Окружность вписанная в трапецию касается боковых сторон

Условие

Окружность, вписанная в трапецию ABCD, касается ее боковых сторон АВ и CD в точках М и N соответственно. Известно, что АМ=8МВ и DN=2CN.

а) Докажите, что AD=4BC.

б) Найдите длину отрезка MN, если радиус окружности равен sqrt(6)

Решение

а)
Пусть ВМ=х, тогда АМ=8х
СN=y, тогда DN=2y
По свойству касательной, проведенной к окружности из одной точки, отрезки касательных равны.
Поэтому
ВМ=ВК=x
СN=CK=y
AM=AP=8x
DN=DP=2y

Сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, равна 180 градусов.
Биссектрисы АО и ВО делят углы А и В пополам, значит сумма острых углов треугольника АОВ равна 90 градусов.
Треугольник АОВ- прямоугольный.
Высота ОM прямоугольного треугольника АОВ есть среднее пропорциональное между отрезками АМ и ВМ.
ОM^2=AM*BM
OM=r
r^2=8x*x
r^2=8x^2
Аналогично, Δ СOD — прямоугольный и
ON^2=CN*ND
r^2=y*2y
r^2=2y^2

AD=AP+DP=8x+2y=8x+2*2x=12x
BC=BK+CK=x+y=x+2x=3x/(sqrt(x^2+r^2
AD=12x=4*(3x)=4BC

б)
r=sqrt(6)
Обозначим
∠ МОВ= ∠ ВОК= альфа
∠ KOC= ∠ CON= бета
sin альфа =MB/BO=x/sqrt(x^2+r^2)
cos альфа =MO/BO=r/sqrt(x^2+r^2)
sin бета=CN/CO=y/sqrt(y^2+r^2)
cos бета =ON/CO=r/sqrt(y^2+r^2)

sin( альфа + бета )=
=sin альфа*cos бета +cos альфа *sin бета =
=r*(x+y)/(sqrt(x^2+r^2)*sqrt(y^2+r^2))

Треугольник MON — равнобедренный,
МО=ОN=r
∠ MON=2*( альфа + бета )
Высота ОF делит основание MN пополам и сторону MN пополам.
MF=(1/2)MN=OM*sin( альфа + бета )=
MN=2*r*r*(x+y)//(sqrt(x^2+r^2)*sqrt(y^2+r^2))
Так как у=2х и r^2=6 и r^2=8x^2; r^2=2y^2, то
MN=
=2*r^2*((r/sqrt(8))+(r/sqrt(2)))/(r*sqrt((1/8)+1)*r*sqrt((1/2)+1))=
=(2*r*3/(2sqrt(2)))/(sqrt(9/8)*sqrt(3/2))=4

О т в е т. MN=4

Видео:Окружность, вписанная в трапециюСкачать

Окружность вписанная в трапецию касается боковых сторон

Окружность, вписанная в трапецию ABCD, касается ее боковых сторон AB и CD в точках M и N соответственно. Известно, что AM = 8MB и DN = 2CN.

а) Докажите, что AD = 4BC.

б) Найдите длину отрезка MN, если радиус окружности равен

а) Пусть окружность касается оснований BC и AD в точках K и L соответственно, а ее центр находится в точке O.

Лучи AO и BO являются биссектрисами углов BAD и ABC соответственно, поэтому

то есть треугольник AOB прямоугольный. Аналогично, треугольник COD тоже прямоугольный. Пусть BM = x, CN = y, тогда AM = 8x, DN = 2y.

б) Заметим, что поэтому

Пусть прямые AB и CD пересекаются в точке P, а прямые MN и PO пересекаются в точке Q. Тогда треугольники BPC и APD подобны, поэтому AP = 4BP, AB = 3BP, BP = 3x, PN = PM = 4x. Прямая PO является серединным перпендикуляром к MN. В прямоугольном треугольнике OMP получаем:

Значит,

Приведем другое решение пункта а)

Пусть окружность касается оснований BC и AD в точках K и L соответственно, ее центр находится в точке O, а BM = x, CN = y, тогда AM = 8x, DN = 2y. Поскольку точки M, K, N и L — точки касания, и Опустим высоты BH и CQ:

тогда по теореме Пифагора Поскольку имеем откуда

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, Видео:Задача про трапецию, описанную около окружностиСкачать Окружность, вписанная в трапецию, касается одной из боковых сторон в точке, делящей её на отрезки, равные а и b. Найдите радиус окружности. Видео:Трапеция и вписанная окружностьСкачать Ваш ответ Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать решение вопроса Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать Похожие вопросы Все категории экономические 43,279 гуманитарные 33,618 юридические 17,900 школьный раздел 606,962 разное 16,829 Популярное на сайте: Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах. Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте. Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так. Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью. 📺 Видео Геометрия Задача № 26 Найти радиус вписанной в трапецию окружностиСкачать Окружность, вписанная в трапецию.A circle inscribed in a trapezoid.Скачать ОГЭ Задание 25 Демонстрационный вариант 2022, математикаСкачать Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.Скачать 14.43.1. Планиметрия. Гордин Р.К.Скачать Геометрия Равнобокая трапеция вписана в окружность, центр которой принадлежит одному из основанияСкачать Планиметрия 27 | mathus.ru | окружность, касающаяся основания трапеции и вписанной в нее окружностиСкачать Задание 16 ЕГЭ по математике #6Скачать Радиус описанной окружности трапецииСкачать В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. окружность проходит через точки C,DСкачать Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)Скачать Как найти стороны равнобокой трапеции, описанной около трёх попарно касающихся равных окружностей?Скачать 8 класс, 38 урок, Вписанная окружностьСкачать ЭКЗАМЕН КАНАДА. Покажи, как нужно решать!Скачать Задание 16 ЕГЭ по математикеСкачать Поделиться или сохранить к себе: Смотрите также Ящик тянут по земле по горизонтальной окружности длиной 60 Ящик тянут по земле по горизонтальной окружности длиной 40 Ящик тянут по земле по горизонтальной окружности диаметром 20 Ящик тянут по земле за веревку по горизонтальной окружности длиной Ящик тянут по земле за веревку по горизонтальной окружности диаметром Электрон равномерно движется по окружности в однородном магнитном поле Электрон и протон ускоренные разностью потенциалов движутся по окружности Шарик скатывается по желобу изогнутому в виде дуги окружности