Окружность вписана в равнобедренную трапецию основания 18 и 50

Окружность вписана в равнобедренную трапецию основания 18 и 50

БАЗА ЗАДАНИЙ

Задание № 3. Планиметрия.

47. В треугольнике ABC CH — высота, AD — биссектриса, угол BAD=26°. Найдите угол AOC. Ответ дайте в градусах.

Окружность вписана в равнобедренную трапецию основания 18 и 50

48. В треугольнике ABC угол B равен 45°, угол C равен 85°, AD — биссектриса, E— такая точка на AB, что AE=AC. Найдите угол BDE. Ответ дайте в градусах.

Окружность вписана в равнобедренную трапецию основания 18 и 50

49. В треугольнике ABC угол A равен 30°, угол B равен 86°, CD — биссектриса внешнего угла при вершине C, причем точка D лежит на прямой AB. На продолжении стороны AC за точку C выбрана такая точка E, что CE=CB. Найдите угол BDE.

Окружность вписана в равнобедренную трапецию основания 18 и 50

50. В треугольнике ABC угол A равен 60°, угол B равен 82°. AD, BE и CF — биссектрисы, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOF. Ответ дайте в градусах.

Окружность вписана в равнобедренную трапецию основания 18 и 50

51. В треугольнике ABC угол A равен 60°, угол B равен 82°. AD, BE и CF — высоты, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOF. Ответ дайте в градусах.

Окружность вписана в равнобедренную трапецию основания 18 и 50

52. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10. Из точки, взятой на основании этого треугольника, проведены две прямые, параллельные боковым сторонам. Найдите периметр получившегося параллелограмма.

Окружность вписана в равнобедренную трапецию основания 18 и 50

53. Больший угол равнобедренного треугольника равен 98°. Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах.

Окружность вписана в равнобедренную трапецию основания 18 и 50

54. Углы треугольника относятся как 2 : 3 : 4. Найдите меньший из них. Ответ дайте в градусах.

Окружность вписана в равнобедренную трапецию основания 18 и 50

55. Один острый угол прямоугольного треугольника в 4 раза больше другого. Найдите больший острый угол. Ответ дайте в градусах.

Окружность вписана в равнобедренную трапецию основания 18 и 50

56. Один угол равнобедренного треугольника на 90° больше другого. Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах.

57. Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 40, её большая боковая сторона равна 11. Найдите радиус окружности.

Окружность вписана в равнобедренную трапецию основания 18 и 50

58. Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 15 и 22. Найдите среднюю линию трапеции.

Окружность вписана в равнобедренную трапецию основания 18 и 50

59. В четырёхугольник ABCD вписана окружность, AB=13, BC=7 и AD=11. Найдите четвёртую сторону четырёхугольника.

Окружность вписана в равнобедренную трапецию основания 18 и 50

60. Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны 56° и 77°. Найдите меньший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Окружность вписана в равнобедренную трапецию основания 18 и 50

61. Окружность вписана в равнобедренную трапецию, основания которой равны 18 и 50. Прямая, проходящая через центр окружности и вершину D трапеции, отсекает от трапеции треугольник. Найдите отношение площади этого треугольника к площади трапеции.

Окружность вписана в равнобедренную трапецию основания 18 и 50

62. Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, равную 1/5 окружности. Ответ дайте в градусах.

Окружность вписана в равнобедренную трапецию основания 18 и 50

63. На окружности отмечены точки A, B и C. Дуга окружности AC, не содержащая точку B, составляет 200°. Дуга окружности BC, не содержащая точку A, составляет 80°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

64. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 82°, угол ABD равен 47°. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.

Окружность вписана в равнобедренную трапецию основания 18 и 50

65. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол CAD равен 32°, угол ABD равен 57°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

66. Чему равен острый вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности? Ответ дайте в градусах.

Окружность вписана в равнобедренную трапецию основания 18 и 50

67. Найдите хорду, на которую опирается угол равный 30°, вписанный в окружность радиуса 3.

68. Чему равен тупой вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности? Ответ дайте в градусах.

