугольника(можно опустить высоту СК и убедиться в этом). Из прямоугольного треугольника АНВ получаем: Описанная окружность треугольника и четырехугольникаОписанная окружность треугольника и четырехугольникаОтсюда Описанная окружность треугольника и четырехугольникаОтвет: Описанная окружность треугольника и четырехугольника
Замечание. Площадь описанной равнобедренной трапеции равна произведению среднего арифметического и среднего геометрического ее оснований.

Полезно запомнить!

Для описанной равнобедренной трапеции с основаниями Описанная окружность треугольника и четырехугольникабоковой стороной с, высотой h, средней линией Описанная окружность треугольника и четырехугольникаи радиусом Описанная окружность треугольника и четырехугольникавписанной окружности (см. рис. 142) справедливы равенства:

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Дополнительные свойства и признаки вписанного четырехугольника

Теорема.
Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда угол между его стороной и диагональю равен углу между противоположной стороной и другой диагональю.
Рис. 143
Описанная окружность треугольника и четырехугольника

1. Если четырехугольник ABCD вписан в окружность (рис. 143), то Описанная окружность треугольника и четырехугольникакак вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу.

2. Докажем, что если в некотором четырехугольнике ABCD Описанная окружность треугольника и четырехугольникато около него можно описать окружность.
Опишем около треугольника ABD окружность.
В 8-м классе (В. В. Казаков. «Геометрия, 8», с. 186) было доказано свойство:

«Геометрическим местом точек плоскости, из которых данный отрезок AD виден под углом а, является объединение двух дуг окружностей: дуги ABD и ей симметричной относительно прямой AD, исключая точки Описанная окружность треугольника и четырехугольника» . Данное свойство гарантирует, что вершины всех углов, равных углу ABD и лежащих по одну сторону от прямой AD, расположены на дуге ABD окружности. Поэтому окружность, описанная около треугольника ABD, пройдет и через вершину С. Теорема доказана.

Обобщенная теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике Описанная окружность треугольника и четырехугольникапроведена высота СН, которая делит его на треугольники АСН и СВН, подобные между собой и подобные треугольнику Описанная окружность треугольника и четырехугольника(рис. 148). Тогда теорема Пифагора Описанная окружность треугольника и четырехугольникаможет звучать так: сумма квадратов гипотенуз Описанная окружность треугольника и четырехугольникатреугольников СВН и АСН равна квадрату гипотенузы треугольника АВС. И вообще, если Описанная окружность треугольника и четырехугольника— соответствующие линейные элемен­ты Описанная окружность треугольника и четырехугольникато можно сформулировать обобщенную теорему Пифагора:
Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Действительно, из подобия указанных треугольников Описанная окружность треугольника и четырехугольникаоткуда Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Пример:

Пусть Описанная окружность треугольника и четырехугольника(см. рис. 148). Найдем Описанная окружность треугольника и четырехугольникаПо обобщенной теореме Пифагора Описанная окружность треугольника и четырехугольникаотсюда Описанная окружность треугольника и четырехугольника
Ответ: Описанная окружность треугольника и четырехугольника= 39.

Формула Эйлера для окружностей

Для вписанной и описанной окружностей треугольника с радиусами Описанная окружность треугольника и четырехугольникаи расстоянием d между их центрами (рис. 149) справедлива формула Эйлера

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Проверим справедливость этой формулы на примере равнобедренного треугольника АВС, у которого АВ = ВС = 10, АС = 12 (рис. 150).

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Вначале найдем расстояние между центрами указанных окружностей традиционным способом.

Проведем высоту ВН, длина которой будет равна 8 (пифагорова тройка 6, 8, 10). Центры описанной и вписанной окружностей — соответственно точки Описанная окружность треугольника и четырехугольника, и Описанная окружность треугольника и четырехугольника— лежат на прямой ВН (свойство равнобедренного треугольника). ТогдаОписанная окружность треугольника и четырехугольника— расстояние между указанными центрами. Для нахождения радиуса описанной окружности воспользуемся формулой Описанная окружность треугольника и четырехугольникагде b — боковая сторона, Описанная окружность треугольника и четырехугольника— высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника. Получим Описанная окружность треугольника и четырехугольникаРадиус вписанной окружности Описанная окружность треугольника и четырехугольникаТак как Описанная окружность треугольника и четырехугольникато Описанная окружность треугольника и четырехугольникаИскомое расстояние Описанная окружность треугольника и четырехугольника
А теперь найдем d по формуле Эйлера: Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Описанная окружность треугольника и четырехугольникаоткуда Описанная окружность треугольника и четырехугольникаКак видим, формула Эйлера достаточно эффективна.

Запомнить:

  1. Центр описанной окружности треугольника (многоугольника) лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.
  2. Центр вписанной окружности треугольника (многоугольника) лежит в точке пересечения биссектрис его углов.
  3. Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы, а ее радиус равен половине гипотенузы: Описанная окружность треугольника и четырехугольника
  4. Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника находится по формуле Описанная окружность треугольника и четырехугольника
  5. Если четырехугольник вписан в окружность, то суммы его противополож­ных углов равны 180°. И обратно.
  6. Если четырехугольник описан около окружности, то суммы его противопо­ложных сторон равны между собой. И обратно.
  7. Площадь треугольника и описанного многоугольника можно найти по формуле Описанная окружность треугольника и четырехугольникагде Описанная окружность треугольника и четырехугольника— полупериметр, Описанная окружность треугольника и четырехугольника— радиус вписанной окружности.

Справочная информация по описанной и вписанной окружности треугольника

Определение. Окружность называют описанной около треугольника, если она проходит через все вершины этого треугольника.

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

На рисунке 298 изображена окружность, описанная около треугольника. В этом случае также говорят, что треугольник вписан в окружность. Очевидно, что центр описанной окружности треугольника равноудален от всех его вершин. На рисунке 298 точка Описанная окружность треугольника и четырехугольника— центр окружности, описанной около треугольника Описанная окружность треугольника и четырехугольника, поэтому Описанная окружность треугольника и четырехугольника.

Теорема 21.1. Вокруг любого треугольника можно описать окружность.

Доказательство: Для доказательства достаточно показать, что для любого треугольника Описанная окружность треугольника и четырехугольникасуществует точка Описанная окружность треугольника и четырехугольника, равноудаленная от всех его вершин. Тогда точка Описанная окружность треугольника и четырехугольникабудет центром описанной окружности, а отрезки Описанная окружность треугольника и четырехугольника, Описанная окружность треугольника и четырехугольникаи Описанная окружность треугольника и четырехугольника— ее радиусами.

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

На рисунке 299 изображен произвольный треугольник Описанная окружность треугольника и четырехугольника. Проведем серединные перпендикуляры Описанная окружность треугольника и четырехугольникаи Описанная окружность треугольника и четырехугольникасторон Описанная окружность треугольника и четырехугольникаи Описанная окружность треугольника и четырехугольникасоответственно. Пусть точка Описанная окружность треугольника и четырехугольника— точка пересечения этих прямых. Поскольку точка Описанная окружность треугольника и четырехугольникапринадлежит серединному перпендикуляру Описанная окружность треугольника и четырехугольника, то Описанная окружность треугольника и четырехугольника. Так как точка Описанная окружность треугольника и четырехугольникапринадлежит серединному перпендикуляру Описанная окружность треугольника и четырехугольника, то Описанная окружность треугольника и четырехугольника. Значит, Описанная окружность треугольника и четырехугольникаОписанная окружность треугольника и четырехугольника, т. е. точка Описанная окружность треугольника и четырехугольникаравноудалена от всех вершин треугольника.

Заметим, что вокруг треугольника можно описать только одну окружность. Это следует из того, что серединные перпендикуляры Описанная окружность треугольника и четырехугольникаи Описанная окружность треугольника и четырехугольника(рис. 299) имеют только одну точку пересечения. Следовательно, существует только одна точка, равноудаленная от всех вершин треугольника.

Следствие 1. Три серединных перпендикуляра сторон треугольника пересекаются в одной точке.

Следствие 2. Центр описанной окружности треугольника — это точка пересечения серединных перпендикуляров его сторон.

Определение. Окружность называют вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

На рисунке 300 изображена окружность, вписанная в треугольник. В этом случае также говорят, что треугольник описан около окружности.

Точка Описанная окружность треугольника и четырехугольника(рис. 300) — центр вписанной окружности треугольника Описанная окружность треугольника и четырехугольника, отрезки Описанная окружность треугольника и четырехугольника, Описанная окружность треугольника и четырехугольника, Описанная окружность треугольника и четырехугольника— радиусы, проведенные в точки касания, Описанная окружность треугольника и четырехугольника. Понятно, что центр вписанной окружности треугольника равноудален от всех его сторон.

Теорема 21.2. В любой треугольник можно вписать окружность.

Доказательство: Для доказательства достаточно показать, что для любого треугольника Описанная окружность треугольника и четырехугольникасуществует точка Описанная окружность треугольника и четырехугольника, удаленная от каждой его стороны на некоторое расстояние г. Тогда в силу следствия из теоремы 20.4 точка Описанная окружность треугольника и четырехугольникабудет центром окружности радиуса г, которая касается сторон Описанная окружность треугольника и четырехугольника.

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

На рисунке 301 изображен произвольный треугольник Описанная окружность треугольника и четырехугольника. Проведем биссектрисы углов Описанная окружность треугольника и четырехугольникаи Описанная окружность треугольника и четырехугольника, Описанная окружность треугольника и четырехугольника— точка их пересечения. Так как точка Описанная окружность треугольника и четырехугольникапринадлежит биссектрисе угла Описанная окружность треугольника и четырехугольника, то она равноудалена от сторон Описанная окружность треугольника и четырехугольникаи Описанная окружность треугольника и четырехугольника(теорема 19.2). Аналогично, так как точка Описанная окружность треугольника и четырехугольникапринадлежит биссектрисе угла Описанная окружность треугольника и четырехугольника, то она равноудалена от сторон Описанная окружность треугольника и четырехугольникаи Описанная окружность треугольника и четырехугольника. Следовательно, точка Описанная окружность треугольника и четырехугольникаравноудалена от всех сторон треугольника.

Заметим, что в треугольник можно вписать только одну окружность. Это следует из того, что биссектрисы углов Описанная окружность треугольника и четырехугольникаи Описанная окружность треугольника и четырехугольника(рис. 301) пересекаются только в одной точке. Следовательно, существует только одна точка, равноудаленная от сторон треугольника.

Следствие 1. Биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке.

Следствие 2. Центр вписанной окружности треугольника — это точка пересечения его биссектрис.

Докажите, что радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, определяется по формуле Описанная окружность треугольника и четырехугольника, где Описанная окружность треугольника и четырехугольника— радиус вписанной окружности, Описанная окружность треугольника и четырехугольникаи Описанная окружность треугольника и четырехугольника— катеты, Описанная окружность треугольника и четырехугольника— гипотенуза.

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Решение:

В треугольнике Описанная окружность треугольника и четырехугольника(рис. 302) Описанная окружность треугольника и четырехугольника, Описанная окружность треугольника и четырехугольника, Описанная окружность треугольника и четырехугольника, Описанная окружность треугольника и четырехугольника, точка Описанная окружность треугольника и четырехугольника— центр вписанной окружности, Описанная окружность треугольника и четырехугольника, Описанная окружность треугольника и четырехугольникаи Описанная окружность треугольника и четырехугольника— точки касания вписанной окружности со сторонами Описанная окружность треугольника и четырехугольника, Описанная окружность треугольника и четырехугольникаи Описанная окружность треугольника и четырехугольникасоответственно.

Отрезок Описанная окружность треугольника и четырехугольника— радиус окружности, проведенный в точку касания. Тогда Описанная окружность треугольника и четырехугольника.

Так как точка Описанная окружность треугольника и четырехугольника— центр вписанной окружности, то Описанная окружность треугольника и четырехугольника— биссектриса угла Описанная окружность треугольника и четырехугольникаи Описанная окружность треугольника и четырехугольника. Тогда Описанная окружность треугольника и четырехугольника— равнобедренный прямоугольный, Описанная окружность треугольника и четырехугольника. Используя свойство отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки, получаем:

Описанная окружность треугольника и четырехугольника

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Плоские и пространственные фигуры
  • Взаимное расположение точек и прямых
  • Сравнение и измерение отрезков и углов
  • Первый признак равенства треугольников
  • Треугольники и окружность
  • Площадь треугольника
  • Соотношения между сторонами и углами произвольного треугольника
  • Окружность и круг

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

📸 Видео

Описанная и вписанная окружности четырехугольника - 8 класс геометрияСкачать

Описанная и вписанная окружности четырехугольника - 8 класс геометрия

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминания

Вписанные четырехугольники. 9 класс.Скачать

Вписанные четырехугольники. 9 класс.

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Урок 2. Описанная окружность около четырехугольника. Задача из ОГЭ| Подобные треугольникиСкачать

Урок 2. Описанная окружность около четырехугольника. Задача из ОГЭ| Подобные треугольники

ГЕОМЕТРИЯ ОГЭ ЕГЭ. ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕСкачать

ГЕОМЕТРИЯ ОГЭ ЕГЭ. ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ

Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

Построить описанную окружность (Задача 1)

Описанная и вписанная окружности треугольника - 7 класс геометрияСкачать

Описанная и вписанная окружности треугольника - 7 класс геометрия

8 класс, 38 урок, Вписанная окружностьСкачать

8 класс, 38 урок, Вписанная окружность

ОПИСАННЫЕ И ВПИСАННЫЕ ОКРУЖНОСТИ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА . §10 геометрия 8 классСкачать

ОПИСАННЫЕ И ВПИСАННЫЕ ОКРУЖНОСТИ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА . §10 геометрия 8 класс

свойства вписанного и описанного четырехугольника #SHORTSСкачать

свойства вписанного и описанного четырехугольника #SHORTS

ОПИСАННАЯ и ВПИСАННАЯ окружности. §21 геометрия 7 классСкачать

ОПИСАННАЯ и  ВПИСАННАЯ окружности. §21 геометрия 7 класс

8 класс Геометрия. Окружность вписанная в четырехугольник и описанная около четырехугольника Урок #4Скачать

8 класс Геометрия. Окружность вписанная в четырехугольник и описанная около четырехугольника Урок #4

Радиус описанной окружностиСкачать

Радиус описанной окружности
Поделиться или сохранить к себе: