Как отмечать точки на окружности тригонометрия

Числовая окружность

В этой статье мы очень подробно разберем определение числовой окружности, узнаем её главное свойство и расставим числа 1,2,3 и т.д. Про то, как отмечать другие числа на окружности (например, (frac, frac, frac, 10π, -frac)) разбирается в этой статье .

Числовой окружностью называют окружность единичного радиуса, точки которой соответствуют действительным числам , расставленным по следующим правилам:

1) Начало отсчета находится в крайней правой точке окружности;

2) Против часовой стрелки — положительное направление; по часовой – отрицательное;

3) Если в положительном направлении отложить на окружности расстояние (t), то мы попадем в точку со значением (t);

4) Если в отрицательном направлении отложить на окружности расстояние (t), то мы попадем в точку со значением (–t).

Как отмечать точки на окружности тригонометрия

Почему окружность называется числовой?
Потому что на ней обозначаются числа. В этом окружность похожа на числовую ось – на окружности, как и на оси, для каждого числа есть определенная точка.

Как отмечать точки на окружности тригонометрия Как отмечать точки на окружности тригонометрия

Зачем знать, что такое числовая окружность?
С помощью числовой окружности определяют значение синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов. Поэтому для знания тригонометрии и сдачи ЕГЭ на 60+ баллов, обязательно нужно понимать, что такое числовая окружность и как на ней расставить точки.

Что в определении означают слова «…единичного радиуса…»?
Это значит, что радиус этой окружности равен (1). И если мы построим такую окружность с центром в начале координат, то она будет пересекаться с осями в точках (1) и (-1).

Как отмечать точки на окружности тригонометрия

Ее не обязательно рисовать маленькой, можно изменить «размер» делений по осям, тогда картинка будет крупнее (см. ниже).

Почему радиус именно единица? Так удобнее, ведь в этом случае при вычислении длины окружности с помощью формулы (l=2πR) мы получим:

Длина числовой окружности равна (2π) или примерно (6,28).

А что значит «…точки которой соответствуют действительным числам»?
Как говорили выше, на числовой окружности для любого действительного числа обязательно найдется его «место» — точка, которая соответствует этому числу.

Зачем определять на числовой окружности начало отсчета и направления?
Главная цель числовой окружности — каждому числу однозначно определить свою точку. Но как можно определить, где поставить точку, если неизвестно откуда считать и куда двигаться?

Как отмечать точки на окружности тригонометрия

Тут важно не путать начало отсчета на координатной прямой и на числовой окружности – это две разные системы отсчета! А так же не путайте (1) на оси (x) и (0) на окружности – это точки на разных объектах.

Видео:Как искать точки на тригонометрической окружности.Скачать

Как искать точки на тригонометрической окружности.

Какие точки соответствуют числам (1), (2) и т.д?

Помните, мы приняли, что у числовой окружности радиус равен (1)? Это и будет нашим единичным отрезком (по аналогии с числовой осью), который мы будем откладывать на окружности.

Чтобы отметить на числовой окружности точку соответствующую числу 1, нужно от 0 пройти расстояние равное радиусу в положительном направлении.

Как отмечать точки на окружности тригонометрия

Чтобы отметить на окружности точку соответствующую числу (2), нужно пройти расстояние равное двум радиусам от начала отсчета, чтобы (3) – расстояние равное трем радиусам и т.д.

Как отмечать точки на окружности тригонометрия

При взгляде на эту картинку у вас могут возникнуть 2 вопроса:
1. Что будет, когда окружность «закончится» (т.е. мы сделаем полный оборот)?
Ответ: пойдем на второй круг! А когда и второй закончится, пойдем на третий и так далее. Поэтому на окружность можно нанести бесконечное количество чисел.

Как отмечать точки на окружности тригонометрия

2. Где будут отрицательные числа?
Ответ: там же! Их можно так же расставить, отсчитывая от нуля нужное количество радиусов, но теперь в отрицательном направлении.

Как отмечать точки на окружности тригонометрия

К сожалению, обозначать на числовой окружности целые числа затруднительно. Это связано с тем, что длина числовой окружности будет равна не целому числу: (2π). И на самых удобных местах (в точках пересечения с осями) тоже будут не целые числа, а доли числа (π) : ( frac),(-frac),(frac), (2π). Поэтому при работе с окружностью чаще используют числа с (π). Обозначать такие числа гораздо проще (как это делается можете прочитать в этой статье ).

Как отмечать точки на окружности тригонометрия

Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ - Единичная Окружность // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ - Единичная Окружность // Подготовка к ЕГЭ по Математике

Главное свойство числовой окружности

Одному числу на числовой окружности соответствует одна точка, но одной точке соответствует множество чисел.

Как отмечать точки на окружности тригонометрия

Такая вот математическая полигамия.

И следствие из этого правила:

Все значения одной точки на числовой окружности можно записать с помощью формулы:

Если хотите узнать логику этой формулы, и зачем она нужна, посмотрите это видео .

В данной статье мы рассмотрели только теорию о числовой окружности, о том как расставляются точки на числовой и окружности и принципе, как с ней работать вы можете прочитать здесь .

Что надо запомнить про числовую окружность:

Видео:Тригонометрическая окружность. Как выучить?Скачать

Тригонометрическая окружность. Как выучить?

Тригонометрический круг: вся тригонометрия на одном рисунке

Тригонометрический круг — это самый простой способ начать осваивать тригонометрию. Он легко запоминается, и на нём есть всё необходимое.
Тригонометрический круг заменяет десяток таблиц.

  • Как отмечать точки на окружности тригонометрия

Вот что мы видим на этом рисунке:

  • Перевод градусов в радианы и наоборот. Полный круг содержит градусов, или радиан.
  • Значения синусов и косинусов основных углов. Помним, что значение косинуса угла мы находим на оси , а значение синуса — на оси .
  • И синус, и косинус принимают значения от до .
  • Значение тангенса угла тоже легко найти — поделив на . А чтобы найти котангенс — наоборот, косинус делим на синус.
  • Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
  • Синус — функция нечётная, косинус — чётная.
  • Тригонометрический круг поможет увидеть, что синус и косинус — функции периодические. Период равен .
  • Видео:Тригонометрия. Часть 1. Как отмечать точки на единичной окружности.Скачать

    Тригонометрия. Часть 1. Как отмечать точки на единичной окружности.

    А теперь подробно о тригонометрическом круге:

    Нарисована единичная окружность — то есть окружность с радиусом, равным единице, и с центром в начале системы координат. Той самой системы координат с осями и , в которой мы привыкли рисовать графики функций.

    Мы отсчитываем углы от положительного направления оси против часовой стрелки.

    Полный круг — градусов.
    Точка с координатами соответствует углу ноль градусов. Точка с координатами отвечает углу в , точка с координатами — углу в . Каждому углу от нуля до градусов соответствует точка на единичной окружности.

    Косинусом угла называется абсцисса (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .

    Синусом угла называется ордината (то есть координата по оси ) точки на единичной окружности, соответствущей данному углу .

    Всё это легко увидеть на нашем рисунке.

    Итак, косинус и синус — координаты точки на единичной окружности, соответствующей данному углу. Косинус — абсцисса , синус — ордината . Поскольку окружность единичная, для любого угла и синус, и косинус находятся в пределах от до :

    Простым следствием теоремы Пифагора является основное тригонометрическое тождество:

    Для того, чтобы узнать знаки синуса и косинуса какого-либо угла, не нужно рисовать отдельных таблиц. Всё уже нарисовано! Находим на нашей окружности точку, соответствующую данному углу , смотрим, положительны или отрицательны ее координаты по (это косинус угла ) и по (это синус угла ).

    Принято использовать две единицы измерения углов: градусы и радианы. Перевести градусы в радианы просто: градусов, то есть полный круг, соответствует радиан. На нашем рисунке подписаны и градусы, и радианы.

    Если отсчитывать угол от нуля против часовой стрелки — он положительный. Если отсчитывать по часовой стрелке — угол будет отрицательным. Например, угол — это угол величиной в , который отложили от положительного направления оси по часовой стрелке.

    Легко заметить, что

    Углы могут быть и больше градусов. Например, угол — это два полных оборота по часовой стрелке и еще . Поскольку, сделав несколько полных оборотов по окружности, мы возвращаемся в ту же точку с теми же координатами по и по , значения синуса и косинуса повторяются через . То есть:

    где — целое число. То же самое можно записать в радианах:

    Можно на том же рисунке изобразить ещё и оси тангенсов и котангенсов, но проще посчитать их значения. По определению,

    Видео:Изобразить на единичной окружности точку.Скачать

    Изобразить на единичной окружности точку.

    Тригонометрические уравнения

    Как отмечать точки на окружности тригонометрияРешение простейших тригонометрических уравнений

    Градусы и радианы

    Знакомство с тригонометрической окружностью

    Повороты на тригонометрической окружности

    Как много боли связано со словом тригонометрия. Эта тема появляется в 9 классе и уже никуда не исчезает. Тяжело приходится тем, кто чего-то не понял сразу. Попробуем это исправить, чтобы осветить ваше лицо улыбкой при слове тригонометрия или хотя бы добиться «poker face».

    Начнем с того, что как длину можно выразить в метрах или милях, так и угол можно выразить в радианах или градусах .

    1 радиан = 180/π ≈ 57,3 градусов

    Но проще запомнить целые числа: 3,14 радиан = 180 градусов. Это все одно и то же значение числа π.

    Вспомним, что если нас просят развернуться, то нам нужно повернуться на 180 градусов, а теперь можно так же сказать: Повернись на π!

    Как отмечать точки на окружности тригонометрия

    О графиках синуса, косинуса и тангеса поговорим в другой статье.

    А сейчас начем с декартовой (прямоугольной) системы координат.

    Раньше она помогала строить графики, а теперь поможет с синусом и косинусом.

    Как отмечать точки на окружности тригонометрия

    На пересечении оси Х и оси Y построим единичную (радиус равен 1) окружность:

    Как отмечать точки на окружности тригонометрия

    Тогда ось косинусов будет совпадать с х, ось синусов с y. Оси тангенсов и котангенсов также показаны на рисунке.

    А теперь отметим основные значения градусов и радиан на окружности.

    Давай договоримся с тобой, как взрослые люди: на окружности мы будем отмечать угол в радианах, то есть через Пи.

    Достаточно запомнить, что π = 180° (тогда π/6 = 180/6 = 30°; π/3 = 180/3 = 60°; π/4 = 180/4 = 45°).

    Как отмечать точки на окружности тригонометрия

    А теперь давай покрутимся на окружности! За начало отчета принято брать крайнюю правую точку окружности (где 0°):

    Как отмечать точки на окружности тригонометрия

    От нее задаем дальнейший поворот. Вращаться можем как в положительную сторону (против часовой), так и в отрицательную сторону (по часовой стрелке).

    Повернуться на 45° можно двумя спобами: через левое плечо на 45° в (+) сторону, либо через правое плечо на 315° в (-).

    Как отмечать точки на окружности тригонометрия

    Главное — направление, куда мы будем смотреть, а не угол!

    Как отмечать точки на окружности тригонометрия

    Нужно направить пунктир на 100 баллов, а сколько оборотов и в какую сторону вокруг себя мы сделаем — без разницы!

    Получить 100 баллов можно поворотом на 135° или 360°+135°, или -225°, или -225°-360°.

    А теперь у тебя есть два пути:

    Как отмечать точки на окружности тригонометрия

    Выучить всю окружность (тригонометр). Неплохой вариант, если с памятью у тебя все отлично, и ничего не вылетит из головы в ответственный момент:

    Как отмечать точки на окружности тригонометрия

    А можно запомнить несколько табличных углов и соответствующие им значения, а потом использовать их.

    Как отмечать точки на окружности тригонометрия

    Находите равные углы (вертикальные, соответственные) на тригонометрической окружности. Попасть в любую точку можно с помощью суммы или разности двух табличных значений.

    Как отмечать точки на окружности тригонометрия

    Сразу попробуем разобрать на примере:

    1) Помним, что ось cos(x) — это горизонтальная ось. На ней отмечаем значение ½ и проводим перпендикулярную (фиолетовую) прямую до пересечений с окружностью.

    Как отмечать точки на окружности тригонометрия

    2) Получили две точки пересечения с окружностью, значение этих углов и будет решением уравнения.

    Дело за малым — найти эти углы.

    Лучше обойтись «малой кровью» и выучить значение синуса и косинуса для углов от 30° до 60°.

    Как отмечать точки на окружности тригонометрия

    Или запомнить такой прием:

    Как отмечать точки на окружности тригонометрия

    Пронумеруй пальцы от 0 до 4 от мизинца до большого. Угол задается между мизинцем и любым другим пальцем (от 0 до 90).

    Например, требуется найти sin(π/2) : π/2 — это большой палец, n = 4 подставляем в формулу для синуса: sin(π/2) = √4/2 = 1 => sin(π/2) = 1.

    cos(π/4) — ? π/4 соответсвует среднему пальцу (n = 2) => cos(π/4) = √2/2.

    Как отмечать точки на окружности тригонометрия

    При значении cos(x) = ½ из таблицы или с помощью мнемонического правила находим x = 60° (первая точка x = +π/3 из-за того, что поворот происходил против часовой стерелки (+), угол показан черной дугой).

    Вторая же точка соответствует точно такому же углу, только поворот будет по часовой стрелке (−). x = −π/3 (угол показан нижней черной дугой).

    И последнее, прежде чем тебе, наконец, откроются тайные знания тригонометрии:

    Когда требуется попасть в «100 баллов», мы можем в них попасть с помощью поворота на . =-225°=135°=495°=.

    Как отмечать точки на окружности тригонометрия

    То же самое и здесь! Разные углы могут отражать одно и то же направление.

    Абсолютно точно можно сказать, что нужно повернуться на требуемый угол, а дальше можно поворачиваться на 360° = 2π (синим цветом) сколько угодно раз и в любом направлении.

    Таким образом, попасть в первое направление 60° можно: . 60°-360°, 60°, 60°+360°.

    Как отмечать точки на окружности тригонометрия

    И как записать остальные углы, не записывать же бесконечное количество точек? (Хотел бы я на это посмотреть☻)

    Поэтому правильно записать ответ: x = 60 + 360n, где n — целое число (n∈Ζ) (поворачиваемся на 60 градусов, а после кружимся сколько угодно раз, главное, чтобы направление осталось тем же). Аналогично x = −60 + 360n.

    Но мы же договорились, что на окружности все записывают через π, поэтому cos(x) = ½ при x = π/3 + 2πn, n∈Ζ и x = −π/3 + 2πk, k∈Ζ.

    Ответ: x = π/3 + 2πn, x= − π/3 + 2πk, (n, k) ∈Ζ.

    Пример №2. 2sinx = √2

    Первое, что следует сделать, это перенести 2-ку вправо => sinx=√2/2

    1) sin(x) совпадает с осью Y. На оси sin(x) отмечаем √2/2 и проводим ⊥ фиолетовую прямую до пересечений с окружностью.

    Как отмечать точки на окружности тригонометрия

    2) Из таблицы sinx = √2/2 при х = π/4, а вторую точку будем искать с помощью поворота до π, а затем нужно вернуться обратно на π/4.

    Поэтому вторая точка будет x = π − π/4 = 3π/4, в нее также можно попасть и с помощью красных стрелочек или как-то по-другому.

    И еще не забудем добавить +2πn, n∈Ζ.

    Ответ: 3π/4 + 2πn и π/4 + 2πk, k и n − любые целые числа.

    Пример №3. tg(x + π/4) = √3

    Вроде все верно, тангенс равняется числу, но смущает π/4 в тангенсе. Тогда сделаем замену: y = x + π/4.

    tg(y) = √3 выглядит уже не так страшно. Вспомним, где ось тангенсов.

    1) А теперь на оси тангенсов отметим значение √3, это выше чем 1.

    Как отмечать точки на окружности тригонометрия

    2) Проведем фиолетовую прямую через значение √3 и начало координат. Опять на пересечении с окружностью получается 2 точки.

    По мнемоническому правилу при тангенсе √3 первое значение — это π/3.

    3) Чтобы попасть во вторую точку, можно к первой точке (π/3) прибавить π => y = π/3 + π = 4π/3.

    Как отмечать точки на окружности тригонометрия

    4) Но мы нашли только y , вернемся к х. y = π/3 + 2πn и y = x + π/4, тогда x + π/4 = π/3 + 2πn => x = π/12 + 2πn, n∈Ζ.

    Второй корень: y = 4π/3 + 2πk и y = x + π/4, тогда x + π/4 = 4π/3 + 2πk => x = 13π/12 + 2πk, k∈Ζ.

    Теперь корни на окружности будут здесь:

    Как отмечать точки на окружности тригонометрия

    Ответ: π/12 + 2πn и 13π/12 + 2πk, k и n — любые целые числа.

    Конечно, эти два ответа можно объединить в один. От 0 поворот на π/12, а дальше каждый корень будет повторяться через каждый π (180°).

    Ответ можно записать и так: π/12 + πn, n∈Ζ.

    Пример №4: −10ctg(x) = 10

    Перенесем (−10) в другую часть: ctg(x) = −1. Отметим значение -1 на оси котангенсов.

    1) Проведем прямую через эту точку и начало координат.

    Как отмечать точки на окружности тригонометрия

    2) Придется опять вспомнить, когда деление косинуса на синус даст еденицу (это получается при π/4). Но здесь −1, поэтому одна точка будет −π/4. А вторую найдем поворотом до π, а потом назад на π/4 (π − π/4).

    Как отмечать точки на окружности тригонометрия

    Можно это сделать по-другому (красным цветом), но мой вам совет: всегда отсчитывайте от целых значений пи (π, 2π, 3π. ) так намного меньше шансов запутаться.

    Не забываем добавить к каждой точке 2πk.

    Ответ: 3π/4 + 2πn и −π/4 + 2πk, k и n — любые целые числа.

    Алгоритм решения тригонометрических уравнений (на примере cos(x) = − √ 3/2) :

    1. Отмечаем значение (−√3/2) на оси тригонометрической функции (косинусов, это ось Х).
    2. Проводим перпендикулярную прямую оси (косинусов) до пересечений с окружностью.
    3. Точки пересечения с окружностью и будут являться корнями уравнения.
    4. Значение одной точки (без разницы, как в нее попадете) +2πk.

    Азов достаточно, прежде чем идти дальше закрепите полученные знания.

    🎬 Видео

    10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать

    10 класс, 11 урок, Числовая окружность

    Как найти координаты точек на тригонометрической окружностиСкачать

    Как найти координаты точек на тригонометрической окружности

    Как запомнить тригонометрический круг специально ничего не выучивая?Скачать

    Как запомнить тригонометрический круг специально ничего не выучивая?

    Как видеть тангенс? Тангенс угла с помощью единичного круга.Скачать

    Как видеть тангенс? Тангенс угла с помощью единичного круга.

    Алгебра 10 класс. 20 сентября. Числовая окружность #6 координаты точекСкачать

    Алгебра 10 класс. 20 сентября. Числовая окружность #6 координаты точек

    Отбор корней по окружностиСкачать

    Отбор корней по окружности

    3,5 способа отбора корней в тригонометрии | ЕГЭ по математике | Эйджей из ВебиумаСкачать

    3,5 способа отбора корней в тригонометрии | ЕГЭ по математике | Эйджей из Вебиума

    Выборка с помощью окружностиСкачать

    Выборка с помощью окружности

    10 класс, 12 урок, Числовая окружность на координатной плоскостиСкачать

    10 класс, 12 урок, Числовая окружность на координатной плоскости

    Задание №13. Как отбирать корни в тригонометрической окружности? 🤔Скачать

    Задание №13. Как отбирать корни в тригонометрической окружности? 🤔

    Алгебра 10 класс Поворот точки вокруг начала координат ЛекцияСкачать

    Алгебра 10 класс Поворот точки вокруг начала координат Лекция

    Радианная Мера Угла - Как Переводить Градусы в Радианы // Урок Алгебры 10 классСкачать

    Радианная Мера Угла - Как Переводить Градусы в Радианы // Урок Алгебры 10 класс

    🔴 ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ (Тригонометрическая Окружность на ЕГЭ 2024 по математике)Скачать

    🔴 ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ (Тригонометрическая Окружность на ЕГЭ 2024 по математике)

    Отбор корней по окружностиСкачать

    Отбор корней по окружности

    Алгебра 10 класс. 2 октября. Тангенс и котангенс на окружностиСкачать

    Алгебра 10 класс. 2 октября. Тангенс и котангенс на окружности
    Поделиться или сохранить к себе: