Окружность называется вписанной в четырехугольник если она касается всех его

Окружность, вписанная в четырехугольник

Определение 1. Окружность называют вписанным в четырехугольник, если окружность касается всех сторон четырехугольника.

На рисунке 1 окружность вписан в четырехугольник ABCD. В этом случае говорят также, что четырехугольник описан около окружности.

Окружность называется вписанной в четырехугольник если она касается всех его

Теорема 1. Если окружность вписан в четырехугольник, то сумма противолежащих сторон четырехугольника равны.

Доказательство. Пусть окружность ABCD вписан в четырехугольник (Рис.2). Докажем, что ( small AB+CD=AD+BC ).

Окружность называется вписанной в четырехугольник если она касается всех его

Точки M, N, Q, P − точки касания окружности со сторонами четырехугольника. Так как отрезки касательных, проведенных к окружности через одну точку, равны (статья Касательная к окружности теорема 2), то

( small AM=AQ=a, ) ( small BM=BN=b, ) ( small CN=CP=c, ) ( small DQ=DP=d )
( small AB+CD ) ( small=AM+BM+CP+DP ) ( small =a+b+c+d, )(1)
( small AD+BC) ( small=AQ+DQ+BN+CN) ( small=a+d+b+c. )(2)

Из равенств (1) и (2), следует:

( small AB+CD=AD+BC. ) Окружность называется вписанной в четырехугольник если она касается всех его

Теорема 2. Если в выпуклом четырехугольнике сумма противолежащих сторон равны, то в него можно вписать окружность.

Доказательство. Пусть задан выпуклый четырехугольник ABCD и пусть ( small AB+CD=AD+BC. ) (Рис.3). Докажем, что в него можно вписать окружность.

Окружность называется вписанной в четырехугольник если она касается всех его

Проведем биссектрисы углов A и B четырехугольника ABCD. Точку их пересечения обозначим буквой O. Тогда точка O равноудалена от сторон AB, BC, AD. Следовательно существует окружность с центром в точке O, которая касается этих трех сторон.

Пусть эта окружность не касается стороны CD. Тогда возможны два случая.

Случай 1. Сторона CD не имеет общих точек с построенной окружностью.

Проведем касательную C1D1 к окружности, параллельно стороне CD четырехугольника.

Тогда окружность с центром O вписан в четырехугольник ABC1D1. Следовательно, по теореме 1, имеем:

( small AB+C_1D_1=AD_1+BC_1. )(3)

Но по условию данной теоремы:

( small AB+CD=AD+BC. )(4)

Вычтем из равенства (4) равенство (3):

( small CD-C_1D_1) (small=AD-AD_1+BC-BC_1 )
( small CD-C_1D_1=DD_1+CC_1 )
( small CD=DD_1+CC_1+C_1D_1)

Получили, что в четырехугольнике CC1D1D длина одной стороны равна сумме длин трех остальных сторон, что невозможно (см. задачу 1 статьи Четырехугольник).

Таким образом сторона CD должна иметь общие точки с рассматриваемой окружностью.

Случай 2. Сторона CD имеет две общие точки с построенной окружностью (Рис.4).

Окружность называется вписанной в четырехугольник если она касается всех его

Аналогичными рассуждениями можно показать, что сторона CD не может иметь две общие точки с построенной окружностью.

Следовательно, предполагая, что построенная окружность не касается стороны CD, мы пришли к противоречию. Таким образом, если в выпуклом четырехугольнике сумма противолежащих сторон равны, то в него можно вписать окружность.Окружность называется вписанной в четырехугольник если она касается всех его

Если в четырехугольник вписан окружность, то существует точка, равноудаленная от всех сторон четырехугольника. Эта точка является центром вписанной в четырехугольник окружности. Для нахождения этой точки достаточно найти точку пересечениия биссектрис двух соседних углов данного четырехугольника.

Видео:Окружность, вписанная в четырехугольникСкачать

Окружность, вписанная в четырехугольник

Вписанная окружность

Окружность называется вписанной в четырехугольник если она касается всех его

Вписанная окружность — это окружность, которая вписана
в геометрическую фигуру и касается всех его сторон.

Окружность, точно можно вписать в такие геометрические фигуры, как:

  • Треугольник
  • Выпуклый, правильный многоугольник
  • Квадрат
  • Равнобедренная трапеция
  • Ромб

В четырехугольник, можно вписать окружность,
только при условии, что суммы длин
противоположных сторон равны.

Во все вышеперечисленные фигуры
окружность, может быть вписана, только один раз.