Окружность вписана в равнобедренную трапецию основания 18 и 50

69. Радиус окружности равен 1. Найдите величину острого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную √2. Ответ дайте в градусах.

Окружность вписана в равнобедренную трапецию основания 18 и 50

70. Радиус окружности равен 1. Найдите величину тупого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную √2. Ответ дайте в градусах.

71. Найдите хорду, на которую опирается угол 120, вписанный в окружность радиуса √3.

Окружность вписана в равнобедренную трапецию основания 18 и 50

72. Хорда AB делит окружность на две части, градусные величины которых относятся как 5:7. Под каким углом видна эта хорда из точки C? Ответ дайте в градусах.

Окружность вписана в равнобедренную трапецию основания 18 и 50

73. Точки A, B, C, расположенные на окружности, делят ее на три дуги, градусные величины которых относятся как 1:3:5. Найдите больший угол треугольника ABC. Ответ дайте в градусах.

Окружность вписана в равнобедренную трапецию основания 18 и 50

74. Стороны четырехугольника ABCD AB, BC, CD и AD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно 95°, 49°, 71°, 145°. Найдите угол B этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Окружность вписана в равнобедренную трапецию основания 18 и 50

75. Сторона правильного треугольника равна √3. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Окружность вписана в равнобедренную трапецию основания 18 и 50

76. Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен 38√3. Найдите сторону этого треугольника.

77. Отрезки AC и BD — диаметры окружности с центром O. Угол AOD равен 114°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Окружность вписана в равнобедренную трапецию основания 18 и 50

78. Угол ACB равен 54°. Градусная мера дуги AB окружности, не содержащей точек D и E, равна 138°. Найдите угол DAE. Ответ дайте в градусах.

Окружность вписана в равнобедренную трапецию основания 18 и 50

79. Через концы A и B дуги окружности с центром O проведены касательные AC и BC. Меньшая дуга AB равна 58°. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Окружность вписана в равнобедренную трапецию основания 18 и 50

80. Угол ACO равен 28°. Его сторона CA касается окружности с центром в точке O. Сторона CO пересекает окружность в точках B и D. Найдите градусную меру дуги AD окружности, заключённой внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.

Окружность вписана в равнобедренную трапецию основания 18 и 50

81. Найдите периметр прямоугольника, если его площадь равна 270, а отношение соседних сторон равно 2 : 15.

Окружность вписана в равнобедренную трапецию основания 18 и 50

82. Периметр прямоугольника равен 76, а площадь 192. Найдите большую сторону прямоугольника.

83. Периметр прямоугольника равен 26, а диагональ равна 12. Найдите площадь этого прямоугольника.

Окружность вписана в равнобедренную трапецию основания 18 и 50

84. Сторона прямоугольника относится к его диагонали, как 4:5, а другая сторона равна 6. Найдите площадь прямоугольника.

85. Даны два квадрата, диагонали которых равны 10 и 6. Найдите диагональ квадрата, площадь которого равна разности площадей данных квадратов.

Видео:Основания равнобедренной трапеции равны 72 и 30. Центр окружности, описанной около трапеции... (ЕГЭ)Скачать

Основания равнобедренной трапеции равны 72 и 30. Центр окружности, описанной около трапеции... (ЕГЭ)

Трапеция. Свойства трапеции

Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).

Окружность вписана в равнобедренную трапецию основания 18 и 50

Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны .
Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной .

Окружность вписана в равнобедренную трапецию основания 18 и 50

Трапеция, у которой есть прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной .

Окружность вписана в равнобедренную трапецию основания 18 и 50

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции .

Окружность вписана в равнобедренную трапецию основания 18 и 50

Видео:В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 180, а площадьравна 1620, можно вписать...Скачать

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 180, а площадьравна 1620, можно вписать...

Свойства трапеции

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Окружность вписана в равнобедренную трапецию основания 18 и 50

2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.

Окружность вписана в равнобедренную трапецию основания 18 и 50

3. Треугольники Окружность вписана в равнобедренную трапецию основания 18 и 50и Окружность вписана в равнобедренную трапецию основания 18 и 50, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.

Коэффициент подобия – Окружность вписана в равнобедренную трапецию основания 18 и 50

Отношение площадей этих треугольников есть Окружность вписана в равнобедренную трапецию основания 18 и 50.

Окружность вписана в равнобедренную трапецию основания 18 и 50

4. Треугольники Окружность вписана в равнобедренную трапецию основания 18 и 50и Окружность вписана в равнобедренную трапецию основания 18 и 50, образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.

Окружность вписана в равнобедренную трапецию основания 18 и 50

5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.

Окружность вписана в равнобедренную трапецию основания 18 и 50

6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.

Окружность вписана в равнобедренную трапецию основания 18 и 50

7. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

Окружность вписана в равнобедренную трапецию основания 18 и 50

8. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.

Окружность вписана в равнобедренную трапецию основания 18 и 50

Видео:В равнобедренной трапеции основания равны 2 и 8 ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 11 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

В равнобедренной трапеции основания равны 2 и 8 ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 11 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.

Окружность вписана в равнобедренную трапецию основания 18 и 50

2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.

3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная.

Окружность вписана в равнобедренную трапецию основания 18 и 50

4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Окружность вписана в равнобедренную трапецию основания 18 и 50

Видео:Планиметрия 38 | mathus.ru | окружность вписана в равнобедрунную трапецию | отношение площадейСкачать

Планиметрия 38 | mathus.ru | окружность вписана в равнобедрунную трапецию | отношение площадей

Вписанная окружность

Если в трапецию вписана окружность с радиусом Окружность вписана в равнобедренную трапецию основания 18 и 50и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — Окружность вписана в равнобедренную трапецию основания 18 и 50и Окружность вписана в равнобедренную трапецию основания 18 и 50, то Окружность вписана в равнобедренную трапецию основания 18 и 50

Окружность вписана в равнобедренную трапецию основания 18 и 50

Видео:Задача про трапецию, описанную около окружностиСкачать

Задача про трапецию, описанную около окружности

Площадь

Окружность вписана в равнобедренную трапецию основания 18 и 50или Окружность вписана в равнобедренную трапецию основания 18 и 50где Окружность вписана в равнобедренную трапецию основания 18 и 50– средняя линия

Окружность вписана в равнобедренную трапецию основания 18 и 50

Смотрите хорошую подборку задач с трапецией (входят в ГИА и часть В ЕГЭ) здесь и здесь.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Видео:Геометрия. ОГЭ по математике. Задание 17Скачать

Геометрия. ОГЭ по математике. Задание 17

Окружность вписана в равнобедренную трапецию основания 18 и 50

Напомним свойства трапеции, которые часто используются при решении задач. Некоторые из этих свойств были доказаны в заданиях для 9-го класса, другие попробуйте доказать самостоятельно. Приведённые рисунки напоминают ход доказательства.

$$ 4.^$$. Диагонали трапеции разбивают её на четыре треугольника с общей вершиной (рис. 20). Площади треугольников, прилежащих к боковым сторонам, равны, а треугольники прилежащие к основаниям — подобны.

$$ 4.^$$. В любой трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжении боковых сторон, лежат на одной прямой (на рис. 21 точки `M`, `N`, `O` и `K`).

Окружность вписана в равнобедренную трапецию основания 18 и 50

$$ 4.^$$. В равнобокой трапеции углы при основании равны (рис. 22).

$$ 4.^$$. В равнобокой трапеции прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции (рис. 23).

$$ 4.^$$. В равнобокой трапеции диагонали равны (рис. 24).

$$ 4.^$$. В равнобокой трапеции высота, опущенная на большее основание из конца меньшего основания, делит его на два отрезка, один из которых равен полуразности оснований, а другой – их полусумме

(рис. 25, основания равны `a` и `b`, `a>b`).

Окружность вписана в равнобедренную трапецию основания 18 и 50

$$ 4.^$$. Во всякой трапеции середины боковых сторон и середины диагоналей лежат на одной прямой (рис. 26).

$$ 4.^$$. Во всякой трапеции отрезок, соединяющий середины диагоналей, параллелен основаниям и равен полуразности оснований (рис. 27).

Окружность вписана в равнобедренную трапецию основания 18 и 50

$$ 4.^$$.В равнобокой трапеции `d^2=c^2+ab`, где `d` — диагональ, `c` — боковая сторона, `a` и `b` основания.

Во всякой трапеции сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов боковых сторон и удвоенного произведения оснований, т. е. `d_1^2+d_2^2=c_1^2+c_2^2+2*ab`.

$$ 4.^$$. Во всякой трапеции с основаниями `a` и `b` отрезок с концами на боковых сторонах, проходящий через точку пересечения диагоналей параллельно основаниям, равен `(2ab)/(a+b)` (на рис. 28 отрезок `MN`).

$$ 4.^$$. Трапецию можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда она равнобокая.

Докажем, например, утверждение $$ 4.^$$ .

Применяем теорему косинусов (см. рис. 29а и б):

`ul(DeltaACD):` `d_1^2=a^2+c_2^2-2a*c_2*cos varphi`,

`ul(DeltaBCD):` `d_2^2=b^2+c_2^2+2b*c_2*cos varphi` (т. к. `cos(180^@-varphi)=-cos varphi`).

Проводим `CK«||«BA` (рис. 29в), рассматриваем треугольник `ul(KCD):` `c_1^2=c_2^2+(a-b)^2-2c_2*(a-b)*cos varphi`. Используя последнее равенство, заменяем выражение в скобках в (2), получаем:

`d_1^2+d_2^2=c_1^2+c_2^2+2ab`.

В случае равнобокой трапеции `d_1=d_2`, `c_1=c_2=c`, поэтому получаем

`d^2=c^2+ab`.

Окружность вписана в равнобедренную трапецию основания 18 и 50

Отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен `5`, одна из диагоналей равна `6`. Найти площадь трапеции, если её диагонали перпендикулярны.

`AC=6`, `BM=MC`, `AN=ND`, `MN=5` (рис. 30а). Во всякой трапеции середины оснований и точка пересечения диагоналей лежат на од-ной прямой (свойство $$ 4.^$$). Треугольник `BOC` прямоугольный (по условию `AC_|_BD`), `OM` — его медиана, проведённая из вершины прямого угла, она равна половине гипотенузы: `OM=1/2BC`. Аналогично устанавливается `ON=1/2AD`, поэтому `MN=1/2(BC+AD)`. Через точку `D` проведём прямую, параллельную диагонали `AC`, пусть `K` — её точка пересечения с прямой `BC` (рис. 30б).

Окружность вписана в равнобедренную трапецию основания 18 и 50

По построению `ACKD` — параллелограмм, `DK=AC`, `CK=AD` и `/_BDK=90^@`

(т. к. угол `BDK` — это угол между диагоналями трапеции).

Прямоугольный треугольник `ul(BDK)` с гипотенузой `BK=BC+AD=2MN=10` и катетом `DK=6` имеет площадь `S=1/2DK*BD=1/2DKsqrt(BK^2-DK^2)=24`. Но площадь треугольника `BDK` равна площади трапеции, т. к. если `DP_|_BK`, то

Диагонали трапеции, пересекаясь, разбивают её на четыре треугольника с общей вершиной. Найти площадь трапеции, если площади треугольников, прилежащих к основаниям, равны `S_1` и `S_2`.

Пусть `BC=a`, `AD=b`, и пусть `h` — высота трапеции (рис. 31). По свойству $$ 4.^$$ `S_(ABO)=S_(CDO)`, обозначим эту площадь `S_0` (действительно, `S_(ABD)=S_(ACD)`, т. к. у них общие основания и равные высоты, т. е. `S_(AOB)+S_(AOD)=S_(COD)+S_(AOD)`, откуда следует `S_(AOB)=S_(COD)`). Так как `S_(ABC)=S_0 + S_1=1/2ah` и `S_(ACD)=S_0+S_2=1/2bh`, то `(S_0+S_1)/(S_0 + S_2)=a/b`.

Далее, треугольники `BOC` и `DOA` подобны, площади подобных треугольников относятся как квадраты соответствующих сторон, значит, `(S_1)/(S_2)=(a/b)^2`. Таким образом, `(S_0+S_1)/(S_0+S_2)=sqrt((S_1)/(S_2))`.Отсюда находим `S_0=sqrt(S_1S_2)`, и поэтому площадь трапеции будет равна

Окружность вписана в равнобедренную трапецию основания 18 и 50

Основания равнобокой трапеции равны `8` и `10`, высота трапеции равна `3` (рис. 32).

Окружность вписана в равнобедренную трапецию основания 18 и 50

Найти радиус окружности, описанной около этой трапеции.

Трапеция равнобокая, по свойству $$ 4.^$$ около этой трапеции можно описать окружность. Пусть `BK_|_AD`, по свойству $$ 4.^$$

Из прямоугольного треугольника `ABK` находим `AB=sqrt(1+9)=sqrt(10)` и `sinA=(BK)/(AB)=3/(sqrt10)`. Окружность, описанная около трапеции `ABCD`, описана и около треугольника `ABD`, значит (формула (1), § 1), `R=(BD)/(2sinA)`. Отрезок `BD` находим из прямоугольного треугольника `KDB:` `BD=sqrt(BK^2+KD^2)=3sqrt(10)` (или по формуле `d^2=c^2+ab`), тогда

$$ 4.^$$. Площадь трапеции равна площади треугольника, две стороны которого равны диагоналям трапеции, а третья равна сумме оснований.

$$ 4.^$$. Если `S_1` и `S_2` — площади треугольников, прилежащих к основаниям, то площади треугольников, прилежащих к боковым сторонам равны `sqrt(S_1S_2)`, а площадь всей трапеции равна `(sqrt(S_1) +sqrt(S_2))^2`.

$$ 4.^$$. Радиус окружности, описанной около трапеции, находится по формуле `R+a/(2sin alpha)`, где `a` — какая-то сторона (или диагональ трапеции), `alpha` — смотрящий на неё вписанный угол.

💡 Видео

Геометрия Равнобокая трапеция вписана в окружность, центр которой принадлежит одному из основанияСкачать

Геометрия Равнобокая трапеция вписана в окружность, центр которой принадлежит одному из основания

Трапеция. Практическая часть - решение задачи. 8 класс.Скачать

Трапеция. Практическая часть - решение задачи. 8 класс.

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.

2111 основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6Скачать

2111 основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6

Геометрия Задача № 26 Найти радиус вписанной в трапецию окружностиСкачать

Геометрия Задача № 26  Найти радиус вписанной в трапецию окружности

ТРАПЕЦИЯ — Что такое трапеция, Виды Трапеций, Площадь Трапеции // Геометрия 8 классСкачать

ТРАПЕЦИЯ — Что такое трапеция, Виды Трапеций, Площадь Трапеции // Геометрия 8 класс

ОГЭ 2020 задание 16Скачать

ОГЭ 2020 задание 16

8 класс, 38 урок, Вписанная окружностьСкачать

8 класс, 38 урок, Вписанная окружность

Окружность, вписанная в трапециюСкачать

Окружность, вписанная в трапецию

Радиус описанной окружности трапецииСкачать

Радиус описанной окружности трапеции

Задание из ЕГЭ: трапеция в окружности #геометрия #егэ2023 #трапеция #окружностьСкачать

Задание из ЕГЭ: трапеция в окружности #геометрия #егэ2023 #трапеция #окружность

Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна 50° ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 11 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна 50° ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 11 | ШКОЛА ПИФАГОРА

В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Высота трапеции равна 12.Скачать

В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Высота трапеции равна 12.

ОГЭ по математике. Задание 15Скачать

ОГЭ по математике. Задание 15
Поделиться или сохранить к себе: