Окружность с центром О1 касается оснований ВС и AD и боковой стороны АВ трапеции ABCD. Окружность с центром O2 касается сторон ВС, CD и AD. Известно, что АВ = 10, ВС = 9, CD = 30, AD = 39.
а) Докажите, что прямая О1О2 параллельна основаниям трапеции АВСD.
а) Точка О1 равноудалена от прямых AD и ВС. Значит, точка О1 лежит на средней линии трапеции АВСD. Аналогично точка О2 лежит на средней линии трапеции АВСD, а значит, прямая О1О2 параллельна основаниям трапеции АВСD.
б) Пусть К — середина стороны АВ, а L — середина стороны CD. Точка О1 равноудалена от прямых АВ, ВС и AD, поэтому лучи АО1 и ВО1 являются биссектрисами углов DAB и ABC соответственно. Значит, 
то есть 
Следовательно, КО1 — медиана, проведенная к гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АО1В.
Аналогично треугольник СО2D прямоугольный, а LO2 — медиана, проведенная к его гипотенузе CD. Точки К, О1, О2 и L лежат на средней линии трапеции АВСD. Значит, 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, Содержание
Видео:Касательные к окружности с центром O в точках A и B ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать  Рубрика: Задание 16 (планиметрия)Видео:🔴 В окружности с центром O отрезки AC и BD ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 15 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать  Решение задания 16, вариант 7, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2019 (видео)Окружность с центром O1 касается оснований BC и AD, а также боковой стороны AB трапеции ABCD. Окружность с центром O2 касается сторон BC, CD и AD. Известно, что AB=9, BC=8, CD=4, AD=15. а) Докажите, что прямая 0102 параллельна основаниям трапеции Читать далее … Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать  Реальный ЕГЭ 2го июня 2017, задание 16
Дана трапеция ABCD с диагоналями равными 8 и 15. Сумма оснований трапеции равна 17. а) Докажите, что диагонали перпендикулярны. б) Найдите высоту трапеции Сделаем дополнительное построение — проведем . Тогда , а т.к. BECD — параллелограмм. В треугольнике ACE стороны Читать далее … Видео:Геометрия Две окружности радиуса R с центрами O1 и O2 касаются друг друга. Их пересекает прямаяСкачать  Реальный ЕГЭ 29 мая 2019, задание 16
В остроугольном треугольнике ABC все стороны различны. Прямая, содержащая высоту BH треугольника ABC, вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке K. Отрезок BN — диаметр этой окружности. a) Докажите, что AN=CK b) Найдите NK, если радиус описанной около Читать далее … Видео:ЕГЭ Задание 16 Две касающиеся окружностиСкачать  Решение задания 16, вариант 36, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2018
Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. На катете AC взята точка М. Окружность с центром О и диаметром СМ касается гипотенузы в точке N. а) Докажите, что MN и ВО параллельны. б) Найдите площадь четырёхугольника BOMN,если СN=4 и Читать далее … Видео:ЕГЭ задание 16Скачать  Решение задания 16, вариант 35, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2018Отрезок, соединяющий середины M и N оснований BC и AD соответственно трапеции ABCD, разбивает её на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность. а) Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная. б) Известно, что радиус этих окружностей равен 4, а Читать далее … Видео:№146. Отрезки АВ и CD — диаметры окружности с центром О. Найдите периметр треугольника AOD, еслиСкачать  Решение задания 16, вариант 34, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2018Основание и боковая сторона равнобедренного треугольника равны 10 и 12 соответственно. а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная основанию, пересекает окружность, вписанную в треугольник. б) Найдите длину отрезка этой средней линии, заключенного внутри окружности. Решение полностью аналогично варианту 15, посмотрите Читать далее … Видео:Ященко 2023, 12 вариантов. Вариант 3, задание 16.Скачать  Решение задания 16, вариант 33, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2018
Отрезок, соединяющий середины M и N оснований BC и AD соответственно трапеции ABCD, разбивает её на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность. а) Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная. б) Известно, что радиус этих окружностей равен 2, а Читать далее … Видео:Две окружности | Резерв досрока ЕГЭ-2019. Задание 16. Профильный уровень | Борис Трушин |Скачать  Решение задания 16, вариант 32, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2018Вневписанная окружность равнобедренного треугольника касается его боковой стороны. а) Докажите, что радиус этой окружности равен высоте треугольника, опущенной на основание. б) Известно, что радиус этой окружности в 6 раз больше радиуса вписанной окружности треугольника. В каком отношении точка касания вписанной Читать далее … Видео:№13 ЕГЭ 2023 по математике. Как начать понимать стереометрию?Скачать  Решение задания 16, вариант 31, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2018Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причём сторона CD — диаметр этой окружности. Продолжение перпендикуляра AH к диагонали BD пересекает сторону CD в точке E, а окружность — в точке F, причём H — середина AE. а) Докажите, что четырёхугольник BCFE Читать далее … Видео:Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать  Решение задания 16, вариант 30, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2018Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причём сторона CD — диаметр этой окружности. Продолжение перпендикуляра AH к диагонали BD пересекает сторону CD в точке E, а окружность — в точке F, причём H — середина AE. а) Докажите, что четырёхугольник BCFE Читать далее … Видео:№968. Напишите уравнение окружности с центром в точке А(0; 6), проходящей через точку В (-3; 2).Скачать  Решение задания 16, вариант 29, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2018Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причём сторона CD — диаметр этой окружности. Продолжение перпендикуляра AH к диагонали BD пересекает сторону CD в точке E, а окружность — в точке F, причём H — середина AE. а) Докажите, что четырёхугольник BCFE Читать далее … Видео:🔴 В угол C, равный 165°, вписана окружность с ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 15 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать  Решение задания 16, вариант 28, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2018Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причём сторона CD — диаметр этой окружности. Продолжение перпендикуляра AH к диагонали BD пересекает сторону CD в точке E, а окружность — в точке F, причём H — середина AE. а) Докажите, что четырёхугольник BCFE Читать далее … Видео:16 задание с досрока ЕГЭ 2023. 2 задачи . Реально сложноСкачать  Решение задания 16, вариант 27, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2018
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причём сторона CD — диаметр этой окружности. Продолжение перпендикуляра AH к диагонали BD пересекает сторону CD в точке E, а окружность — в точке F, причём H — середина AE. а) Докажите, что четырёхугольник BCFE Читать далее … Видео:Планиметрия с окружностями | Задачи из ЕГЭ прошлых лет | №17 ЕГЭ по математикеСкачать  Решение задания 16, вариант 26, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2018Диагональ AC прямоугольника ABCD с центром O образует со стороной AB угол 30°. Точка E лежит вне прямоугольника, причём ∠BEC = 120°. а) Докажите, что ∠CBE = ∠COE. б) Прямая OE пересекает сторону AD прямоугольника в точке K. Найдите EK, Читать далее … Видео:Разбор 3 варианта из сборника Ященко. Зонты | Математика ОГЭ 2023 | УмскулСкачать  Решение задания 16, вариант 25, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2018Основание и боковая сторона равнобедренного треугольника равны 26 и 31 соответственно. а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная основанию, пересекает окружность, вписанную в треугольник. б) Найдите длину отрезка этой средней линии, заключенного внутри окружности. Решение аналогично варианту 15, посмотрите решение Читать далее … Видео:№1035. В окружности проведены хорды АВ и CD, пересекающиеся в точке Е. Найдите острыйСкачать  Решение задания 16, вариант 24, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2018В треугольнике ABC известно, что ∠BAC=60°, ∠ABC=45°. Продолжения высот треугольника ABC пересекают описанную около него окружность в точках M,N,P. а) Докажите, что треугольник MNP — прямоугольный. б) Найдите площадь треугольника MNP, если известно, что BC = 10. Решается в точности Читать далее … Видео:№1,17 | Все теория по планиметрии за 4 часа | Решаем все прототипы №1 из ФИПИСкачать  Решение задания 16, вариант 23, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2018
В треугольнике ABC известно, что ∠BAC=60°, ∠ABC=45°. Продолжения высот треугольника ABC пересекают описанную около него окружность в точках M,N,P. а) Докажите, что треугольник MNP — прямоугольный. б) Найдите площадь треугольника MNP, если известно, что BC = 6. Решение смотри на Читать далее … Видео:[7] Окружности с нуля для ЕГЭ по математике. Внешнее касание окружностей. Конструкция из демоверсии.Скачать ![[7] Окружности с нуля для ЕГЭ по математике. Внешнее касание окружностей. Конструкция из демоверсии.](https://i.ytimg.com/vi/Ddj3m-1b_G4/0.jpg) Решение задания 16, вариант 22, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2018Основание и боковая сторона равнобедренного треугольника равны 34 и 49 соответственно. а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная основанию, пересекает окружность, вписанную в треугольник. б) Найдите длину отрезка этой средней линии, заключенного внутри окружности. Решается в точности как вариант 15, Читать далее … Видео:ОГЭ Задание 24 Площадь треугольника, трапецииСкачать  Решение задания 16, вариант 21, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2018Окружность с центром O, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон АВ, АС и ВС в точках , и соответственно. Биссектриса угла А пересекает эту окружность в точке Q, лежащей внутри треугольника . а) Докажите, что – биссектриса угла . Читать далее … Решение задания 16, вариант 20, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2018Окружность с центром O, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон АВ, АС и ВС в точках , и соответственно. Биссектриса угла А пересекает эту окружность в точке Q, лежащей внутри треугольника . а) Докажите, что – биссектриса угла . Читать далее … Решение задания 16, вариант 19, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2018Окружность с центром O, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон АВ, АС и ВС в точках , и соответственно. Биссектриса угла А пересекает эту окружность в точке Q, лежащей внутри треугольника . а) Докажите, что – биссектриса угла . Читать далее … Решение задания 16, вариант 18, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2018Окружность с центром O, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон АВ, АС и ВС в точках , и соответственно. Биссектриса угла А пересекает эту окружность в точке Q, лежащей внутри треугольника . а) Докажите, что – биссектриса угла . Читать далее … Решение задания 16, вариант 17, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2018
Окружность с центром O, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон АВ, АС и ВС в точках , и соответственно. Биссектриса угла А пересекает эту окружность в точке Q, лежащей внутри треугольника . а) Докажите, что – биссектриса угла . Читать далее … Решение задания 16, вариант 16, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2018
На отрезке BD взята точка С. Биссектриса BL равнобедренного треугольника ABC с основанием BC является боковой стороной равнобедренного треугольника BLD с основанием BD. а) Докажите, что треугольник DCL равнобедренный. б) Известно, что . В каком отношении прямая DL делит сторону Читать далее … Решение задания 16, вариант 15, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2018
Основание и боковая сторона равнобедренного треугольника равны 26 и 38 соответственно. а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная основанию, пересекает окружность, вписанную в треугольник. б) Найдите длину отрезка этой средней линии, заключённого внутри окружности. Решение задания 16, вариант 14, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2018
Прямая, параллельная основаниям BC и AD трапеции ABCD, пересекает боковые стороны AB и CD в точках M и N соответственно. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Прямая MN пересекает стороны OA и OD треугольника AOD в точках K Читать далее … Решение задания 16, вариант 13, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2018
Вневписанная окружность равнобедренного треугольника касается его боковой стороны а) Докажите, что радиус этой окружности равен высоте треугольника, опущенной на основание. б) Известно, что радиус этой окружности в 4 раза больше радиуса вписанной окружности треугольника. В каком отношении точка касания вписанной Читать далее … Решение задания 16, вариант 12, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2018
Диагональ AC прямоугольника ABCD с центром O образует со стороной AB угол 30°. Точка E лежит вне прямоугольника, причём ∠BEC = 120°. а) Докажите, что ∠CBE = ∠COE. б) Прямая OE пересекает сторону AD прямоугольника в точке K. Найдите EK, Читать далее … Решение задания 16, вариант 11, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2018
Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причем меньшая проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке P. Хорды AB и AC пересекают меньшую окружность в точках K и M соответственно. a) Докажите, что прямые Читать далее … Решение задания 16, вариант 10, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2018
Две окружности касаются внутренним образом в точке K, причем меньшая проходит через центр большей. Хорда МN большей окружности касается меньшей в точке С.Хорды КМ и КN пересекают меньшую окружность в точках А и В соответственно,а отрезки КС и АВ пересекаются Читать далее … Решение задания 16, вариант 9, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2018
Точка B лежит на отрезке AC. Прямая, проходящая через точку A, касается окружности с диаметром BC в точке M и второй раз пересекает окружность с диаметром AB в точке K. Продолжение отрезка MB пересекает окружность с диаметром AB в точке Читать далее … Решение задания 16, вариант 8, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2018
Диагонали AC и BD четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, пересекаются в т. P, причем BC=CD. a) Докажите, что AB:BC=AP:PD b) Найдите площадь треугольника COD, где O — центр окружности, вписанной в треугольник ABD, если дополнительно известно, что BD — диаметр Читать далее … Решение задания 16, вариант 7, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2018
В прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом при вершине A расположены две окружности. Одна из них касается боковых сторон и большего основания AD, вторая — боковых сторон, меньшего основания BC и первой окружности. a) Прямая, проходящая через центры окружностей, пересекает Читать далее … Решение задания 16, вариант 6, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2018В равнобедренной трапеции ABCD основание AD в три раза больше основания BC. a) Докажите, что высота BH трапеции разбивает основание AD на отрезки, один из которых в два раза больше другого b) Найдите расстояние от вершины B до середины диагонали Читать далее … Решение задания 16, вариант 5, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2018В равнобедренной трапеции ABCD основание AD в три раза больше основания BC. a) Докажите, что высота BH трапеции разбивает основание AD на отрезки, один из которых в два раза больше другого b) Найдите расстояние от вершины B до середины диагонали Читать далее … Решение задания 16, вариант 4, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2018
В равнобедренной трапеции ABCD основание AD в три раза больше основания BC. a) Докажите, что высота BF трапеции разбивает основание AD на отрезки, один из которых в два раза больше другого b) Найдите расстояние от вершины B до середины диагонали Читать далее … Решение задания 16, вариант 3, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2018В трапеции ABCD основание AD в два раза меньше основания BC. Внутри трапеции взяли точку M так, что углы BAM и CDM — прямые. a) Докажите, что BM=CM b) Найдите угол ABC, если угол BCD=85 градусов, а расстояние от точки Читать далее … Решение задания 16, вариант 2, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2018В трапеции ABCD основание AD в два раза меньше основания BC. Внутри трапеции взяли точку M так, что углы BAM и CDM — прямые. a) Докажите, что BM=CM b) Найдите угол ABC, если угол BCD=57 градусов, а расстояние от точки Читать далее … Решение задания 16, вариант 1, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2018
В трапеции ABCD основание AD в два раза меньше основания BC. Внутри трапеции взяли точку M так, что углы BAM и CDM — прямые. a) Докажите, что BM=CM b) Найдите угол ABC, если угол BCD=64 градуса, а расстояние от точки Читать далее … Решение задания 16, вариант 10, Ященко 36 вариантов, ЕГЭ-2017Основные идеи: Точки A и B — середины KM и KN соответственно, т.к. внутренняя окружность проходит через центр внешней и т.к. по двум углам (). как средняя линия. Т.к. , то дуги BC и AC равны (т.к. , то , Читать далее … Присоединяйся в мои чаты, задавай в них мне вопросыРешения заданий по темам:Рубрики
Контакты:Whatsapp: Окружность с центром o1 касается оснований bc и adБАЗА ЗАДАНИЙ Задание № 16. Планиметрия с доказательством. 1. Прямая, проходящая через вершину B прямоугольника ABCD перпендикулярно диагонали AC, пересекает сторону AD в точке M, равноудалённой от вершин B и D.
2. К окружности, вписанной в квадрат ABCD, проведена касательная, пересекающая стороны AB и AD в точках M и N соответственно. 3. Диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, пересекаются в точке P, причём BC=CD. 4. В треугольнике ABC точки A 1 , B 1 , C 1 — середины сторон BC, AC и A B соответственно, AH— высота, ∠BAC = 60°, ∠BCA = 45°. 5. Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке P. Хорды AB и AC пересекают меньшую окружность в точках K и M соответственно. 6. Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая окружность проходит через центр O большей. Диаметр BC большей окружности вторично пересекает меньшую окружность в точке M, отличной от A. Лучи AO и AM вторично пересекают большую окружность в точках P и Q соответственно. Точка C лежит на дуге AQ большей окружности, не содержащей точку P. 7. Две окружности касаются внутренним образом в точке K, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда MN большей окружности касается меньшей в точке C. Хорды KM и KN пересекают меньшую окружность в точках A и B соответственно, а отрезки KC и AB пересекаются в точке L. 8. Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. На катете AC взята точка M. Окружность с центром O и диаметром CM касается гипотенузы в точке N. 9. Точка B лежит на отрезке AC. Прямая, проходящая через точку A, касается окружности с диаметром BC в точке M и второй раз пересекает окружность с диаметром AB в точке K. Продолжение отрезка MB пересекает окружность с диаметром AB в точке D. 10. Точка M лежит на стороне BC выпуклого четырёхугольника ABCD, причём B и C — вершины равнобедренных треугольников с основаниями AM и DM соответственно, а прямые AM и MD перпендикулярны. 11. В равнобедренном тупоугольном треугольнике ABC на продолжение боковой стороны BC опущена высота AH. Из точки H на сторону AB и основание AC опущены перпендикуляры HK и HM соответственно. 12. Точка O — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC, I — центр вписанной в него окружности, H — точка пересечения высот. Известно, что ∠BAC = ∠OBC+∠OCB. 13. Точки P, Q, W делят стороны выпуклого четырёхугольника ABCD в отношении AP:PB = CQ:QB = CW:WD = 3:4, радиус окружности, описанной около треугольника PQW, равен 10, PQ = 16, QW = 12, угол PWQ— острый. 14. Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках C 1 , B 1 соответственно.
15. Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Диагональ BD разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями AD и CD. 16. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С точки М и N – середины катетов АС и ВС соответственно, СН – высота. 17. В треугольнике АВС угол АВС равен 60°. Окружность, вписанная в треугольник, касается стороны AC в точке M. 18. В треугольнике АВС проведены высоты АК и СМ. На них из точек М и К опущены перпендикуляры МЕ и КН соответственно. 19. Окружность, вписанная в треугольник KLM, касается сторон KL, LM, MK в точках A, B и C соответственно. б) Найдите отношение LB:BM, если известно, что KC:CM = 3:2 и ∠ MKL = 60. 20. Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Окружность с центром O, построенная на боковой стороне AB как на диаметре, касается боковой стороны CD и второй раз пересекает большее основание AD в точке H, точка Q — середина CD. 21. Квадрат ABCD вписан в окружность. Хорда CE пересекает его диагональ BD в точке K. 22. В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N – середины гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса ∠ BAC пересекает прямую MN в точке L 23. Окружность касается стороны AC остроугольного треугольника ABC и делит каждую из сторон AB и BC на три равные части. 24. На катетах AC и BC прямоугольного треугольника ABC как на диаметрах построены окружности, второй раз пересекающиеся в точке M. Точка Q лежит на меньшей дуге MB окружности с диаметром BC. Прямая CQ второй раз пересекает окружность с диаметром AC в точке P. 25. Окружность, построенная на медиане BM равнобедренного треугольника ABC как на диаметре, второй раз пересекает основание BC в точке K.
26. В прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом при вершине A расположены две окружности. Одна из них касается боковых сторон и большего основания AD, вторая – боковых сторон, меньшего основания BC и первой окружности.
27. В трапецию ABCD с основаниями AD и BC вписана окружность с центром O. 28. Дана трапеция с диагоналями равными 8 и 15. Сумма оснований равна 17. |