Окружность невозможно вписать в прямоугольник
и параллелограмм, так как окружность не будет
соприкасаться со всеми сторонам этих фигур.

Геометрические фигуры, в которые вписана окружность,
называются описанными около окружности.

Описанный треугольник — это треугольник, который описан
около окружности и все три его стороны соприкасаются с окружностью.

Описанный четырехугольник — это четырехугольник, который описан
около окружности и все четыре его стороны соприкасаются с окружностью.

Свойства вписанной окружности

В треугольник

  1. В любой треугольник может быть вписана окружность, причем только один раз.
  2. Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис треугольника.
  3. Вписанная окружность касается всех сторон треугольника.
  4. Площадь треугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:

[ S = frac(a+b+c) cdot r = pr ]

p — полупериметр четырехугольника.
r — радиус вписанной окружности четырехугольника.

  • Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от всех сторон.
  • Точка касания — это точка, в которой соприкасается
    окружность и любая из сторон треугольника.
  • От центра вписанной окружности можно провести
    перпендикуляры к любой точке касания.
  • Вписанная в треугольник окружность делит стороны
    треугольника на 3 пары равных отрезков.
  • Вписанная и описанная около треугольника окружность тесно взаимосвязаны.
    Поэтому, расстояние между центрами этих окружностей можно найти с помощью формулы Эйлера:

    с — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника.
    R — радиус описанной около треугольника.
    r — радиус вписанной окружности треугольника.

    В четырехугольник

    1. Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.
    2. Если у четырехугольника суммы длин его противолежащих
      сторон равны, то окружность, может быть, вписана (Теорема Пито).
    3. Центр вписанной окружности и середины двух
      диагоналей лежат на одной прямой (Теорема Ньютона, прямая Ньютона).
    4. Точка пересечения биссектрис — это центр вписанной окружности.
    5. Точка касания — это точка, в которой соприкасается
      окружность и любая из сторон четырехугольника.
    6. Площадь четырехугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:

    [ S = frac(a+b+c+d)cdot r = pr ]

    p — полупериметр четырехугольника.
    r — радиус вписанной окружности четырехугольника.

  • Точка касания вписанной окружности, которая лежит на любой из сторон,
    равноудалены от этой конца и начала этой стороны, то есть от его вершин.
  • Примеры вписанной окружности

    • Треугольник
      Окружность называется вписанной в четырехугольник если она касается всех его
    • Четырехугольник
      Окружность называется вписанной в четырехугольник если она касается всех его
    • Многоугольник
      Окружность называется вписанной в четырехугольник если она касается всех его

    Примеры описанного четырехугольника:
    равнобедренная трапеция, ромб, квадрат.

    Примеры описанного треугольника:
    равносторонний
    , равнобедренный,
    прямоугольный треугольники.

    Верные и неверные утверждения

    1. Радиус вписанной окружности в треугольник и радиус вписанной
      в четырехугольник вычисляется по одной и той же формуле. Верное утверждение.
    2. Любой параллелограмм можно вписать в окружность. Неверное утверждение.
    3. В любой четырехугольник можно вписать окружность. Неверное утверждение.
    4. В любой ромб можно вписать окружность. Верное утверждение.
    5. Центр вписанной окружности треугольника это точка пересечения биссектрис. Верное утверждение.
    6. Окружность вписанная в треугольник касается всех его сторон. Верное утверждение.
    7. Угол вписанный в окружность равен соответствующему центральному
      углу опирающемуся на ту же дугу. Неверное утверждение.
    8. Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник равен
      половине разности суммы катетов и гипотенузы. Верное утверждение.
    9. Вписанные углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности равны. Неверное утверждение.
    10. Вписанная окружность в треугольник имеет в общем
      три общие точки со всеми сторонами треугольника. Верное утверждение.

    Окружность вписанная в угол

    Окружность вписанная в угол — это окружность, которая
    лежит внутри этого угла и касается его сторон.

    Центр окружности, которая вписана в угол,
    расположен на биссектрисе этого угла.

    К центру окружности вписанной в угол, можно провести,
    в общей сложности два перпендикуляра со смежных сторон.

    Длина диаметра, радиуса, хорды, дуги вписанной окружности
    измеряется в км, м, см, мм и других единицах измерения.

    Видео:Если в четырёхугольник можно вписать окружностьСкачать

    Если в четырёхугольник можно вписать окружность

    Окружность называется вписанной в четырехугольник если она касается всех его сторон

    Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

    Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

    Окружность, вписанная в четырехугольник

    Определение 1. Окружность называют вписанным в четырехугольник, если окружность касается всех сторон четырехугольника.

    На рисунке 1 окружность вписан в четырехугольник ABCD. В этом случае говорят также, что четырехугольник описан около окружности.

    Окружность называется вписанной в четырехугольник если она касается всех его

    Теорема 1. Если окружность вписан в четырехугольник, то сумма противолежащих сторон четырехугольника равны.

    Доказательство. Пусть окружность ABCD вписан в четырехугольник (Рис.2). Докажем, что ( small AB+CD=AD+BC ).

    Окружность называется вписанной в четырехугольник если она касается всех его

    Точки M, N, Q, P − точки касания окружности со сторонами четырехугольника. Так как отрезки касательных, проведенных к окружности через одну точку, равны (статья Касательная к окружности теорема 2), то

    ( small AM=AQ=a, ) ( small BM=BN=b, ) ( small CN=CP=c, ) ( small DQ=DP=d )
    ( small AB+CD ) ( small=AM+BM+CP+DP ) ( small =a+b+c+d, )(1)
    ( small AD+BC) ( small=AQ+DQ+BN+CN) ( small=a+d+b+c. )(2)

    Из равенств (1) и (2), следует:

    ( small AB+CD=AD+BC. ) Окружность называется вписанной в четырехугольник если она касается всех его

    Теорема 2. Если в выпуклом четырехугольнике сумма противолежащих сторон равны, то в него можно вписать окружность.

    Доказательство. Пусть задан выпуклый четырехугольник ABCD и пусть ( small AB+CD=AD+BC. ) (Рис.3). Докажем, что в него можно вписать окружность.

    Окружность называется вписанной в четырехугольник если она касается всех его

    Проведем биссектрисы углов A и B четырехугольника ABCD. Точку их пересечения обозначим буквой O. Тогда точка O равноудалена от сторон AB, BC, AD. Следовательно существует окружность с центром в точке O, которая касается этих трех сторон.

    Пусть эта окружность не касается стороны CD. Тогда возможны два случая.

    Случай 1. Сторона CD не имеет общих точек с построенной окружностью.

    Проведем касательную C1D1 к окружности, параллельно стороне CD четырехугольника.

    Тогда окружность с центром O вписан в четырехугольник ABC1D1. Следовательно, по теореме 1, имеем:

    ( small AB+C_1D_1=AD_1+BC_1. )(3)

    Но по условию данной теоремы:

    ( small AB+CD=AD+BC. )(4)

    Вычтем из равенства (4) равенство (3):

    ( small CD-C_1D_1) (small=AD-AD_1+BC-BC_1 )
    ( small CD-C_1D_1=DD_1+CC_1 )
    ( small CD=DD_1+CC_1+C_1D_1)

    Получили, что в четырехугольнике CC1D1D длина одной стороны равна сумме длин трех остальных сторон, что невозможно (см. задачу 1 статьи Четырехугольник).

    Таким образом сторона CD должна иметь общие точки с рассматриваемой окружностью.

    Случай 2. Сторона CD имеет две общие точки с построенной окружностью (Рис.4).

    Окружность называется вписанной в четырехугольник если она касается всех его

    Аналогичными рассуждениями можно показать, что сторона CD не может иметь две общие точки с построенной окружностью.

    Следовательно, предполагая, что построенная окружность не касается стороны CD, мы пришли к противоречию. Таким образом, если в выпуклом четырехугольнике сумма противолежащих сторон равны, то в него можно вписать окружность.Окружность называется вписанной в четырехугольник если она касается всех его

    Если в четырехугольник вписан окружность, то существует точка, равноудаленная от всех сторон четырехугольника. Эта точка является центром вписанной в четырехугольник окружности. Для нахождения этой точки достаточно найти точку пересечениия биссектрис двух соседних углов данного четырехугольника.

    Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

    Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

    Описанные четырехугольники

    Определение 1 . Окружностью, вписанной в четырёхугольник, называют окружность, которая касается касается каждой из сторон четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, описанным около окружности или описанным четырёхугольником .

    Окружность называется вписанной в четырехугольник если она касается всех его

    Замечание . В настоящем разделе мы рассматриваем только выпуклые четырёхугольники.

    Теорема 1 . Если четырёхугольник описан около окружности, то суммы длин его противоположных сторон равны.

    Доказательство . Рассмотрим четырёхугольник ABCD , описанный около окружности, и обозначим буквами E, F, G, H – точки касания сторон четырёхугольника с окружностью (рис.2).

    Окружность называется вписанной в четырехугольник если она касается всех его

    AH = AE, BF = BE, CF = CG, DH = DG,

    Складывая эти равенства, получим:

    AH + BF + CF + DH =
    = AD + BC,
    AE + BE + CG + DG =
    = AB + CD,

    то справедливо равенство

    что и требовалось доказать.

    Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если у четырёхугольника суммы длин противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.

    Доказательство . Рассмотрим четырёхугольник ABCD , длины сторон которого удовлетворяют равенству

    и проведём биссектрисы углов BAD и CDA . Обозначим точку пересечения этих биссектрис буквой O , и опустим из точки O перпендикуляры OH, OE и OG на стороны AD, AB и CD соответственно (рис.3).

    Окружность называется вписанной в четырехугольник если она касается всех его

    Следовательно, справедливы равенства

    из которых вытекает, что точки H, E и G лежат на окружности с центром в точке O и радиусом OH , касающейся сторон четырёхугольника AD, AB и CD в точках H, E и G соответственно. При этом возможны два случая:

    Окружность касается касается стороны BC (рис.4).

    Окружность называется вписанной в четырехугольник если она касается всех его

    В этом случае четырёхугольник ABCD описан около окружности, и теорема доказана.

    Окружность не касается стороны BC .

    В этом случае касательная, проведенная к окружности из точки B , пересекает прямую DC в точке K , и возможны два случая:

      Точка K лежит между точками C и D (рис.5)

    Окружность называется вписанной в четырехугольник если она касается всех его

    Окружность называется вписанной в четырехугольник если она касается всех его

    Рассмотрим случай 2а и приведём его к противоречию. В этом случае в силу того, что четырёхугольник ABKD является описанным, а также по условию теоремы справедливы равенства:

    Окружность называется вписанной в четырехугольник если она касается всех его

    Окружность называется вписанной в четырехугольник если она касается всех его

    Последнее равенство утверждает, что в треугольнике BKC сумма двух сторон равна третьей стороне, что противоречит неравенству треугольника неравенству треугольника неравенству треугольника . Полученное противоречие доказывает, что случай 2а невозможен.

    Совершенно аналогичные рассуждения позволяют заключить, что случай 2b также невозможен.

    Итак, возможен и реализуется лишь случай 1.

    Из доказательства теоремы 2 непосредственно вытекает

    Теорема 3 . Биссектрисы всех внутренних углов описанного четырёхугольника пересекаются в одной точке – центре вписанной окружности.

    В следующей таблице приводятся примеры четырёхугольников, в которые можно вписать окружность. Доказательства утверждений непосредственно вытекают из теорем 1 и 2 и предоставляются читателю в качестве несложных упражнений.

    Примеры описанных четырёхугольников

    ФигураРисунокУтверждение
    РомбОкружность называется вписанной в четырехугольник если она касается всех егоВ любой ромб можно вписать окружность
    КвадратОкружность называется вписанной в четырехугольник если она касается всех егоВ любой квадрат можно вписать окружность
    ПрямоугольникОкружность называется вписанной в четырехугольник если она касается всех егоВ прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом
    ПараллелограммОкружность называется вписанной в четырехугольник если она касается всех егоВ параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом
    ДельтоидОкружность называется вписанной в четырехугольник если она касается всех егоВ любой дельтоид можно вписать окружность
    ТрапецияОкружность называется вписанной в четырехугольник если она касается всех егоВ трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у трапеции сумма длин боковых сторон рана сумме длин оснований
    Ромб
    Окружность называется вписанной в четырехугольник если она касается всех его
    КвадратОкружность называется вписанной в четырехугольник если она касается всех его

    В любой квадрат можно вписать окружность

    ПрямоугольникОкружность называется вписанной в четырехугольник если она касается всех его

    В прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом

    ПараллелограммОкружность называется вписанной в четырехугольник если она касается всех его

    В параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом

    ДельтоидОкружность называется вписанной в четырехугольник если она касается всех егоТрапецияОкружность называется вписанной в четырехугольник если она касается всех его

    В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у трапеции сумма длин боковых сторон рана сумме длин оснований

    Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

    Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

    Окружность называется вписанной в четырехугольник если она касается всех его сторон

    Ключевые слова: окружность, описанная окружность, центр окружности, вписанная окружность, треугольник, четырехугольник, вневписанная окружность

    Окружность называется вписанной в угол, если она лежит внутри угла и касается его сторон.

    Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.

    Окружность называется вписанной в выпуклый многоугольник, если она лежит внутри данного многоугольника и касается всех прямых, проходящих через его стороны.

    Если в данный выпуклый многоугольник можно вписать окружность, то биссектрисы всех углов данного многоугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности.
    Сам многоугольник в таком случае называется описанным около данной окружности.
    Таким образом, в выпуклый многоугольник можно вписать не более одной окружности.

    Для произвольного многоугольника невозможно вписать в него и описать около него окружность.
    Для треуголь ника это всегда возможно.

    Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех трех его сторон, а её центр находится внутри окружности

    • Центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис внутренних углов треугольника.
    • В любой треугольник можно вписать окружность, и только одну.
    • Радиус вписанной в треугольник окружности равен отношению площади треугольника и его полупериметра: $$r = frac

    Серединным перпендикуляром называют прямую перпендикулярную отрезку и проходящую через его середину.

    Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через три его вершины.

    • Вокруг любого треугольника можно описать окружность, и только одну.
    • В любом треугольнике сторона равна произведению диаметра описанной окружности и синуса противолежащего угла.
    • Площадь треугольника равна отношению произведения длин всех его сторон к учетверенному радиусу окружности, описанной около этого треугольника: $$R =frac $$, где S — площадь треугольника.
    • Центр вневписанной окружности лежит на пересечении биссектрис внешних углов, при вершинах касаемой стороны, и биссектрисы угла при третей вершине.

    Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник

    Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

    • Центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы.
    • Радиус равен половине гипотенузы: $$R = frac $$.
    • Радиус равен медиане, проведенной к гипотенузе: $$R = m_ $$.

    Четырехугольник, вписанный в окружность

    • Четырехугольник можно вписать в окружность, если сумма противолежащих углов равна $$180^circ: alpha + beta + gamma +delta = 180^circ$$.
    • Если четырехугольник вписан в окружность, то суммы противолежащих углов равны $$180^circ$$.
    • Сумма произведений противолежащих сторон четырехугольника ABCD равна произведению диагоналей: $$ABcdot DC + AD cdot BC = BD cdot AC$$.
    • Площадь: $$S = sqrt $$, где $$p = frac $$ — полупериметр четырехугольника.

    Окружность, вписанная в ромб

    • В любой ромб можно вписать окружность.
    • Радиус r вписанной окружности: $$r = frac $$, где h — высота ромба или $$r = frac cdot d_ > $$, где a — сторона ромба, d1 и d2 — диагонали ромба.

    💡 Видео

    Урок 1. Вписанная окружность в четырехугольник. Теория+ практикаСкачать

    Урок 1. Вписанная окружность в четырехугольник. Теория+ практика

    9 класс, 23 урок, Окружность, вписанная в правильный многоугольникСкачать

    9 класс, 23 урок, Окружность, вписанная в правильный многоугольник

    Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

    Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

    вписанный и описанный четырехугольникСкачать

    вписанный и описанный четырехугольник

    8 класс Геометрия. Окружность вписанная в четырехугольник и описанная около четырехугольника Урок #4Скачать

    8 класс Геометрия. Окружность вписанная в четырехугольник и описанная около четырехугольника Урок #4

    8 класс, 38 урок, Вписанная окружностьСкачать

    8 класс, 38 урок, Вписанная окружность

    Геометрия 11 класс. Вписанный четырехугольникСкачать

    Геометрия 11 класс. Вписанный четырехугольник

    Тема 9. Вписанные и описанные четырехугольникиСкачать

    Тема 9. Вписанные и описанные четырехугольники

    Описанная и вписанная окружности четырехугольника - 8 класс геометрияСкачать

    Описанная и вписанная окружности четырехугольника - 8 класс геометрия

    ОПИСАННЫЕ И ВПИСАННЫЕ ОКРУЖНОСТИ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА . §10 геометрия 8 классСкачать

    ОПИСАННЫЕ И ВПИСАННЫЕ ОКРУЖНОСТИ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА . §10 геометрия 8 класс

    Вписанная и описанная окружность в четырехугольник.Скачать

    Вписанная и описанная окружность  в четырехугольник.

    Урок 2. Вписанная окружность в четырехугольник. Диаметр - высотаСкачать

    Урок 2. Вписанная окружность в четырехугольник. Диаметр - высота

    Окружность, описанная около четырёхугольникаСкачать

    Окружность, описанная около четырёхугольника

    Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

    Четырехугольники, вписанные в окружность. 9 класс.

    Четырехугольник Вписанная и описанная окружностиСкачать

    Четырехугольник  Вписанная и описанная окружности
    Поделиться или сохранить к себе: