Окружность симметрична относительно каждого своего диаметра доказать (5 видео)

Please wait.

Содержание

We are checking your browser. mathvox.ru
Why do I have to complete a CAPTCHA?
What can I do to prevent this in the future?
Симметрия окружности
Окружность, эквидистанта и орицикл
💡 Видео

Видео:Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать

We are checking your browser. mathvox.ru

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Why do I have to complete a CAPTCHA?

Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.

Видео:№144. Отрезки АВ и CD — диаметры окружности. Докажите, что: а) хорды BD и АС равны; б) хорды AD и ВССкачать

What can I do to prevent this in the future?

If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.

If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.

Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store.

Cloudflare Ray ID: 6d29098c1e021610 • Your IP : 85.95.179.65 • Performance & security by Cloudflare

Видео:Свойство диаметра окружности. 7 класс.Скачать

Симметрия окружности

Есть ли симметрия в окружности? Сколько осей симметрии имеет окружность? Что является центром симметрии окружности?

Окружность имеет бесконечно много осей симметрии.

Осью симметрии окружности является любая прямая, содержащая диаметр окружности.

Проведём произвольный диаметр AB окружности.

Отметим на окружности произвольную точку X.

Из точки X проведём хорду, перпендикулярную диаметру.

Обозначим точки пересечения этой прямой с диаметром AB как P и X1.

Так как хорда перпендикулярна диаметру, то диаметр проходит через середину.

Следовательно, XP=X1P, а значит, точка X1 симметрична точке X относительно прямой, содержащей диаметр AB.

Имеем: точка, симметричная произвольной точке окружности относительно произвольного диаметра, также принадлежит окружности. Следовательно, любой диаметр окружности является её осью симметрии.

Что и требовалось доказать .

Окружность — центрально-симметричная фигура.

Осью симметрии окружности является её центр.

Отметим на окружности произвольную точку X.

Проведем через точку X диаметр XX1.

XO=X1O (как радиусы).

Таким образом, точка, симметричная произвольной точке окружности относительно её центра, также принадлежит окружности. Значит, окружность — центрально-симметричная фигура, а центр симметрии окружности — это центр окружности.

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Окружность, эквидистанта и орицикл

1. На плоскости Лобачевского существуют три различных типа пучков, а именно: а) пучок пересекающихся прямых, т.е. множество всех прямых плоскости, проходящих через одну точку — центр пучка (рис. 231 ,а);

б) пучок расходящихся прямых, т.е. множество всех прямых плоскости, перпендикулярных к данной прямой (рис. 231, б); в) пучок параллельных прямых — множество прямых, состоящее из некоторой направленной прямой и всех направленных прямых, параллельных ей (рис. 231, в).

Ясно, что если задан пучок, то через любую точку плоскости (отличную от центра пучка пересекающихся прямых) проходит одна и только одна прямая пучка.

С каждым пучком прямых связаны определенные линии, которые мы рассмотрим в следующих пунктах этого параграфа.

2. Окружность. Как известно из школьного курса геометрии, окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки (центра окружности). Это определение относится к абсолютной геометрии, поэтому окружность — линия как евклидовой плоскости, так и плоскости Лобачевского. Многие теоремы об окружности, известные учащемуся из курса геометрии средней школы, доказываются без помощи аксиомы параллельных, поэтому они справедливы и на плоскости Лобачевского. Прежде всего отметим теорему о том, что любая прямая, лежащая в плоскости окружности, пересекается с ней не более чем в двух точках. Перечислим другие свойства окружности, которые относятся к абсолютной геометрии. При этом рассмотрим только те свойства, которые относятся к расположению точек окружности по отношению к пучку пересекающихся прямых с центром в центре окружности. Прямые этого пучка называются осями окружности.
1°. Окружность симметрична относительно любой своей оси.
2°. В каждой точке окружности существует касательная, которая перпендикулярна к оси, проходящей через точку касания.

Учитывая это свойство, мы можем говорить, что окружность пересекает свои оси под прямым углом или что окружность есть ортогональная траектория пучка прямых с центром в центре окружности (рис. 232, а).

Прямая АВ, где А е а н В А’ММ₂ ф Z В’М₂М (см. рис. 237, на этом рисунке Z А’ММ₂ Z В’М_ХМ, так как Z В’М₂М — внешний угол треугольника М_ХММ₂). Поэтому ММ_Х — единственная секущая равного наклона к прямым АА ‘и В В’, я

Пусть на плоскости задан пучок параллельных прямых. На множестве Q всех точек плоскости введем бинарное отношение Д следующим образом. Будем говорить, что точки А и В находятся в отношении Д, если они совпадают или прямая АВ является секущей равного наклона к прямым данного пучка, проходящим соответственно через точки А и В. Из этого определения непосредственно следует, что отношение Д удовлетворяет условиям рефлексивности и симметричности. Можно также доказать, что оно удовлетворяет условию транзитивности. Каждый элемент фактор-множества Г2/Д называется орициклом (или предельной линией). Прямые данного пучка называются осями орицикла. Если задан пучок параллельных прямых, то через каждую точку И плоскости проходит один и только один орицикл, который представляет собой класс эквивалентности К_А по отношению Д. Это множество состоит из точки А и всех таких точек X плоскости, что АХ — секущая равного наклона к прямым данного пучка, проходящим через точки А иХ.

Из предыдущего изложения ясно, что если даны направленная прямая UVи на ней некоторая точка А, то тем самым однозначно определяется орицикл, проходящий через точку И с осью UV.

Свойства орицикла аналогичны свойствам окружности и эквиди- станты.

Теорема 2. Любая прямая, лежащая в плоскости орицикла, пересекается с орициклом не более чем в двух точках.

и Допустим, что некоторая прямая имеет с орициклом три общие точки А, В и С, которые обозначены так, что А — В —С. Обозначим через АА’, ВВ’и ССоси орицикла, проходящие через эти точки. По определению АА‘|| ВВ’и ВВ’I СС. Отсюда следует, что точки И’, В’и С’лежат в одной полуплоскости с границей АВ (рис. 238).

По определению орицикла Zl=Z2nZ3=Z4 (см. рис. 238). Так как параллельные прямые не имеют общего перпендикуляра, то углы

1, 2, 3 и 4 не являются прямыми углами. Ни один из этих углов не может быть также и тупым углом. В самом деле, если, например, Z 1 и Z 2 тупые, то Z 3, смежный с Z 2, острый (см. рис. 238). Отложив от луча АВ угол МАВ, равный Z 3, как показано на рисунке 238, мы получаем луч AM, лежащий внутри угла А ‘АВ и не пересекающий луч В В’ (§ 69, лемма 1). Это противоречит определению параллельности прямых АА’ и В В’.

Таким образом, Z 2 и Z 3 — острые углы. Но эти углы смежные, поэтому мы пришли в противоречие с теоремой о смежных углах. ? Предлагаем учащемуся самостоятельно убедиться в том, что свойства 1°—4°, сформулированные для окружности и эквидистанты, имеют место и для орицикла. В частности, орицикл симметричен относительно любой своей оси и является ортогональной траекторией пучка его параллельных осей (см. рис. 232, в).

Можно доказать, что любые два орицикла на плоскости Лобачевского равны.